傅里葉光學第1章-傅里葉分析課件

1、本章主要內(nèi)容1、常用函數(shù)2、卷積和相關(guān)3、空間頻率及空間頻譜4、傅里葉級數(shù)5、傅里葉變換本章教學目標1、本章及下一章內(nèi)容都將介紹傅里葉光學中基礎(chǔ)理論，包括常用函數(shù)、常見的光學運算，以及傅里葉變換方法和線性系統(tǒng)理論。2、本章主要介紹傅里葉變換方法，使學生掌握一些常用函數(shù)的傅里葉變換；3、理解常見光學運算，特別是卷積和相關(guān)運算的基本概念，并將兩者與傅里葉變換聯(lián)系起來。1、一些常用函數(shù)1）階躍函數(shù) (Step function)定義應用如同一個“開關(guān)”，可在某點“開啟”或“關(guān)閉”另一個函數(shù)，常用來表示直邊（或刀口）的透過率。1、一些常用函數(shù)2）符號函數(shù) (Sign function)定義應用Sgn(

2、x-x0)表示間斷點移到x0的符號函數(shù)，當它與某函數(shù)相乘，可使函數(shù)xx0部分的函數(shù)極性改變。相位板x0y0o1、一些常用函數(shù)3）矩形函數(shù) (Rectangle function) 定義應用常用矩形函數(shù)表示狹縫、矩孔的透過率；它與某函數(shù)相乘時，可限制該函數(shù)自變量的范圍，起到截取的作用，故又常稱為“門函數(shù)”。1、一些常用函數(shù)4）三角形函數(shù) (Triangle function) 定義應用常用來表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學傳遞函數(shù)。1、一些常用函數(shù)5）sinc函數(shù) (Sinc function)定義應用常用來描述狹縫或矩形孔的夫瑯和費衍射圖樣。零點位置：思考題：能否寫出sinc2函數(shù)的表達式

3、并畫出圖形？其與sinc函數(shù)有何區(qū)別？1、一些常用函數(shù)6）高斯函數(shù) (Gauss function) 定義應用常用來描述激光器發(fā)出的高斯光束強度分布。圖形分布特點函數(shù)在原點具有最大值1，曲線下的面積為a。1、一些常用函數(shù)7）圓域函數(shù) (Circle function)定義應用常用來表示圓孔的透過率。1、一些常用函數(shù)8）脈沖函數(shù)( function) 定義應用常用函數(shù)代表點質(zhì)量、點電荷、點脈沖或者其他在某一坐標系中高度集中的物理量。1、一些常用函數(shù)對于實際物理問題而言，函數(shù)只是一種理想化處理，主要目的是使許多物理過程的研究更加方便。脈沖函數(shù)的另一種定義是可以把函數(shù)看作是寬度逐漸減小、高度逐步增大

4、但體積保持為1的一個脈沖序列的極限：1、一些常用函數(shù) 函數(shù)的運算要通過積分作用于另一個函數(shù)才能得到定值，它是一種“廣義函數(shù)”。把函數(shù)當作廣義函數(shù)給出比較嚴格的定義： 是檢驗函數(shù)；要求檢驗函數(shù)是連續(xù)的、在一個有限區(qū)間外為零，并具有所有階的連續(xù)導數(shù)。 1、一些常用函數(shù) 函數(shù)的常用性質(zhì)a) 篩選性質(zhì)b) 對稱性c) 比例變化性質(zhì)d) 與其他函數(shù)的乘積1、一些常用函數(shù)9）梳狀函數(shù)( Comb function)一維情況沿x軸間隔為1的無窮個脈沖函數(shù)的和沿x軸間隔為的無窮個脈沖函數(shù)的和應用可以利用梳狀函數(shù)對其他普通函數(shù)作等間距抽樣。1、一些常用函數(shù)二維情況應用常用二維梳狀函數(shù)表示點光源陣列或小孔陣列的透

5、過率函數(shù)。1、一些常用函數(shù)*10）寬邊帽函數(shù)( Somb function)應用可用來表示圓形光瞳的相干脈沖響應（對應somb)；圓孔光瞳的非相干脈沖響應以及圓孔的夫瑯和費衍射圖樣（對應somb2)。定義1、一些常用函數(shù)圓形光瞳的相干脈沖響應圓孔光瞳的非相干脈沖響應以及圓孔的夫瑯和費衍射圖樣1、一些常用函數(shù) 需要特別說明的是，上面提到的常用函數(shù)有的本身就是二維函數(shù)，而那些只給出一維形式的函數(shù)也具有二維形式，這里不再贅述，只給出這些常用二維函數(shù)的圖形化表示。二維矩形函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維三角形函數(shù) 1、一些常用函數(shù)二維sinc函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維高斯函數(shù)2、卷積和相關(guān)1）卷 積 卷積的定義

6、利用圖解有助于理解卷積運算的真實含義：以一維函數(shù)卷積為例卷積圖解計算的四個步驟：第二步： 位移第一步：折疊第三步：相乘 第四步 積分 圖解計算過程另一例子折疊位移相乘、積分2、卷積和相關(guān) 卷積運算的兩個效應（1）展寬（2）平滑化2、卷積和相關(guān) 卷積的性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律平移不變性2、卷積和相關(guān)定標性質(zhì)若 則注意：函數(shù)的卷積性質(zhì) （1）任意函數(shù)與函數(shù)的卷積是其本身 （2）任意函數(shù)與發(fā)生某一平移的函數(shù)的卷積，則是該函數(shù)平移到脈沖函數(shù)平 移到的空間位置。2、卷積和相關(guān)2）相 關(guān) 相關(guān)運算包括互相關(guān)和自相關(guān)運算兩種 互相關(guān)f(x) g(x) f(x) *g*(-x) 互相關(guān)與卷積的關(guān)系與卷積運算比較

7、差別在于：相關(guān)運算函數(shù)g取復共軛，但不需要折疊，而位移、相乘和積分三個步驟是同樣的。思考題：互相關(guān)運算是否滿足交換律、結(jié)合律？2、卷積和相關(guān)互相關(guān)運算的含義互相關(guān)是兩個信號之間存在多少相似性的量度，兩個完全不同的、毫無關(guān)系的信號，對所有位置，它們互相關(guān)的值應為零。假如兩個信號因為某種物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應位置上就存在非零的互相關(guān)值。2、卷積和相關(guān) 自相關(guān)自相關(guān)的性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)是厄米的，即（2）自相關(guān)函數(shù)在原點的模最大（用施瓦茲不等式關(guān)系），即2、卷積和相關(guān) 自相關(guān)運算的含義自相關(guān)函數(shù)是自變量相差某一值時，函數(shù)值間相關(guān)的量度；當函數(shù)相對本身有平移時，就改變了位移為零時具

8、有的逐點相似性，自相關(guān)的模越小。但是只要信號本身在不同部位存在相似性，相應部位還會產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值。3、傅里葉級數(shù)1）19世紀初，傅里葉在向巴黎科學院提交的關(guān)于熱傳導的著名論文中首次提出了傅里葉級數(shù)的概念；經(jīng)過不斷發(fā)展，在今天，傅里葉分析的方法已經(jīng)被廣泛應用于物理及工程學科的各個領(lǐng)域。2）傅里葉級數(shù)的思想就是用一正交函數(shù)系中各函數(shù)的線性組合來表示某一函數(shù)。常用的正交函數(shù)系包括三角函數(shù)系和復指數(shù)函數(shù)系。 因此，對于某一周期性函數(shù)g(x)，周期是f=1/，如果滿足狄里赫利條件，即在一個周期內(nèi)只有有限個極值點和第一類不連續(xù)點。則該函數(shù)可表示為三角傅里葉級數(shù)和指數(shù)傅里葉級數(shù)的形式。三角傅里葉級數(shù)其

9、中，3、傅里葉級數(shù)指數(shù)傅里葉級數(shù)其中，兩種表達形式之間的聯(lián)系傅里葉系數(shù)是頻率的函數(shù)，稱為頻譜函數(shù)。一般是復函數(shù)，等頻率分量，頻率取值是離散的，所以只有離散譜。 它包括振幅頻譜和相位頻譜。由于周期性函數(shù)只包含* 所謂的研究頻譜就是研究cn與nf 之間的關(guān)系。如果其中，An稱為振幅頻譜，n稱為相位頻譜。3、傅里葉級數(shù)舉例：如下圖所示的周期為=1/f0的矩形波函數(shù)，在一個周期內(nèi)，函數(shù)解析式為（1）展開為三角傅里葉級數(shù)形式為3、傅里葉級數(shù)矩形波的傅里葉綜合3、傅里葉級數(shù)（2）展開為指數(shù)傅里葉級數(shù)形式對應的頻譜為4、傅里葉變換1）對非周期函數(shù)同樣可以作傅里葉分析，只是此時其頻率取值不再 是離散的，而是連

10、續(xù)的。2）傅里葉變換定義及存在條件根據(jù)傅里葉級數(shù)的思想，可把函數(shù)看作復指數(shù)函數(shù)在整個連續(xù)的頻率區(qū)間上的積分和，即其中，稱為g(x)的傅里葉變換或頻譜。G(f )是g(x)在頻率域的表示形式，其作用類似于傅里葉系數(shù)cn，即作為各種頻率成分的權(quán)重因子，描述各復指數(shù)分量的相對幅值和相移。如果G(f )是復函數(shù)，則有則稱A(f)為g(x)的振幅頻譜，(f)為g(x)的相位頻譜。4、傅里葉變換將該定義推廣到二維形式，有思考題：在什么情況下傅里葉積分才有意義？（1）g在整個積分區(qū)域內(nèi)絕對可積；（2）在任一區(qū)域內(nèi)，g必須只有有限個間斷點和有限個極大和極小值；（3）g必須沒有無窮大間斷點4、傅里葉變換3）廣義

11、傅里葉變換 某些函數(shù)并不滿足傅里葉積分的條件，若希望用傅里葉分析討論它們，必須將傅里葉變換定義進行推廣，即進行廣義傅里葉變換。 所謂的廣義傅里葉變換就是將函數(shù)看作某個可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對序列中每一函數(shù)進行變換，組成一個新的變換式序列，這個新序列的極限就是原來函數(shù)的廣義傅里葉變換。舉例：求函數(shù)g(x,y)=1的傅里葉變換顯然該函數(shù)不滿足傅里葉變換的條件，但它可以定義為矩形函數(shù)序列的極限，即不難求出該矩形函數(shù)的傅里葉變換為根據(jù)廣義傅里葉變換的定義4、傅里葉變換4）虛、實、奇、偶函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)空域頻域空域頻域?qū)嵑瘮?shù)厄米型函數(shù)虛值偶函數(shù)虛值偶函數(shù)虛函數(shù)反厄米型函數(shù)*虛值奇函數(shù)實值奇函

12、數(shù)實值偶函數(shù)實值偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)實值奇函數(shù)虛值奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)*: 若實部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)，則函數(shù)是反厄米型函數(shù)。 4、傅里葉變換5）傅里葉變換定理若假設(shè)：線性定理相似性定理平移定理4、傅里葉變換 Parseval定理卷積定理 *自相關(guān)定理傅里葉積分定理4、傅里葉變換6）可分離變量函數(shù)的變換在某個坐標系中，若某個二維函數(shù)可表示為兩個一維函數(shù)的乘積，則稱此函數(shù)在該坐標系中是可分離的，即其對應的傅里葉變換為即是兩一維函數(shù)傅里葉變換式的乘積。4、傅里葉變換7）傅里葉-貝塞爾變換極坐標系中的函數(shù)，當它只是半徑的函數(shù)時，即稱它為圓對稱的。圓對稱函數(shù)的傅里葉變換式為其中，是用極坐標表示的頻率坐標。也是圓對稱函數(shù)，稱之為函數(shù)的傅里葉貝塞爾變換，記為，而的逆變換記為，由下式計算： 4、傅里葉變換8）一些常用函數(shù)的傅里葉變換式本章小結(jié)1）介紹