魚的重量和長度-數(shù)學建模考試小論文大學開放性作業(yè)

1、生活中的數(shù)學魚的體量與長度作者 05級班級 學號 目 錄 TOC o 1-3 h z u HYPERLINK l _Toc76359558 目 錄 PAGEREF _Toc76359558 h 2 HYPERLINK l _Toc76359559 摘要 PAGEREF _Toc76359559 h 3 HYPERLINK l _Toc76359560 一、引言 PAGEREF _Toc76359560 h 3 HYPERLINK l _Toc76359561 二、模型 PAGEREF _Toc76359561 h 3 HYPERLINK l _Toc76359562 （一）問題的化簡和假設 P

2、AGEREF _Toc76359562 h 3 HYPERLINK l _Toc76359563 （二）模型的建立 PAGEREF _Toc76359563 h 4 HYPERLINK l _Toc76359564 三、分析 PAGEREF _Toc76359564 h 4 HYPERLINK l _Toc76359565 （一）第一種數(shù)據(jù)估計模型 PAGEREF _Toc76359565 h 4 HYPERLINK l _Toc76359566 （二）第二種數(shù)據(jù)估計模型 PAGEREF _Toc76359566 h 4 HYPERLINK l _Toc76359567 （三）第一種數(shù)據(jù)估計模

3、型和第二種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的比較 PAGEREF _Toc76359567 h 5 HYPERLINK l _Toc76359568 四、結(jié)論 PAGEREF _Toc76359568 h 5 HYPERLINK l _Toc76359569 五、進一步的探討 PAGEREF _Toc76359569 h 5 HYPERLINK l _Toc76359570 五、參考文獻 PAGEREF _Toc76359570 h 6摘要本文將從分析如何根據(jù)魚的身長來估計魚的體重的方法出發(fā)，研究動物的身長和體重的關系。本文建立了兩種不同的魚的身長和體重關系的數(shù)學模型，比較了用兩種不同的方法計算的魚的體

4、重與實際稱重情況的誤差，并進一步推廣到四足動物，用類比法建立四足動物身長和體重關系的模型。關鍵詞：魚的體重與長度，初等數(shù)學模型，四足動物，類比法一、引言我們在初中時就學過正比例函數(shù)和反比例函數(shù)，當時我們也許并沒有想過可以用它來解決生產(chǎn)生活中的實際問題，其實利用正比例函數(shù)和反比例函數(shù)建立初等數(shù)學模型來解決許多僥有興趣的實際問題。我們不用在乎它是不是太過于簡單，因為衡量一個模型的優(yōu)劣全在于它的應用效果，而不是采用了多么高深的數(shù)學方法。隨著人們物質(zhì)生活的越來越豐富，人們開始享受起休閑時光，垂釣就是一項非常受歡迎的休閑運動。為了考慮到不破壞自然資源，一垂釣俱樂部鼓勵垂釣者將釣上來的魚放生，打算按照放生

5、的魚的重量給予獎勵，但俱樂部只準備了一把軟尺用于測量，于是眾垂釣者開始考慮按照測量的魚的長度估計魚的體重的方法。建立一個簡單易懂的數(shù)學模型是解決這個問題的最好辦法。側(cè)得的八條魚的數(shù)據(jù)如表所示：表身長（cm）36.831.843.836.832.145.135.932.1重量（g）76548211627374821389652454胸圍（cm）24.821.327.924.821.631.822.921.6二、模型（一）問題的化簡和假設為了簡化模型，假定魚池中只有一種鱸魚。對于同一種魚不訪以為其整體形狀是相似的，密度也大體上相同。（二）模型的建立這個初等數(shù)學模型中的主要符號說明如下所示：W魚的體

6、重魚的身長魚的胸圍，即魚的最大周長K1第一種數(shù)學估計模型中的系數(shù)K2第二種數(shù)學估計模型中的系數(shù)，建立的第一種數(shù)據(jù)估計模型為：重量與身長的立方成正比，即WK12，建立的第二種數(shù)據(jù)估計模型為：橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，即W=K2l三、分析（一）第一種數(shù)據(jù)估計模型對于同一種魚，不訪認為其整體形狀是相似的，密度也大體上相同，所以重量w與身長l的立方成正比，即WK1,K1為比例系數(shù)。把實際測得的數(shù)據(jù)代入WK1計算比例系數(shù)K1。計算出實際測得的身長的平均值為: 36.8計算出實際測得的重量的平均值為：765.375把W=765.375,l=36.8代入WK1計算得：K10.0153（二）第二種數(shù)

7、據(jù)估計模型常調(diào)得較肥的魚的垂釣者不一定認可上述模型，因為它對肥魚和瘦魚同等看待，如果只假設魚的模截面是相似的，則橫截面積與魚身最大周長的平方成正比，于是W=K2l，K2為比例系數(shù)。把實際測得的數(shù)據(jù)代入W=K2l計算比例系數(shù)K2。計算出實際測得的胸圍的平均值為：24.5875把W=765.375,d=24.5875, l=36.8,代入W=K2l計算得：K20.0344（三）第一種數(shù)據(jù)估計模型和第二種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的比較比較第一種數(shù)據(jù)估計模型和第二種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的差別，并計算誤差。計算結(jié)果如表2所示：表2實際重量（）76548211627374821384652454模型WK1

8、72746912267274831339675483模型WK1的誤差4.97%2.70%5.51%1.36%0.02%3.25%3.53%6.39%模型W=K2l73046511007304831471607483模型W=K2l的誤差4.58%3.535.34%0.09%0.02%6.29%0.07%0.06%計算出第一種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的誤差為3.47%計算出第二種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的誤差為2.50%由上述計算結(jié)果知，第二種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的誤差小于第一種數(shù)據(jù)估計模型與實際情況的誤差。所以，應選用W=K2l來建立數(shù)學模型。 四、結(jié)論 第一種數(shù)據(jù)估計模型只用到了簡單的比例法，只

9、是簡單的認為重量與身長的立方成正比（WK1），提出的魚的整體形狀是相似的、密度也大體上相同的假設與實際情況相差太遠，不適合實際應用。第二種數(shù)據(jù)估計模型中用到了類比法，認為橫截面積與魚身最大周長的平方成正比（W=K2l），這種建模方法更符合實際情況，模型的計算結(jié)果也表明它與實際情況的誤差更小。類比法是數(shù)學建模中常用的一種方法。這個模型中把魚的軀干類比作彈性梁實屬一個大膽的假設，其可信程度自然應該用實際數(shù)據(jù)仔細檢驗。但是這種充分發(fā)揮想象力，把魚的軀干長度與體重的關系這樣一個看來無從下手的問題，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)有確切研究成果的彈性梁在自重下繞曲問題的作法，是值得借鑒的。五、進一步的探討第二種數(shù)據(jù)估計模型可

10、推廣到四足動物的長度（不含頭尾）與它的體重的關系。動物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果餡入對生物學復雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的的有使用價值的模型。這里我們僅在十分粗略的惡假設基礎上，利用類比法，借助力學的有些結(jié)果，建立動物身長和體重間的比例關系。把四足動物的軀干看作圓柱體，長度了l、直徑d、截斷面積s，如圖1所示。將這種圓柱體的軀干類比作一根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學的一些研究結(jié)果。dld圖1 設動物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度為b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對彈性梁的研究b(1)因為fsl，所以（2）b/l是動物軀干的相對下垂度。b/l太大，四肢將無法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過了支撐軀干的需要，無疑是一種浪費。因此從生物學的角度可以假定，經(jīng)過長期進化，對于每一種動物而言b/l已經(jīng)達到其最合適的數(shù)值，換句話說，b/l應視為與這種動物的尺寸無關的常數(shù)，于是由（2）式得到（3）再從fsl，s，以（3）