圓錐曲線的第三定義

1、2015.1.23JZX1/111/11圓錐曲線的第三定義及運用成都石室中學(xué)蔣宗汛橢圓和雙曲線的第三定義1.橢圓在橢圓C中,A、B是關(guān)于原點對稱的兩點，P是橢圓上異于A點，若k、kPAPB存在，則有：k=e1=b2PAPB證明：構(gòu)造PAB的PA邊所對的中位線MO,a2k，由點差法結(jié)論：k知此結(jié)論成立。=eb21=a2MOPB2.雙曲線xy22、kPAPB在雙曲線C:1屯入B是關(guān)于原點對稱的兩點,p是橢圓上異于A啲一點，若k2丁2ab存在，則有：KK=e1=2PAPBB2A2證明：只需將橢圓中的B2全部換成B2就能將橢圓結(jié)論轉(zhuǎn)換成雙曲線的結(jié)論2015.1.23JZX與角度有關(guān)的問題例題一：已知橢

2、圓,A、B是橢圓的左右頂點，為橢圓與雙APB=8解答:令知：PBx=，由橢圓第三定義可2tantan=e11=4coscoscoscossinsin1tantan3cos2coscoscossinsin1tantan5點評:其實所謂的雙曲線方程只是一個障眼法，并不影響題目的解答。兩頂點一動點的模型要很快的聯(lián)想到第三定義，那么剩下的任務(wù)就是把題目中的角轉(zhuǎn)化為兩直線的傾斜角，把正余弦轉(zhuǎn)化為正切。題目中的正余弦化正切是三角函數(shù)的常見考點2/11變式1-1:（石室中學(xué)2015級高二下4月18日周末作業(yè)）已知雙曲線C:x2y22015的左右頂點分別為A、B,P為雙曲線右支一點，且PAB=4APB，求PA

3、B=解答:令=0,PABPBA=0，貝【J=5，由雙曲線的第三定義知：點評:與例題1采取同樣的思路轉(zhuǎn)化角，但對于正切轉(zhuǎn)換的要求較高。兩銳角正切乘積為1即表示sina=cosB，cosa=sinB兩角互余，則可解出a的值。當(dāng)然雙曲線的題目較于橢圓和拋物線題目考試概率較小，但既然提到了雙曲線的第三定義，不妨做一做。三、與均值定理有關(guān)的問題xy22例題2:已知A、B是橢圓221ab0長軸的兩個端點，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩ab一點，直線AM、bn的斜率分別為k、k且kkqi20。kk的最小值為1，則橢圓的離心率12若12解答一（第三定義均值）：3/11由題意可作圖如下：2連接MB,由橢圓的第三

4、定義可知：kk=e1=AMBM2aBMkBNb2kk122a2bb13kk2kkl=1=e=1212aa22解答二（特殊值法）：111這道題由于表達(dá)式12min1kk非常對稱，1可直接:猜特殊點求kk時可取最值,E解。=、/irro122則M、N分別為短軸的兩端點。此時：3e=2點評：對于常規(guī)解法，合理利用M、N的對稱關(guān)系是解題的關(guān)鍵，這樣可以利用橢圓的第三定義將兩者斜率的關(guān)系聯(lián)系起來,既構(gòu)造了一正”，又構(gòu)造了二定”,利用均值定理三相等即可用a、示出最值1。當(dāng)然將k、k前的系數(shù)改為不相等的兩個數(shù)，就不能利用特殊值法猜答案了，但常規(guī)解1法相同，即變式2-1。2xy變式2-1:已知A、B是橢圓22

5、長軸的兩個端點，M、N是橢圓上關(guān)于x軸對稱的221ab0ab4/114/11兩點，直線AM、bn的斜率分別為k、k，且kk2。若2k22k的最小值為1,則橢圓的離1212心率.解答：2015.1.23JZX22015.1.23JZX222連接mb,由橢圓的第三定義可知：kk=e，而kk1k2=AM2BMBMBN4b4kk=12ab=115e=變式2-2:已知A、B是橢圓長軸的兩個端點,若橢圓上存在則橢圓的離心率的取值范圍為解答一（正切均值）：AQB令Q在x軸上方，則直線QA的傾斜角為0,，直線QB的傾斜角為Atantan1tantan由橢圓的第三定義：tantantantanAQBtan，則t

6、antantantantantantan2a5/115/11b2b22tan22ab乙atan=a=bbab一2r22211aa226而tanx在7單增，則Q為上頂點時22AQB，所以此時AQB,故e,1帶入可得：1tantanb21ab21a2b（取等條件:tan，即q為上頂點）a2max解答二（極限法）當(dāng)Q趨近于A、B兩點時，AQB（此時Q點所在的橢圓弧趨近于以AB為直徑的圓的圓2AQB弧，AQB相當(dāng)于直徑所對的圓周角）；當(dāng)）在A、B間運動時2（Q在以AB為直徑的圓內(nèi)部，AQB直徑所對的圓周角=90），由橢圓的對稱性可猜測當(dāng)Q為短軸端點時2015.1.23JZX2015.1.23JZX時，

7、橢圓趨近于圓，圓的直徑所對的圓周角永遠(yuǎn)為90不滿足；當(dāng)橢圓趨于線段e1）時，6，滿足。故AQB，。當(dāng)然這些只需要在頭腦中一想而過，簡潔而有邏輯e1max3AQBmax2由于橢圓上存在Q,使AQB3取臨界情況，即Q為短軸端點時AQBa此時b30)2AQBmax36e；當(dāng)橢圓趨于飽滿幺（3點評：這道題可以增加對于圓周角的理解，在用極限法討論當(dāng)Q趨近于a、b兩點時，AQB2時能會顛覆AQB啲認(rèn)知，當(dāng)然這肯定是錯的，結(jié)合常規(guī)解法可以看出此時是角最小的情況，而不是角最大的情況。要搞清楚，不然會被弄暈的。對于常規(guī)解法選擇正切表示角的大小的原因有二：與第三定義發(fā)生聯(lián)系tanx在1單增便于利用tanx的大小比

8、較角度的大小。四、總結(jié)歸納上述部分題目的常規(guī)解法較復(fù)雜，但做題時一定要能猜答案，而且要猜得有理由。對于均值不等式，注意取等條件是三相等”，即相等時取最值。這可以幫助猜測表達(dá)形式是高度對稱的式子的最值，如：例題2極限法可以刻畫出單調(diào)變化的某一變量的端點值，如：變式2-2中P在橢圓上滑動，角度的變化定是光滑的（無突變，連續(xù)），所以只需考慮邊界值2015.1.23JZX4max做幾何的選填題時，有時利用圓周角定理可以很快的比較角的大小關(guān)系，注意學(xué)會恰當(dāng)運用，如：變式2-2。常以正切值刻畫角度大小。在做綜合性較大的題目時要聯(lián)系各種知識，靈活轉(zhuǎn)化，以最巧妙的方法致勝。6/117.8.五、鏈接針對上文提到

9、的“圓周角的妙用”與橢圓中另一類奇妙的均值進(jìn)行拓展補充，各附例題。例題3：在平面直角坐標(biāo)系xoy中，給定兩點M1,2和N1,4，點p在x軸上移動，當(dāng)MPN取最大值時，點p的橫坐標(biāo)為.解答一（正切均值）：已知：M1,2、N1,4，l:yx3與x軸交于03,0PMN24令Pt,0，則:k1t，k1MPN=MPNP當(dāng)t3時，=0當(dāng)tA3k6k2t時，tan=MPNP1kktJ-72MP_NP2t62x22令xt3A0，則（tanA0）tan=11622t7x6x16x62x166xx此時x4，t1,當(dāng)t3k6k2t時，tan=一NP,MP,1kkt72MPNP7/112015.1.23JZX2015

10、.1.23JZXmaxmax2t62x22xt3A0，則tan1=J-16t7x6x16x62x166722xx(tan0)1此時x4tJ7J7tanmax由于0,，且tan在0,上單增，tan0，證明：以與x軸切于P點的圓為例：2當(dāng)半徑r較小時，圓與x軸無交點。當(dāng)半徑稍大一點時，圓與x軸相切，有一交點。當(dāng)半徑更大一點時，圓與x軸有兩交點P、P，此時：根據(jù)圓周角定理:34MPN3MPN，可知：圓與x軸相切時,MQN=MPN42所以：過M、N的圓與x軸切于P、P點時，分別有MPNMPNmax只需比較哪一個更大只需比較哪一個更大8/118/11y（消去y）MPN與MPN12令與x軸相切的圓的圓心為

11、x,y222，則切點Px,0，半徑為x6x70 x7or12x1y2y圓滿足：222x1y4y2015.1.23JZX2015.1.23JZX33比較可知：當(dāng)x=1時，MPN點評:常規(guī)方法依舊是利用正切度量角的大小，但注意用傾斜角表示所求角時要用大角減去小角，才能得到正角；均值時要注意以分子（一次）為新元構(gòu)建均值。用圓周角角的性質(zhì)解答，只要轉(zhuǎn)化為切點,解一個方程組，比較兩個角誰大就行了。（不比較也行，畫圖可知右邊角大于左邊角：弦長相等，半徑越大，弦所對的圓周角越小。）其實兩種解法的難度是一樣，只是一種要寫得多，一種要想得多。變式3-1:若G為Aabc的重心，且AGBG，則sinC的最大值為解答

12、一（余弦定理均值）：G令G0,0AIa,0，B0,b，則由111b1JJ1JyyyABB4a由點間的距離公式：ABbACbBC4b29/119/11bACBC4aba4bABa由余弦定理：cosC=2ACBC24aba4b22222ab222224444abababab22222222ab“5222222由于：ab4aba4bab222015.1.23JZX2015.1.23JZX2015.1.23JZX55cosC4osinC5sinCmax解法二（圓周角定理）1,03sin,3cos題目轉(zhuǎn)化為：A1,0,B1,0,Cx,y滿足：X2y29，求sinC的最大值。目測可知C0,過A1,03時，ABC，下面以C0,3來證明max若C不在C點，令A(yù)C交圓O于Q點。由圓周角定理：ACBAQBACB證得43此時由余弦定理cosC=sinCminmax點評：可以說這道題與例題3有異曲同工之妙，直觀感覺加上圓周角定理可以說是畫幾個圓就解出題了。其實余弦函數(shù)在0,單調(diào)，也可用來度量角的大小。不過更值得一提的是兩種方法以不同的方式，間接地表現(xiàn)了題中點的關(guān)系，設(shè)點的方式值