高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)三

1、2009年高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破專題輔導(dǎo)三難點(diǎn)3運(yùn)用向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題.難點(diǎn)磁場()三角形 ABC 中，A(5, 1)、B(-1, 7)、C(1 , 2),求：(1)BC 邊上的中線AM的長；(2)/ CAB的平分線 AD的長；(3)cosABC的值.案例探究例1如圖，已知平行六面體 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且/ CCB=/CCD=/BCD.(1)求證：C1CXBD.CD ，,(2)當(dāng) 的值為多少時(shí)，能使AC，平面C1BD?請

2、給出證CC1明.命題意圖：本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力.知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單 .錯(cuò)解分析：本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系技巧與方法：利用a, bu a b=0來證明兩直線垂直， 只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù) 量積為零即可.(1)證明：設(shè) CD=a, CB=b,CC1 =c,依題意，|a|二|b|, CD、CB、CC1中兩兩所成夾角為 0 ,于是 BD =CD -DB =a b,

3、CC1 BD =c(a b)= c a c - b=|c| |cos0 |c| - |b|cos0 =0, .C1CXBD.(2)解：若使 AiC,平面 CiBD,只須證 AiCXBD, AiC DCi,由 CA C1D =(CA AA1) (CD -CC1)=(a+ b+ c) (ac)=|a|2+ a-b bc |c|2=|a|2|c|2+|b| -|a|cos0|b|c|- cos 0 =0,得當(dāng) |a|二|c|時(shí)，AiCXDCi,同理可證當(dāng) |a|二|c|時(shí),AiC BD,CD=1時(shí)，AC平面CiBD.CC1例2如圖，直三棱柱 ABC-AiBiCi,底面 ABC中，CA=CB=1 ,

4、/BCA=90 , AAi=2, M、N 分別是 A1B1、AiA 的中 點(diǎn).求BN的長;(2)求 cos 的值;(3)求證：AiBCiM. TOC o 1-5 h z 命題意圖：本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題.屬級題目知識依托：解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O xyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo).錯(cuò)解分析：本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo)技巧與方法：可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo).(1)解：如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O xyz.依題意得：B(0, 1, 0), N

5、(1, 0, 1)|BN |= . (1 _0)2 (0 _1)2 (1 _0)2 = 3 .(2)解:依題意得：A1(1, 0, 2), C(0, 0, 0), B1(0, 1, 2). BA1 =(1,-1,2),CB1 =(0 , 1, 2)BA CB =1 X 0+(1)X 1+2X 2=3函 |= .(1 -0)2 (0 -1)2 (2 -0)2 61cBi |= (0 -0)2 (1 一0)2 (2-0)2 = ,5 TOC o 1-5 h z 京BA1 CB；330.cos : BA1, CB1 =：|BC1 | |CB1 | 一 6 飛5101(3)證明：依題意得：C1(0,

6、0, 2), M(- -,2)2-1 1C1M=(一, ,0),AB=(-1,1,-2)2 2- 11 AB C1M =(-1) 1 1 1 (-2) 0=0,. A1B _ C1M ,22A1BXC1M.錦囊妙計(jì).解決關(guān)于向量問題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地 進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識.二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中.常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題.用空間向量解決立體幾何問

7、題一般可按以下過程進(jìn)行思考：(1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題 TOC o 1-5 h z .()設(shè) A、B、C、D 四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(一1, 0), (0, 2), (4, 3), (3, 1),則四 邊形ABCD為()A.正方形B.矩形C.菱形D.平行四邊形15一 ,.()已知

8、 ABC 中，AB = a, AC = b, a - b0,字abc=,|a|=3,|b|=5則 a 與 b4的夾角是()A.30B.150C.150D.30 或 150二、填空題3d十)將二次函數(shù) y=x2的圖象按向量 a平移后得到的圖象與一次函數(shù)y=2x- 5的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)(3, 1),則向量a=.( )等腰 ABC和等腰RtABD有公共的底邊 AB,它們所在的平面成 60角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,貝U CD=.三、解答題.(jkkkkk )如圖，在 ABC 中，設(shè) AB=a, AC = b, AP =c,AD = a a,(0 1), AE =科 b(0 科 1)

9、,試用向量 a, b 表示 c.(* )正三棱柱 ABCAiBiCi的底面邊長為 a,側(cè)棱長為2 a.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出A、B、Ai、Ci的坐標(biāo);(2)求ACi與側(cè)面ABBiAi所成的角.()已知兩點(diǎn) M(1, 0), N(1, 0),且點(diǎn) P 使 MP MN,PM PN,NM NP 成 公差小于零的等差數(shù)列.(1)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線？(2)若點(diǎn)P坐標(biāo)為(x0,y0),Q為PM.與PN的夾角，求tan。.&.()已知E、F、G、H分別是空間四邊形 ABCD的邊AB、BC、CD、DA的 .(1)用向量法證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；(2)用向量法證明：BD /平面EFGH ;(3)設(shè)M是E

10、G和FH的交點(diǎn)，求證：對空間任一點(diǎn) 。，有OM =(OA+OB+OC+OD).4參考答案難點(diǎn)磁場1 17 2 99解：(1)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 Xm=0;yM =一,，M(0,一)2222j.|AMt(50)2+(1 告2 =等(2)|AB|=.(5 1)2 (-1 -7)2 =10,|AC |= (5-1)2 (-1 -2)2 =5D點(diǎn)分BC的比為2.-1 2 117 2 2 11xd= -, y d =二一 TOC o 1-5 h z 1 231 231 211214 -|AD|=.(5- )(-1- ) =.2.勺 333/ABC 是 BA 與 BC 的夾角，而 BA =(6 , 8),

11、BC =(2 , -5).BA BC.cosABC =|BA|BC|6 2 (-8) (-5)；62 (T)222 (-5)252_ 262910.29145殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練、1.解析：AB =(1 , 2), DC =(1,2),，AB = DC , . . aB / DC ,又線段 AB 與線段DC無公共點(diǎn)，.AB / DC且|AB|=|DC|, .ABCD是平行四邊形，又| aB|= J5 , AC =(5 ,3), |AC|=d34 ,|AB|w|AC,ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4 , 1),1 4+2 1=60,/. AB不垂直于 BC , .ABCD也不是矩形，故

12、選 D.15 12.解析： =1 , 3 , 5sin a 得 sin a1 1 .=,貝U = =30 或 a =150 .2答案：D42又 a bv 0,.,. a =150答案：C二、3.(2,0) 4.13 cm三、5.解：: BP 與 BE共線，BP=m BE=m(AE - AB)=m( b- a),AP = AB+ BP = a+m(科 b a)=(1 m)a+m 科 b又 CP 與 CD 共線，CP=nCD=n( AD AC)=n(入 ab),AP = AC + CP = b+n(入 a b)=n 入 a+(1 n)b由，得(1 m) a +mb= n na+(1 n)b.a與b

13、不共線，1 m = 7a即/ =1 -n, n m 1 = 0n Jm -1=0解方程組得:m=l-,n1 一11代入式得 c=(1 m)a+m科b=1 . 1 港入(1 w )a+科(1 入)b.6.解:(1)以點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)且與平面A為坐標(biāo)原點(diǎn)O,以AB所在直線為 Oy軸，以AA1所在直線為 Oz軸，以ABB1Al垂直的直線為由已知，得 A(0, 0, 0), B(0, a,0)Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系.3 a ，ai(0,0, v2 a),C1(一a,2, v2 a).(2)取AiBi的中點(diǎn)M,于是有 M(0, V2 a),連 AM, MC i,有 MC1 =(a,0,0),且的=(0,

14、a,0) , AA1=(0,0 2 a)由于MC1 AB =0, MC1 AA1 =0,所以MC面ABB1A1,，AC1與AM所成的角就是ACi與側(cè)面ABBiAi所成的角. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark31 o Current Document AC =(-a,a, ,2a),AM =(0，亙，.2a), 1222 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document a2 29ACi AM = 0 , 2a = -a HYPERLINK l bookmark9 o Current Document 44而 | AC1 |

15、=3a2 1a2 2a= J3a,| AM | 二2a da, 42.3所以八5與AM所成的角，即 AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角為30 .7.解：(1)設(shè) P(x,y)，由 M( 1, 0), N(1 , 0)得，PM =- MP =( -1-x,-y) , PN = NP=(1 -x,-y), MN =- NM =(2,0),，MP MN =2(1 +x), PM PN =x2+y21,NM NP =2(1是，MP MN,PM PN, NM NP是公差小于零的等差數(shù)列，等價(jià)于x2 y = 3x 0卜2 +y2-1=；2(1+x)+2(1x)即, (2(1 -x) -2(1 +x) 0所以

16、，點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心， J3為半徑的右半圓.(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0) TOC o 1-5 h z PMPN=X02y02-1 =2,|PM | |PN| 二 J(1x)2v；, (1 -X0)2v：4 (4 2xo)(4 -2xo) =2,4-X02PM PN 1COS1=：-|PM | PN4-X02一 10 ： x0 _3,.:二 cost1 1,0 t1 :二一, 232 .I. sin 2.sin 1 - . 1 -cos 1 - 1 2 ,. tan =： = 3 x0 =| y0 |4 - x0cos?一一 一. 1 8.證明：(1)連結(jié) BG,貝U EG =EB + BG = EB+3(BC + BD) = EB + BF +EH = EF +EH由共面向量定理的推論知：E、F、G、H四點(diǎn)共面，(其中1 BD = EH )21 一 1 1 一 一 1 TOC o 1-5 h z (2)因?yàn)?EH =AH -AE = AD AB =(AD - AB) = BD . 2222所以 EH / B