高中數(shù)學(xué)對稱問題分類

1、高中數(shù)學(xué)對稱問題分類對稱問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈敏的對稱問題，為使對稱問題的知識系統(tǒng)化，本文特作以下歸納。一、點關(guān)于點或直線對稱點問題1、設(shè)點Px，y關(guān)于點a,b對稱點為Px，y，x=2a-x由中點坐標(biāo)公式可得：y=2b-y2、點Px，y關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對稱點為x=x-Ax+By+CPx，y那么y=y-AX+BY+C事實上：PPL及PP的中點在直線L上，可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結(jié)論。- =-1B0特別地，點Px，y關(guān)于1、x軸和y軸的對稱點分別為x，-y和-x，y2、直線x=a和y=a的對標(biāo)點分別為2a-x

2、，y和x，2a-y3、直線y=x和y=-x的對稱點分別為y，x和-y，-x例1 光線從A3,4發(fā)出后經(jīng)過直線x-2y=0反射，再經(jīng)過y軸反射，反射光線經(jīng)過點B1,5，求射入y軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖，由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對稱點A5,0，B關(guān)于y軸對稱點B為-1,5，直線AB的方程為5x+6y-25=0C0, 直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關(guān)于點或直線的對稱曲線問題求曲線Fx，y=0關(guān)于點或直線的對稱曲線方程時，只須將曲線Fx，y=O上任意一點x，y關(guān)于點或直線的對稱點的坐標(biāo)交換方程Fx，y=0中相應(yīng)的作稱即得，由此我們得出以下結(jié)論。1、曲線Fx，y=

3、0關(guān)于點a,b的對稱曲線的方程是F2a-x，2b-y=02、曲線Fx，y=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是Fx-Ax+By+C，y-Ax+By+C=0特別地，曲線Fx，y=0關(guān)于1x軸和y軸對稱的曲線方程分別是Fx，-y和F-x，y=02關(guān)于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F2a-x，y=0和Fx，2a-y=03關(guān)于直線y=x和y=-x對稱的曲線方程分別是Fy，x=0和F-y，-x=0除此以外還有以下兩個結(jié)論：對函數(shù)y=fx的圖象而言，去掉y軸左邊圖象，保存y軸右邊的圖象，并作關(guān)于y軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f|x|的圖象;保存x軸上方圖象，將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|fx|的

4、圖象。例2全國高考試題設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行挪動t，s單位長度后得曲線C1：1寫出曲線C1的方程2證明曲線C與C1關(guān)于點A , 對稱。1解 知C1的方程為y=x-t3-x-t+s2證明 在曲線C上任取一點Ba,b，設(shè)B1a1,b1是B關(guān)于A的對稱點，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：s-b1=t-a13-t-a1b1=a1-t3-a1-t+sB1a1,b1滿足C1的方程B1在曲線C1上，反之易證在曲線C1上的點關(guān)于點A的對稱點在曲線C上曲線C和C1關(guān)于a對稱我們用前面的結(jié)論來證：點Px,y關(guān)于A的對稱點為P1t-x,s-y，為了求得C關(guān)于A的對稱曲

5、線我們將其坐標(biāo)代入C的方程，得：s-y=t-x3-t-xy=x-t3-x-t+s此即為C1的方程，C關(guān)于A的對稱曲線即為C1。三、曲線本身的對稱問題曲線Fx,y=0為中心或軸對稱曲線的充要條件是曲線Fx,y=0上任意一點Px,y關(guān)于對稱中心或?qū)ΨQ軸的對稱點的坐標(biāo)交換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)前方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點px,y與x軸即y=0的對稱點px,-y，其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x，y2=-8x關(guān)于x軸對稱。例3 方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：A、關(guān)于y軸對稱 B、關(guān)于直線x+y=0對稱C、關(guān)于原點對稱 D、關(guān)于直線x-y=0對稱解：在方程中以-x換x，同時以-y換y得-

6、x-y2-x2-y=-2x，即xy2-x2y=2x方程不變曲線關(guān)于原點對稱。函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點的對稱問題我們有如下幾個重要結(jié)論：1、函數(shù)fx定義線為R，a為常數(shù)，假設(shè)對任意xR，均有fa+x=fa-x，那么y=fx的圖象關(guān)于x=a對稱。這是因為a+x和a-x這兩點分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對稱，且其函數(shù)值相等，說明這兩點關(guān)于直線x=a對稱，由x的任意性可得結(jié)論。例如對于fx假設(shè)tR均有f2+t=f2-t那么fx圖象關(guān)于x=2對稱。假設(shè)將條件改為f1+t=f3-t或ft=f4-t結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m那么得f2+m=f2-m;第二式中令t=2+m，也得f2+m=f2-m，所以

7、仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對稱，由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：2、函數(shù)fx定義域為R，a、b為常數(shù)，假設(shè)對任意xR均有fa+x=fb-x，那么其圖象關(guān)于直線x= 對稱。我們再來討論以下問題：假設(shè)將條件改為f2+t=-f2-t結(jié)論又如何呢?試想假如2改成0的話得ft=-ft這是奇函數(shù)，圖象關(guān)于0,0成中心對稱，如今是f2+t=-f2-t造成了平移，由此我們猜測，圖象關(guān)于M2，0成中心對稱。如圖，取點A2+t，f2+t其關(guān)于M2，0的對稱點為A2-x，-f2+x-f2+X=f2-xA的坐標(biāo)為2-x，f2-x顯然在圖象上圖象關(guān)于M2，0成中心對稱。其實,任何一門學(xué)科都離不開死記硬背,關(guān)鍵是記憶有技巧

8、,“死記之后會“活用。不記住那些根底知識,怎么會向高層次進(jìn)軍?尤其是語文學(xué)科涉獵的范圍很廣,要真正進(jìn)步學(xué)生的寫作程度,單靠分析文章的寫作技巧是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的,必須從根底知識抓起,每天擠一點時間讓學(xué)生“死記名篇佳句、名言警句,以及豐富的詞語、新穎的材料等。這樣,就會在有限的時間、空間里給學(xué)生的腦海里注入無限的內(nèi)容。日積月累,積少成多,從而收到水滴石穿,繩鋸木斷的成效。假設(shè)將條件改為fx=-f4-x結(jié)論一樣，推廣至一般可得以下重要結(jié)論：要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子。總之，說話時外部

9、表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當(dāng)眾說話的時機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確的說話要求，在說話訓(xùn)練中不斷進(jìn)步，我要求每個幼兒在說話時要儀態(tài)大方，口齒清楚，

10、聲音響亮，學(xué)會用眼神。對說得好的幼兒，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表揚(yáng)，并要其他幼兒模擬。長期堅持，不斷訓(xùn)練，幼兒說話膽量也在不斷進(jìn)步。要練說，先練膽。說話膽小是幼兒語言開展的障礙。不少幼兒當(dāng)眾說話時顯得害怕：有的結(jié)巴重復(fù)，面紅耳赤；有的聲音極低，自講自聽；有的低頭不語，扯衣服，扭身子。總之，說話時外部表現(xiàn)不自然。我抓住練膽這個關(guān)鍵，面向全體，偏向差生。一是和幼兒建立和諧的語言交流關(guān)系。每當(dāng)和幼兒講話時，我總是笑臉相迎，聲音親切，動作親昵，消除幼兒畏懼心理，讓他能主動的、無拘無束地和我交談。二是注重培養(yǎng)幼兒敢于當(dāng)眾說話的習(xí)慣?；蛟谡n堂教學(xué)中，改變過去老師講學(xué)生聽的傳統(tǒng)的教學(xué)形式，取消了先舉手后發(fā)言的約束，多采取自由討論和談話的形式，給每個幼兒較多的當(dāng)眾說話的時機(jī)，培養(yǎng)幼兒愛說話敢說話的興趣，對一些說話有困難的幼兒，我總是認(rèn)真地耐心地聽，熱情地幫助和鼓勵他把話說完、說好，增強(qiáng)其說話的勇氣和把話說好的信心。三是要提明確