矩陣?yán)碚?第二講

1、矩陣?yán)碚?第二講蘭州大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院2004年回顧與復(fù)習(xí)矩陣?yán)碚摰膽?yīng)用背景；矩陣、數(shù)域、映射、直積集、代數(shù)運(yùn)算、集合對(duì)運(yùn)算封閉、矩陣運(yùn)算、負(fù)矩陣、零矩陣、方陣、對(duì)角陣、單位陣、轉(zhuǎn)置矩陣、分塊矩陣、分塊矩陣的相等、伴隨矩陣（adjoint matrix, NOT adjacent matrix）、逆矩陣、逆的性質(zhì)、矩陣的秩、秩的性質(zhì)等矩陣運(yùn)算：矩陣加法、矩陣減法、數(shù)乘矩陣、矩陣乘法、方陣的冪線性空間：非空集定義了加法，滿足4條有關(guān)加法的規(guī)律（加法交換群） ；定義了數(shù)乘，滿足4條有關(guān)數(shù)乘的規(guī)律；回顧與復(fù)習(xí)（Continue）線性映射（線性算子、線性變換）同一數(shù)域上的線性空間到線性空間的映射線

2、性泛函線性空間到數(shù)域的映射線性子空間非空子集、加法與數(shù)乘的定義與原空間相同子空間的維數(shù)不超過(guò)其全空間的維數(shù)子空間的維數(shù) = 生成元（列向量）構(gòu)成的矩陣（向量組）的秩回顧與復(fù)習(xí)（Continue）單獨(dú)一個(gè)就已經(jīng)線性相關(guān)了，所以規(guī)定零子空間的維數(shù)為0，并且規(guī)定它的基為空集X是線性子空間， ，集合 是子空間，當(dāng) 時(shí)，是由x生成的一維子空間YXZbac回顧與復(fù)習(xí)（Continue）YXZ不相關(guān)回顧與復(fù)習(xí)（Continue）線性方程組解的結(jié)構(gòu)齊次非齊次回顧與復(fù)習(xí)（Continue）方陣的特征值與特征向量特征矩陣回顧與復(fù)習(xí)（Continue）特征多項(xiàng)式特征方程特征值與特征向量（Continue）特征值的代

3、數(shù)重?cái)?shù)若 是 的k重特征值，則稱的代數(shù)重?cái)?shù)為k特征值的幾何重?cái)?shù) 的解空間稱為A的屬于特征值的特征子空間，記為 。特征子空間的維數(shù) 稱為A的特征值的幾何重?cái)?shù)特征值的幾何重?cái)?shù)不超過(guò)它的代數(shù)重?cái)?shù)：若 是 的k重特征值，則特征值與特征向量（Continue）矩陣的多項(xiàng)式設(shè) f() 是 的多項(xiàng)式 ：運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)對(duì) ，定義 為矩陣A的多項(xiàng)式 ：運(yùn)算結(jié)果是一個(gè) 上的矩陣矩陣的多項(xiàng)式的特征值和特征向量若 是 的特征值， 是A的屬于的特征向量，那么x也是 的屬于特征值 的特征向量：(對(duì)A的任一特征值）特征值與特征向量（Continue）證明:由方陣的冪的定義， 有那么如果特征值與特征向量（Continue）

4、屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量組，組合起來(lái)仍線性無(wú)關(guān)設(shè) 是 的互異特征值， 是分別與 對(duì)應(yīng)的 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則線性無(wú)關(guān)推論：屬于不同特征值的特征向量必線性無(wú)關(guān)證明：對(duì)特征值的個(gè)數(shù)用歸納法。當(dāng)k = 1時(shí)，顯然成立。設(shè) 時(shí)成立，需要證明k = m時(shí)也成立。特征值與特征向量（Continue）為此，設(shè)有F上的常數(shù)：使得：用 乘以上式兩邊：用A左乘（1）式兩端，并注意到：又有(2)式與(3)式相減(1)(2)(3)特征值與特征向量（Continue）即：又因?yàn)?互異，故：將上式代入(1)式，得即k = m時(shí)，定理也成立的線性無(wú)關(guān)的特征向量特征值與特征向量（Continue）方陣的跡設(shè) ，

5、定義為方陣A的跡定理 有且僅有n個(gè)特征值，且若 是A的n個(gè)特征值，則 的特征值是 ，而 的特征值為特征值與特征向量（Continue）證明對(duì)A的階數(shù)用歸納法。A的階數(shù)為1時(shí)， ，定理成立。設(shè)A的階數(shù)為n 1時(shí)定理成立，需要證明A的階數(shù)為n時(shí)，定理也成立。由行列式的性質(zhì)特征值與特征向量（Continue）特征值與特征向量（Continue）特征值與特征向量（Continue）上式中再令上式中 0，則又因?yàn)?是 的n個(gè)根，所以比較上式中 的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)：特征值與特征向量（Continue）由上式可以立即得到兩條推論： 滿秩 A的所有的特征值都異于零對(duì) ，0是A的特征值證明 也是 的特征值證明 是

6、的特征值：特征值與特征向量（Continue）用數(shù)學(xué)歸納法證明方陣乘積的跡定理設(shè) ，則證明：設(shè) ， ，則AB的對(duì)角線元素為而BA的對(duì)角線元素為于是改變求和順序 方陣的相似方陣相似的定義設(shè) ，若 使得則稱A與B相似，記作相似矩陣的性質(zhì)自反性對(duì)稱性傳遞性 ，保秩性行列式相等矩陣函數(shù)相似特征多項(xiàng)式、特征值相同方陣的相似（Continue）設(shè)因?yàn)?，所以 使得那么方陣的對(duì)角化方陣可對(duì)角化的定義對(duì) ，若 ，則稱方陣A可對(duì)角化問(wèn)題：如何判定一個(gè)方陣可對(duì)角化？可對(duì)角化的方陣如何實(shí)現(xiàn)可對(duì)角化？方陣可對(duì)角化的充要條件 可對(duì)角化 A有n個(gè)特征值，且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)證明：（充分性）設(shè) 有n個(gè)特征值

7、：方陣的對(duì)角化方陣可對(duì)角化的定義對(duì) ，若 ，則稱方陣A可對(duì)角化問(wèn)題：如何判定一個(gè)方陣可對(duì)角化？可對(duì)角化的方陣如何實(shí)現(xiàn)可對(duì)角化？方陣可對(duì)角化的充要條件 可對(duì)角化 A有n個(gè)特征值，且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)，即： 方陣的對(duì)角化（Continue）可對(duì)角化方陣的對(duì)角化方法由 的基構(gòu)成的矩陣可使證明：先證充分性。設(shè) 有n個(gè)特征值：且方陣的對(duì)角化（Continue）為 的基，因 互異，根據(jù)“屬于不同特征值的線性無(wú)關(guān)的特征向量組，組合起來(lái)仍線性無(wú)關(guān)”，A的n個(gè)特征向量線性無(wú)關(guān)，因此注意到于是方陣的對(duì)角化（Continue）于是r1列r1行方陣的對(duì)角化（Continue）再證必要性，即 可對(duì)角化

8、A有n個(gè)特征值且每個(gè)特征值的幾何重?cái)?shù)等于其代數(shù)重?cái)?shù)。不失一般性，設(shè)A相似于F上的一個(gè)n階對(duì)角陣根據(jù)相似的定義， 使得上式右邊的對(duì)角陣以 為其 重特征值，“相似方陣有相同的特征值” ，所以，A有n個(gè)特征值：下證 方陣的對(duì)角化（Continue）對(duì)T的n個(gè)列向量進(jìn)行如下編號(hào)：那么比較上式兩邊矩陣的列向量，可得方陣的對(duì)角化（Continue）由線性無(wú)關(guān)?！耙唤M向量線性無(wú)關(guān)，則其一部分也線性無(wú)關(guān)”也線性無(wú)關(guān)。 “線性無(wú)關(guān)向量的最大個(gè)數(shù)不超過(guò)其所在空間的維數(shù)”又由“特征值的幾何重?cái)?shù)不超過(guò)它的代數(shù)重?cái)?shù)”綜合上兩式推論1：若 有n個(gè)互異的特征值，則A可對(duì)角化推論2：若 的特征值都是單重的，則A可對(duì)角化方陣的

9、對(duì)角化（Continue）例：下列矩陣能否對(duì)角化？對(duì)可對(duì)角化的矩陣，求其相似變換矩陣和相應(yīng)的對(duì)角陣方陣的對(duì)角化（Continue）方陣的對(duì)角化（Continue）方陣的對(duì)角化（Continue）此矩陣不能對(duì)角化！方陣的對(duì)角化（Continue）對(duì)角陣的應(yīng)用：乘積、冪、求逆和求特征值都比較簡(jiǎn)潔求冪： ，求方陣的對(duì)角化（Continue）求解線性微分方程組：寫成矩陣形式： 令方陣的對(duì)角化（Continue）那么Jordan標(biāo)準(zhǔn)形方陣化為對(duì)角形是有條件的退一步，如果一個(gè)方陣不能被化為對(duì)角形，能否降低要求，化為一個(gè)分塊對(duì)角形？在實(shí)數(shù)域內(nèi)，此問(wèn)題的答案是肯定的，分塊對(duì)角形就是所謂的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。定

10、義Jordan塊稱形如的矩陣為 階Jordan塊Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（Continue）Jordan矩陣由若干個(gè)Jordan塊構(gòu)成的分塊對(duì)角矩陣為Jordan矩陣Jordan塊與對(duì)角形的差別僅在其上對(duì)角線：1：Jordan; 0：Diagonal有的教科書上定義下對(duì)角線全為1的、其余元素為0的下三角陣為Jordan塊，它們之間是轉(zhuǎn)置關(guān)系Jordan塊本身就是一個(gè)分塊數(shù)為1的Jordan矩陣對(duì)角陣是一個(gè)特殊的Jordan矩陣：其每個(gè)Jordan塊都是1階的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（Continue）注意：Jordan矩陣上對(duì)角線并不全是1Jordan標(biāo)準(zhǔn)形（Continue）方陣A與Jordan矩陣相似的基本定理設(shè) ，則A與一個(gè)Jordan矩陣