河流水質(zhì)縱向彌散系數(shù)的頻域反演

1、河流水質(zhì)縱向彌散系數(shù)的頻域反演李蘭(武漢水利電力大學)摘 要 本文考慮水質(zhì)參數(shù)隨空間變化的特點，建立了河流水質(zhì)縱向彌散系 數(shù)反演模型，給出頻域反演計算模式.為了檢驗計算精度，推導出時域數(shù)據(jù)的頻 域轉(zhuǎn)換公式，最后給出計算實例.本文提出的參數(shù)反問顆模型和分布參數(shù)辨識方 法不僅適用于河流，也適用于水庫和湖泊的分布參數(shù)辨識.關鍵詞 水質(zhì)模擬，分布參數(shù)，彌散系數(shù)，頻域反演.1縱向彌散系數(shù)的頻域反演模型污染物質(zhì)在水體中的輸移、轉(zhuǎn)化、累積過程，可采用偏微分方程來描述，對 于均勻混合的河流，常采用一維水質(zhì)方程進行描述.由于分子擴散、紊動擴散遠 小于由于斷面內(nèi)流速分布不均引起的剪切離散，一般不考慮擴散系數(shù)D，常

2、用縱 向彌散系數(shù)E表征因斷面脈動平均流速分布不均引起的混合過程.Ex與流速、水 深、斷面面積L污染物濃度分布的關系密切，這些水力、水質(zhì)要素是距離x的函 數(shù)，因此合理確定分布參數(shù)Ex值必將改善模型的精度.對于河流中可降解有機物的水污染問題，可提出同時求解濃度場c(x,t)和 E(x)反問題模型如下：If TOC o 1-5 h z c(0,t)=f(t) te0,t c(x,0) = o(x) xG0,1 ,(2)奪 =0，UK工=1作者在此選定附加條件為：c(l,t)=g(t), te0,T .(4)其中g(t)為下游斷面的可測函數(shù)，并在t有實測值，j=1,2,m,u為實測流速， E(x)為E

3、關于空間x的函數(shù)，簡稱E.方程組(1)(4)構成了對可降解有機物求 函數(shù)偶解(E(x)，c(x,t)的一維對流擴散反問題模型.根據(jù)附加條件要求有一定 的同步水質(zhì)監(jiān)測資料，這是水質(zhì)模擬還原檢驗都必需的基本資料，本文提出的反 問題模型沒有增加任何新的資料要求.2縱向彌散系數(shù)的頻域反演計算分布參數(shù)不能用已發(fā)展的求解正問題的一系列算法來直接求解，而要研 究專門方法來演算.對于偏微分方程，只要稍作改變，或邊界條件和附加條件有 稍許差別，都需要重新推導計算求解公式.1974年Tsien和Chen為識別一維流體動力學中的理論速度提出了脈沖譜技 術(Pulse-Spectrum Technique,簡記為PS

4、T)，這是求解相當廣泛一類反問題行 之有效的迭代方法，PST基本思想是借助于Fourie變換(或Laplace變換)將時域中的問題轉(zhuǎn)化為頻域中的問題其信息在時域中獲得，求解卻在頻域中進行.PST 方法已較成功地應用于波動方程和熱傳導方程等有關的工程反問題中.& a sc + u -OX OJC(上,0)=扁， 工【0,1LC(l, s)=反($),de(6)首先將上述反問題模型取Laplace變換：由l廣現(xiàn)在我們先對頻域式(5)取離散差分格式，然后采用PST方法推導其反演公 式.在區(qū)域0, 1上建立均勻網(wǎng)格.取xi=ih,i=0,1,N,其中h為x方向的 步長，h=1/N,下面對式(5)選擇隱

5、式差分格式：,剝.7) +陽=瓦曲(E* ；戶.無*玲Ml + l況 3) = f(,s)t3(。)= poH溫$)=宜(3)dJ =有 *)設En ,cn始終滿足下述的迭代公式：eV = R 故,Ek = E? + 配?,(8)且有：II Si? II F II, II 腿了 II II El b為進行數(shù)值計算，取S為一系列離散值Sj,j=0,1,2,，M，將Sj和式(8)代入差 分方程式(7)，得q對應的正問題：由十普（禮-刁）+倒=卜 （E,，代 E之E心.十豚 =，（5）,制0）=如訝+1G）= g（5）ti=1,2,N; j=1,2,M和6 En對應的反問題：（ +我節(jié),翌殂國+倍e

6、牛捋跖=四十1（凱- E?）十隴頊2一1 -訝），（10）端=0,站口 = 0+薯=廣0 i = l,2r .NJ j = L2.,M將單位脈沖函數(shù)Dirac 6函數(shù)取離散值有:對每個&，格林函數(shù)G讀（S）滿足差分方程:(11)G?M)- Gg) = 0,取p=l，并利用附加條件，由式（10）和式（11）可得到下式:(i=0,1,2,，N-1.)(12) 其中:勺=點 i W* A= (% (Sj) -GL1 () (Sj)一習().D=(d,d，d ) ,V=(6 En ,6 En，0 En ).1 .2., M T12N T寫成矩陣形式：A*V=D,(13)為得到式(13)的穩(wěn)定近似解，取

7、對應的正則方程為:(A A+aG)V=A D,(14)其中，a為光滑參數(shù)，G為光滑矩陣，由式(14)可得到6 En的穩(wěn)定解.將6 En 代入式(8)中可求出En，這樣就完成了一次迭代循環(huán).113數(shù)據(jù)的頻域變換公式由于計算將在頻域中進行，因此相應的數(shù)據(jù)也必須是頻域的數(shù)據(jù).本節(jié)將推 導離散數(shù)據(jù)的Z變換和Laplace變換的相互轉(zhuǎn)換關系式.3.1離散數(shù)據(jù)的Z變換 實際的離散信號的來源大部分是連續(xù)時間和空間 信號的采樣，水質(zhì)數(shù)據(jù)采樣獲得的也是離散數(shù)據(jù).另外，反問題計算比正問題復 雜，而且計算量大，需通過計算機根據(jù)離散數(shù)據(jù)完成計算，因此即使獲得連續(xù)信 號通過計算機計算也必須對其作離散化處理.Laplac

8、e變換是將時域的連續(xù)信號 或方程變換成頻域信號和方程，與之對應的Z變換便是將時域的離散采樣信 號轉(zhuǎn)換成頻域信號.3.2拉氏變換c(S)與Z 換c(Z)的直接變換公式 由于我們計算是在頻域 中進行的，頻域中的公式是根據(jù)Laplace變換得到的連續(xù)公式，而采樣得到的離 散數(shù)據(jù)需通過Z變換變換成譜域數(shù)據(jù)，因此我們須從連續(xù)信號的拉氏變換求 對應采樣信號的正變換或從Z變換求對應連續(xù)信號的拉氏變換.對于因果信號 (j0,cij=0)，我們可以直接在復頻域間進行這種變換，而不必通過時域的中心 變換.由c(Z)求C(S)設c(Z)有m個相異極點Z1，Z2，Zm，根據(jù)留數(shù)定理有:(15)(2)由 c(S) 求

9、C(Z)c(Z)法嚴T= S 11 - 2(5lnST(16)通過式(15)或式(16)的逆變換可求出頻域計算數(shù)據(jù)的時域值.實質(zhì)上，上面我們 已推導出時域值Cij和頻域值c(S)或c(Z)的直接關系式，數(shù)值計算中可采用上 面推導的關系式進行頻域和時域的轉(zhuǎn)換.4頻域反演算法與計算實例我國目前河流污染大多以有機污染為主.水體有機污染的自凈機理主要包括 稀釋、遷移、混合、沉淀、氧化還原、化合分解、沉降與再懸浮等化學、物理和 生化過程.COD是評價有機污染的重要指標之一，它是指在一定條件下，用強氧 化劑處理水樣時所消耗的氧化劑的量，主要反映水體中還原性污染物的指標，包 括有機物、亞硝酸鹽、亞鐵鹽、硫化

10、物等還原性物質(zhì)，特別是水體中溶解氧無法 反映污染狀況時，COD指標可較好地評述有機污染的程度.洛河是黃河上的一條支流，它流經(jīng)洛陽市、白馬寺、黑石關、石灰務等市、 縣，因其水資源量貧乏，該河沿途納入多個城鎮(zhèn)排放的大量工業(yè)污水和生活污水， 因此水質(zhì)已嚴重惡化，受污染的水源已直接影響到沿岸人民的生活和該地區(qū)國民 經(jīng)濟的發(fā)展，有效地控制水污染已迫在眉捷.現(xiàn)有洛河河段1982年的實測水團追 蹤資料.本節(jié)將根據(jù)作者在本文提出和推導的頻域反演算法給出具體的數(shù)值計算. 主要步驟是：（1）在區(qū)域。的邊界r上，測量輸入和輸出信息；（2）將方程進行Fonrier 變換或Laplace變換；（3）利用迭代方法化成待求

11、變量對應的正問題或待求參數(shù) 對應的反問題；（4）給出正問題的數(shù)值算法；（5）將反問題化為積分方程，并給出 穩(wěn)定化算法；（6）將輸入、輸出信息用離散Fourier變換和Z變換、利用Laplace 變換轉(zhuǎn)換成譜域上的數(shù)據(jù)；（7）求出分布參數(shù)增量，代入迭代公式求出分布參數(shù) 值；（8）根據(jù)所示的分布參數(shù)代入式（4）重新解正問題，并計算范數(shù)部狀=W.-甘1 :和相對誤差1 X100%，當dc和xdcu小于誤差限6和6時，迭代計算停止，第n次迭代計算的參數(shù)即為所求.污染物在水域中的變化規(guī)律常采用對流擴散方程來描述，對流擴散方程與熱 傳導方程一樣屬于拋物型偏微分方程類，其濃度關于時間t取一階導數(shù)項，若 Fo

12、urier變換，則譜域方程中含虛數(shù)i項，i的存在導致了數(shù)值計算的難度；若 取Laplace變換則可消除上述困難，但其離散數(shù)據(jù)交換則要用相應的Z變換，然 后再將Z變換轉(zhuǎn)換成Laplace變換值.針對洛河水污染情況，選擇水質(zhì)指標COD分3個河段分別進行了數(shù)值計算， 所求出的縱向彌散系數(shù)見圖1；各河段下游斷面的預測濃度與實測濃度的比較見 圖2；縱向彌散系數(shù)分布參數(shù)和取集總參數(shù)時濃度模擬比較見圖2.m_/lnK*#*士5U 留圖1縱向彌散系數(shù)沿水流方向分布（頻域）F弟一河配 職距杵EE(b)第二河段A/N距霄血蒞)三同股段距M：k0 3 4U20圖2預測值與實測值對比(頻域)5結語本文提出了一維對流擴

13、散方程中求解分布參數(shù)一一彌散系數(shù)E(x)的反問題 模型，并從頻域給出求函數(shù)偶解(E(x), c(x,t)的穩(wěn)定化反演算法，最后給出數(shù) 值計算實例.頻域中由于通過積分變換后使方程維數(shù)得到降低，故數(shù)值計算具有 計算量小、占儲存單元少等特點.本文還推導出水質(zhì)頻域采樣數(shù)據(jù)的變換公式. 當實測資料含噪聲較小時，頻域方法反演效果較好.本文從PST基本思想出發(fā)，研究和發(fā)展了比熱傳導方程更為復雜的對流擴散 分布參數(shù)反問題，結合正則化方法較好地解決了彌散系數(shù)的反演計算，首次將 PST方法應用于水質(zhì)參數(shù)反演中，做了一些開拓性的工作，本文就單參數(shù)彌散系 數(shù)取分布參數(shù)的反演計算方面取得了一些有意義的研究成果.現(xiàn)行水質(zhì)參數(shù)估算 方法因分別受到技術條件、經(jīng)濟條件和測驗條件等的限制，一般取E(x)為常數(shù) E0，本文推導的反演方法能夠獲得隨空間變化的分布參數(shù)離散值，能考慮參數(shù) E(x)與濃度場c(x,t)的相依關系，在水質(zhì)參數(shù)估值中不失為一種即經(jīng)濟又切實 可行的有發(fā)展前途的新方法.分布參數(shù)的