有限單元法的基本理論有限單元法的基本概念匯總課件

1、2.1 有限元法的解題思想 有限單元法的基本思想是將一個連續(xù)的求解域離散化，即將連續(xù)體劃分為有限個具有規(guī)則形狀的微小塊體，把每個微小塊體稱為單元，兩相鄰單元之間只通過若干點相互連接，每個連接點稱為結(jié)點，再把作用于各單元上的外載荷按照虛功原理進行載荷移置，即轉(zhuǎn)化成單元的等效結(jié)點載荷【結(jié)構(gòu)離散】；在單元體內(nèi)假設(shè)近似解的模式，用有限個結(jié)點上的未知參數(shù)表征單元的特性【單元特性析】；然后用適當?shù)姆椒?，將各個單元的關(guān)系式組合成包含這些未知數(shù)的方程組【整體分析】 ，求解這個方程組，得出各結(jié)點的未知參數(shù)，利用插值函數(shù)求出近似解【求解】。 構(gòu)成有限元系統(tǒng)的3個基本要素是節(jié)點、單元和自由度。（1）節(jié)點（Node）

2、：節(jié)點是構(gòu)成有限元系統(tǒng)的基本對象，也就是這個工程系統(tǒng)中的最基本點，它包含了坐標位置以及具有物理意義的自由度信息。（2）單元（Element）：單元是由節(jié)點與節(jié)點相連而成，是構(gòu)成有限元系統(tǒng)的基礎(chǔ)。一個有限元系統(tǒng)必須有至少一個以上的單元。單元與單元之間由各節(jié)點相互連接，在具有不同特性的材料和不同的具體結(jié)構(gòu)當中，可選用不同種類的單元，單元中包含了物理對象的各種特性。因此單元的選擇極為重要，決定求解效率和精度。（3）自由度(DOF,Degree of Freemdom）：包括系統(tǒng)的自由度和節(jié)點自由度。在分析中需要對整個系統(tǒng)的自由度進行適當?shù)募s束,系統(tǒng)中每個節(jié)點都有各自的節(jié)點坐標系和對應的節(jié)點自由度，不

3、同單元上的節(jié)點具有不同的自由度。2.2 有限元法的基本要素 結(jié)構(gòu)離散化是有限單元法分析的基本前提，也是有限單元法解解題的重要步驟。2.3.1 結(jié)構(gòu)離散化的主要任務是：（1）選擇合適的單元類型，把結(jié)構(gòu)分割成有限個單元；（2）把結(jié)構(gòu)邊界上的約束，用適當?shù)慕Y(jié)點約束來代替；（3）把作用在結(jié)構(gòu)上的非結(jié)點載荷等效地移置為結(jié)點載荷；2.3.2 單元類型 單元是具有單元特性的，如單元結(jié)構(gòu)、單元結(jié)點數(shù)、結(jié)點自由度數(shù)、單元剛度矩陣等，不同的單元有不同的單元特性。2.3 結(jié)構(gòu)離散化設(shè)置不同單元類型的目的主要是用于求解不同工程問題，同時也兼顧求解精度。到目前為止，共設(shè)計開發(fā)了百余種單元，機械工程問題中設(shè)計的單元大致可

4、以分為：（1）自然離散問題單元；自然離散問題單元有桿單元、梁單元。對于桿系結(jié)構(gòu)的離散化，通常采用自然離散的形式，即把結(jié)構(gòu)的桿作為單元，稱為桿單元。有限個桿單元之間，利用有限個結(jié)點相互鉸接（桁架情況），以傳遞負荷。ijxyzji(a) 桿單元(b)梁單元（2）平面問題單元；在彈性平面問題中，常用的單元有：3結(jié)點三角形單元、4結(jié)點矩形單元、6結(jié)點三角形單元、4結(jié)點任意四邊形單元、8結(jié)點曲邊四邊形單元，如圖所示（3）軸對稱問題單元；對于軸對稱問題，一般采用環(huán)單元。最常用的是3結(jié)點三角形環(huán)單元和4結(jié)點四邊形環(huán)單元。同樣，為模擬曲線邊界及提高插值函數(shù)精度，還可以采用更多結(jié)點的環(huán)單元，如8結(jié)點四邊形環(huán)單元

5、。如圖23所示（4）空間問題單元 在空間問題中，采用的是空間單元，常用的有四面體單元和六面體單元。如4結(jié)點四面體單元、8結(jié)點六面體單元、20結(jié)點六面體單元，如圖所示。2.3.3 用單元劃分有限元網(wǎng)格應遵循的原則任一單元的頂點必須同時也是相鄰單元的頂點，而不能是相鄰單元的內(nèi)點；同一單元的各邊長（或各頂角）不應相差太大，亦即單元劃分中不應出現(xiàn)太大的鈍角或過小的銳角。否則在計算中會出現(xiàn)較大的誤差。為使整個求解區(qū)域計算結(jié)果的精度大體一致，當劃分單元時其大小盡量不要相差太懸殊；單元數(shù)目應根據(jù)精度要求和計算機容量來確定。在保證精度的前提下，力求采用較少的單元。為此，當劃分單元：應充分利用結(jié)構(gòu)的特點，如對稱

6、性、循環(huán)對稱性等，從原結(jié)構(gòu)中取出一部分進行分析；采用密不同的網(wǎng)格剖分，對應力變化急劇的區(qū)域可分細一些，應力變化平緩的區(qū)域可以分粗一些；對于大型復雜結(jié)構(gòu)，可以采用分步計算的方法，即先用比較均勻的粗網(wǎng)格計算一次，然后根據(jù)計算結(jié)果，在局部區(qū)域再細分單元，進行第二次計算，或者采用子結(jié)構(gòu)法； （4）當物體的厚度有突變或者物體由不同材料組成時，不要把厚度不同或材料不同的區(qū)域劃在同一單元里。2.3.4 施加約束 任何結(jié)構(gòu)都有其承載基礎(chǔ)，承載基礎(chǔ)是一個固定不動的實體，它不僅承受結(jié)構(gòu)傳來的載荷，而且約束了結(jié)構(gòu)的方向位移。施加約束就是在將結(jié)構(gòu)物理模型轉(zhuǎn)化為有限元模型時對承載基礎(chǔ)的表達，目的是防止結(jié)構(gòu)有限元模型產(chǎn)生

7、剛體位移。有限元中實施約束就是客觀地對與承載基礎(chǔ)的結(jié)點實施方向約束，并將其方向位移置為0或某個值，即所謂的約束邊界條件。如下圖21所示，對于結(jié)點1與2有，u1=v1=u2=v2=0 PP54231圖21 施加約束2.3.5 非結(jié)點載荷等效移置 在有限元分析中,認為單元與單元之間僅通過結(jié)點相互聯(lián)系。因此，在結(jié)構(gòu)離散化過程中，如果外載荷不是直接作用在結(jié)點上，那么就需要將非結(jié)點載荷向結(jié)點等效移置。也就是把作用在結(jié)構(gòu)上的真實外載荷理想化為作用在結(jié)點上的集中載荷。這個過程稱為非結(jié)點載荷向結(jié)點的移置。移置到結(jié)點后的載荷稱為等效結(jié)點載荷。 整個結(jié)構(gòu)的非結(jié)點載荷的移置按單元進行，即將各單元所受的非結(jié)點外載荷分

8、別移置到各單元相應的結(jié)點上；然后，在公共結(jié)點處應用力的疊加原理，便可求出整個結(jié)構(gòu)的結(jié)點載荷列陣。因此這里只需介紹單元載荷移置問題。 單元載荷移置所遵循的原則是能量等效原則，即單元的實際載荷與移置后的結(jié)點載荷在相應的虛位移上所做的功相等。 單元載荷移置后的等效結(jié)點載荷的計算，原則上必須根據(jù)能量等效原則推導出的載荷移置公式來計算，即所謂載荷移置普遍公式化，這種方法適用于各種類型的單元。由于普遍公式化其表達公式與單元位移函數(shù)模式有關(guān)（也可說是與單元形函數(shù)有關(guān)），故在后面單元分析時再予以介紹。但當單元位移函數(shù)（或單元形函數(shù)）為線性函數(shù)時，如平面3結(jié)點三角形單元，載荷移置的普遍公式化就簡化成一種最簡單的

9、移置方法，即所謂的直接法，當然這種方法只適用于具有線性位移函數(shù)的單元。為了便于對這兩種載荷移置方法進行對比分析，在后面單元分析時一并介紹 2.4 單元特性分析 在位移法有限元中，首先要針對所選定的單元類型選擇一簡單多項式函數(shù)近似表達單元內(nèi)各位移分量的分布規(guī)律，并把單元內(nèi)任意點的位移分量寫成統(tǒng)一形式的結(jié)點位移插值函數(shù)形式，從而通過單元結(jié)點位移，表達出單元內(nèi)任意點的位移、應變和應力。其次，利用虛功原理或變分原理建立單元結(jié)點力與結(jié)點位移之間的特性關(guān)系，稱為單元有限元方程。該方程可用矩陣形式表示為： Fe=Kee 注：角標e表示單元element之意式中：F單元結(jié)點載荷列陣；K單元剛度矩陣；單元結(jié)點位

10、移列陣單元剛度矩陣K反映了單元結(jié)點力與單元結(jié)點位移之間的特性關(guān)系。不難看出，建立單元剛度矩陣K是單元分析的核心，也是單元分析的主要任務，事實上也是整個有限元分析中的關(guān)鍵性步驟。2.4.1 選擇單元位移模式 在用有限元法進行結(jié)構(gòu)分析中，就研究方法而言一般有三種。第一種是選擇結(jié)點位移作為基本未知量，在選擇適當?shù)奈灰坪瘮?shù)的基礎(chǔ)上，進行單元的力學特性分析，進而建立單元的剛度矩陣和總體剛度矩陣，然后解方程組求出結(jié)點位移，再由結(jié)點位移求得應力，這種方法稱為位移法；第二種是選擇結(jié)點力作為基本未知量，解出結(jié)點力后，再計算結(jié)點位移和應力，這種方法稱為力法；第三種是取一部分結(jié)點位移和一部分結(jié)點力作為基本位置，稱為

11、混合法。由于位移法比較簡單，易于實現(xiàn)計算自動化，所以大多采用位移法。 當采用位移法時，物體和結(jié)構(gòu)離散化之后，就可把單元中的一些物理量如位移、應變和應力等由結(jié)點位移來表示。對單元中位移的分布一般采用能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常，有限法中我們將位移表示為坐標變量的簡單函數(shù)，這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)。它反映了單元的位移形態(tài)并決定著單元的力學特性。由于這種函數(shù)關(guān)系在解題前是未知的，而在單元分析時又必須用到，為此可以事先假定一個函數(shù)，人為規(guī)定位移分量為坐標的某種函數(shù)。所假定的位移函數(shù)必須滿足兩個條件： 它在結(jié)點上的值應等于結(jié)點位移；它所采用的函數(shù)必須保證有限元解收斂于真實解。即當結(jié)構(gòu)的單元

12、劃分得越來越精細時，近似的數(shù)值解將收斂于真實解。為保證選擇的位移函數(shù)使有限元收斂于真實解，位移函數(shù)必須滿足以下4個條件(a)位移函數(shù)必須包含單元的常量應變：彈性體的應變可以分為與坐標無關(guān)的常量應變及隨坐標變化的當量應變。當單元尺寸逐漸縮小時，單元的應變將趨于常量，因此在位移函數(shù)中必須包含有常量應變。(b)位移函數(shù)必須包含單元的剛體位移。所謂剛體位移是指彈性體不發(fā)生應變時的位移，這是彈性體可能發(fā)生的一種基本的位移。因此，單元的位移函數(shù)既要能夠描述單元自身的應變，又要能夠描述單元的剛體位移。(c)位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須是連續(xù)函數(shù)，即單元內(nèi)部的連續(xù)性。(d)位移函數(shù)應使相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)，即單元邊

13、界的連續(xù)性。即在交界面上滿足變形協(xié)調(diào)條件，變形后既不開裂，也不重疊，從而保證了整個結(jié)構(gòu)的位移連續(xù)。 上述4個條件是有限元解收斂于真實解的充分條件。以這樣的位移函數(shù)構(gòu)成的單元稱為協(xié)調(diào)元。在有限元法中，有些單元的位移函數(shù)只滿足前3項條件，并不滿足單元邊界連續(xù)性要求，實踐證明，它們的有限元解也可能收斂于真實解，因此前3項條件是有限元解收斂于真實解的必要條件。 單元中的位移模式一般采用以廣義坐標為待定系數(shù)的有限項多項式作為近似函數(shù)。因為多項式的數(shù)學處理比較容易，尤其便于微分與積分運算。另外任意階次的多項式可以近似地表示真實解。當然，只有無限次的多項式才與真實解相對應，但為了實用，通常只取有限次多項式來

14、近似。如3結(jié)點三角形單元位移函數(shù)的廣義坐標表示為：有限項多項式的選取得原則應考慮以下幾點：（1）廣義坐標的個數(shù)應與單元結(jié)點自由度數(shù)相等。如3結(jié)點三角形單元有6個自由度（結(jié)點位移），因此廣義坐標個數(shù)應取6個，即兩個方向的位移u,v各取三項多項式。（2）選取多項式時，常數(shù)項和坐標的一次項必須完備。位移函數(shù)中的常數(shù)項和一次項分別反映了單元剛體位移和常應變的特性。當劃分的單元數(shù)趨于無窮時，單元縮小趨于一點，此時單元應變應趨于常應變。（3）多項式的選取應由低階到高階，盡量選取完全多項式以提高單元的精度。一般來說對于單元每邊具有兩個端結(jié)點的應保證一次完全多項式；每邊有3個結(jié)點的應取二次完全多項式。若由于項

15、數(shù)限制不能選取完全多項式時，選擇的多項式應具有坐標的對稱性，并且一個坐標方向的次數(shù)不應超過完全多項式的次數(shù)。2.4.2 分析單元的力學性質(zhì) 根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、結(jié)點數(shù)目、位置及其含義，找出單元結(jié)點力和結(jié)點位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時需要用到彈性力學的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導出單元剛度矩陣。單元剛度矩陣的推導是單元力學分析的主要工作。單元剛度矩陣的導出方法可以采用：1）直接剛度法 對于簡單的構(gòu)件（如質(zhì)量彈簧系統(tǒng)、桿、梁等，可以利用材料力學或結(jié)構(gòu)力學的已知結(jié)果，直接求出剛度矩陣的每一個元素，這種方法稱為直接剛度法2）能量原理法 當用位移型有限元法

16、進行結(jié)構(gòu)分析時，一般采用虛功原理法 或最小勢能原理注：力型有限元法一般則采用余虛功原理或最小余能原理。對于非結(jié)構(gòu)問題，如流場、溫度場、電磁場等，一般均采用變分法來分析單元特性。 單元組集的目的是為了實現(xiàn)總體分析。利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件把各個單元按原來的結(jié)構(gòu)重新聯(lián)接起來，形成整體的有限元方程，即整體剛度方程。2.5 單元組集 根據(jù)方程組的具體特點選擇合適的計算方法，解有限元方程(2.1)得出結(jié)構(gòu)結(jié)點位移。進而通過各單元結(jié)點位移可求出單元內(nèi)任意一點的位移、應變、應力。 通過上述分析可以看出，有限元法的基本思想是“一分一合”，分是為了進行單元分析，合則是為了對整體結(jié)構(gòu)進行綜合分析。只有通過整體有限元方

17、程才能求解出全部結(jié)點位移。2.6 解結(jié)構(gòu)有限元方程，求解未知結(jié)點位移 由于有限元法用于桿系，具有十分清晰的物理意義，所以，為了便于說明有限元解題的基本思路與過程，又能說明剛度矩陣的概念，本例以桿系結(jié)構(gòu)作為分析實例。圖31所示的平面桁架結(jié)構(gòu)(1) 結(jié)構(gòu)離散作用在結(jié)點上的外力及桁架內(nèi)各桿的位移都在平面內(nèi)。當用有限元法分析桿系結(jié)構(gòu)時，需要將復雜的結(jié)構(gòu)離散化，通常采用自然離散的形式，也即把結(jié)構(gòu)的桿作為單元，稱為桿單元。有限個桿單元之間，利用有限個結(jié)點相互鉸接（桁架結(jié)構(gòu)的桿件只承受軸向力），以傳遞負荷。P4xP4yxyo1234圖31平面桁架結(jié)構(gòu)2.7 有限元解題過程演示實例(2) 單元的特性進行分析

18、即建立單元有限元方程從圖31中，任取一個桿單元表示為圖32，令其結(jié)點為i、j,Fjx ujVjFjyFix uiViFiyij圖22 桿單元ijKjx,ixKjy,ixKix,ixKiy,ixui=1xy圖23剛度系數(shù)的物理概念桿單元的剛度矩陣可簡單求出。由于桁架結(jié)構(gòu)的桿件只承受軸向力Fa和軸向位移a， 由上述分析可見，單元剛度矩陣的物理意義就是單元抵抗變形的能力，與單向彈簧拉伸剛度不同的是當存在一個單位位移時，桿單元所產(chǎn)生的結(jié)點力不是1個，而是4個結(jié)點力分量。任何1個結(jié)點力分量都是由4個結(jié)點位移分量變化所產(chǎn)生的綜合結(jié)果。可以看出，單元剛度矩陣是實方陣（實際上剛度矩陣是對稱方陣），階數(shù)單元結(jié)點數(shù)單個結(jié)點的自由度數(shù)。如桿單元的單元剛度矩陣階數(shù)224，平面三角形單元的單元剛度矩陣階數(shù)236。(3) 結(jié)構(gòu)有限元方程的建