傅里葉光學(xué)第1章-傅里葉分析課件

1、本章主要內(nèi)容1、常用函數(shù)2、卷積和相關(guān)3、空間頻率及空間頻譜4、傅里葉級(jí)數(shù)5、傅里葉變換本章教學(xué)目標(biāo)1、本章及下一章內(nèi)容都將介紹傅里葉光學(xué)中基礎(chǔ)理論，包括常用函數(shù)、常見(jiàn)的光學(xué)運(yùn)算，以及傅里葉變換方法和線性系統(tǒng)理論。2、本章主要介紹傅里葉變換方法，使學(xué)生掌握一些常用函數(shù)的傅里葉變換；3、理解常見(jiàn)光學(xué)運(yùn)算，特別是卷積和相關(guān)運(yùn)算的基本概念，并將兩者與傅里葉變換聯(lián)系起來(lái)。1、一些常用函數(shù)1）階躍函數(shù) (Step function)定義應(yīng)用如同一個(gè)“開(kāi)關(guān)”，可在某點(diǎn)“開(kāi)啟”或“關(guān)閉”另一個(gè)函數(shù)，常用來(lái)表示直邊（或刀口）的透過(guò)率。1、一些常用函數(shù)2）符號(hào)函數(shù) (Sign function)定義應(yīng)用Sgn(

2、x-x0)表示間斷點(diǎn)移到x0的符號(hào)函數(shù)，當(dāng)它與某函數(shù)相乘，可使函數(shù)xx0部分的函數(shù)極性改變。相位板x0y0o1、一些常用函數(shù)3）矩形函數(shù) (Rectangle function) 定義應(yīng)用常用矩形函數(shù)表示狹縫、矩孔的透過(guò)率；它與某函數(shù)相乘時(shí)，可限制該函數(shù)自變量的范圍，起到截取的作用，故又常稱(chēng)為“門(mén)函數(shù)”。1、一些常用函數(shù)4）三角形函數(shù) (Triangle function) 定義應(yīng)用常用來(lái)表示光瞳為矩形的非相干成像系統(tǒng)的光學(xué)傳遞函數(shù)。1、一些常用函數(shù)5）sinc函數(shù) (Sinc function)定義應(yīng)用常用來(lái)描述狹縫或矩形孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。零點(diǎn)位置：思考題：能否寫(xiě)出sinc2函數(shù)的表達(dá)式

3、并畫(huà)出圖形？其與sinc函數(shù)有何區(qū)別？1、一些常用函數(shù)6）高斯函數(shù) (Gauss function) 定義應(yīng)用常用來(lái)描述激光器發(fā)出的高斯光束強(qiáng)度分布。圖形分布特點(diǎn)函數(shù)在原點(diǎn)具有最大值1，曲線下的面積為a。1、一些常用函數(shù)7）圓域函數(shù) (Circle function)定義應(yīng)用常用來(lái)表示圓孔的透過(guò)率。1、一些常用函數(shù)8）脈沖函數(shù)( function) 定義應(yīng)用常用函數(shù)代表點(diǎn)質(zhì)量、點(diǎn)電荷、點(diǎn)脈沖或者其他在某一坐標(biāo)系中高度集中的物理量。1、一些常用函數(shù)對(duì)于實(shí)際物理問(wèn)題而言，函數(shù)只是一種理想化處理，主要目的是使許多物理過(guò)程的研究更加方便。脈沖函數(shù)的另一種定義是可以把函數(shù)看作是寬度逐漸減小、高度逐步增大

4、但體積保持為1的一個(gè)脈沖序列的極限：1、一些常用函數(shù) 函數(shù)的運(yùn)算要通過(guò)積分作用于另一個(gè)函數(shù)才能得到定值，它是一種“廣義函數(shù)”。把函數(shù)當(dāng)作廣義函數(shù)給出比較嚴(yán)格的定義： 是檢驗(yàn)函數(shù)；要求檢驗(yàn)函數(shù)是連續(xù)的、在一個(gè)有限區(qū)間外為零，并具有所有階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)。 1、一些常用函數(shù) 函數(shù)的常用性質(zhì)a) 篩選性質(zhì)b) 對(duì)稱(chēng)性c) 比例變化性質(zhì)d) 與其他函數(shù)的乘積1、一些常用函數(shù)9）梳狀函數(shù)( Comb function)一維情況沿x軸間隔為1的無(wú)窮個(gè)脈沖函數(shù)的和沿x軸間隔為的無(wú)窮個(gè)脈沖函數(shù)的和應(yīng)用可以利用梳狀函數(shù)對(duì)其他普通函數(shù)作等間距抽樣。1、一些常用函數(shù)二維情況應(yīng)用常用二維梳狀函數(shù)表示點(diǎn)光源陣列或小孔陣列的透

5、過(guò)率函數(shù)。1、一些常用函數(shù)*10）寬邊帽函數(shù)( Somb function)應(yīng)用可用來(lái)表示圓形光瞳的相干脈沖響應(yīng)（對(duì)應(yīng)somb)；圓孔光瞳的非相干脈沖響應(yīng)以及圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣（對(duì)應(yīng)somb2)。定義1、一些常用函數(shù)圓形光瞳的相干脈沖響應(yīng)圓孔光瞳的非相干脈沖響應(yīng)以及圓孔的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣1、一些常用函數(shù) 需要特別說(shuō)明的是，上面提到的常用函數(shù)有的本身就是二維函數(shù)，而那些只給出一維形式的函數(shù)也具有二維形式，這里不再贅述，只給出這些常用二維函數(shù)的圖形化表示。二維矩形函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維三角形函數(shù) 1、一些常用函數(shù)二維sinc函數(shù)1、一些常用函數(shù)二維高斯函數(shù)2、卷積和相關(guān)1）卷 積 卷積的定義

6、利用圖解有助于理解卷積運(yùn)算的真實(shí)含義：以一維函數(shù)卷積為例卷積圖解計(jì)算的四個(gè)步驟：第二步： 位移第一步：折疊第三步：相乘 第四步 積分 圖解計(jì)算過(guò)程另一例子折疊位移相乘、積分2、卷積和相關(guān) 卷積運(yùn)算的兩個(gè)效應(yīng)（1）展寬（2）平滑化2、卷積和相關(guān) 卷積的性質(zhì)交換律分配律結(jié)合律平移不變性2、卷積和相關(guān)定標(biāo)性質(zhì)若 則注意：函數(shù)的卷積性質(zhì) （1）任意函數(shù)與函數(shù)的卷積是其本身 （2）任意函數(shù)與發(fā)生某一平移的函數(shù)的卷積，則是該函數(shù)平移到脈沖函數(shù)平 移到的空間位置。2、卷積和相關(guān)2）相 關(guān) 相關(guān)運(yùn)算包括互相關(guān)和自相關(guān)運(yùn)算兩種 互相關(guān)f(x) g(x) f(x) *g*(-x) 互相關(guān)與卷積的關(guān)系與卷積運(yùn)算比較

7、差別在于：相關(guān)運(yùn)算函數(shù)g取復(fù)共軛，但不需要折疊，而位移、相乘和積分三個(gè)步驟是同樣的。思考題：互相關(guān)運(yùn)算是否滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律？2、卷積和相關(guān)互相關(guān)運(yùn)算的含義互相關(guān)是兩個(gè)信號(hào)之間存在多少相似性的量度，兩個(gè)完全不同的、毫無(wú)關(guān)系的信號(hào)，對(duì)所有位置，它們互相關(guān)的值應(yīng)為零。假如兩個(gè)信號(hào)因?yàn)槟撤N物理上的聯(lián)系在一些部位存在相似性，在相應(yīng)位置上就存在非零的互相關(guān)值。2、卷積和相關(guān) 自相關(guān)自相關(guān)的性質(zhì)：（1）自相關(guān)函數(shù)是厄米的，即（2）自相關(guān)函數(shù)在原點(diǎn)的模最大（用施瓦茲不等式關(guān)系），即2、卷積和相關(guān) 自相關(guān)運(yùn)算的含義自相關(guān)函數(shù)是自變量相差某一值時(shí)，函數(shù)值間相關(guān)的量度；當(dāng)函數(shù)相對(duì)本身有平移時(shí)，就改變了位移為零時(shí)具

8、有的逐點(diǎn)相似性，自相關(guān)的模越小。但是只要信號(hào)本身在不同部位存在相似性，相應(yīng)部位還會(huì)產(chǎn)生不為零的自相關(guān)值。3、傅里葉級(jí)數(shù)1）19世紀(jì)初，傅里葉在向巴黎科學(xué)院提交的關(guān)于熱傳導(dǎo)的著名論文中首次提出了傅里葉級(jí)數(shù)的概念；經(jīng)過(guò)不斷發(fā)展，在今天，傅里葉分析的方法已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于物理及工程學(xué)科的各個(gè)領(lǐng)域。2）傅里葉級(jí)數(shù)的思想就是用一正交函數(shù)系中各函數(shù)的線性組合來(lái)表示某一函數(shù)。常用的正交函數(shù)系包括三角函數(shù)系和復(fù)指數(shù)函數(shù)系。 因此，對(duì)于某一周期性函數(shù)g(x)，周期是f=1/，如果滿(mǎn)足狄里赫利條件，即在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類(lèi)不連續(xù)點(diǎn)。則該函數(shù)可表示為三角傅里葉級(jí)數(shù)和指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的形式。三角傅里葉級(jí)數(shù)其

9、中，3、傅里葉級(jí)數(shù)指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)其中，兩種表達(dá)形式之間的聯(lián)系傅里葉系數(shù)是頻率的函數(shù)，稱(chēng)為頻譜函數(shù)。一般是復(fù)函數(shù)，等頻率分量，頻率取值是離散的，所以只有離散譜。 它包括振幅頻譜和相位頻譜。由于周期性函數(shù)只包含* 所謂的研究頻譜就是研究cn與nf 之間的關(guān)系。如果其中，An稱(chēng)為振幅頻譜，n稱(chēng)為相位頻譜。3、傅里葉級(jí)數(shù)舉例：如下圖所示的周期為=1/f0的矩形波函數(shù)，在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)解析式為（1）展開(kāi)為三角傅里葉級(jí)數(shù)形式為3、傅里葉級(jí)數(shù)矩形波的傅里葉綜合3、傅里葉級(jí)數(shù)（2）展開(kāi)為指數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)形式對(duì)應(yīng)的頻譜為4、傅里葉變換1）對(duì)非周期函數(shù)同樣可以作傅里葉分析，只是此時(shí)其頻率取值不再 是離散的，而是連

10、續(xù)的。2）傅里葉變換定義及存在條件根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的思想，可把函數(shù)看作復(fù)指數(shù)函數(shù)在整個(gè)連續(xù)的頻率區(qū)間上的積分和，即其中，稱(chēng)為g(x)的傅里葉變換或頻譜。G(f )是g(x)在頻率域的表示形式，其作用類(lèi)似于傅里葉系數(shù)cn，即作為各種頻率成分的權(quán)重因子，描述各復(fù)指數(shù)分量的相對(duì)幅值和相移。如果G(f )是復(fù)函數(shù)，則有則稱(chēng)A(f)為g(x)的振幅頻譜，(f)為g(x)的相位頻譜。4、傅里葉變換將該定義推廣到二維形式，有思考題：在什么情況下傅里葉積分才有意義？（1）g在整個(gè)積分區(qū)域內(nèi)絕對(duì)可積；（2）在任一區(qū)域內(nèi)，g必須只有有限個(gè)間斷點(diǎn)和有限個(gè)極大和極小值；（3）g必須沒(méi)有無(wú)窮大間斷點(diǎn)4、傅里葉變換3）廣義

11、傅里葉變換 某些函數(shù)并不滿(mǎn)足傅里葉積分的條件，若希望用傅里葉分析討論它們，必須將傅里葉變換定義進(jìn)行推廣，即進(jìn)行廣義傅里葉變換。 所謂的廣義傅里葉變換就是將函數(shù)看作某個(gè)可變換函數(shù)所組成的序列的極限，對(duì)序列中每一函數(shù)進(jìn)行變換，組成一個(gè)新的變換式序列，這個(gè)新序列的極限就是原來(lái)函數(shù)的廣義傅里葉變換。舉例：求函數(shù)g(x,y)=1的傅里葉變換顯然該函數(shù)不滿(mǎn)足傅里葉變換的條件，但它可以定義為矩形函數(shù)序列的極限，即不難求出該矩形函數(shù)的傅里葉變換為根據(jù)廣義傅里葉變換的定義4、傅里葉變換4）虛、實(shí)、奇、偶函數(shù)傅里葉變換的性質(zhì)空域頻域空域頻域?qū)嵑瘮?shù)厄米型函數(shù)虛值偶函數(shù)虛值偶函數(shù)虛函數(shù)反厄米型函數(shù)*虛值奇函數(shù)實(shí)值奇函

12、數(shù)實(shí)值偶函數(shù)實(shí)值偶函數(shù)偶函數(shù)偶函數(shù)實(shí)值奇函數(shù)虛值奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)*: 若實(shí)部為奇函數(shù)，虛部為偶函數(shù)，則函數(shù)是反厄米型函數(shù)。 4、傅里葉變換5）傅里葉變換定理若假設(shè)：線性定理相似性定理平移定理4、傅里葉變換 Parseval定理卷積定理 *自相關(guān)定理傅里葉積分定理4、傅里葉變換6）可分離變量函數(shù)的變換在某個(gè)坐標(biāo)系中，若某個(gè)二維函數(shù)可表示為兩個(gè)一維函數(shù)的乘積，則稱(chēng)此函數(shù)在該坐標(biāo)系中是可分離的，即其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換為即是兩一維函數(shù)傅里葉變換式的乘積。4、傅里葉變換7）傅里葉-貝塞爾變換極坐標(biāo)系中的函數(shù)，當(dāng)它只是半徑的函數(shù)時(shí)，即稱(chēng)它為圓對(duì)稱(chēng)的。圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)的傅里葉變換式為其中，是用極坐標(biāo)表示的頻率坐標(biāo)。也是圓對(duì)稱(chēng)函數(shù)，稱(chēng)之為函數(shù)的傅里葉貝塞爾變換，記為，而的逆變換記為，由下式計(jì)算： 4、傅里葉變換8）一些常用函數(shù)的傅里葉變換式本章小結(jié)1）介紹