二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析

1、二次回歸正交組合設(shè)計及其統(tǒng)計分析、組合設(shè)計（-）組合設(shè)計的概念組合設(shè)計：在自變量（因素，也稱因子）空間中選擇幾種類型的點，組合成的試驗計劃。（P.31）由于組合設(shè)計可選擇多種類型的點，而且有些類型的點的數(shù)目（試驗處理數(shù)）又可適當調(diào)節(jié)，因此組合設(shè)計在調(diào)節(jié)試驗處理數(shù)N （從而在調(diào)節(jié)剩余自由度）方面，要比全面試驗靈活得多。（二）組合設(shè)計的組成二次回歸正交組合設(shè)計試驗方案由三種類型的點組成，即：式中：N為處理組合數(shù)；為二水平析因點，原點）。這些點的每一個坐標（自變量）都各自分別只取點的數(shù)目記為。當這些點組成二水平全面試驗時，（P為因素個數(shù)）；為軸點，；為中心區(qū)（或二水平析因點（）1或-1;這些試驗。而

2、若這些點是根據(jù)正交表配制的二水平部分實施（1/2或1/4等）的試驗點時，。調(diào)節(jié)了這個，就相應(yīng)地調(diào)節(jié)了剩余自由度這些駕-個坐這些點都在變量軸取或且而其標坐標都胃這嚏旗上通常用星嚴說標出，故又稱星號點。其中稱為軸臂或星號臂，是待定參數(shù)，可根據(jù)下述正交性或旋轉(zhuǎn)性要求而確定。這些點的數(shù)目顯然為2P,記為。1次，也可重復(fù) 原點（）：又稱中心點，即各自變量都取零水平的點，該試驗點可作 多次，其次數(shù)記為。調(diào)節(jié)，顯然也能相應(yīng)地調(diào)節(jié)剩余自由度（三）試驗點（處理）的分布情況1、P=2 （二因素）的分布情況（1）處理組合數(shù)：若=1,處理組合數(shù)為9,即（2）處理組合表221。（P.32）（3）處理組合分布圖221。（

3、 P.31）二因素（X1、X2） 二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣如表2.2.2。（ P.32）2、P=3 （三因素）的分布情況（1）處理組合數(shù)：若=1,處理組合數(shù)為15,即（2）處理組合表：P=3 （X1、X2、X3 ）二次回歸正交組合設(shè)計，由15個試驗點組成。如表 2.2.3 所示。（P.33）（3）處理組合分布圖222。（ P.32）三因素（X1、X2、X3 ）二次回歸組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣如表224。(P.33)（四）組合設(shè)計的優(yōu)點1、試驗處理數(shù)少。2、保持一定剩余自由度，以便進行顯著性檢驗。（五）組合設(shè)計正交性的實現(xiàn)1組合設(shè)計的正交性：部分保持正交，部分失去正交。保持正交部分：失去正交部分：平

4、方項2、正交的實現(xiàn)（1）選取適當?shù)妮S臂：可用下式計算：為了設(shè)計方便，將由上式計算出不同P及的值列于表2.2.5。（ P.34-35）（2）對平方項進行中心化變換：為了獲得正交性，將平方項進行中心化變換，中心化變換值以表示：這樣變換后的項之間正交和之間正交：例：P=2, =1,查值表2.2.5，得=1,，則中心化變換為：的中心化變換為：2.2.6。（ P.35）的中心化變換為:于是得中心化變換后的二元二次回歸正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣列于表P=3, =1,查值表2.2.5，得=1.215，則中心化變換為:類似地可得出三元二次回歸正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣列于表2.2.7。（P.35-36）三、二次回歸正

5、交組合設(shè)計示例例2.2某玉米氮肥、磷肥、鉀肥配比試驗，試進行二次回歸正交組合設(shè)計，并對試驗結(jié)果進行統(tǒng)計分析。（P.38）（一）設(shè)計試驗處理方案1擬定每個因素的上下水平以該因素零水平施肥量為最佳施肥量為依據(jù)來確定上下水平。上水平：高于最佳施肥量，比零水平高 1/31/2 左右。下水平：低于零水平，可采用較少的施肥量或不施肥。本例氮、磷、鉀肥上下水平列于表229。（ P.382、計算零水平：3、計算變化間距把上水平和零水平之差以參數(shù)除之稱為因素的變化間距，以表示。定義式為：式中：值是為了使試驗計劃獲得正交性的一個待定參數(shù)。其值可從表225。（ P.34）查出。本例：P=3，=1,則=1.215，則

6、計算為：4、對每個因素各水平取值進行編碼變換所謂編碼就是對因素水平的取值作如下的線性變換：這樣，就建立了各因素與取值的一一對應(yīng)關(guān)系，得到如表2.2.8的因素水平編碼表（P.36）:本例每個因素為5個水平，即+，+1, 0，-1,-，氮肥各水平編碼值相應(yīng)施肥量計算為：N :P2O5:K2O :將算出的氮、磷、鉀各水平編碼值相應(yīng)的施肥量列于表2210。（ P.39）5、擬定試驗處理方案根據(jù)本例（三元二次回歸正交組合設(shè)計）的要求，選用表2.2.7（ P.35）,將自變量各編碼值相應(yīng)肥料施用量填入表227的XI、X2、X3編碼值中，即設(shè)計成試驗處理組合方案列于表 2211。（ P.39）（二）試驗結(jié)果

7、的統(tǒng)計分析試驗結(jié)果列于表2.2.12。（ P.39-40）1、建立三元二次多項式回歸方程如果研究P個因素，采用二次回歸正交組合設(shè)計具有N個處理，其試驗結(jié)果以表示,則二次回歸的數(shù)學(xué)模型為：為了消除平方項與常數(shù)項間的相關(guān)性，對平方項進行中心化變換，則數(shù)學(xué)模型變?yōu)椋河脴颖竟烙嫊r：當P=3時，三元二次回歸方程為：要建立二次回歸方程，必須計算出回歸統(tǒng)計數(shù)。由于二次回歸的正交組合設(shè)計的結(jié)構(gòu)矩陣具有正交性，因而它的信息矩陣A為：于是二次回歸方程的回歸統(tǒng)計數(shù)，則本例：（1）列表計算回歸統(tǒng)計數(shù)：根據(jù)試驗結(jié)果列表計算各回歸統(tǒng)計數(shù)于表2.2.12。（ P.39-40）計算表的計算方法為:計算：計算計算計算：（2）建

8、立三元二次多項式回歸方程：表中由下式計算：于是玉米氮、磷、鉀肥試驗三元二次多項式回歸方和為：（P.40）2、回歸關(guān)系的顯著性檢驗（F檢驗）（1）第一次F檢驗計算平方和計算自由度列出F檢驗表2.1.13。（ P.40）推斷：經(jīng)F檢驗顯示，總回歸達0.25顯著，說明氮肥、磷肥、鉀肥與玉米產(chǎn)量之間存在基本顯著的回歸關(guān)系。其中一次項X1達顯著，X2達0.25顯著，互作項X1X3、X2X3以及平方項X32均不顯著（F值均小于1）。由于試驗計劃具有正交性，消除了回歸系數(shù)之間的相關(guān)性，故可 以直接把它們從回歸方程中除去，將平方和及自由度并入剩余項，而互作項X1X2和平方項X12、X22的F 值大于1,接近0

9、.25顯著，故可保留在回歸方程中，進行第二次方差分析。（2）第二次F檢驗計算平方和計算自由度列出F檢驗表2.1.14。（ P.41）推斷：第二次F檢驗顯示，總回歸達顯著，說明X1 （氮八X2 （磷）與玉米產(chǎn)量之間存在顯著 的回歸關(guān)系。其中一次項X1達極顯著，X2達顯著，互作項X1X2以及平方項X12、X22達0.25顯著。 說明該試驗結(jié)果宜用二元二次多項式表達。3、配置二元二次多項式回歸方程（1）計算三、多項式回歸方程的應(yīng)用(一)計算最佳施肥量及產(chǎn)量預(yù)報1、計算最佳施肥量（1 ）求y對Xi的一階偏導(dǎo)數(shù)：對二元二次多項式回歸方程求y對Xi的一階偏導(dǎo)數(shù)。求y對的一階偏導(dǎo)數(shù)：求y對的一階偏導(dǎo)數(shù)：（2）求常數(shù)項：最佳施肥方案是邊際產(chǎn)值等于邊際成本時的施肥量，它受邊際產(chǎn)值、產(chǎn)品價格、肥料價 格的制約。因此，有以下關(guān)系式：式（2.2.13）中，和是氮、磷的邊際產(chǎn)值，為氮（N）和磷（P2O5）的價格，均為3.00元/kg，為產(chǎn)品玉米的價格，為0.80 元/kg，于是可建立如下方程組：（3）建立聯(lián)立方程組：經(jīng)整理得如下聯(lián)立方程組：解此方程組