相似三角形培優(yōu)專題

1、相似三角形培優(yōu)專題1.如圖，在 Rt&BC 中，Z ACB=90 , CDLAB 于 D.求證：(1)4ACDs ABC;2(2)AC =AD*B;2(3)CD =ADRB.證明：(1)/ACB=90 , CD LAB,.Z CDA = 90 = Z ACB,. Z A= Z A,.ACDA ABC./A ACDA ABC,.AC =ADAB AC 2 .AC = AD SB;.CDAB,.Z ADC= Z BDC = 90 ,. /A+/ACD = 90 , Z ACB= 90.Z A+ZB= 90Z ACD= Z B.A ACDA BCD,.CD _ADBD - CD 2.CD = ADZ

2、)B .2.如圖，點 C, D在線段AB上，4PCD是等邊三角形，且 /APB=120,求證: (1)AACPA PDB,(2)CD2=ACjBD.證明：(1);4 PCD是等邊三角形，/ PCD = / PDC = / CPD = 60, ./ACP= ZPDB = 120,. / APB= 120 ,./ APC+/ BPD= 60,. / CAP+Z APC=60./ BPD= / CAP, .,.ACPAPDB ;(2)由(1)得 AACPs PDB ,PD BD.PCD是等邊三角形,.-.PC = PD=CD,AC CD一二一，CD BD.CD2=AC?BD.3.如圖，正方形 DEF

3、G的邊EF在4ABC的邊BC上，頂點D、G分別在邊 AB、AC上，已知那BC 的邊 BC= 15,高 AH= 10,(1)求證：AADGsABC;(2)求這個正方形的邊長和面積.解：(1)二.四邊形形DEFG是正方形,DG / BC.ADGAABC;(2)如圖，高 AH交DG于M, 設正方形 DEFG的邊長為x,則DE = MH=x,AM = AH - MH= 10 - x,. ADGA ABC,DG AM- ，BC AH,x 10f，1510. . x = 6,x2= 36.答：正方形DEFG的邊長和面積分別為 6, 36.4.如圖，有一塊三角形的余料 ABC,它的高 AH = 40mm,邊

4、BC=80mm,要把它加工成一個矩 形，使矩形的一邊 EF落在BC上，其余兩個頂點 D、G分別在AB、AC上.(1)求證： ADGA ABC;(2)設DE = xmm,矩形DEFG的面積為ymm2,寫出y與x的函數(shù)關系式；解：(1)二.四邊形DEFG是矩形,DG / EF,.ADGAABC, DE=xRH = DE = xAR=AH-RH =40-x.ADGAABC,DG AR 二 , BC AH.DG 40 -x, , ， 8040 .DG = 2 (40-x)y = x?2 ( 40 - x) = - 2x2+80 x5.如圖，在 GABC中，Z B=90, AB=20m, BC=12m,

5、點P從點A開始沿 AB邊向點 B以2m/s 的速度移動，點 Q從點B開始沿BC邊向點C以1m/s的速度移動，P、Q分別從A、B點同時 出發(fā)，時間為ts.求當t為何值時，APBQ與祥BC相似？解：由題意得，BP=20-2t, BQ-t,當4PBQ與AABC相似時，=或=BA BC BC BA TOC o 1-5 h z 20-2tt 20-2tt即1=一或二一，2012122060100解得，t二/或t二大，1113“100當t=7T或t二二時，4PBQ與9BC相似；6.如圖，已知AABC中AB=6cm, AC=4cm,動點D、E同時從 A、B兩點出發(fā)，分別沿 AC、B-A 方向勻速移動，它們的

6、速度分別是1cm/s和2cm/s,當點E到達點A時，D、E兩點停止運動.設運動時間為t(s),問：當t為何值時， 那DE與9BC相似？解：根據(jù)題意得： BE=2t, AD = t,.AE=6- 2t,AE AD當=時，AB AC TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark27 o Current Document 6-2t tI?即 =一，解得：t二；647AE AD當一=時，AC AB HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 6-2t tg即 * =一,解得：t二-；464g 12綜上所述：當t二二或一時，AADE與AAB

7、C相似.4 7.如圖所示，矩形 ABCD中，AB=8, BC= 6, P是線段BC上的一點(P不與B重合)，M是DB 上一點且 BP=DM,設BP=x, 4MBP的面積為 y.(1)求y與x的函數(shù)關系式.(2)寫出自變量的取值范圍.解：(1)矩形 ABCD 中，ZC = 90, CD = AB=8,根據(jù)勾股定理得，BD = /根+CD? = V空+群=10,過點M作MN XBC于N,則MN / CD,所以，ABNMsBCD,MN BM.一 一二MN 10 TOC o 1-5 h z 即,S10“口4解得 MN 二二(10 一x),2所以，4MBP 的面積為 y=.BP7MN=-x7(10-x)=x2+4x HYPERLINK l bookmark39 o Current Document 22 55即y與x的函數(shù)關系式為y二一三x2+4x;J(2)P是線段BC上的一點(P不與B重合)，BC=6,0 x6.如圖，RtAABC 中，/ B=90 , AB= 12cm, BC= 10cm,點 D 從點 A 出發(fā)沿 AB 以 2cm/s 的速度 向點B移動，到達點B處停止運動，在移動過程中始終保持DE / BC, DF /AC（點E、F分別在AC、BC上）.求經過t時四邊形 DFCE的面積y.解：運動時間為 t,則 AD=2tcm, DB=(12-2t)cm.DE / BC