FAT期末專用概率論教學教材

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。FAT期末專用概率論-數理統(tǒng)計練習（5）、市場上出售的某種商品由三個廠家同時供貨，其供應量第一廠家為第二廠家的兩倍，第二、第三廠家相等，且第一、第二、第三廠家的次品率依次為2，2，4。若在市場上隨機購買一件商品為次品，問該件商品是第一廠家生產的概率為多少？解設表示產品由第i家廠家提供，i=1,2,3；B表示此產品為次品。則所求事件的概率為答：該件商品是第一產家生產的概率為0.4。三（6）、甲、乙、丙三車間加工同一產品，加工量分別占總量的25%、35%、40%，次品率分別為0.03、0.02、0.01?，F

2、從所有的產品中抽取一個產品，試求（1）該產品是次品的概率；（2）若檢查結果顯示該產品是次品，則該產品是乙車間生產的概率是多少？解：設，表示甲乙丙三車間加工的產品，B表示此產品是次品。（1）所求事件的概率為（2）答：這件產品是次品的概率為0.0185，若此件產品是次品，則該產品是乙車間生產的概率為0.38。三（7）、一個機床有1/3的時間加工零件A，其余時間加工零件B。加工零件A時停機的概率是0.3，加工零件A時停機的概率是0.4。求（1）該機床停機的概率；（2）若該機床已停機，求它是在加工零件A時發(fā)生停機的概率。解：設，表示機床在加工零件A或B，D表示機床停機。（1）機床停機夫的概率為（2）機

3、床停機時正加工零件A的概率為三（8）、甲、乙、丙三臺機床加工一批同一種零件，各機床加工的零件數量之比為5：3：2，各機床所加工的零件合格率依次為94，90，95?，F從加工好的整批零件中隨機抽查一個，發(fā)現是廢品，判斷它是由甲機床加工的概率。解設，表示由甲乙丙三機床加工，B表示此產品為廢品。（2分）則所求事件的概率為答：此廢品是甲機床加工概率為3/7。三（9）、某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，其概率分別為5、15、30、50，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100、70、60、90。已知該人誤期到達，求他是乘坐火車的概率。（10分）解：設，分別表示乘坐飛機、火車、輪船、

4、汽車四種交通工具，B表示誤期到達。則答：此人乘坐火車的概率為0.209。三（10）、某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，其概率分別為5、15、30、50，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100、70、60、90。求該人如期到達的概率。解：設，分別表示乘坐飛機、火車、輪船、汽車四種交通工具，B表示如期到達。則答：如期到達的概率為0.785。四（1）設隨機變量X的概率密度函數為求（1）A；（2）X的分布函數F(x)；（3）P(0.5X2)。解：(3)P（1/2X2）=F(2)F(1/2)=3/4四（2）、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求（1）k；（2）分布函數F(x)；（

5、3）P(1.5X2.5)解：(3)P（1.5X0.25)。解：(3)P（X1/4）=1F(1/4)=7/8四（4）、已知連續(xù)型隨機變量X的概率密度為求（1）A；（2）分布函數F(x)；（3）P(0.5X1)。）解：(3)P（-0.5X1）=F(1)F(-0.5)=1四（5）、已知連續(xù)型隨即變量X的概率密度為求（1）c；（2）分布函數F(x)；（3）P(-0.5X0.5)。解：(3)P（-0.5X0.5）=F(0.5)F(-0.5)=1/3四（6）、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為求（1）A，B；（2）密度函數f(x)；（3）P(1X2)。解：(3)P（1X2）=F(2)F(1)=四（7）、已知

6、連續(xù)型隨機變量X的分布函數為求（1）A，B；（2）密度函數f(x)；（3）P(1X2)。解：(3)P（0X2）=F(2)F(0)=四（8）、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為求（1）A；（2）密度函數f(x)；（3）P(0X0.25)。解：(3)P（0X0.25）=1/2四（9）、已知連續(xù)型隨機變量X的分布函數為求（1）A；（2）密度函數f(x)；（3）P(0X4)。、解：(3)P（0X4）=3/4四（10）、已知連續(xù)型隨機變量X的密度函數為求（1）a；（2）分布函數F(x)；（3）P(0.5X0.5)。解：(3)P（-0.5X0時，FZ(z)P(Zz)P(max(X,Y)z)P(Xz,Yz)P

7、(Xz)P(Yz)。因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數為fZ(z)五（2）、已知隨機變量XN（0，1），求隨機變量YX2的密度函數。解：當y0時，FY(y)P(Yy)P(X2y)0；當y0時，FY(y)P(Yy)P(X2y)因此，fY(y)五（3）、設系統(tǒng)L由兩個相互獨立的子系統(tǒng)L1、L2串聯而成，且L1、L2的壽命分別服從參數為的指數分布。求系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數。解：令X、Y分別為子系統(tǒng)L1、L2的壽命，則系統(tǒng)L的壽命Zmin(X,Y)。顯然，當z0時，FZ(z)P(Zz)P(min(X,Y)z)0；當z0時，FZ(z)P(Zz)P(min(X,Y)z)1P(min(X,Y)z)1P(Xz,

8、Yz)1P(Xz)P(Yz)。因此，系統(tǒng)L的壽命Z的密度函數為fZ(z)五（4）、已知隨機變量XN（0，1），求Y|X|的密度函數。解：當y0時，FY(y)P(Yy)P(|X|y)0；當y0時，FY(y)P(Yy)P(|X|y)因此，fY(y)五（5）、設隨機向量（X，Y）聯合密度為f(x,y)=（1）求系數A；（2）判斷X，Y是否獨立，并說明理由；（3）求P0X2，0Y1。解：（1）由1可得A6。（2）因（X，Y）關于X和Y的邊緣概率密度分別為fX(x)和fY(y)，則對于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y)，所以X與Y獨立。（3）P0X2，0Y1五（6）、設隨機向量（X，Y）聯

9、合密度為f(x,y)=（1）求系數A；（2）判斷X，Y是否獨立，并說明理由；（3）求P0X1，0Y1。解：（1）由1可得A12。（2）因（X，Y）關于X和Y的邊緣概率密度分別為fX(x)和fY(y)，則對于任意的均成立f(x,y)=fX(x)*fY(y)，所以X與Y獨立。（3）P0X1，0Y1五（7）、設隨機向量（X，Y）聯合密度為f(x,y)=（1）求（X，Y）分別關于X和Y的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)；（2）判斷X，Y是否獨立，并說明理由。解：（1）當x1時，fX(x)0；當0 x1時，fX(x)因此，（X，Y）關于X的邊緣概率密度fX(x)當y1時，fY(y)0；當0y1時，fY

10、(y)因此，（X，Y）關于Y的邊緣概率密度fY(y)（2）因為f(1/2,1/2)3/2，而fX(1/2)fY(1/2)(3/2)*(3/4)9/8f(1/2,1/2)，所以，X與Y不獨立。五（8）、設二維隨機向量（X，Y）的聯合概率密度為f(x,y)=（1）求（X，Y）分別關于X和Y的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)；（2）判斷X與Y是否相互獨立，并說明理由。解：（1）當x0時，fX(x)0；當x0時，fX(x)因此，（X，Y）關于X的邊緣概率密度fX(x)當y0時，fY(y)0；當y0時，fY(y)因此，（X，Y）關于Y的邊緣概率密度fY(y)（2）因為f(1,2)e-2，而fX(1)f

11、Y(2)e-1*2e-22e-3f(1,2)，所以，X與Y不獨立。五（9）、設隨機變量X的概率密度為設F(x)是X的分布函數，求隨機變量Y=F(X)的密度函數。解：當y1時，FY(y)P(Yy)P(F(X)y)1；當0y1時，FY(y)P(Yy)P(F(X)y)因此，fY(y)五（10）、設隨機向量（X，Y）聯合密度為f(x,y)=（1）求（X，Y）分別關于X和Y的邊緣概率密度fX(x)，fY(y)；（2）判斷X，Y是否獨立，并說明理由。解：（1）當x1時，fX(x)0；當0 x1時，fX(x)因此，（X，Y）關于X的邊緣概率密度fX(x)當y1時，fY(y)0；當0y1時，fY(y)因此，（

12、X，Y）關于Y的邊緣概率密度fY(y)（2）因為f(1/2,1/2)2，而fX(1/2)fY(1/2)(3/2)*(1/2)3/4f(1/2,1/2)，所以，X與Y不獨立。六（1）、已知隨機向量（X，Y）的協方差矩陣V為求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=7+9+2*6=28D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=7+9-2*6=4Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=7-9=-2所以，（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣分別為和六（2）、已知隨機向量（X，Y）的協方差矩陣V為求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關

13、系數矩陣。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+1+2*2=14D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+1-2*2=6Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=9-1=8所以，（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣分別為和六（3）、已知隨機向量（X，Y）的協方差矩陣V為求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣。解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=9+6-2*(-6)=27D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=9+6+2*(-6)=3Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=9-6=3所以，（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣分別為和六（4

14、）、已知隨機向量（X，Y）的協方差矩陣V為求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣。解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=4+9-2*(-5)=23D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=4+9+2*(-5)=3Cov(X-Y,X+Y)=DX-DY=4-9=-5所以，（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣分別為和六（5）、已知隨機向量（X，Y）的協方差矩陣V為求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣。解：D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=1+4-2*(-1)=7D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=1+4+2*(-1)=3Cov(X-

15、Y,X+Y)=DX-DY=1-4=-3所以，（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣分別為和求隨機向量（XY，XY）的協方差矩陣與相關系數矩陣。解：D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=5+4+2*2=13D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=5+4-2*2=5Cov(X+Y,X-Y)=DX-DY=5-4=1專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（1）、設總體X的概率密度函數是其中為未知參數。是一組樣本值，求參數的最大似然估計。解：似然函數專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（3）、設總體X的概率密度函數是0為未知參數，是一組樣本值，求參數的最大似然估計。解：似然函數專業(yè)、班級：學號：姓

16、名：密封線七（4）、設總體的概率密度函數是其中0是未知參數，是一組樣本值，求參數的最大似然估計。解：似然函數專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（5）、設總體X服從參數為的泊松分布（=0，1，），其中為未知參數，是一組樣本值，求參數的最大似然估計。解：似然函數專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（6）、設總體X的概率分布為。設為總體X的一組簡單隨機樣本，試用最大似然估計法求p的估計值。解：專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（7）、設總體X服從參數為的指數分布，是一組樣本值，求參數的最大似然估計。解：專業(yè)、班級：學號：姓名：密封線七（8）、設總體X服從參數為的指數分布，是一組樣本值，求參數的最大似然估計。

17、解：似然函數七（9）、設總體X的概率密度函數是是一組樣本值，求參數的最大似然估計？解：似然函數七（10）、設總體X的概率密度函數是是一組樣本值，求參數的最大似然估計？解：似然函數八（1）、從某同類零件中抽取9件，測得其長度為（單位：mm）：6.05.75.86.57.06.35.66.15.0設零件長度X服從正態(tài)分布N(,1)。求的置信度為0.95的置信區(qū)間。、解：由于零件的長度服從正態(tài)分布,所以所以的置信區(qū)間為經計算的置信度為0.95的置信區(qū)間為即(5.347，6.653)八（2）、某車間生產滾珠，其直徑XN(,0.05)，從某天的產品里隨機抽出9個量得直徑如下（單位：毫米）：14.615.

18、114.914.815.215.114.815.014.7若已知該天產品直徑的方差不變，試找出平均直徑的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由于滾珠的直徑X服從正態(tài)分布,所以所以的置信區(qū)間為：經計算的置信度為0.95的置信區(qū)間為即(14.765，15.057)八（3）、工廠生產一種零件,其口徑X(單位:毫米)服從正態(tài)分布,現從某日生產的零件中隨機抽出9個,分別測得其口徑如下:14.614.715.114.914.815.015.115.214.7已知零件口徑X的標準差，求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由于零件的口徑服從正態(tài)分布,所以所以的置信區(qū)間為：經計算的置信度為0.95的置信區(qū)間為即(14

19、.802,14.998)八（4）、隨機抽取某種炮彈9發(fā)做實驗，測得炮口速度的樣本標準差S=3(m/s)，設炮口速度服從正態(tài)分布，求這種炮彈的炮口速度的方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。因為炮口速度服從正態(tài)分布，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為即八（5）、設某校女生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機抽取9名女生，測得數據經計算如下：。求該校女生身高方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：因為學生身高服從正態(tài)分布，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為即八（6）、一批螺絲釘中,隨機抽取9個,測得數據經計算如下：。設螺絲釘的長度服從正態(tài)分布，試求該批螺絲釘長度方差的置信度為0

20、.95的置信區(qū)間。解：因為螺絲釘的長度服從正態(tài)分布，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為即八（7）、從水平鍛造機的一大批產品隨機地抽取20件，測得其尺寸的平均值，樣本方差。假定該產品的尺寸X服從正態(tài)分布,其中與均未知。求的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由于該產品的尺寸服從正態(tài)分布，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為即八（8）、已知某批銅絲的抗拉強度X服從正態(tài)分布。從中隨機抽取9根，經計算得其標準差為8.069。求的置信度為0.95的置信區(qū)間。（）解：由于抗拉強度服從正態(tài)分布所以，的置信區(qū)間為：的置信度為0.95的置信區(qū)間為，即八（9）、設總體X，從中抽取容量為16的一個

21、樣本，樣本方差，試求總體方差的置信度為0.95的置信區(qū)間。解：由于X，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為，即八（10）、某巖石密度的測量誤差X服從正態(tài)分布，取樣本觀測值16個，得樣本方差，試求的置信度為95%的置信區(qū)間。解：由于X，所以的置信區(qū)間為：的置信度0.95的置信區(qū)間為：即九（1）、某廠生產銅絲，生產一向穩(wěn)定,現從其產品中隨機抽取10段檢查其折斷力，測得。假定銅絲的折斷力服從正態(tài)分布，問在顯著水平下，是否可以相信該廠生產的銅絲折斷力的方差為16？解：待檢驗的假設是選擇統(tǒng)計量在成立時取拒絕域w=由樣本數據知接受，即可相信這批銅絲折斷力的方差為16。九（2）、已知某煉鐵廠在生產

22、正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布，其方差為0.03。在某段時間抽測了10爐鐵水，測得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375。試問在顯著水平下，這段時間生產的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無顯著差異?解：待檢驗的假設是選擇統(tǒng)計量在成立時取拒絕域w=由樣本數據知接受，即可相信這批鐵水的含碳量與正常情況下的方差無顯著差異。九（3）、某廠加工一種零件，已知在正常的情況其長度服從正態(tài)分布，現從一批產品中抽測20個樣本，測得樣本標準差S=1.2。問在顯著水平下，該批產品的標準差是否有顯著差異？解：待檢驗的假設是選擇統(tǒng)計量在成立時取拒絕域w=由樣本數據知拒絕，即認為這批產品的標準差有顯著差異。九（4）

23、、已知某煉鐵廠在生產正常的情況下，鐵水含碳量X服從正態(tài)分布?，F抽測了9爐鐵水,算得鐵水含碳量的平均值，若總體方差沒有顯著差異，即，問在顯著性水平下，總體均值有無顯著差異?解：待檢驗的假設是選擇統(tǒng)計量在成立時取拒絕域w=由樣本數據知拒絕，即認為總體均值有顯著差異。九（5）、已知某味精廠袋裝味精的重量X，其中=15，技術革新后，改用新機器包裝。抽查9個樣品，測定重量為（單位：克）14.715.114.815.015.314.915.214.615.1已知方差不變。問在顯著性水平下，新機器包裝的平均重量是否仍為15？解：待檢驗的假設是選擇統(tǒng)計量在成立時取拒絕域w=經計算接受，即可以認為袋裝的平均重量仍為15克。九（6）、某手表廠生產的男表表殼在正常情況下，其直徑(單位:mm)服從