第一節(jié)-定積分的概念與性質(zhì)課件

1、第五章定積分 積分學(xué)不定積分定積分第一節(jié)一、定積分問題舉例二、 定積分的定義三、 定積分的近似計算定積分的概念及性質(zhì) 第五章 四、 定積分的性質(zhì)一、定積分問題舉例1. 曲邊梯形的面積設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成 ,求其面積 A .矩形面積梯形面積解決步驟 :1) 大化小.在區(qū)間 a , b 中任意插入 n 1 個分點(diǎn)用直線將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形;2) 常代變.在第i 個窄曲邊梯形上任取作以為底 ,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應(yīng)窄曲邊梯形面積得3) 近似和.4) 取極限.令則曲邊梯形面積2. 變速直線運(yùn)動的路程設(shè)某物體作直線運(yùn)動,且求在運(yùn)動時間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程

2、s.解決步驟:1) 大化小.將它分成在每個小段上物體經(jīng)2) 常代變.得已知速度n 個小段過的路程為3) 近似和.4) 取極限 .上述兩個問題的共性: 解決問題的方法步驟相同 :“大化小 , 常代變 , 近似和 , 取極限 ” 所求量極限結(jié)構(gòu)式相同: 特殊乘積和式的極限二、定積分定義 (P225 )任一種分法任取總趨于確定的極限 I , 則稱此極限 I 為函數(shù)在區(qū)間上的定積分,即此時稱 f ( x ) 在 a , b 上可積 .記作積分上限積分下限被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量積分和定積分僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān) ,而與積分變量用什么字母表示無關(guān) ,即定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負(fù)

3、值各部分面積的代數(shù)和可積的充分條件:取定理1.定理2.且只有有限個間斷點(diǎn) (證明略)例1. 利用定義計算定積分解:將 0,1 n 等分, 分點(diǎn)為注注 注. 當(dāng)n 較大時, 此值可作為 的近似值注 利用得兩端分別相加, 得即例2. 用定積分表示下列極限:解:三、定積分的近似計算根據(jù)定積分定義可得如下近似計算方法:將 a , b 分成 n 等份: 1. 左矩形公式例12. 右矩形公式推導(dǎo)3. 梯形公式4. 拋物線法公式拋物線法公式的推導(dǎo)上作拋物線(如圖)則以拋物線為頂?shù)男∏吿菪蚊娣e經(jīng)推導(dǎo)可得：例3. 用梯形公式和拋物線法公式解:計算yi(見右表)的近似值.ixiyi00.04.0000010.1

4、3.9604020.23.8461530.33.6697240.43.4482850.53.2000060.62.9411870.72.6845680.82.4390290.92.20994101.02.00000(取 n = 10, 計算時取5位小數(shù))用梯形公式得用拋物線法公式得積分準(zhǔn)確值為計算定積分四、定積分的性質(zhì)(設(shè)所列定積分都存在)( k 為常數(shù))證:= 右端證: 當(dāng)時,因在上可積 ,所以在分割區(qū)間時, 可以永遠(yuǎn)取 c 為分點(diǎn) ,于是當(dāng) a , b , c 的相對位置任意時, 例如則有6. 若在 a , b 上則證:推論1. 若在 a , b 上則推論2.證:即7. 設(shè)則例4. 試證:

5、證: 設(shè)則在上, 有即故即8. 積分中值定理則至少存在一點(diǎn)使證:則由性質(zhì)7 可得根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)介值定理,使因此定理成立.性質(zhì)7 說明: 可把故它是有限個數(shù)的平均值概念的推廣. 積分中值定理對因例5. 計算從 0 秒到 T 秒這段時間內(nèi)自由落體的平均速度. 解: 已知自由落體速度為故所求平均速度內(nèi)容小結(jié)1. 定積分的定義 乘積和式的極限2. 定積分的性質(zhì)3. 積分中值定理矩形公式 梯形公式連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的平均值公式近似計算拋物線法公式思考與練習(xí)1. 用定積分表示下述極限 :解:或思考:如何用定積分表示下述極限 提示:極限為 0 !2. P235 題33. P236 題13 (2) , (

6、4)題13(4) 解:設(shè)則即作業(yè) P235 *2 (2) ; 6 ; 7 ; 10 (3) , (4) ; 12(3) ; 13 (1) , (5) 第二節(jié) 二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 三、牛頓 萊布尼茨公式 一、引例 第二節(jié)微積分的基本公式 第五章 一、引例 在變速直線運(yùn)動中, 已知位置函數(shù)與速度函數(shù)之間有關(guān)系:物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程為這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 .二、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)則變上限函數(shù)證:則有定理1. 若說明:1) 定理 1 證明了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.2) 其他變限積分求導(dǎo):同時為通過原函數(shù)計算定積分開辟了道路 .例1. 求解:原式說明 例2.

7、確定常數(shù) a , b , c 的值, 使解:原式 = c 0 , 故又由, 得洛洛例3. 證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù) . 證:只要證三、牛頓 萊布尼茨公式( 牛頓 - 萊布尼茨公式) 證:根據(jù)定理 1,故因此得記作定理2.函數(shù) ,則或例4. 計算解:例5. 計算正弦曲線的面積 . 解:例6. 汽車以每小時 36 km 的速度行駛 ,速停車,解: 設(shè)開始剎車時刻為則此時刻汽車速度剎車后汽車減速行駛 , 其速度為當(dāng)汽車停住時,即得故在這段時間內(nèi)汽車所走的距離為剎車,問從開始剎到某處需要減設(shè)汽車以等加速度車到停車走了多少距離? 內(nèi)容小結(jié)則有1. 微積分基本公式積分中值定理微分中值定理牛頓 萊布尼茨公式2

8、. 變限積分求導(dǎo)公式 作業(yè)第三節(jié) P243 3 ; 4 ; 5 (3) ; 6 (8) , (11) , (12) ; 9 (2) ; 12備用題解：1.設(shè)求定積分為常數(shù) ,設(shè), 則故應(yīng)用積分法定此常數(shù) .2. 設(shè)證：試證: 當(dāng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 時, = o( ) . 所以 = o( ) . 洛3.求解: 由于的遞推公式(n為正整數(shù)) . 因此所以其中二、定積分的分部積分法 第三節(jié)不定積分一、定積分的換元法 換元積分法分部積分法定積分換元積分法分部積分法定積分的換元法和 分部積分法 第五章 一、定積分的換元法 定理1. 設(shè)函數(shù)單值函數(shù)滿足:1)2) 在上證: 所證等式兩邊被積函數(shù)

9、都連續(xù),因此積分都存在 ,且它們的原函數(shù)也存在 .是的原函數(shù) ,因此有則則說明:1) 當(dāng) 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .因此, 當(dāng) p 1 時, 反常積分收斂 , 其值為當(dāng) p1 時, 反常積分發(fā)散 . 例3. 計算反常積分解:二、無界函數(shù)的反常積分引例:曲線所圍成的與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作其含義可理解為 定義2. 設(shè)而在點(diǎn) a 的右鄰域內(nèi)無界,存在 ,這時稱反常積分收斂 ;如果上述極限不存在,就稱反常積分發(fā)散 .類似地 , 若而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,若極限數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 則定義則稱此極限為函 記作若被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個

10、第一類 說明: 而在點(diǎn) c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分,無界點(diǎn)常稱鄰域內(nèi)無界 ,為瑕點(diǎn)(奇點(diǎn)) .例如,間斷點(diǎn),而不是反常積分. 則本質(zhì)上是常義積分, 則定義注意: 若瑕點(diǎn)計算表達(dá)式 : 則也有類似牛 萊公式的若 b 為瑕點(diǎn), 則若 a 為瑕點(diǎn), 則若 a , b 都為瑕點(diǎn), 則則可相消嗎?下述解法是否正確: , 積分收斂例4. 計算反常積分解: 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以原式例5. 討論反常積分的收斂性 . 解:所以反常積分發(fā)散 .例6. 證明反常積分證: 當(dāng) q = 1 時,當(dāng) q 1 時收斂 ; q1 時發(fā)散 .當(dāng) q1 時所以當(dāng) q 0 ; (2) 在(a, b) 內(nèi)存在點(diǎn) , 使 (3) 在(a, b) 內(nèi)存在與 相異的點(diǎn) , 使 (2003 考研) 證: (1) 由 f (x)在a, b上連續(xù), 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)內(nèi)單