一、正反演問題的概述資料

1、地球物理反演(fn yn)概論 I講授提綱(tgng)一、正反演問題的概述二、不適定問題及其穩(wěn)定性 三、 Backus-Gilbert線性反演理論 四、解線性反問題的基本數(shù)值方法 五、直接非線性反演方法六、地球物理中的正反演應(yīng)用實例共四十三頁課程(kchng)特點是地球物理學(xué)專業(yè)的必修課程；是學(xué)生在學(xué)習(xí)計算數(shù)學(xué)、高等物理等基礎(chǔ)(jch)課程之后的專業(yè)基礎(chǔ)(jch)課；理論性和實踐性均較強。共四十三頁了解并認(rèn)識地球物理反演理論和方法；了解地球物理問題和數(shù)學(xué)物理問題的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；把地球物理問題變?yōu)閿?shù)學(xué)問題，反過來又學(xué)會把解數(shù)學(xué)問題與地球物理實際問題有機(yuj)聯(lián)系在一起。課程(kchng)重點

2、共四十三頁（1）地球物理反演問題的一般理論，模型空間，數(shù)據(jù)空間，零空間，解的存在性、惟一性、穩(wěn)定性，適定與不適定問題。（2）線性反演理論及方法(fngf)，長度的概念，模型構(gòu)制，解的非惟一性，穩(wěn)定性和結(jié)果評價，參數(shù)化模型的最小長度解。 （3）廣義線性反演，廣義逆矩陣，廣義逆的求解方法。課程主要(zhyo)內(nèi)容：共四十三頁（4）Backus-Gilbert反演理論(lln)，連續(xù)介質(zhì)反演理論，BG線性評價。（5）非線性反演方法，非線性問題的線性化，最優(yōu)化法，阻尼最小二乘法，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法，遺傳算法，多尺度反演。 （6）典型地球物理反演實例。 課程主要(zhyo)內(nèi)容：共四十三頁主要參考文獻1地球

3、物理反演基本理論與應(yīng)用方法，中國地質(zhì)大學(xué)“211”工程建設(shè)重點資助系列教材，姚姚主編，中國地質(zhì)大學(xué)出版社，2002。2地球物理反演問題，傅淑芳等編著，地震出版社，1998。3數(shù)字信號分析與處理(chl)，朱光明，李慶春等編著，陜西人民教育出版社，2003。4地球物理反演理論，王家映編著，高等教育出版社，2002。5反演理論及其應(yīng)用，徐果明編著，地震出版社，2003。6地球物理反演的理論和方法，楊文采編著，地質(zhì)出版社，1997。7地球物理數(shù)據(jù)分析離散反演理論，王光明等譯，地質(zhì)出版社，1988。8Inverse Problem Theorymethods for data fitting and

4、model parameter estimation, A.Tarantola(中譯本,張先康譯)。9 Geophysical Data Analysis : Discrete Inverse Theory,Willian Menke,College of Oceanography,Oregon State University,ACADEMIC PRESS, INC.,1984共四十三頁本節(jié)課主要(zhyo)講授:一、正反演問題的概述（緒論）主要內(nèi)容:正反演問題一般原理及實例；地球物理反演的陳述方式和主要觀點；對反問題的描述（數(shù)學(xué)(shxu)形式、適定性、解及其評價、反演問題的局限性）。 共

5、四十三頁目的及要求：對地球物理正反演問題有概括的了解，建立一般概念；明確(mngqu)其一般數(shù)學(xué)表達形式；解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性評價等。 共四十三頁 在科學(xué)實踐中，反演是一種相當(dāng)普遍的手段。地球物理反演則是通過對地面、地下、空間，甚至海洋上的觀測（地震儀、重力儀、地電及地磁儀）資料進行分析計算，來推斷(tudun)地球內(nèi)部介質(zhì)的地震波速度、密度、電導(dǎo)率等參數(shù)的分布，從而得到地球內(nèi)部介質(zhì)分布的二維或三維結(jié)構(gòu)圖像。 共四十三頁 在掌握了事物的發(fā)展規(guī)律和事物之間相互作用規(guī)律的基礎(chǔ)上，便有可能由已知參數(shù)（源參數(shù)及介質(zhì)參數(shù)），根據(jù)物理規(guī)律來推測和計算觀測（主要是儀器觀測）得到的資料和數(shù)據(jù)，這一過程稱

6、為正（演）問題。例如由地震的震源參數(shù)，根據(jù)彈性(tnxng)動力學(xué)規(guī)律，計算各地震臺（檢測點）應(yīng)該記錄到的地震動（到時，動力學(xué)特征），是既有空間尺度又有時間尺度的正演。因此，正問題是由原因推測結(jié)果。共四十三頁 反（演）問題是相對正問題而言的，是由結(jié)果推測原因。這里的結(jié)果應(yīng)該是可以觀測到的，稱為觀測資料。地球物理學(xué)中的反演就是研究把地球物理學(xué)中觀測數(shù)據(jù)映射到相應(yīng)的地球物理模型的理論(lln)和方法。即：觀測數(shù)據(jù)反演數(shù)學(xué)物理模型場源模型參數(shù)。共四十三頁1一般原理及實例（1）正演問題：根據(jù)某些一般原理或模型，以及一系列與所處理的問題有關(guān)的已知條件（初始(ch sh)、邊界條件）來預(yù)測觀測結(jié)果（預(yù)測數(shù)

7、據(jù)）的方法。即：模型參數(shù)模型數(shù)據(jù)的預(yù)測。（2）反演問題：從數(shù)據(jù)及某些一般原理或模型出發(fā)來確定模型參數(shù)的估計值。是相對于正演問題而存在的。即：數(shù)據(jù)模型模型參數(shù)的估計值。共四十三頁模型(mxng)空間m逆算子(sun z)g算子g數(shù)據(jù)空間d共四十三頁(3）反演(fn yn)的過程：地面觀測(gunc)條件及地下情況的復(fù)雜多變,使反演受到許多限制，一般過程：1）根據(jù)物理原理作某些簡化之后再作數(shù)學(xué)抽象，提出初始模型，建立理論公式；2）通過正演，明確規(guī)律及法則，提出地球物理泛函，根據(jù)初始模型給出計算值；3）給出穩(wěn)定可行的反演算法；4）在一定約束下調(diào)整模型參數(shù)，使之符合規(guī)則數(shù)據(jù)的最佳地球物理模型。共四十三

8、頁(4）重要(zhngyo)進展：近二十年來，隨著觀測和計算技術(shù)的發(fā)展而得到大大推動： Backus&Gilbert：系統(tǒng)研究了反問題解的存在性、穩(wěn)定性、惟一性、分辨率、方差和求解方法及約束求解； William Menke：離散(lsn)反演理論用于地球物理數(shù)據(jù)分析。共四十三頁（5）反演理論可以幫助回答的問題：（a）反問題之間的根本相似性是什么？（b）如何得到模型參數(shù)(cnsh)的估計值？（c）模型參數(shù)估計值中的誤差有多少來自測量值的誤差？（d）給定一個特定的實驗設(shè)計就能真正確定某一組模型參數(shù)嗎？共四十三頁反問題存在多種答案和用來評價這些答案“優(yōu)度”的準(zhǔn)則，反演理論的研究課題都涉及到識別何時

9、某些準(zhǔn)則比其它的準(zhǔn)則更適用，以及盡量發(fā)現(xiàn)并避免(bmin)可能出現(xiàn)的失誤。共四十三頁（6）反問題的例子：（a）醫(yī)學(xué)層析成象；（b）圖象增強；（c）曲線擬合；（d）因子分析；（e）衛(wèi)星(wixng)導(dǎo)航；（f）利用干涉法測繪宇宙射電源；（g）利用x射線衍射分析分子結(jié)構(gòu)；共四十三頁（h）地球物理反演： 震源定位、層析反演、地震波衰減、地震波走時反演（Hergloz-Wiechert）、聲波層析成像、根據(jù)地球物理數(shù)據(jù)（重、磁、電磁波、彈性波）確定地球結(jié)構(gòu)（異常源）。地球物理反問題研究利用地球物理觀測(gunc)數(shù)據(jù)去反推描述地球物理模型特征的理論和方法。共四十三頁反問題(wnt)的非唯一性的一個例子

10、？共四十三頁2地球物理反演的陳述方式和主要觀點 反演問題在數(shù)學(xué)上常表現(xiàn)為不適定問題反問題的固有特性。（1）地球物理反演問題的陳述方式：（a）給定場方程解的部分信息，要求推算(tu sun)方程的右端或定解域的形狀；（b）給定場方程解的部分信息，要求重建方程的系數(shù)。共四十三頁（1）地球物理反演問題的陳述方式：這是因為，地球物理反問題實質(zhì)上可化為微分方程的反問題：微分方程的中心任務(wù)是尋求(xnqi)其定解問題的解，由微分方程解的某種泛函，來確定方程的系數(shù)、右端或解的定義域。 共四十三頁各種經(jīng)典場形式(xngsh)上都滿足下列偏微分方程（組）： 其中， g(x)是源函數(shù)，L是刻畫場函數(shù)在空間變化規(guī)律

11、的微分算子（通常為二階），例如，對于重力、磁力(cl)和電場，L 為Laplace算子共四十三頁 對于電磁場，在均勻各向同性( xin tn xn)介質(zhì)下，L為Helmholtz算子 其中， 分別為波數(shù)、介質(zhì)的導(dǎo)磁率、導(dǎo)電率、介電常數(shù)、場的角頻率、光在真空中的傳播速度。共四十三頁 對于彈性波場，在均勻、各向同性且完全彈性介質(zhì)下，L為波動(bdng)算子共四十三頁（2）地球物理反演理論的觀點：（a）把數(shù)據(jù)和模型參數(shù)作為隨機變量來處理，強調(diào)的是確定(qudng)它們所服從的概率分布，導(dǎo)致對解的誤差分析及可信度檢驗。共四十三頁觀點：（b）把問題看作由一些確定的參數(shù)(cnsh)來決定的模型，反演方法是

12、求取這些模型參數(shù)(cnsh)的估計值及其誤差，而不涉及概率分布本身。然而，一個估計值常常正是概率分布的期望值，其差別只不過是強調(diào)哪一個而已。共四十三頁觀點：（c）視模型本身為連續(xù)函數(shù)，直接(zhji)對連續(xù)函數(shù)進行處理（如Backus-Gilbert反演方法）。共四十三頁3對反問題(wnt)的描述反演問題主要包括三方面的內(nèi)容：（a）解的適定問題，包括解的存在性、惟一性和穩(wěn)定性；（b）反演問題的求解方法；（c）反演問題的解的評價。共四十三頁解非惟一的根源共四十三頁（1）反演問題的數(shù)學(xué)(shxu)形式共四十三頁共四十三頁 對于連續(xù)模型，兩個連續(xù)函數(shù)d(x)和g(x)的關(guān)系(gun x)可用積分方程

13、表示 是積分函數(shù)（又稱Green函數(shù)）。實際模型的選擇應(yīng)考慮資料精度、分辨尺度、模型的物理意義、算法(sun f)的經(jīng)濟指標(biāo)以及折衷原則等因素。 共四十三頁（2）反演問題的數(shù)學(xué)適定性問題（a）適定性，對于容許的數(shù)據(jù)d的每一集合，問題的解m存在且唯一，且連續(xù)依賴于d，則線性偏微分方程(wi fn fn chn)問題稱為適定問題，或稱其解是適定的。否則為不適定的。 不適定的原因：觀測數(shù)據(jù)存在誤差，計算機位數(shù)有限帶來的誤差等。因此應(yīng)引入附加條件，使其成為適定問題（條件適定Conditionally well posed），這時解變得不唯一。共四十三頁共四十三頁共四十三頁（c）穩(wěn)定性首先考察問題(wn

14、t)的性態(tài)，設(shè)數(shù)據(jù)在定義域D上的數(shù)值是x，需要計算的數(shù)學(xué)問題為f（x），實際上只能知道數(shù)據(jù)的近似值x*，既只能計算f（x*），當(dāng)x*接近x，且f（x*）也與f（x）相接近，那么問題是良態(tài)的即穩(wěn)定的。否則，問題對數(shù)據(jù)的攝動很敏感，則問題是病態(tài)的、不穩(wěn)定的。這時不論用什么算法，其解總是不精確的。 共四十三頁（c）穩(wěn)定性 其次討論算法的數(shù)值穩(wěn)定性，反演算法相當(dāng)于定義一個(y )新的函數(shù)f*，使對已知的數(shù)據(jù)x產(chǎn)生一個近似解f*（x），當(dāng)x*接近x，該算法使得f（x*）接近于f*（x），那么對于良態(tài)問題表示該算法能使計算解接近精確解算法是數(shù)值穩(wěn)定的。共四十三頁（3）反演問題的解及其評價對于反演問題的解（

15、答），人們往往習(xí)慣于希望(xwng)象解正問題一樣得到解的確切數(shù)值。實際上得到的是：在下面兩類信息之間作出的各種折衷，一類是人們確實希望得到的信息，另一類是從已知資料（數(shù)據(jù)）實際能得到的信息。不同折衷方案給出反問題的不同解的形式。（a）模型參數(shù)的估計值（b）模型參數(shù)的約束值（c）模型參數(shù)的加權(quán)平均值共四十三頁模型參數(shù)的估計值最簡單類型的解是模型參數(shù)的估計值。估算( sun)值本身不能給出有關(guān)解的質(zhì)量信息，若給出解的適定性評價之后，此估算( sun)值是最有用的一類。模型參數(shù)的約束值 給出解的約束值，來確定估值的可靠性。約束可以是確定型的，也可能是概率型的。模型參數(shù)的加權(quán)平均值在許多情況下，有可

16、能辨認(rèn)模型參數(shù)的組合或平均值，在某種意義上，這樣比確定模型參數(shù)本身更好。共四十三頁解的質(zhì)量評價與求解是同等(tngdng)重要的問題。解估計值對資料的擬合程度、對真實解的逼近程以及對誤差的放大程度都是反演問題中解的質(zhì)量的定量評價標(biāo)準(zhǔn)值。共四十三頁（4）反演(fn yn)問題的局限性 反演問題(wnt)中，始終認(rèn)為正演問題(wnt)是已知的。 僅限于研究那些可以用數(shù)值來表示的觀測資料和問題。目前自然界中不是所有物理問題都已弄清它們的機理而能提出明確的數(shù)學(xué)模型（如地球起源、地震成因等），因此其反問題還無法研究。 共四十三頁內(nèi)容摘要地球物理反演概論 I。（5）非線性反演方法，非線性問題的線性化，最優(yōu)