高考數(shù)學(xué)壓軸專題2020-2021備戰(zhàn)高考不等式全集匯編附答案

1、新高考數(shù)學(xué)不等式練習(xí)題一、選擇題.已知實(shí)數(shù)x 0,y 0,則2x 2y 4”是xy 1”的（）A.充要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式和充分，必要條件的判斷方法判斷【詳解】Q 2x 2y 2立丁 且 2x 2y 4 ,2y/2rT 4/2 2 x y 2 ,等號成立的條件是x y ,又Q x y 2 xy , x 0, y 0 xy 2 xy 1 ,等號成立的條件是x y ,2x 2y 4 xy 1 ,1反過來，當(dāng)x 2, y 時(shí)，此時(shí)xy 1,但2x 2y 4 ,不成立，32x 2y 4”是xy 1”的充分不必要條件.故

2、選:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式和充分非必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題型x 3y 6 0,2 .若x, y滿足約束條件x y 6 0,則z x y的最小值為（）y 1,4B. 0C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解. 【詳解】x 3y 6 0由題意，畫出約束條件x y 6 0所表示的可行域，如圖所示，y 1目標(biāo)函數(shù)z x y,可化為直線y x z當(dāng)直線y x z經(jīng)過a時(shí)，z取得最小值,x 3y 6 0又由，解得A( 3,1),y 1所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為zmin3 14.故選：D.【點(diǎn)睛】3,關(guān)于x的不等式ax b 0的

3、解集是 解集是()A. (, 1)U(3,)C (1,3) 【答案】A 【解析】 【分析】 b 由ax b 0的解集，可知a 0及一 a而可求出 ax b x 30的解集.【詳解】由ax b 0的解集為(1, +?)，可知a 令 ax b x 30,解得 x11 ,因?yàn)閍 0,所以ax b x 30的本題主要考查簡單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題.其中解答中正確畫出不等式組表示 的可行域，利用 畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了 數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力.(1,),則關(guān)于x的不等式(ax b)(x 3) 0的( 1,3)D. (,1)U(3,)1 ,進(jìn)而可求出

4、方程ax b x 30的解，從b0且一1 ,ax23 ,解集為 ，1 U 3,故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力與推理能 力，屬于基礎(chǔ)題.x 2y 3 04,已知x,y滿足約束條件 2x 3y 4 0 ,若目標(biāo)函數(shù)z mx ny 2的最大值為1y 0 TOC o 1-5 h z 1(其中m 0,n 0),則一一的最小值為()2m nc3A. 3B. 1C. 2D.-2【答案】D【解析】【分析】畫出可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù) z的最大值求得 m,n的關(guān)系式m 2n 3,再利用基本不等式 11 求倚的取小值.2m n【詳解】畫出可行域如下圖所示，由于

5、m 0,n 0 ,所以基準(zhǔn)直線 mx ny 0的斜率為負(fù)數(shù)，故目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A 1,2處取得最大值，即m 2n 2 1 ,所以 m 2n 3._1 1 1 A 12m n 3 2m n,當(dāng)且僅當(dāng) m,m n 1時(shí)等號成立，所以 m n本小題主要考查根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)，考查基本不等式求最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù) 學(xué)思想方法，屬于中檔題. TOC o 1-5 h z c15nm15nm1 93m2n一一一一-2,32mn32.mn32211 ,一，3的取小值為一.2m n25.已知點(diǎn)p, Q分別是拋物線x2 8y和圓x2 (y 2)2 1上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A(0,4),則| PA |2 一 .1PAL的

6、最小值為（） |PQ|1042.3 24.2 1PQ設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)X0,y。，用y。表示出PA；根據(jù)圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的范圍，求得的最大值，再利用均值不等式求得目標(biāo)式的最值【詳解】設(shè)點(diǎn)P xo,yo ,因?yàn)辄c(diǎn)p在拋物線上，所以2X。yo因?yàn)辄c(diǎn) A(0,4)，則 |PA |2 X；y。4 2y。2y。 16.又知點(diǎn)Q在圓x2 （y 2）2 1上，圓心為拋物線的焦點(diǎn)F(0,2),妁|PQ|的值最小，則|PQ|的值應(yīng)最大，即PQmaxPF1 V。 3.所以出|PQ|y 16y032y。 36 y。 325y03y。 325V。V。25V。當(dāng)且僅當(dāng)y02時(shí)等號成立.一| PA |2，一所以）L的最小值

7、為4.|PQ|故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的求解，以及圓上一點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值，利用均值不 等式求最值，屬綜合中檔題.6.已知函數(shù)f x log2 JX21 x ,若對任意的正數(shù) a,b ,滿足3 1 f a f 3b 10,則一一的取小值為（）a bA. 6B. 8C. 12D. 24【答案】C【解析】【分析】先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性化簡方程得a 3b 1 ,最后根據(jù)基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)镴?1x Vx2 x x x 0,所以定義域?yàn)镽,，1,因?yàn)閒 x log 2 f o ，所以f x為減函數(shù) x2 1 x因?yàn)閒 x110g 2 | 2 ，

8、 f x,x 1 x10g2 Jx2 1 x，所以f x f x , f x為奇函數(shù),因?yàn)閒 a f 3b 10,所以f a1 3b ,即 a 3ba 3b因?yàn)?9b a 219b a 6, a b a b一,3 1 一1.1所以一 一12 （當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)，等號成立），選 C.a b26本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性以及基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，屬中檔題7 .已知 ，均為銳角，且滿足sinsin2cos ,則的最大值為（）A.12B.C.一4D.一3利用兩角差的正弦公式，將已知等式化簡得到tan 3tan ,由，均為銳角，則的最大值，只需求出tan（）的最大值，利用兩角差的正切

9、公式，將tan（ ）表示為tan的關(guān)系式，結(jié)合基本不等式，即可求解sin由2cos 整理得 sin2cos sinsin即 sin coscos sin2cossin ,化簡得sincos 3cossin ,貝U tan3tan ,tan所以tantan2tan21 tantan1 3tan213tantan又因?yàn)闉殇J角，所以tan 0 ,2根據(jù)基本不等式13tan tan當(dāng)且僅當(dāng)tan3時(shí)等號成立,3因?yàn)?且函數(shù)y tanx在區(qū)間一，一 上單調(diào)遞增,2 22 2則的最大值為-.6故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角差最值，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值是解題的關(guān)鍵，注意應(yīng)用三角恒等變換、基本不等式求最值，考

10、查計(jì)算求解能力，屬于中檔題8.已知不等式 x2 ax 4 0對于任意的x 1,3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. （,5B. 5,）C （,4D. 4,）【答案】C【解析】4若不等式 x2 ax 4 0對于任意的x 1,3恒成立，則a x 對于任意的x 1,3恒x4成立，,當(dāng)x 1,3時(shí)，x 4,5 , a 4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，4,故選 xC .【方法點(diǎn)晴】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題.不等式恒成立問題常見方法：分離參數(shù)a f x恒成立（a f x max即可）或af xiiiax恒成立（a f x min即可）；數(shù)形Z合（y f x圖象在y g

11、x上方即可）； 討論最值f x min0或f x max 0恒成立； 討論參數(shù).本題是利用方法 求得a的取值范圍的.x9 .若x, y滿足約束條件 xx圍是（）A. 1,）B.（【答案】A【解析】y 4 0,2 0, 且z ax y的最大值為2a 6 ,則a的取值范 y 2 0,1C. ( 1,)D. (,1)【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最值，判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域，如圖所示.因?yàn)閦 ax y的最大值為2a 6 ,所以z ax y在點(diǎn)A(2,6)處取得最大值，則a 1,即a 1.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)

12、合是解決本題的關(guān)鍵.10.拋物線F三二的焦點(diǎn)為F ,準(zhǔn)線為l, A, B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿2 ，一 ，一，足AFB 設(shè)線段AB的中點(diǎn)3M在l上的投影為MN的最大值是()ABA J3A4【答案】B【解析】【分析】【詳解】B.C.2試題分析：設(shè)A,B在直線l上的投影分別是A,B1，則是AB中點(diǎn)，所以MN二(AABBi )，則MNAF AA , BF 1 |aa| |bb|AFBFAB|AB2 ABABF中AB(AF(|af|ABAFBF )2BF )22BFAFAF BF cosBF (AFAFBFABAFBFAF BFBF )2AFBF)2 ；(AF4BF )2,所以2,3,所以3MNA

13、B考點(diǎn)：拋物線的性質(zhì).【名師點(diǎn)晴】在直線與拋物線的位置關(guān)系問題中，涉及到拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，焦點(diǎn)弦長，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線（或與準(zhǔn)線平行的直線）的距離時(shí)，常?？紤]用拋物線的定義進(jìn)行問題的 轉(zhuǎn)化.象本題弦 AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離首先等于 A,B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線距離之和的一半, 然后轉(zhuǎn)化為A,B兩點(diǎn)到焦點(diǎn)F的距離，從而與弦長 AB之間可通過余弦定理建立關(guān)系.11 .在三角形ABC中，給出命題P： ab c2”，命題q：C ，則p是4的（）3B.必要不充分條件A.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由余弦定理將c2化為a2 b2 2abcosC ,整理后利

14、用基本不等式求得 1 2cosc 2, 求出C范圍，即可判斷充分性，取 a 4, b 7, c 6,則可判斷必要性不成立，兩者結(jié)合可得正確的選項(xiàng).【詳解】充分性：由余弦定理，c2 a2 b2 2abcosC ,所以 ab c2,即 ab a2 b2 2abcosC ,.2整理得，1 2cosC a, ab由基本不等式，a1ab當(dāng)且僅當(dāng)a b時(shí)等號成立,1_此時(shí)，1 2cosC 2,即 cosC 一,解得 C , 23充分性得證；必要性：取a 4, b 7, c6,則cosC16 49 36 29 12 4 756 2故C ,但ab 28 c2,故C 推不出ab c2.3故必要性不成立；故p是q

15、的充分不必要條件.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查充分必要條件的判斷、余弦定理的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用，考查學(xué)生分析 轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.x y 2,.若變量x, y滿足2x 3y 9,則x2+y2的最大值是x 0,A. 4B. 9C. 10D. 12【答案】C【解析】試題分析：畫出可行域如圖所示，點(diǎn)A (3,1)到原點(diǎn)距離最大，所以,22、一(x y )max 10 ,選 C.【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，簡單線性規(guī)劃問題是不等式中的基本問題，往往圍繞目標(biāo)函數(shù)最值的確定，涉及直線的斜 率、兩點(diǎn)間的距離等，考查考生的繪圖、用圖能

16、力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能 力.1_. ,.已知函數(shù)f(x) - mcos2x (m 2)sin x,其中1 m 2,右函數(shù)f x的最大值 2記為g m ,則g m的最小值為()A.1B. 1C.s/3D. V3 1【答案】D【解析】【分析】, 、, 2,. m .f (x) msin x (m 2)sin x ，令 sin x t 1,1,則,2 ，m,my mt(m 2)t 一 ,結(jié)合 122 m2 (m 2)2y 1 1y tm 24m2m 2可得1jL m 1 ,再利用基本不等式即可得到答案m由已知，f （x）15 m(12、2sin x)2m(m 2)sin x msin

17、x (m 2)sin x 令 sinx t 1,1,則 ymt2(m 2)t m ,因?yàn)?1 m 2 ,2 2 m 111所以對稱軸為t 2m1 0,1,所以2mm 22g m yt2m22) 3m 112JFI1屈1 當(dāng)且僅當(dāng)m 組時(shí)，等號成立.3故選：D【點(diǎn)睛】本題考查換元法求正弦型函數(shù)的最值問題，涉及到二次函數(shù)的最值、基本不等式的應(yīng)用, 考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題.14.若a、b均為實(shí)數(shù)，則 ab a b0”是 a b 0”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過列舉，和推理證明可以推出充要性.【詳解】若

18、ab a b 0 中，取 a= 1, b=2,則推不出a b0;若a b0 ,則a b0,則可得出ab a b 0 ； 故ab a b 0”是b0”的必要不充分條件，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查充分必要不條件的定義以及不等式的性質(zhì)，可通過代入特殊值解決.15.若均不為1的實(shí)數(shù)a、b滿足a b 0,且ab 1 ,則（）A. log a 3 logb3B. 3a 3b 6C. 3abi 3ab D. ab ba【答案】B【解析】【分析】舉反例說明A,C,D不成立，根據(jù)基本不等式證明B成立.【詳解】當(dāng) a 9,b 3時(shí) loga3 10gb3；當(dāng) a 2,b 1 時(shí) 3abi3a b;當(dāng) a 4,b

19、2 時(shí) abba;因?yàn)閍 b 0, ab 1 ,所以3a 3b綜上選B.【點(diǎn)睛】2733r 2/3 2J32 . 6，本題考查比較大小，考查基本分析論證能力，屬基本題16.已知直線y kx 2k 1與直線y值范圍是（）1 一、xx 2的交點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù) k的取2A. k,1 -1B. k 或 k C.6 k 262D.y聯(lián)立ykx 2k 11，可解得交點(diǎn)坐標(biāo)（x,y）,由于直線y kx 2k 1與直線x 22一一 x 0y - x 2的交點(diǎn)位于第一象限，可得，解得即可.y 0【詳解】y kx 2k 1解：聯(lián)立 1,解得y x 22Q直線y kx 2k 1與直線y2 4kx 2k 1，6

20、k 1y 2k 11 八，、-x 2的交點(diǎn)位于第一象限,22 4k -02k 1 i 11,斛得： 一 k 一6k 1 0622k 1故選：D.【點(diǎn)睛】 本題考查兩直線的交點(diǎn)和分式不等式的解法，以及點(diǎn)所在象限的特征.y x.若實(shí)數(shù)x, y滿足不等式組 x y 1 ,則2x y的最小值是（）y 1A. 3C. 0D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再由目標(biāo)函數(shù)z 2x y可得y 2x z,此時(shí)Z為直線在y軸上的截距，根據(jù)條件可求 Z的最小值.【詳解】解：作出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示得陰影部分的ABC,由z 2x y可得y 2x z ,則z為直線在

21、y軸上的截距y x 把直線l:y 2x向上平移到 A時(shí)，z最小，此時(shí)由 可彳# A( 1, 1)y 1-4二本題考查用圖解法解決線性規(guī)劃問題，分析題目的已知條件，找出目標(biāo)函數(shù)中的z的意義是關(guān)鍵，屬于中檔題.一x 一 一2 一 一 .設(shè)集合 M x 0 , N x x 2x 0,則 M N為()x 1A. x 0 x 1 B. x 0 x 1C. x 0 x 2D, x 0 x 2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分式不等式和一元二次不等式的解法，求得集合M x0 x 1, N x|0 x 2,再結(jié)合集合交集的運(yùn)算，即可求解.【詳解】x2由題意，集合 Mx|- 0 x0 x 1, N x x 2x 0 x|0 x 2,所以 M N x0 x 1 .故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的交集的概念及運(yùn)算，其中解答中結(jié)合分式不等式和一元二次不等式的解法，準(zhǔn)確求解集合 A,B是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力.19.已知等差數(shù)列 an的公差d 0,且ai,a3,ai3成等比數(shù)列，若ai1, Sn為數(shù)列 42Sn 6的刖n項(xiàng)和，則的取小值為( )