用二分法求方程的近似解教學(xué)案例設(shè)計(jì)

1、用二分法求方程的近似解教學(xué)案例設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)1必修本（A版）的第三章3.1.2用二分法求方程的近似解本節(jié)課要求學(xué)生根據(jù)具體的函數(shù)圖象能夠借助計(jì)算機(jī)或信息技術(shù)工具計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法，從中體會(huì)函數(shù)與方程之間的聯(lián)系；它既是本冊(cè)書中的重點(diǎn)內(nèi)容，又是對(duì)函數(shù)知識(shí)的拓展，既體現(xiàn)了函數(shù)在解方程中的重要應(yīng)用，同時(shí)又為高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、二分法的算法思想打下了基礎(chǔ)，因此決定了它的重要地位二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)，理解函數(shù)零點(diǎn)和方程根的關(guān)系, 初步掌握函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化思想但是對(duì)于求函

2、數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，只是比較熟悉求二次函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)于高次方程和超越方程對(duì)應(yīng)函數(shù)零點(diǎn)的尋求會(huì)有困難另外算法程序的模式化和求近似解對(duì)他們是一個(gè)全新的問(wèn)題三、設(shè)計(jì)思想倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)精神和合作探究式的學(xué)習(xí)方式；注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)；與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的內(nèi)在本質(zhì)，注意適度形式化；在教與學(xué)的和諧統(tǒng)一中體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值；注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的合理整合.四、教學(xué)目標(biāo) 通過(guò)具體實(shí)例理解二分法的概念，掌握運(yùn)用二分法求簡(jiǎn)單方程近似解的方法，從中體會(huì)函數(shù)的零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系及其在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用；能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，讓學(xué)生能夠初步了解逼近

3、思想；體會(huì)數(shù)學(xué)逼近過(guò)程，感受精確與近似的相對(duì)統(tǒng)一；通過(guò)具體實(shí)例的探究，歸納概括所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論或規(guī)律，體會(huì)從具體到一般的認(rèn)知過(guò)程五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)1教學(xué)重點(diǎn)：用“二分法”求方程的近似解，使學(xué)生體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的聯(lián)系，初步形成用函數(shù)觀點(diǎn)處理問(wèn)題的意識(shí)2教學(xué)難點(diǎn)：方程近似解所在初始區(qū)間的確定，恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)工具，利用二分法求給定精確度的方程的近似解六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題問(wèn)題1：在一個(gè)風(fēng)雨交加的夜里，從某水庫(kù)閘房到防洪指揮部的電話線路發(fā)生了故障這是一條10km長(zhǎng)的線路，如何迅速查出故障所在？如果沿著線路一小段一小段查找，困難很多每查一個(gè)點(diǎn)要爬一次電線桿子10km長(zhǎng)，大約有2

4、00多根電線桿子呢想一想，維修線路的工人師傅怎樣工作最合理？以實(shí)際問(wèn)題為背景，以學(xué)生感覺(jué)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，激活學(xué)生的思維，形成學(xué)生再創(chuàng)造的欲望注意學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生思考，從二分查找的角度解決問(wèn)題學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生獨(dú)立思考，可能出現(xiàn)的以下解決方法：思路1：直接一個(gè)個(gè)電線桿去尋找思路2：通過(guò)先找中點(diǎn)，縮小范圍，再找剩下來(lái)一半的中點(diǎn)老師從思路2入手，引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題：如圖，維修工人首先從中點(diǎn)C查用隨身帶的話機(jī)向兩個(gè)端點(diǎn)測(cè)試時(shí)，發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段，再到BC段中點(diǎn)D，這次發(fā)現(xiàn)BD段正常，可見(jiàn)故障在CD段，再到CD中點(diǎn)E來(lái)查每查一次，可以把待查的線路長(zhǎng)度縮減一半，如此查下去，

5、不用幾次，就能把故障點(diǎn)鎖定在一兩根電線桿附近師：我們可以用一個(gè)動(dòng)態(tài)過(guò)程來(lái)展示一下（展示多媒體課件）在一條線段上找某個(gè)特定點(diǎn)，可以通過(guò)取中點(diǎn)的方法逐步縮小特定點(diǎn)所在的范圍（即二分法思想） 設(shè)計(jì)意圖 從實(shí)際問(wèn)題入手，利用計(jì)算機(jī)演示用二分法思想查找故障發(fā)生點(diǎn)，通過(guò)演示讓學(xué)生初步體會(huì)二分法的算法思想與方法, 說(shuō)明二分法原理源于現(xiàn)實(shí)生活，并在現(xiàn)實(shí)生活中廣泛應(yīng)用（二）師生探究,構(gòu)建新知 問(wèn)題2：假設(shè)電話線故障點(diǎn)大概在函數(shù)的零點(diǎn)位置，請(qǐng)同學(xué)們先猜想它的零點(diǎn)大概是什么？我們?nèi)绾握页鲞@個(gè)零點(diǎn)？ 1利用函數(shù)性質(zhì)或借助計(jì)算機(jī)、計(jì)算器畫出函數(shù)圖象，通過(guò)具體的函數(shù)圖象幫助學(xué)生理解閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值

6、是異號(hào)的，那么函數(shù)圖象就一定與軸相交，即方程在區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)解（即上節(jié)課的函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，為下面的學(xué)習(xí)提供理論基礎(chǔ)）引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度去體會(huì)函數(shù)零點(diǎn)的意義，掌握常見(jiàn)函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍2我們已經(jīng)知道，函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，且0，0.進(jìn)一步的問(wèn)題是，如何找出這個(gè)零點(diǎn)？合作探究：學(xué)生先按四人小組探究.（倡導(dǎo)學(xué)生積極交流、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，有助于發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性）生：如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們可以得到零點(diǎn)的近似值.師：如何有效縮小根所在的區(qū)間？生1：通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍生2：是否也可以通過(guò)“

7、取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍？師：很好，一個(gè)直觀的想法是:如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，可以得到零點(diǎn)的近似值.其實(shí)“取中點(diǎn)”和“取三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”都能實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在的范圍.但是在同樣可以實(shí)現(xiàn)縮小零點(diǎn)所在范圍的前提下，“取中點(diǎn)”的方法比取“三等分點(diǎn)或四等分點(diǎn)”的方法更簡(jiǎn)便.因此，為了方便，下面通過(guò)“取中點(diǎn)”的方法逐步縮小零點(diǎn)所在的范圍.引導(dǎo)學(xué)生分析理解求區(qū)間的中點(diǎn)的方法 合作探究：（學(xué)生2人一組互相配合，一人按計(jì)算器，一人記錄過(guò)程四人小組中的兩組比較縮小零點(diǎn)所在范圍的結(jié)果）步驟一：取區(qū)間(2，3)的中點(diǎn)2.5，用計(jì)算器算得.由0，得知，所

8、以零點(diǎn)在區(qū)間(2.5，3)內(nèi)。 步驟二：取區(qū)間(2.5，3)的中點(diǎn)2.75，用計(jì)算器算得.因?yàn)椋粤泓c(diǎn)在區(qū)間(2.5，2.75)內(nèi).結(jié)論:由于(2，3)，所以零點(diǎn)所在的范圍確實(shí)越來(lái)越小了. 如果重復(fù)上述步驟，在一定精確度下，我們可以在有限次重復(fù)上述步驟后，將所得的零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值特別地，可以將區(qū)間端點(diǎn)作為函數(shù)零點(diǎn)的近似值引導(dǎo)學(xué)生利用計(jì)算器邊操作邊認(rèn)識(shí)，通過(guò)小組合作探究，得出教科書上的表32，讓學(xué)生有更多的時(shí)間來(lái)思考與體會(huì)二分法實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)的良好品質(zhì)學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)生通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)知道這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，故它的零點(diǎn)在區(qū)間（2，3）內(nèi)進(jìn)

9、一步利用函數(shù)圖象通過(guò)“取中點(diǎn)”逐步縮小零點(diǎn)的范圍，利用計(jì)算器通過(guò)將自變量改變步長(zhǎng)減少很快得出表32，找出零點(diǎn)的大概位置設(shè)計(jì)意圖從問(wèn)題1到問(wèn)題2，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化的思想方法，問(wèn)題2有著承上啟下的作用，使學(xué)生更深刻地理解二分法的思想，同時(shí)也突出了二分法的特點(diǎn)通過(guò)問(wèn)題2讓學(xué)生掌握常見(jiàn)函數(shù)零點(diǎn)的求法，明確二分法的適用范圍3.問(wèn)題3：對(duì)于其他函數(shù)，如果存在零點(diǎn)是不是也可以用這種方法去求它的近似解呢？引導(dǎo)學(xué)生把上述方法推廣到一般的函數(shù)，經(jīng)歷歸納方法的一般性過(guò)程之后得出二分法及用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷且滿足的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近

10、零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法注意引導(dǎo)學(xué)生分化二分法的定義（一是二分法的適用范圍，即函數(shù)在區(qū)間，上連續(xù)不斷，二是用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟）給定精確度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：1、確定區(qū)間，驗(yàn)證，給定精確度；2、求區(qū)間，的中點(diǎn)；3、計(jì)算：（1）若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；（3）若，則令=（此時(shí)零點(diǎn)）；4、判斷是否達(dá)到精確度：即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值（或）；否則重復(fù)步驟24利用二分法求方程近似解的過(guò)程，可以簡(jiǎn)約地用下圖表示初始區(qū)間取區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值為零取新區(qū)間滿足精確度結(jié)束否是否是學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生思考問(wèn)題3舉出二次函數(shù)外，對(duì)照步驟觀察函數(shù)的圖

11、象去體會(huì)二分法的思想結(jié)合二次函數(shù)圖象和標(biāo)有、的數(shù)軸理解二分法的算法思想與計(jì)算原理設(shè)計(jì)意圖以問(wèn)題研討的形式替代教師的講解，分化難點(diǎn)、解決重點(diǎn)，給學(xué)生“數(shù)學(xué)創(chuàng)造”的體驗(yàn)，有利與學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握，并強(qiáng)化對(duì)二分法原理的理解學(xué)生在討論、合作中解決問(wèn)題，充分體會(huì)成功的愉悅讓學(xué)生歸納一般步驟有利于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，讓學(xué)生嘗試由特殊到一般的思維方法利用二分法求方程近似解的過(guò)程，用圖表示，既簡(jiǎn)約又直觀，同時(shí)能讓學(xué)生初步體會(huì)算法的思想（三）例題剖析，鞏固新知例：借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)用二分法求方程的近似解（精確度0.1）. 兩人一組，一人用計(jì)算器求值，一人記錄結(jié)果；學(xué)生講解縮小區(qū)間的方法和過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng).本例鼓

12、勵(lì)學(xué)生自行嘗試，讓學(xué)生體驗(yàn)解題遇阻時(shí)的困惑以及解決問(wèn)題的快樂(lè).此例讓學(xué)生體會(huì)用二分法來(lái)求方程近似解的完整過(guò)程，進(jìn)一步鞏固二分法的思想方法.思考：?jiǎn)栴}（1）：用二分法只能求函數(shù)零點(diǎn)的“近似值”嗎？問(wèn)題（2）：是否所有的零點(diǎn)都可以用二分法來(lái)求其近似值？教師有針對(duì)性的提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生回答，學(xué)生討論，交流. 反思二分法的特點(diǎn)，進(jìn)一步明確二分法的適用范圍以及優(yōu)缺點(diǎn)，指出它只是求函數(shù)零點(diǎn)近似值的“一種”方法. 設(shè)計(jì)意圖及時(shí)鞏固二分法的解題步驟,讓學(xué)生體會(huì)二分法是求方程近似解的有效方法.解題過(guò)程中也起到了溫故轉(zhuǎn)化思想的作用（四）嘗試練習(xí)，檢驗(yàn)成果1、下列函數(shù)中能用二分法求零點(diǎn)的是（ ）.(A)(B)(C)

13、(D)。xyo設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生明確二分法的適用范圍.2、用二分法求圖象是連續(xù)不斷的函數(shù)在(1,2)內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到,則函數(shù)的零點(diǎn)落在區(qū)間（ ）.(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5） (C)（1.5,2） (D) 不能確定設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生進(jìn)一步明確縮小零點(diǎn)所在范圍的方法.3借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)，用二分法求方程在區(qū)間（2，3）內(nèi)的近似解（精確度0.1）. 設(shè)計(jì)意圖 進(jìn)一步加深和鞏固對(duì)用二分法求方程近似解的理解.（五）課堂小結(jié)，回顧反思學(xué)生歸納，互相補(bǔ)充，老師總結(jié)：1、理解二分法的定義和思想，用二分法可以求函數(shù)的零點(diǎn)近似值，但要保證該函數(shù)在零點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)不斷；2、用二分法求方程

14、的近似解的步驟.設(shè)計(jì)意圖幫助學(xué)生梳理知識(shí),形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).同時(shí)讓學(xué)生知道理解二分法定義是關(guān)鍵，掌握二分法解題的步驟是前提，實(shí)際應(yīng)用是深化.（六）課外作業(yè)1書面作業(yè)第92頁(yè)習(xí)題3.1A組3、4、5；2知識(shí)鏈接第91頁(yè)閱讀與思考“中外歷史上的方程求解”3課外思考:如果現(xiàn)在地處學(xué)校附近的地下自來(lái)水管某處破裂了,那么怎么找出這個(gè)破裂處,要不要把水泥板全部掀起?板書設(shè)計(jì)3.1.2用二分法求方程的近似解1二分法的定義2用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟3用二分法求方程的近似解七、教學(xué)反思這節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課.整個(gè)教學(xué)過(guò)程,以問(wèn)題為教學(xué)出發(fā)點(diǎn), 以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，設(shè)計(jì)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)

15、動(dòng)機(jī)，激勵(lì)學(xué)生去取得成功，順應(yīng)合理的邏輯結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，重視思維訓(xùn)練，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，注意數(shù)學(xué)思想方法的溶入滲透，滿足學(xué)生渴望的獎(jiǎng)勵(lì)結(jié)構(gòu).整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)中，特別注重以下幾個(gè)方面：（1）重視學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn),突出他們的主體地位.訓(xùn)練了他們用從特殊到一般,再由一般到特殊的思維方式解決問(wèn)題的能力.不斷加強(qiáng)他們的轉(zhuǎn)化類比思想.（2）注重將用二分法求方程的近似解的方法與現(xiàn)實(shí)生活中案例聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)方法來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，又可以解決生活中的問(wèn)題.（3）注重學(xué)生參與知識(shí)的形成過(guò)程，動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦相結(jié)合，使他們“聽(tīng)”有所思，“學(xué)”有所獲，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

16、樂(lè)趣.（4）注重師生之間、同學(xué)之間互動(dòng)，注重他們之間的相互協(xié)作，共同提高.點(diǎn)評(píng)：本節(jié)課既是一堂新課又是一堂探究課.如何在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中體現(xiàn)新課程理念，本課例進(jìn)行了有益的探索。整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程,以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn),以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境順應(yīng)合理的邏輯結(jié)構(gòu)和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和心理特點(diǎn)，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；重視思維訓(xùn)練，注意數(shù)學(xué)思想方法的溶入滲透。本節(jié)課采用 “問(wèn)題情境 意義建構(gòu) 數(shù)學(xué)理論 數(shù)學(xué)運(yùn)用 回顧反思” 的教學(xué)流程。周老師在課題引入時(shí)，以實(shí)際問(wèn)題為背景，以學(xué)生感覺(jué)較簡(jiǎn)單的問(wèn)題入手，“讓學(xué)生找出電話線故障點(diǎn)，”有效地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望和探究的興趣。采用探究教學(xué)方式，在師生共同探究的過(guò)程中，構(gòu)建新的知識(shí)，既讓學(xué)