高中數(shù)學(xué)對(duì)稱問(wèn)題分類

1、高中數(shù)學(xué)對(duì)稱問(wèn)題分類對(duì)稱問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈敏的對(duì)稱問(wèn)題，為使對(duì)稱問(wèn)題的知識(shí)系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)或直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題1、設(shè)點(diǎn)Px，y關(guān)于點(diǎn)a,b對(duì)稱點(diǎn)為Px，y，x=2a-x由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y=2b-y2、點(diǎn)Px，y關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對(duì)稱點(diǎn)為x=x-Ax+By+CPx，y那么y=y-AX+BY+C事實(shí)上：PPL及PP的中點(diǎn)在直線L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結(jié)論。- =-1B0特別地，點(diǎn)Px，y關(guān)于1、x軸和y軸的對(duì)稱點(diǎn)分別為x，-y和-x，y2、直線x=a和y=a的對(duì)標(biāo)點(diǎn)分別為2a-x

2、，y和x，2a-y3、直線y=x和y=-x的對(duì)稱點(diǎn)分別為y，x和-y，-x例1 光線從A3,4發(fā)出后經(jīng)過(guò)直線x-2y=0反射，再經(jīng)過(guò)y軸反射，反射光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,5，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)A5,0，B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B為-1,5，直線AB的方程為5x+6y-25=0C0, 直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱曲線問(wèn)題求曲線Fx，y=0關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱曲線方程時(shí)，只須將曲線Fx，y=O上任意一點(diǎn)x，y關(guān)于點(diǎn)或直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)交換方程Fx，y=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。1、曲線Fx，y=

3、0關(guān)于點(diǎn)a,b的對(duì)稱曲線的方程是F2a-x，2b-y=02、曲線Fx，y=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱的曲線方程是Fx-Ax+By+C，y-Ax+By+C=0特別地，曲線Fx，y=0關(guān)于1x軸和y軸對(duì)稱的曲線方程分別是Fx，-y和F-x，y=02關(guān)于直線x=a和y=a對(duì)稱的曲線方程分別是F2a-x，y=0和Fx，2a-y=03關(guān)于直線y=x和y=-x對(duì)稱的曲線方程分別是Fy，x=0和F-y，-x=0除此以外還有以下兩個(gè)結(jié)論：對(duì)函數(shù)y=fx的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保存y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象得到y(tǒng)=f|x|的圖象;保存x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|fx|的

4、圖象。例2全國(guó)高考試題設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行挪動(dòng)t，s單位長(zhǎng)度后得曲線C1：1寫出曲線C1的方程2證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A , 對(duì)稱。1解 知C1的方程為y=x-t3-x-t+s2證明 在曲線C上任取一點(diǎn)Ba,b，設(shè)B1a1,b1是B關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=t-a13-t-a1b1=a1-t3-a1-t+sB1a1,b1滿足C1的方程B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)在曲線C上曲線C和C1關(guān)于a對(duì)稱我們用前面的結(jié)論來(lái)證：點(diǎn)Px,y關(guān)于A的對(duì)稱點(diǎn)為P1t-x,s-y，為了求得C關(guān)于A的對(duì)稱曲

5、線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=t-x3-t-xy=x-t3-x-t+s此即為C1的方程，C關(guān)于A的對(duì)稱曲線即為C1。三、曲線本身的對(duì)稱問(wèn)題曲線Fx,y=0為中心或軸對(duì)稱曲線的充要條件是曲線Fx,y=0上任意一點(diǎn)Px,y關(guān)于對(duì)稱中心或?qū)ΨQ軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)交換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)前方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)px,y與x軸即y=0的對(duì)稱點(diǎn)px,-y，其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x，y2=-8x關(guān)于x軸對(duì)稱。例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：A、關(guān)于y軸對(duì)稱 B、關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱C、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D、關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱解：在方程中以-x換x，同時(shí)以-y換y得-

6、x-y2-x2-y=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題我們有如下幾個(gè)重要結(jié)論：1、函數(shù)fx定義線為R，a為常數(shù)，假設(shè)對(duì)任意xR，均有fa+x=fa-x，那么y=fx的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱。這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對(duì)稱，且其函數(shù)值相等，說(shuō)明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對(duì)稱，由x的任意性可得結(jié)論。例如對(duì)于fx假設(shè)tR均有f2+t=f2-t那么fx圖象關(guān)于x=2對(duì)稱。假設(shè)將條件改為f1+t=f3-t或ft=f4-t結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m那么得f2+m=f2-m;第二式中令t=2+m，也得f2+m=f2-m，所以

7、仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對(duì)稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：2、函數(shù)fx定義域?yàn)镽，a、b為常數(shù)，假設(shè)對(duì)任意xR均有fa+x=fb-x，那么其圖象關(guān)于直線x= 對(duì)稱。我們?cè)賮?lái)討論以下問(wèn)題：假設(shè)將條件改為f2+t=-f2-t結(jié)論又如何呢?試想假如2改成0的話得ft=-ft這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于0,0成中心對(duì)稱，如今是f2+t=-f2-t造成了平移，由此我們猜測(cè)，圖象關(guān)于M2，0成中心對(duì)稱。如圖，取點(diǎn)A2+t，f2+t其關(guān)于M2，0的對(duì)稱點(diǎn)為A2-x，-f2+x-f2+X=f2-xA的坐標(biāo)為2-x，f2-x顯然在圖象上圖象關(guān)于M2，0成中心對(duì)稱。其實(shí),任何一門學(xué)科都離不開(kāi)死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧

8、,“死記之后會(huì)“活用。不記住那些根底知識(shí),怎么會(huì)向高層次進(jìn)軍?尤其是語(yǔ)文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識(shí)抓起,每天擠一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語(yǔ)、新穎的材料等。這樣,就會(huì)在有限的時(shí)間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無(wú)限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。假設(shè)將條件改為fx=-f4-x結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子?？傊f(shuō)話時(shí)外部

9、表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛(ài)說(shuō)話敢說(shuō)話的興趣，對(duì)一些說(shuō)話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽(tīng)，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話的勇氣和把話說(shuō)好的信心。三是要提明確的說(shuō)話要求，在說(shuō)話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個(gè)幼兒在說(shuō)話時(shí)要儀態(tài)大方，口齒清楚，

10、聲音響亮，學(xué)會(huì)用眼神。對(duì)說(shuō)得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表?yè)P(yáng)，并要其他幼兒模擬。長(zhǎng)期堅(jiān)持，不斷訓(xùn)練，幼兒說(shuō)話膽量也在不斷進(jìn)步。要練說(shuō)，先練膽。說(shuō)話膽小是幼兒語(yǔ)言開(kāi)展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說(shuō)話時(shí)顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽(tīng)；有的低頭不語(yǔ)，扯衣服，扭身子。總之，說(shuō)話時(shí)外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個(gè)關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語(yǔ)言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時(shí)，我總是笑臉相迎，聲音親切，動(dòng)作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動(dòng)的、無(wú)拘無(wú)束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說(shuō)話的習(xí)慣。或在課堂教學(xué)中，改變過(guò)去老師講學(xué)生聽(tīng)的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個(gè)幼兒較多的當(dāng)眾說(shuō)話的時(shí)機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛(ài)說(shuō)話敢說(shuō)話的興趣，對(duì)一些說(shuō)話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽(tīng)，熱情地幫助和鼓勵(lì)他把話說(shuō)完、說(shuō)好，增強(qiáng)其說(shuō)話的勇氣和把話說(shuō)好的信心。三是要提明確