原子物理學第一章習題參考答案

1、第一章習題參考答案1.1速度為v的非相對論的a粒子與一靜止的自由電子相碰撞，試證明：a粒子的最大偏離角約為10-rad.要點分析：碰撞應(yīng)考慮入射粒子和電子方向改變，并不是像教材中的入射粒子與靶核的碰撞（靶核不動），注意這里電子要動.證明：設(shè)粒子的質(zhì)量為M,碰撞前速度為V,沿X方向入射；碰撞后，速度為V,沿方向散射.電子質(zhì)量用me表示，碰撞前靜止在坐標原點O處,碰撞后以速度v沿方向反沖.粒子-電子系統(tǒng)在此過程中能量與動量均應(yīng)守恒，有：MV2，MV2mv2(1)(2)(3)(4)(5)TOC o 1-5 h z2a2a2eMV，MVcos+mvcosaae0，MVsin一mvsinae作運算：(2

2、)sin(3)cos，得sinmv，MVeasin(+)MVMVsinaasin(+)再將(4)、(5)二式與(1)式聯(lián)立，消去V與V,sin2M2sin2MV2，MV2+aV2-aasin2(0+)msin2(0+)e化簡上式，得sin2(+)，sin2+竺(6)mp，e若記a，可將(6)式改寫為psin2(0+)，psin2+sin2視為的函數(shù)()，對(7)式求的極值，有sin20-psin(0+)，p-sin2+sin2(0+)d空，0則sin2()-sin20即2cos(2)sin0(1)若sin0則0(極小)(8)(2)若cos(2)0貝990-2(9)將(9)式代入(7)式，有ps

3、in2(900-)，psin2+sin20由此可得sin=卩=14183610-4弧度(極大)此題得證.1.2(1)動能為5.00MeV的a粒子被金核以90。散射時，它的瞄準距離(碰撞參數(shù))為多大？(2)如果金箔厚l.Oum，則入射a粒子束以大于90。散射(稱為背散射)的粒子數(shù)是全部入射粒子的百分之幾？aZZeb=-cot-a三才七解:(1)依22和0金的原子序數(shù)Z2=79712Z-e-79x1.44b=cot二cot45o二22.752x10-i5(m)24ksE25.000答：散射角為90所對所對應(yīng)的瞄準距離為22.8fm.(2)要點分析：第二問解的要點是注意將大于90的散射全部積分出來.

4、90180范圍的積分，關(guān)鍵要知道n,問題不知道nA,但可從密度與原子量關(guān)系找出注意推導(dǎo)出n值.Nmol-N1/Vppn=總分子數(shù)=a=(N)=NVVVAAAA，其他值從書中參考列表中找.從書后物質(zhì)密度表和原子量表中查出ZAu=79,AAu=197，Au=1.888x104kg/m3dN=ntN2sind16叫依：dNa22sind=Jnt16sin4sind=2sincos2d()=2sin2d(sin)222222nt(工4&2)22(2Z)2E2sincos-d16xsin42N2cos2d16xsin32Lze2274sin2d(sin2)=JKnt()22px()2224ksE2e22

5、Z=JKnt()22()24ksE216xsin42Nmol-N1/Vp“、pATn=總分子數(shù)=a=(N)=N注意到：VVVAAAA即單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為密度除以摩爾質(zhì)量數(shù)乘以阿伏加德羅常數(shù).TOC o 1-5 h zze2兀2Z.nt()2()24兀,4E是常數(shù)其值為1.881076.221023p2791971.010-6(1.4410-15)2()2=9.64810-545.00/cos2d(sin2)I=j-d=2=1sin3sin3-2222最后結(jié)果為：幾-5.原10說明大角度散射幾率十分小.1-3試問4.5MeV的a粒子與金核對心碰撞時的最小距離是多少？若把金核改為7Li核，則結(jié)果

6、如何？要點分析：計算簡單，重點考慮結(jié)果給我們什么啟示，影響靶核大小估計的因素.a二180。，r二一1+escm2時，解：對心碰撞時2r=(1+csc90)=am2離金核最小距離ZZe2r=a=12-m4冗,E02791.4443=50.56fmZZe21_2-4冗,E0中，=180。，時，a=若金核改為7Li核，mvvM則不能滿足，必須考慮靶核的反沖在散射因子應(yīng)把E理解為質(zhì)心系能EC1mMME=V2=C2m+Mm+M離7Li核最小距離3.0fm。結(jié)果說明：靶原子序數(shù)越小，入射粒子能量越大，越容易估算準核的半徑.反之易反.1-4假定金核半徑為7.0fm，試問入射質(zhì)子需要多少能量才能在對頭碰撞時剛

7、好到達金核的表面？若金核改為鋁時質(zhì)子在對頭碰撞時剛好到達鋁核的表面，那么入射質(zhì)子的能量應(yīng)為多少？設(shè)鋁核的半徑為4.0fm.要點分析：注意對頭碰撞時，應(yīng)考慮靶核質(zhì)量大小，靶核很重時，mM可直接用公式計算；靶核較輕時，mvvM不滿足，應(yīng)考慮靶核的反沖，用相對運動的質(zhì)心系來解.79AAu=196；13AAl=27解:若入射粒子的質(zhì)量與原子核的質(zhì)量滿足mvvM，貝9入射粒子與原子核之間能達到的a.2c+2。)=ar=1+escm最近距離為m2ZZe2i2，r:.E，4Em即0E，1.44fmMeV即：e2ZZ1_2-4Er0m179-，1625MeV7.Cfm若金核改為鋁核應(yīng)把E理解為質(zhì)心系能EC1m

8、MMaE，V2，EaC2m+Mm+MLmM則不能滿足，必須考慮靶核的反沖在散射因子ZZe2a二4eE0中，ZZe2ZZe2m+M1_2，1_24SE4E0C0a沁rcmE=9.2MeV說明靶核越輕、Z越小，入射粒子達到靶核表面需要能量越小1-5動能為l.OMeV的窄質(zhì)子束垂直地射在質(zhì)量厚度為1.5mg/cm依公式的金箔上，記數(shù)器的記錄以60角散射的質(zhì)子計數(shù)器圓形輸入孔的面積為1.5cm2,離金箔散射區(qū)的距離為10cm,輸入孔對著且垂直于射到它上面的質(zhì)子，試問：散射到計數(shù)器輸入孔的質(zhì)子數(shù)與入射到金箔的質(zhì)子數(shù)之比為多少？（質(zhì)量厚度Pm定義為單位面積的質(zhì)量Pm=Pt,則P=Pm/1其中P為質(zhì)量密度，

9、t為靶厚）.要點分析：沒給直接給nt.設(shè)置的難點是給出了質(zhì)量厚度，計算時需把它轉(zhuǎn)換成原子體密度n和厚度t.需推導(dǎo)其關(guān)系.解：輸入圓孔相對于金箔的立體角為s1.5dQ，1.5-10-2r2102AAu=197q=60mP，注意密度為單位體積的質(zhì)量V，單位體積內(nèi)的粒子數(shù)為m1Pn，N，NVAaAan，PNn，mNnt，mNAAtAAAAa2dN，ntNdQ90一1sin223/231/29021d2.sin42cosd4補2唁isin322d(sin)_4kJ2_8兀1sin3-22兀sind22結(jié)果：1sin42=一4兀112_sin22=一4兀121TOC o 1-5 h z伯2ksind：.

10、41sin4補：求積分式2的積分結(jié)果解：積分式的積分結(jié)果.2sin-cos_222兀sind?冗Jsind?冗121還有另外一種求解方法.1-7單能的窄a粒子束垂直地射到質(zhì)量厚度為2.0mg/cm2的鉭箔上，這時以散射角G/20.散射的相對粒子數(shù)(散射粒子數(shù)與入射數(shù)之比)為4.0X10-3試計算：散射角9=60角相da對應(yīng)的微分散射截面d.要點分析：重點考慮質(zhì)量厚度與nt關(guān)系.解：m=2.0mg/cm2ATa=181；ZTa=73；=60ppnNn一mNAAtAA依微分截面公式daa21忑16爲衛(wèi)2知該題重點要求出a2/16o由公式竺nt蘭180N1620dNNd2.010，2pntmNAA2

11、0 x6.022x1023x巴x180-1811620sm42022兀sin9d04.3x10,3sin42180罟6-0221023卷叮2兀sin9d0a26.65x1021xx（4兀）”U16sm4-2sin22204.3x10-3a26.651021憶（一溉）（-2213）4310，3a22.33x10，26所以16竺竺2.33x10,26x11.456x10,27d164U60sm4sin4221-8(1)質(zhì)量為ml的入射粒子被質(zhì)量為m2(m2m1)的靜止靶核彈性散射，試證明：入射粒sinUm子在實驗室坐標系中的最大可能偏轉(zhuǎn)角9由下式?jīng)Q定.m1(2)假如粒子在原來靜止的氫核上散射，試問

12、：它在實驗室坐標系中最大的散射角為多大?_二二二要點分析：同第一題結(jié)果類似.證明：111mV2，mV2+mv2212122(1)mV，mVcos0+mvcos申(2、112(2)0，mVsin0-mvsin申“、12(3)作運算：(2)sin(3)cos，得sinmv，mV21sin(+q)sinqmV，mV一11sin(0+q)再將(4)、(5)二式與sin2qmV2，mV2-11sin2(0+q)化簡上式，得(5)(1)式聯(lián)立，消去V與v,得m2sin20+亠V2_msin2(0+q)2sin2(0+q)，sin2q+竺m1(6)m卩，2若記m1，可將(6)式改寫為psin2(0+q)，p

13、sin2q+sin2(7)視為的函數(shù)(),對(7)式求的極值，有sin20-psin(0+申)，p-sin2q+sin2(0+申)dqd0，0令dq,貝9sin2()-sin2=0，即2cos(2)sin=0若sin=0,貝y=0(極小)(8)若cos(2)=0則=90-2(9)將(9)式代入(7)式，有psin2(90。-q)，psin2q+sin2(0)m2m1sin0，p，由此可得若m2=m1msin0，p，t貝有m1此題得證.，1,，90。1-9動能為l.OMev的窄質(zhì)子束垂直地射到質(zhì)量厚度（Pt）為1.5mg/cm2的金箔上，若金箔中含有百分之三十的銀，試求散射角大于30的相對質(zhì)子數(shù)

14、為多少？要點分析：此題靶為一個復(fù)合材料靶，比例按照質(zhì)量比計算關(guān)鍵找出靶的厚度t.然后計算出金原子數(shù)和銀原子數(shù)，即可積分計算.從書后表可知：ZAu=79，AAu=197，Au=1.888xl04kg/m3；ZAg=47，AAg=108，Ag=1.05x104kg/m3.解：先求金箔的厚度tSSSt=（0.7Au0.3Ag）ti.5mg/cm2（此種處理科學否？）是原子數(shù)之比，還是質(zhì)量之比還是?1.5xlO-21.5x10-2廠tm0.916mm0.7,0.30.7x1.888x104,0.3x1.05x104AuAg這種金箔中所含金原子數(shù)與銀原子數(shù)分別為AtAuAAutaNAAAg再計算質(zhì)子被金

15、原子與銀原子散射到30范圍內(nèi)的相對數(shù)目被金原子散射的相對數(shù)目為:tT兀Z2Z21.442I11.AA2I2-sm4auIsin2-2I2180二貶AuN1申a22Ksin9d0nt-301630式中，N為入射質(zhì)子總數(shù)，dNAu為被金原子散射到30范圍內(nèi)的質(zhì)子數(shù)同理可得質(zhì)子被銀原子散射的相對數(shù)目為：dNJAgAgN1申a22Ksin9d0b=nt-1630sm42Pt兀Z2Z21.442aN1_3AA2Ag180112衛(wèi)PtT兀Z2Z2(1.44x10-5)2PtT兀Z2Z2(1.44x10-5)2一+一二aN,-N一AuAgAA4E2AA4E2AuAg1130180sm2sm2L22被散射的相

16、對質(zhì)子總數(shù)為30將已知數(shù)據(jù)代入：NA=6.02x1023,E=1.0MeV,t=0.916m，ZAu=79，AAu=197，Au=18.88x103kg/m3，ZAg=47，AAg=108，Ag=10.5x103kg/m31.028x10-5結(jié)果討論：此題是一個公式活用問題.只要稍作變換，很容易解決.我們需要這樣靈活運用能力.1-10由加速器產(chǎn)生的能量為1.2MeV、束流為5.0nA的質(zhì)子束，垂直地射到厚為1.5um的金箔上，試求5min內(nèi)被金箔散射到下列角間隔內(nèi)的質(zhì)子數(shù).金的密度(P=1.888X104kg/m3)1596i；2eeo=6o3eeo=io要點分析：解決粒子流強度和入射粒子數(shù)的

17、關(guān)系.注意：第三問，因盧瑟福公式不適用于小角(如0)散射，故可先計算質(zhì)子被散射到大角度范圍內(nèi)的粒子數(shù)，再用總?cè)肷淞Ｗ訑?shù)去減，即為所得.解:設(shè)j為單位時間內(nèi)入射的粒子數(shù)，I為粒子流強度，因I=je，j=I/e，時間T=5min內(nèi)單位面積上入射的質(zhì)子的總數(shù)為N個：N，jT，IT，50 x1-9x5x60，9.36x1012e1.602177x10-19再由盧瑟福公式，單位時間內(nèi)，被一個靶原子沿方向，射到立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為：dN，N16Asin4-2單位時間內(nèi)，被所有靶原子沿方向，射到2d2ddN，NnAt，ntNn40164016Asin4sm422a2da2da22兀sin0d0dn，NnAt，jTnt，jTnt16Asin416sin416sin4222立體角內(nèi)的質(zhì)子數(shù)為式中，n為單位體積的粒子數(shù)，它與密度的關(guān)系為：n，NAA所以，上式可寫為”a2da2dpa22兀sin0d0dn，N0nAt，jT0，jTNt016Asin416sin4AA16sin42221a202兀sin0d002-02jTNta22兀Sin0d0AA02dn，01Ttj二x(-4兀)“汕“16丿2-o1皿x14x6.2x1023x1.5x10-6x9.36x1012x196x103791.44x佇1.2丿4X10-3061xI2-59A160，5.719x109x-(0.228)，1.3x109仍然像