北師大版（新）九上-2.2 用配方法求解一元二次方程【優(yōu)質教案】

1、班海數學精批一本可精細批改的教輔2.2 用配方法求解一元二次方程 直接開平方法教學內容運用直接開平方法，即根據平方根的意義把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程教學目標知識與技能理解一元二次方程“降次”轉化的數學思想，并能應用它解決一些具體問題過程與方法提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解a（ex+f）2+c=0型的一元二次方程情感態(tài)度與價值觀歷由事實問題中抽象出一元二次方程等有關概念的過程,使同學們體會到通過一元二次方程也是刻畫現實世界中的數量關系的一個有效數學模型;經歷用配方法、公式法、分解因式法解一元一次方程的過程

2、,使同學們體會到轉化等數學思想;經歷設置豐富的問題情景,使學生體會到建立數學模型解決實際問題的過程,從而更好地理解方程的意義和作用,激發(fā)學生的學習興趣.重、難點 1重點：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；領會降次轉化的數學思想 2難點：通過根據平方根的意義解形如x2=n，知識遷移到根據平方根的意義解形如（x+m）2=n（n0）的方程教學過程一、復習引入學生活動：請同學們完成下列各題問題1填空（1）x2-8x+_=（x-_）2；（2）9x2+12x+_=（3x+_）2；（3）x2+px+_=（x+_）2問題2如圖，在ABC中，B=90，點P從點B開始，沿AB邊向點B以1cm/s的

3、速度移動，點Q從點B開始，沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動，如果AB=6cm，BC=12cm，P、Q都從B點同時出發(fā)，幾秒后PBQ的面積等于8cm2？老師點評：問題1：根據完全平方公式可得：（1）16 4；（2）4 2；（3）（）2問題2：設x秒后PBQ的面積等于8cm2則PB=x，BQ=2x依題意，得：x2x=8 x2=8根據平方根的意義，得x=2即x1=2，x2=-2可以驗證，2和-2都是方程x2x=8的兩根，但是移動時間不能是負值所以2秒后PBQ的面積等于8cm2二、探索新知上面我們已經講了x2=8，根據平方根的意義，直接開平方得x=2，如果x換元為2t+1，即（2t+1）2=8，能

4、否也用直接開平方的方法求解呢？（學生分組討論）老師點評：回答是肯定的，把2t+1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+1=2即2t+1=2，2t+1=-2方程的兩根為t1=-，t2=-例1：解方程：x2+4x+4=1分析：很清楚，x2+4x+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉化為（x+2）2=1解：由已知，得：（x+2）2=1直接開平方，得：x+2=1即x+2=1，x+2=-1所以，方程的兩根x1=-1，x2=-3例2市政府計劃2年內將人均住房面積由現在的10m2提高到14.4m，求每年人均住房面積增長率分析：設每年人均住房面積增長率為x一年后人均住房面積就應該是10+10 x=10（1+x）；二年后人均

5、住房面積就應該是10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2解：設每年人均住房面積增長率為x，則：10（1+x）2=14.4（1+x）2=1.44直接開平方，得1+x=1.2即1+x=1.2，1+x=-1.2所以，方程的兩根是x1=0.2=20%，x2=-2.2因為每年人均住房面積的增長率應為正的，因此，x2=-2.2應舍去所以，每年人均住房面積增長率應為20%（學生小結）老師引導提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉化為兩個一元一次方程我們把這種思想稱為“降次轉化思想”三、鞏固練習教材P6練習四、應用拓展例3某公司一月份營業(yè)額為1萬元，第一

6、季度總營業(yè)額為3.31萬元，求該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率是多少？分析：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x，那么二月份的營業(yè)額就應該是（1+x），三月份的營業(yè)額是在二月份的基礎上再增長的，應是（1+x）2解：設該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為x那么1+（1+x）+（1+x）2=3.31把（1+x）當成一個數，配方得：（1+x+）2=2.56，即（x+）2=256 x+=1.6，即x+=1.6，x+=-1.6方程的根為x1=10%，x2=-3.1因為增長率為正數，所以該公司二、三月份營業(yè)額平均增長率為10%五、歸納小結本節(jié)課應掌握：由應用直接開平方法解形如x2=p（p0），那么x=轉化

7、為應用直接開平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=，達到降次轉化之目的六、布置作業(yè) 1教材P16復習鞏固1 2選用作業(yè)設計: 配方法教學內容間接即通過變形運用開平方法降次解方程教學目標知識與技能理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題過程與方法通過復習可直接化成x2=p（p0）或（mx+n）2=p（p0）的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟重難點 1重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟 2難點：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧教學過程一、復習引入（學生活

8、動）請同學們解下列方程（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9老師點評：上面的方程都能化成x2=p或（mx+n）2=p（p0）的形式，那么可得x=或mx+n=（p0）如：4x2+16x+16=（2x+4）2二、探索新知列出下面二個問題的方程并回答：（1）列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起”大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總

9、數的的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據題意，得： x=（x）2+12整理得：x2-64x+768=0問題2：設道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500整理，得：x2-36x+70=0（1）列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有（2）不能既然不能直接降次解方程，那么，我

10、們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：x2-64x+768=0 移項 x=2-64x=-768兩邊加（）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 x2-64x+322=-768+1024 左邊寫成平方形式（x-32）2=256 降次x-32=16 即 x-32=16或x-32=-16 解一次方程x1=48，x2=16可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子學生活動：例1按以上的方程完成x2-36x+70=0的解題老師點評：x2-36x=-70，x2-36x+182=-70+324，（x-18）2=254，x-18=，x-18=或x-

11、18=-，x134，x22可以驗證x134，x22都是原方程的根，但x34不合題意，所以道路的寬應為2例2解下列關于x的方程（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=6 x-1=6，x-1=-6 x1=7，x2=-5可以，驗證x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的兩根（2）x2-2x-=0 x2-2x=x2-2x+12=+1 （x-1）2= x-1=即x-1=，x-1=- x1=1+，x2=1-可以驗

12、證：x1=1+，x2=1-都是方程的根三、鞏固練習教材P6探究改為課堂練習，并說明理由教材P39練習1 、2（1）、（2）四、應用拓展例3如圖，在RtACB中，C=90，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B兩點出發(fā)分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，幾秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半分析：設x秒后PCQ的面積為RtABC面積的一半，PCQ也是直角三角形根據已知列出等式解：設x秒后PCQ的面積為RtACB面積的一半根據題意，得：（8-x）（6-x）=86整理，得：x2-14x+24=0（x-7）2=25即x1=12，x2=2 x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去所以2秒后PC