二元函數(shù)的泰勒公式

1、 10.4.二元函數(shù)的泰勒公式、高階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)z=f(x,y)的兩個(一階)偏導(dǎo)數(shù)|z,|z仍是X與y的二元函數(shù).oxoy若它們存在關(guān)于x和y的偏導(dǎo)數(shù)，即Oz(Oz、OxIOx丿OyIOx丿Oz(Oz、Ox(Oy丿稱它們是二元函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)(函)數(shù).二階偏導(dǎo)數(shù)至多有22個.通常將它們表為：Oz俘表為OxIOx丿O2zOx2Sy或Oxdy丿器或OyOx空或Oy2f(x,y).xxf(x,y).xyf(x,y).yxf(x,y).yy混合偏導(dǎo)數(shù))(混合偏導(dǎo)數(shù))一般地，二元函數(shù)z=f(x,y)的n-1階偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)稱為二元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的n階偏導(dǎo)數(shù)至多有2n個.二元

2、函數(shù)z=f(x,y)的n階偏導(dǎo)數(shù)(x,y)的符號與二階偏導(dǎo)數(shù)類似.例如，符號OnzOxn-kOyk表示二元函數(shù)z=f(x,y)的n階偏導(dǎo)數(shù)，首先對x求n-k階偏導(dǎo)數(shù)，其次接著對y求k階偏導(dǎo)數(shù).二階與二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).類似可定義三元函數(shù)、一般n元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).例1求函數(shù)z=x3y3一3x2y+xy2+3的二階偏導(dǎo)數(shù).解：一=3x2y3一6xy+y2.dx=3x3y2一3x2+2xyQyd2zQx2=6xy3一6y.QyQx=9x2y2-6x+2y.Q2zdxdy=9x2y2一6x+2y.、QxQyQyQx丿=6x3y+2x.Qy2例2.證明：若u=-,r=,j(x一a)2+(

3、y一b)2+(z-c)2,則rQ2uQ2uQ2u+=0.Qx2Qy2Qz2證明：由10.3.例2，有Qu=z一cQzr3Qu=x一aQu=y一bQxr3Qyr3Q2uQx2r3一(xa)3r2Qxr6Qrx-a、Qxr丿r3-(x-a)3r2r同樣，可得Q2u13=+(y一b)2Qy2r3r5Q2u13=一+(z一c)2.Qz2r3r5曰是，學(xué)+學(xué)+字=-+(xa)2+(yb)2+(zc)2Qx2Qy2Qz2r3r5TOC o 1-5 h zr3r3定理1.若函數(shù)f(x,y)在點P(x,y)的鄰域G存在二階混合偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)00 xy與f(x,y)，并且它們在點P(x,y)連續(xù)，則yx00

4、f(x,y)=f(x,y)xy00yx00證明令F(Ax,Ay)=f(x+Ax,y+Ay)-f(x+Ax,y)0000-f(x,y+Ay)-f(x,y),0000令Q(x)二f(x,y+Ay)-f(x,y)對Q(x)在x,x+Ax上應(yīng)用拉格朗日中0000值定理，得F(Ax,Ay)=Q(x+0Ax)Ax01二f(x+0Ax,y+Ay)-f(x+0Ax,y)KxTOC o 1-5 h zx010 x010二f(x+0Ax,y+0Ay)AxAy；xy0102令屮(y)=f(x+Ax,y)-f(x,y).同樣方法可以得到00F(Ax,Ay)=f(x+0Ax,y+0Ax)AxAy于是有yx0304f(x

5、+0Ax,y+0Ay)=f(x+0Ax,y+0Ax)xy0102yx0304令A(yù)xT0,AyT0，取極限得(1)式.例3證明：若z=f(x,y),x=pcos申，y=psin申,則d2fd2fd2f1d2f1芳+=+.Qx2dy2Qp2p2Qq2pQpcfQfQxQfQyQfQf.證明：丄=+=cosq+SinqQpQxQpQyQpQxQyQf_QfQx+QfQyQqQxQqQyQqQxpsinq+fQypcosq.Qp2Qf(Qf)Qq2QfQf_Qf(QqLQqJQql-生psinq+QfpcosJQxQy丿cosq+丄sinqQp(QxQy竺cos2q+竺sinqcosq+竺sinqco

6、sq+竺sin2q.Qx2QxQyQyQxQy2也p2sin2q-竺p2sinqcosq-fpcosqQx2QxQyQx (7) 竺p2sinpcos也p2cos2堂psin卩TOC o 1-5 h zdydxdy2dy于是，+丄+f二(COS2p+sin2p)+f(sin2p+cos2p)dp2p2dp2pdpdx2dy2dfcospdfsinpdfcospdfsinp+dxpdypdxpdypdx2dy2d2fd2fd2fd2fdf+=+.dx2dy2dp2p2dp2pdp說明：定理1的結(jié)果可推廣到n元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)上去例如，三元函數(shù)f(x,y,z)關(guān)于x,y,z的三階偏導(dǎo)數(shù)按照不同

7、的順序共有六個:d3fd3fdxdydzdydxdzd3fd3fd3fd3f555dydzdxdxdzdydzdxdydzdydx若它們在點(x,y,z)都連續(xù)，則它們相等.若二元函數(shù)f(x,y)所有的混合高階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)，則偏導(dǎo)數(shù)(亦稱一階偏導(dǎo)數(shù))有二個，二階偏導(dǎo)數(shù)只有三個(f=f),xyyx三階偏導(dǎo)數(shù)只有四個一般情況，n階偏導(dǎo)數(shù)只有n+1個.二、二元函數(shù)的泰勒公式討論二元函數(shù)泰勒公式的方法是：作一個輔助函數(shù)，將二元函數(shù)化為一元函數(shù).應(yīng)用已知的一元函數(shù)的泰勒公式和復(fù)合函數(shù)的微分法得到二元函數(shù)的泰勒公式.為了將二元函數(shù)f(x,y)在點Q(a+h,b+k)的函數(shù)值f(a+h,b+k)在點P(a,

8、b)展成泰勒公式，作輔助函數(shù)p(t)=f(a+ht,b+kt),0t1,即p(t)=f(x,y),x=a+ht,y=b+kt,0t1.顯然,t=0,p(0)=f(a,b);t=1,p(1)=f(a+h,b+k).于是,函數(shù)f(a+h,b+k)在點P(a,b)展成的泰勒公式就是一元函數(shù)p(t)在點0的泰勒公式(即麥克勞林公式)在t=1的值.定理2.若函數(shù)f(x,y)在點P(a,b)的鄰域G存在n+1階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則VQ(a+h,b+k)eG，有1QQ、11QQ)h+kf(a,b)+h+k、QxQy丿2!、QxQy丿2f(a,b)+f(a+h,b+k)=f(a,b)+帀n+11QQn11QQ)h

9、+kf(a,b)+h+klQxQy丿(n+1)!lQxQy丿1f(a,b)表示偏導(dǎo)數(shù)i+lff(a+0h,b+0k),001,4)I。1QlQx丿iQy丿其中符號fh+klQxdy丿汰在P(ab)的值mf(a,b)=蘭Cihikm-if(a,b).QxiQym-imi=0(4)式稱為二元函數(shù)f(x,y)在P(a,b)的泰勒公式在泰勒公式(4)中，令a=0,b=0，就得到二元函數(shù)f(x,y)的麥克勞林公式(將h與k分別用x與y表示):f(x,y)=f(0,0)+1i(+xI丿n!lQxQy丿1QQV(00)亠x+yf(0,0)+乙x+ylQxQy丿1QQ、x+2!dxdy丿f(0,0)+n1f(

10、0,0)+(n+1)!fox莎丿n+1f(0 x,0y),0015)在泰勒公式(4)中，當(dāng)n=0時，有f(a+h,b+k)=f(a,b)+f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)kxy或f(a+h,b+k)一f(a,b)=f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)k,xy6)6)式二元函數(shù)中值定理的另一種形式，這里只有一個0.在泰勒公式(4)中，當(dāng)n=1時，有f(a+h,b+k)-f(a,b)=f(a+0h,b+0k)h+f(a+0h,b+0k)kxy+丄f(a+0h,b+0k)h2+2f(a+0h,b+0k)hkxy2xx+f(a+0h,b+0k)k2,001.yy例4

11、.將函數(shù)f(x,y)=ex+y展成麥克勞林公式.解：函數(shù)f(x,y)=ex+y在R2存在任意階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且Qm+lfex+y,QxmQylQm+lQxmQylf(0,0)1，m與l是任意非負(fù)整數(shù)由公式(5),有ex+y1+(x+y)+2.(x+y)2+(x+y)nn.1(n+1)!(x+y)n+1e0(x+y)091.三、二元函數(shù)的極值極值點的定義定義設(shè)函數(shù)f(x,y)在點P(a,b)的鄰域G有定義.若V(a+h,b+k)eG，有f(a+h,b+k)f(a,b),則稱P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極大點(極小點.極大點(極小點)的函數(shù)值f(a,b)稱為函數(shù)f(x,y)的極大值(極小值).極

12、大點與極小點統(tǒng)稱為極值點.極大值與極小值統(tǒng)稱為極值.例如，點(1,2)是函數(shù)f(x,y)(x-1)2+(y-2)2-1的極小點，極小值是f(1,2)-1.事實上，V(x,y)，有(x-1)2+(y-2)20，于是f(x,y)f(1,2).極值點的必要條件定理3.若函數(shù)f(x,y)在點P(a,b)存在兩個偏導(dǎo)數(shù)，且P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極值點，則f(a,b)0與f(a,b)0.xy證明：已知P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極值點，即xa是一元函數(shù)f(x,b)的極值.根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件，a是一元函數(shù)f(x,b)的穩(wěn)定點，即 1 f(a,b)二0.x同法可證，f(a,b)二0.y方

13、程組f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y的解(坐標(biāo)平面上某些點)稱為函數(shù)f(x,y)的穩(wěn)定點.定理3指出，可微函數(shù)f(x,y)的極值點一定是穩(wěn)定點反之，穩(wěn)定點不一定是極值點.例如，函數(shù)(雙面拋物面)f(x,y)二x2-y2.廣二2x,廣=一2y.xy顯然，點(0,0)是函數(shù)f(x,y)二x2-y2的穩(wěn)定點.但點(0,0)并不是函數(shù)f(x,y)二x2-y2的極值點.極值點的充分條件定理4.設(shè)函數(shù)f(x,y)有穩(wěn)定點P(a,b)，且在點P(a,b)的鄰域G存在二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).令A(yù)二f(a,b),B二f(a,b),C二f(a,b).xxxyyyA=B2-AC.若Av0，則P(a,b)是函數(shù)f(x

14、,y)的極值點：A0(或C0),P(a,b)是函數(shù)f(x,y)的極小點.Av0(或C0，則P(a,b)不是函數(shù)f(x,y)的極值點.注:當(dāng)判別式A=0時，穩(wěn)定點P(a,b)可能是函數(shù)f(x,y)的極值點，也可能不是函數(shù)f(x,y)的極值點例如，函數(shù)f(x,y)二(x2+y2)2,f(x,y)二-(x2+y2)2,f(x,y)二x2y.123不難驗證，P(0,0)是每個函數(shù)唯一的穩(wěn)定點，且在穩(wěn)定點P(0,0)每個函數(shù)的判別式A=B2-AC=0.顯然,穩(wěn)定點P(0,0)是函數(shù)f(x,y)二(x2+y2)2的極小點;是函數(shù)f(x,y)=-(x2+y2)2的極大點；卻不是函數(shù)f(x,y)二x2y的極值

15、點.23求可微函數(shù)f(x,y)的極值點的步驟：1)求偏導(dǎo)數(shù)，解方程組f(x,y)=0,xf(x,y)=0,y求穩(wěn)定點.設(shè)其中一個穩(wěn)定點是P(a,b).2)求二階偏導(dǎo)數(shù)，寫出f(x,y)2-f(x,y)f(x,y).xyxxyy3)將穩(wěn)定點P(a,b)的坐標(biāo)代入上式，得判別式A=lf(a,b)12-f(a,b)f(a,b).xyxxyy再由A的符號，根據(jù)下表判定P(a,b)是否是極值點:A=B2-AC+0A(或C)+不是極值點不定P(a,b)是極小點是極大點例6.求函數(shù)z=x3+y3-3xy的極值.解：解方程組f(x,y)二3x2-2y二0,xf(x,y)二3y2-3x二0.y解得兩個穩(wěn)定點(0

16、，0)與(1，1).求二階偏導(dǎo)數(shù)f(x,y)二6x,f(x,y)二-3,f(x,y)二6y.xxxyyyf(x,y)p-f(x,y)f(x,y)=9-36xy.xyxxyy在點(0,0),A=90,(0,0)不是函數(shù)的極值點.在點(1,1)A=-270,(1,1)是函數(shù)的極小點，極小值是(x3+y3-3xy)=1.(1,1)二元函數(shù)f(x，y)在實際問題中的最大、最小值一般來說，求函數(shù)f(x,y)在D的邊界上的最大(小)值是很困難的但是，在很多實際問題，根據(jù)問題的實際意義，函數(shù)f(x,y)的最大(小)值必在區(qū)域D(D可以是無界區(qū)域)內(nèi)某點P取得，又函數(shù)f(x,y)在D內(nèi)只有一個穩(wěn)定點P，那么函

17、數(shù)f（x,y）必在這個穩(wěn)定點P取得最大（?。┲?例7.用鋼板制造容積為V的無蓋長方形水箱，問怎樣選擇水箱的長、寬高才最省鋼板.解：設(shè)水箱長、寬、咼分別是x,y,z.已知xyz=V，從而咼z=.水箱表面xy的面積V(11)s=xy+(2x+2y)=xy+2V+，xy1xy丿S的定義域D=(x,y)0 x+s,0y+s.這個問題就是求函數(shù)S在區(qū)域D內(nèi)的最小值.解方程組0S“=y+2VdxVas*ay-丄1Ix2丿一丄y2丿2V=y一=0,x2=x一空=0.y2在區(qū)域D內(nèi)解得唯一穩(wěn)定點（3邁V,32V）.求二階偏導(dǎo)數(shù)a2s=4Vax2x3a2sdxdya2S=4Vay2y3(a2s)2a2sa2s4

18、16V2=1.、axQy丿ax2ay2x3y3在穩(wěn)定點(3邁V,32V)，A=30，從而，穩(wěn)定點(3邁V,3邁V)是S的極小點.因此，函數(shù)S在點（32v,3邁V）取最小值.當(dāng)x=32V,y=邁V時,V32V3；2V32V2即無蓋長方形水箱x=y=莎,z=耳，所需鋼板最省.例8.在已知周長為2p的一切三角形中，求出面積為最大的三角形.8）解：設(shè)三角形的三個邊長分別是x,y,z面積是申.由海倫公式，有9=p(px)(py)(pz).已知x+y+z=2p或z=2p-x-y，將它代入（8）式之中，有9=p(p-x)(p-y)(x+y-p).因為三角形的每邊是正數(shù)而且小于半周長p，所以9的定義域0 xp,0yp.已知9的穩(wěn)定點與廿的穩(wěn)定點相同.為計算方便,p92屮=(px)(py)(x+yp)p的穩(wěn)定點.解方程組屮(x,y)=-(p