高中一年級各章知識點及典型例題

1、一、集合知識點及典型例題（一）集合概念及表示法 集合概念集合元素特征集合的表示方法一組確定對象的全體形成一個集合,其中的每一個對象叫做集合的元素. * 1、元素與集合的關系：從屬關系，但有時，如：2、空集（）不含任何元素的集合。解題時，若未明確集合非空時，要考慮空集的可能性。確定性：給定一個集合M，一個元素，即可確定與M的關系：要么，要么。互異性：集合中的元素是互不相同的，若遇到相同元素，當一個來處理。無序性：集合中元素排列是不考慮順序的。列舉法、描述法:、圖示法（韋恩圖）、專用字母法（如R表示實數(shù)集，C為復數(shù)集，N為自然數(shù)集等等）、區(qū)間法（表示比較簡練，如用于表示不等式的解集等）。*對于用描

2、述法表示的集合，要從豎號前弄清元素是什么（是點集還是數(shù)集或是其它集合），從豎號后看元素滿足的性質(zhì)，便于解題。 如：表示單位圓，表示數(shù)集。表示數(shù)集，表示拋物線。集合與集合的關系關 系定 義性 質(zhì)子集如果集合A中所有元素是集合B的元素，那么集A叫集合B的子集。記為：（或）(1)(2),(3)(4)真子集如果且B中至少比A多一個元素以上，則A是B的真子集，記為：。(5) (6)*性質(zhì)(6)，在解題時，要注意作“轉(zhuǎn)化”。相等=如果兩個集合的元素完全相同，那么這兩個集合相等。（或）(7)空集是任何非空集合的真子集。(8)n個元素集合共有個子集，-1個真子集，-2個非空子集。集合運算及性質(zhì)運算定 義性 質(zhì)

3、交集并集（用于計數(shù)）補集U叫給定的全集，典型例題已知集合，則（ ）A、 B、C、 D、答案:B解: 2、設集合，則（ ）A、 B、R C、 D、答案：B解：=R。3、設集合，則（ ）A、M B、N C、 D、答案：C解：4、若集合，則下列結(jié)論正確的是（ ）A、 B、C、 D、答案：C解：5、滿足：，且的集合M的個數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、14答案:B解：由題集合M必定含有，不含，集合M為：或6、設集合，則（ ）A、M B、N C、R D、答案:A解: 7、若集合，則（ ）A、 B、 C、 D、答案：C解：8、定義運算，設，則集合所有元素之和為（ ）A、0 B、2 C、3 D、6答案

4、：D9、設集合，定義集合，那么中元素的個數(shù)是（ ）A、14個 B、10個 C、7個 D、4個答案:B解:, ,中元素的個數(shù),即點的個數(shù),共10個。解：所有元素之和為6。10、已知，則（ ）A、 B、 C、 D、答案：A解：。11、已知集合且，則實數(shù)的取值范圍是（ ）A、 B、 C、 D、答案：A解：，（數(shù)形結(jié)合法）畫數(shù)軸分析易知：已知集合：，若，求實數(shù)的取值范圍。解：當時，畫數(shù)軸分析，可得： ，解得：當時，綜上，實數(shù)的取值范圍是：。二、簡易邏輯知識點及典型例題（一）、邏輯聯(lián)結(jié)詞及真值表邏輯聯(lián)結(jié)詞有：或（）、且（）、非（）真值表非或且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假(二)、四種命題及關系

5、1、命題：用來判斷真假的語句，叫做命題。（注意它與陳述或形容一件事情的語句的區(qū)別） 簡單命題：不含邏輯聯(lián)接詞的命題叫做簡單命題。 復合命題：由簡單命題和邏輯聯(lián)接詞構(gòu)成的命題叫做復合命題。2、四種命題及關系用和分別表示原命題的條件和結(jié)論，用和表示和的否定。原命題：若則。逆命題：若則。否命題：若則。逆否命題：若則。*（1）、“原命題”與“逆否命題”、 “逆命題”與“否命題”互為逆否。（2）、互為逆否的兩個命題等價,同真假。在“判斷命題真假”和“充要條件的判斷”時要注意轉(zhuǎn)化。（3）常見的否定“至少有一個”的否定形式為：一個也沒有；“至多有一個”的否定形式為：至少有兩個；“至多有個”的否定形式為：至少

6、有個；“都是”的否定形式是：不都是；“某個”的否定形式是：任意一個；“所有”的否定形式是：某些；“任意兩個”的否定形式是：某兩個；“任意”的否定形式是：某個；“且” 的否定形式是：或；“或” 的否定形式是：且；“對所有的都成立”的否定形式是：存在某個不成立；“對任何的不成立” 的否定形式是：存在某個成立。（4）反證法常用于：證明唯一性、以否定形式出現(xiàn)的命題、正面考慮較難的命題的證明。在推證矛盾時，一般有三種表現(xiàn)形式：一是與已知條件產(chǎn)生矛盾；二是與自身產(chǎn)生矛盾；三是與已知的命題產(chǎn)生矛盾。（5）“否命題”與“命題的否定”是不同概念?！胺衩}”是對原命題“若則”既否定條件又否定結(jié)論；而“命題的否定”

7、即：非，只否定命題的結(jié)論。例如：命題：已知實數(shù)，若，則。否命題是：已知實數(shù)，若，則。命題的否定是：已知實數(shù)，若，則。 (三)、充要條件條 件定 義從集合觀點看充分條件若，則是的充分條件。若集合，則是的充分條件。必要條件若，則是的必要條件。若集合，則是的必要條件。充要條件若，則是的充要條件。若集合，則是的充要條件。 在判定時，主要是看“推”，注意不要弄錯方向：“條件”在前。典型例題1、已知“非且”為真，則下列命題中是真命題的為（ ）A、 B、或 C、且 D、非答案:B解: 由“非且”為真知:假真,所以“或”為真命題。2、已知命題“或”與命題“且”都是假命題，對于下列命題：命題“”與命題“”的真值

8、相同；命題“”與命題“”中至少有一個是真命題；命題“”與命題“”的真值不相同；命題“”與命題“”都是真命題。其中正確命題的個數(shù)是（ ）A、1 B、2 C、3 D、4答案：C解：由“或”與命題“且”都是假命題，知，都是假命題。正確。由命題：，構(gòu)成的：“或”，“且”“非”，“非”形式的復合命題中，真命題有_個。答案：2解：由題真假，所以“或”，“非”，為真。4、已知命題：，命題：。如果“且”“非”同時為假命題，則滿足條件的為（ ）A、 B、C、 D、0，1，2答案：D解：由題假真，假即：，所以滿足條件的為“”中的整數(shù)，即。6、已知命題：若，則。否命題是：_;命題的否定是:_.答案：否命題是：若，則

9、。命題的否定是: 若，則。命題“若，則”的逆否命題是：_;命題的否定是:_.答案：逆否命題是：若，則。命題的否定是: 若，則。命題：“若，則中至少有一個為零”的逆否命題是：_。答案：逆否命題是：若，則對任意實數(shù),給出下列命題:是的充要條件；“是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的充要條件；“”是“”的充分條件；“”是“”的必要條件。其中真命題的個數(shù)是( )A、1 B、2 C、3 D、4答案：B，解：正確。應是充分條件，應是既不充分也不必要條件。10、“”是“”的（ ）A、充分而不必要條件 B、必要而不充分條件C、充分必要條件 D、既不充分也不必要條件答案：A解： ，f (2008)=，則a的取值范圍是（

10、）A. (, 0) B. (0, 3) C. (0, +) D. (, 0)(3, +)解：f (2008)=，又 f (2)，選B7、已知是定義在R上的函數(shù)，且恒成立，當時，則當時，函數(shù)的解析式為 （ ） A B C D 解：是以2為一個周期的周期函數(shù)。當時，選D。8、定義在R上的奇函數(shù)滿足，若當x(0，3)時，則當x(- 6，-3)時，=( )A. B.- C. D.- 解：是以6為一個周期的周期函數(shù)。當x(- 6，-3)時， 選A。9、定義在R上的偶函數(shù)滿足，且在-1，0上單調(diào)遞增，設， ，則大小關系是（ ）A B C D解：解：又在-1，0上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞減，又10、設是定義在R上

11、以6為一個周期的函數(shù)，在內(nèi)單調(diào)遞增，且，則下面結(jié)論正確的是（ ）A、 B、C、 D、解：由題得：又由知：選C。11、已知函數(shù)為偶函數(shù)，且滿足，又在上是減函數(shù)，則（ ）A、 B、C、 D、解：由題，得：，12、若存在常數(shù)，使得函數(shù)滿足，則的一個正周期為_。解：的一個正周期為。指數(shù)與指數(shù)函數(shù)知識點及典型例題一、知識點（一）根式及分數(shù)指數(shù)冪概念及性質(zhì)1、根式的性質(zhì)（1）。（2）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，。（3）在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)沒有偶次方根。（4）零的任何正次方根為零。2、正分數(shù)指數(shù)冪（1）意義：實現(xiàn)冪與根式的互化，分數(shù)指數(shù)冪是根式的另外一種寫法，不表示相同因式的乘積。分數(shù)指數(shù)冪不能隨心所欲地約分，

12、如。（2）分數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，（）（二）指數(shù)函數(shù)定義及性質(zhì)1、指數(shù)函數(shù)的定義：形如的函數(shù)。如不是指數(shù)函數(shù)，它們是復合函數(shù)。2、指數(shù)函數(shù)的圖象xxyy00112、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（1）值域：，定義域：R（2）單調(diào)性：當時，為增函數(shù)；當時，為減函數(shù)。（3）函數(shù)值分布對于當時，；當時，。對于當時，；當時，。以上性質(zhì)從圖象上易理解。二、典型例題1、（1）已知，則的值為（ ）A、5 B、23 C、25 D、27解：，選B。（2）求值：。解：原式= 2、下列函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的是（ ）A、 B、C、 D、解：C、，A，B，D為復合函數(shù)。選C。3、值域是的函數(shù)是（ ）A、 B、C、 D、解：（排除法）選B 。A、

13、的不合題意，C，D的可以取，不合題意。4、函數(shù)的反函數(shù)圖象必過點（ ）A、 B、 C、 D、解：不論取何值，原函數(shù)當時，原函數(shù)圖象必過點，反函數(shù)圖象必過點。5、不等式的解集是（ ）A、 B、C、 D、當時，為；當時，為解：選擇D。要討論的情況，6、是偶函數(shù)，且不恒為零，則是（ ）A、奇函數(shù) B、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)C、偶函數(shù) D、非奇非偶函數(shù)解：令則是奇函數(shù)，是奇函數(shù)。7、函數(shù)的值域是_。解：值域是：。8、不等式對于任何實數(shù)都成立，則實數(shù)的取值范圍是_。解：即由題：即對于任何實數(shù)都成立。9、當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是_，減區(qū)間是_。解：由復合函數(shù)“同”增“異”減，題為求減區(qū)間和增區(qū)間，作圖分析，

14、如下圖，可得：的增區(qū)間為：，減區(qū)間為：。xu010、已知是定義在R上的奇函數(shù)，則的值是（ ）A、2 B、 C、 D、解：由， 由、選A。11、設函數(shù)，求不等式的取值范圍。解：即或或解得：解得：解得：取值范圍是：。對數(shù)和對數(shù)函數(shù)知識點及典型例題一、知識點（一）對數(shù)的概念及性質(zhì)1、對數(shù)的概念如果（且），那么叫以為底N的對數(shù)，記為，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù)。求對數(shù)是：知底數(shù)和冪，求指數(shù)的運算。兩種常用對數(shù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化：2、對數(shù)的性質(zhì)（1）基本性質(zhì)真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1；對數(shù)恒等式：（且，）(用它可將一個正數(shù)化為指數(shù)式，如：等等。（2）運算性質(zhì)：（3）換底公式及導出的結(jié)論（二）對

15、數(shù)函數(shù)的定義及圖象和性質(zhì)1、對數(shù)函數(shù)定義：形如的函數(shù)。*指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。2、對數(shù)函數(shù)的圖象xxyy00113、性質(zhì)：（1）；（2）圖象恒過點，即當時，；（3）單調(diào)性：當時是增函數(shù)；當時是減函數(shù)；（4）對數(shù)符號：二、典型例題1、的值為（ ）A、 B、1 C、 D、2解：，選A。2、。解：3、（1）。解：（2）。解：原式=。4、設，則。解：5、若方程兩根為，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、解：由題，得：-得：（選D。6、若，則有（ ）A、 B、 C、 D、解：7、若，則的范圍是_。解：或8、（1）已知，則的取值范圍是_。解：（2）已知，則的取值范圍是_。解：或9、已知函數(shù)，則與的

16、大小關系是（ ）A、 B、C、= D、不能比較大小解：，選B10、已知，則（ ）A、 B、C、 D、解：選A11、設且，則的大小關系是（ ）A、 B、C、 D、解：取，則選B12、已知的圖象與的圖象關于直線對稱，那么的單調(diào)遞減區(qū)間是_。解：由題，得：，題為求的增區(qū)間，作圖分析，易得：的單調(diào)遞減區(qū)間是：13、若函數(shù)，則等于（ ）A、 B、 C、 D、4解：選B。14、函數(shù)的值域是（ ）A、 B、RC、 D、解：值域是：15、設，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為，則（ ）A、 B、2 C、 D、4解：由題，得：選D 。16、若函數(shù)的值域是，那么它的定義域是（ ）A、 B、 C、 D、解：由題：選

17、A17、設，函數(shù)，則使的的取值范圍是（ ）A、 B、C、 D、解：選C。函數(shù)圖象及變換知識點及典型例題一、知識點（一）函數(shù)圖象的畫法1、直接畫當函數(shù)式是熟悉的函數(shù)（如一次函數(shù)、二次函數(shù)、正、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等等基本初等函數(shù)）或解析幾中熟悉的曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線的一部分）就可直接畫。2、利用圖象變換作 作圖時，可由某個熟悉的函數(shù)圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱、伸縮得到的。3、描點法：最常規(guī)的作圖方法。確定函數(shù)的定義域（決定圖象的左右位置）值域（決定圖象的上下位置）。（即確定圖象出現(xiàn)的位置）。作圖前能化簡函數(shù)式的，先化簡函數(shù)式。討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性、周期性等

18、）。列表、描點、連線作出函數(shù)圖象。（二）基本圖象變換1、平移變換（1）水平平移的圖象的圖象。（2）堅直平移：的圖象的圖象。（3）按向量平移：的圖象的圖象。2、對稱變換（1）與的圖象關于軸（直線）對稱。（2）與的圖象關于軸（直線）對稱。（3）與的圖象關于原點對稱。（4）與的圖象關于直線對稱。（5）與的圖象關于直線對稱。（6）若恒成立，則的圖象關于成軸對稱圖形。（7）與的圖象關于點成中心對稱。（8）對稱翻折：的圖象的圖象。的圖象的圖象3、伸縮變換（常見于三角函數(shù)圖象部分）（1）的圖象，可將圖象上每一點縱坐標伸長（時）縮短（時）到原來的倍,橫坐標不變得到；（2）的圖象，可將圖象上每一點橫坐標伸長（時

19、）縮短（時）到原來的倍,縱坐標不變得到；（三）函數(shù)圖象的判斷判斷時，先化簡函數(shù)式，并注意以下幾點：注意定義域、值域、函數(shù)值符號（看函數(shù)圖象出現(xiàn)位置）；注意函數(shù)的性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等）；導數(shù)圖象問題，要注意從導數(shù)符號、單調(diào)性入手；從某個特殊點入手；從圖象變換入手。二、典型例題1、（1）函數(shù)的圖象關于（ ）A、直線對稱 B、原點對稱C、軸對稱 D、軸對稱解：函數(shù)是奇函數(shù)，選B。（2）函數(shù)的圖象關于（ ）A、軸對稱 B、直線對稱C、坐標原點對稱 D、直線對稱解；函數(shù)是奇函數(shù)，選C。2、(1)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，則的表達式為（ ）A、 B、C、 D、解：由得：。選D

20、。(2)、函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于軸對稱，則的表達式為_。解：（3）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于軸對稱，則的表達式為_。解：由（4）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線軸對稱，則的表達式為_。解：由（5）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關于直線軸對稱，則的表達式為_。解法1：題為求的反函數(shù)，得：解法2：由（6）將曲線向左平移1個單位長度，再向下平移動2個單位長度得到曲線C，如果曲線與C關于原點對稱，曲線與曲線關于直線對稱，則曲線對應的函數(shù)解析式是_。解：由題意，曲線C對應的函數(shù)式：曲線對應的函數(shù)式：即曲線對應的函數(shù)解析式，由3、要得到函數(shù)的圖象，只需將指數(shù)函數(shù)的圖象（ ）A、向左平移個單位 B、向右平移個

21、單位 C、向左平移個單位 D、向右平移個單位解：選C。4、為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）A、向右平移個單位長度 B、向左平移個單位長度C、向右平移個單位長度 D、向左平移個單位長度解：選A。5、（1）函數(shù)的圖象按向量平移后與函數(shù)的圖象重合，則函數(shù)表達式為（ ）A、 B、C、 D、解：由選A。（2）將函數(shù)的圖象按向量平移后所得圖象對應的解析式是（ ）A、 B、C、 D、解：由即選D6、已知函數(shù)的圖象C，做下列變換并把所得圖象畫在同一坐標系中：（1）把C向上平移1個單位得到圖象；（2）把C上每一點的橫坐標縮小為原來的，縱坐標不變得到圖象；（3）把C向左平移單位得到圖象；（4）把C關于直

22、線對稱得到圖象則下列正確的一個判斷是（ ）A、圖象與重合 B、圖象與重合C、圖象與重合 D、圖象與重合解：的式子：的式子：的式子：的式子：選A。7、若把一個函數(shù)的圖象按向量平移后得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的解析式為（ ）A、 B、C、 D、解：選D。8、（1）將函數(shù)的圖象按向量平移得到的圖象，則可以為（ ）A、 B、 C、 D、解：選D。（2）若函數(shù)的圖象按向量平移后，得到函數(shù)的圖象，則向量（ ）A、 B、 C、 D、解：，選A。9、已知函數(shù)，則其最小正周期和圖象的一條對稱軸方程分別為（ ）A、 B、C、 D、解：，一條對稱軸方程為：10、指出下列各組函數(shù)，由的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到的圖象？（1）

23、解：（2）解：（3）解法1：解法2：（4）解11、函數(shù)的圖象是（ ）xy0 xy0A、 B、yx0 xy0D、解：是偶函數(shù)，排B、D取則排除C，選A。（本題從奇偶性和特殊點入手分析）12、設，實數(shù)滿足:，則關于的函數(shù)的圖象大致為（ ）xy01xy011xy10 B、x0y1C D解：選B。（本題先化簡函數(shù)式再判斷）xy04-313、設函數(shù)，則其反函數(shù)的圖象是（ ）xy04-3xy0-34B、xy04C、 D、解：原函數(shù)的值域為：的定義域為，排除B、C。原函數(shù)當時，圖象過點排除D，選A。（本題從定義域及特殊點入手）14、若函數(shù)在R上既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，則的圖象是（）解：是奇函數(shù)又是減函數(shù)選A

24、。（本題是從圖象變換平移變換入手）15、函數(shù)的反函數(shù)的圖象為 1OD-1yyO1C2AyO11yO1B-1解：易知原、反函數(shù)圖過點，所以選D。（本題從特殊點入手）16、若函數(shù)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的圖象大致為（ ）A B C D解：選A。（本題從圖象變換入手）17、定義運算ab=，則函數(shù)f(x)=12 的圖象是（ ）.xyo1xyo1xyo1xyo1ABCD解：f(x)=12即選A（本題先化簡） 數(shù)列知識點及典型例題數(shù)列的定義定義一：數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù)。一般形式為：簡記為，其中為數(shù)列的第項。定義二：數(shù)列是定義在正整數(shù)集（或它的有限子集）上的函數(shù)，當自變量從1開始由小到大依次取正整數(shù)

25、時，對應的一列函數(shù)值為。數(shù)列是特殊的函數(shù)，在解決數(shù)列問題時，可應用函數(shù)的概念、性質(zhì)實現(xiàn)問題轉(zhuǎn)化,如可利用函數(shù)數(shù)單調(diào)性解數(shù)列最大項問題等。利用動態(tài)的函數(shù)觀點，結(jié)合導數(shù)等知識是解決數(shù)列問題的有效方法。數(shù)列的表示方法解析法解析法分為通項公式和遞推公式法兩種。數(shù)列是有規(guī)律的一列數(shù)，這個規(guī)律可用通項公式來表示。*并不是每一個數(shù)列都有通項公式，有些數(shù)列有通項公式并不唯一。遞推公式是利用數(shù)列前后項的關系給出數(shù)列的構(gòu)成規(guī)律。列表法：將的取值和它對應的項用表格列出。圖象法在直角坐標系中，以為和為點的坐標，即描出一群孤立的點。如等差數(shù)列的圖象是分布在一條直線上的一群孤立的點。數(shù)列的分類數(shù)列等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義

26、、通項公式及判定數(shù)列定 義通項公式判 定等差數(shù)列（為常數(shù),叫公差）一般式: 廣義式:（可簡化計算）(1)定義法: 是等差數(shù)列。（2）通項公式法：（為常數(shù)）是等差數(shù)列。（3）中項公式法：是等差數(shù)列。（4）前項和公式法：（A、B為常數(shù)）是等差數(shù)列。等比數(shù)列,為常數(shù)，叫公比,()一般式:廣義式:（可簡化計算）(1)定義法: 是等比數(shù)列。（2）通項公式法： （為不為零的常數(shù)）是等比數(shù)列。（3）中項公式法：是等比數(shù)列。 （4）前項和公式法： 是等比數(shù)列。等差數(shù)列、等差數(shù)列的主要性質(zhì)等差數(shù)列的主要性質(zhì)（1）若，則。*若，則。（叫的等差中項）（2）成等差數(shù)列。（3）成等差數(shù)列，。（4）在等差數(shù)列中（5）若和

27、是等差數(shù)列，它們的前項和為和，則。2、等比數(shù)列的主要性質(zhì)（1）若，則。*若，則。（叫的等比中項）（2）成等比數(shù)列。六、求數(shù)列的通項公式的方法1、觀察法觀察數(shù)列的特點，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，橫向看各項之間的關系結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項公式。例題1根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1） （5）（2） （6） （3） （7） （4）解：（1） (5)（2） (6)（3）（4）（或）（7），2、公式法等差數(shù)列：，等比數(shù)列：，例題2已知數(shù)列首項為，且滿足，則其通項公式。解:易知是以為首項,以5為公差的等數(shù)列,例題3如果數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的第10項為（ ）A

28、、 B、 C、 D、答案：D解：是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,由遞推關系求數(shù)列通項的常用方法及型用等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式。（2）疊加：例題1在數(shù)列中，已知，若，則。解： 以上各式相加得：累乘：例題2在數(shù)列中，已知，若，則。解：,故（3）構(gòu)造等差或等比數(shù)列（此為高考重點）通過對遞推公式變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)問題。（注意“整體思想”）（為常數(shù)），兩邊一個數(shù)，變形為（為常數(shù)），轉(zhuǎn)化等比數(shù)列。例題1數(shù)列中，則該數(shù)列通項公式。解：變形為： ）是以為首項，以為公比的等比數(shù)列。例題2 數(shù)列中，則的通項公式為（ ）A、 B、 C、 D、解：是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列（為常數(shù)）A、為關于的一次

29、式，兩邊加同一個式子，可變形為:，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。例題在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為。解：可變形為：是以為首項,以4為公比的等比數(shù)列,B、轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，如遞推公式為：（為常數(shù)），可兩邊除以得：，記，得再解。例題在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為。解：變形為：是以為首項,為公差的等差數(shù)列,可變形為：，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列。 例題數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式。解：變形為：，由疊加得：已知，求。運用和的關系：求解。常見有兩種類型：例題1已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為。解:當時,例題2（2006年全國）設數(shù)列的前項和為，（）求首項與通項。解: 解:當時,當時, -得:是以為首項,以4為公比的等比數(shù)列,利用

30、周期性：先求幾個有限項，尋找周期，再求特定項（如下標為年份的項）。例題1已知數(shù)列滿足：，則。解：，周期為6，）例題2已知數(shù)列滿足，若，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、解：（利用周期性求）例題3數(shù)列中，若，則的值為（ ）A、 B、 C、1 D、2答案：A解：。例題4在數(shù)列中，已知，則的值為（ ）A、1 B、 C、4 D、5答案：C解：。七、數(shù)列常見求和方法 從項的特點和通項公式的特點為入手，常見的方法有如下幾種：公式法：直接由等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式以及常見的正整數(shù)平方和、立方和公式等求和的方法。等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：（用此公式要注意是否等于1），如求數(shù)列的前項和，用此法。

31、錯位相減法：數(shù)列中，一個為等到差數(shù)列，一個為等比數(shù)列，求其前項和可用錯位相減法。做法：將和式乘以等比數(shù)公比，然后兩式相減，產(chǎn)生一個等比數(shù)列的和式，整理可求出。如求數(shù)列的前項和，用此法。裂項法：將數(shù)列中的通項折成兩項之差（通分反過程），使和式中產(chǎn)生相互抵消的項，從而化簡和式，常見有如下形式數(shù)列：常見裂項技巧：如求數(shù)列的前項和用此法。并項求和法：如求：可用此法：解:分組求和法：把通項進行合理地分拆與組合，轉(zhuǎn)化為易求和的式子的求和方法。如求數(shù)列的前項和，用此法：+。除了以上幾方法外，還有倒序相加法（此法為等差數(shù)列求和公式的推導方法）等其它方法。求數(shù)列前項和，要抓住項的特點和通項公式的特點，采用相應的

32、求和方法。典型例題一、求數(shù)列通項公式、數(shù)列的項的問題1、根據(jù)下面數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式：（1） （5）（2） （6） （3） （7） （4）解：（1） (5)（2） (6)（3）（4）（或）2、（1）已知數(shù)列首項為，且滿足，則其通項公式。解:易知是以為首項,以5為公差的等數(shù)列,（2）如果數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的第10項為（ ）A、 B、 C、 D、答案：D解：是以為首項,以為公差的等差數(shù)列,（3）、若數(shù)列中，且對任意正整數(shù)都有，則（ ）A、 B、 C、 D、答案：C解：3、（1）數(shù)列中，則的通項公式為（ ）A、 B、 C、 D、答案：C。解：是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列（2）數(shù)

33、列中，則該數(shù)列通項公式。解：變形為： ）是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列。4、（1）已知數(shù)列滿足，若，則的值為（ ）A、 B、 C、 D、答案：B解：（利用周期性求）（2）、數(shù)列中，若，則的值為（ ）A、 B、 C、1 D、2答案：A解：。（3）、在數(shù)列中，已知，則的值為（ ）A、1 B、 C、4 D、5答案：C解：。5、（1）在數(shù)列中，已知，若，則。解： 以上各式相加得：（2）在數(shù)列中，已知，若，則。解：又也適合，故有6、（1）已知數(shù)列的前項和為，則數(shù)列的通項公式為。解:當時,（2）（2006年全國）設數(shù)列的前項和為，（）求首項與通項。解:當時,當時, -得:是以為首項,以4為公比的等比數(shù)列

34、,7、在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為。解：可變形為：是以為首項,以4為公比的等比數(shù)列,8、在數(shù)列中，則數(shù)列的通項公式為。解：變形為：是以為首項,為公差的等差數(shù)列,9、數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式。解：變形為：，由疊加得：10、已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，則的公差為（ ）A、1 B、3 C、5 D、6答案：B解：11、在等差數(shù)列中，則（ ）A、27 B、36 C、45 D、72答案：A解：，-得：，。12、已知數(shù)列的前3項依次為，前項和是的二次函數(shù)，則（ ）A、390 B、392 C、394 D、396答案：C解：由題，數(shù)列為等差數(shù)列，二、數(shù)列性質(zhì)問題1、等比數(shù)列的前3項依次為，則實數(shù)的值為（ ）A、

35、 B、 C、 D、或答案：D解：由得或。2、等差數(shù)列中，則等于（ ）A、 B、4 C、5 D、6答案：A解：3、已知數(shù)列是等差數(shù)列，則等于（ ）A、4 B、5 C、6 D、8解: 選C.4、等差數(shù)列中，若，則（ ）A、3 B、6 C、10 D、9答案：B解：，5、在等比數(shù)列中，已知，那么（ ）A、4 B、6 C、12 D、16答案：A解：6、在等差數(shù)列中，若，則（ ）A、12 B、96 C、24 D、48答案：D解：，7、若平面內(nèi)共線A、B、C三點滿足條件：其中為等差數(shù)列，則（ ）A、1 B、 C、 D、答案：B解：由題，得：。8、（1）設等比數(shù)列的前項和為，若，則等于（ ）A、 B、 C、

36、D、答案：A解：設即（2）、各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，若，則。解：。9、在等差數(shù)列中，則此數(shù)列的前13項之和等于（ ）A、26 B、13 C、52 D、156答案：A解：10、設數(shù)列是等差數(shù)列，若，則數(shù)列前8項之和為（ ）A、128 B、80 C、64 D、56解： 選C。三、數(shù)列求和問題1、已知數(shù)列的前項和為，且，則（ ）A、 B、4 C、 D、答案：B解：，解得：2、等差數(shù)列的前項和為，且，則有（ ）A、 B、C、 D、答案：D解：3、在公差為2的等差數(shù)列中，如果前17項和，那么的值為（ ）A、2 B、4 C、6 D、8答案：D解：4、在等差數(shù)列中，則（ ）A、 B、198 C、9

37、9 D、98答案：C解：5、若數(shù)列滿足：，則其前10項和是（ ）A、200 B、150 C、100 D、50答案：D解：6、已知等差數(shù)列的前項和為，若，則該數(shù)列的公差為（ ）A、7 B、6 C、3 D、2解：，選C。7、已知數(shù)列是等差數(shù)列，則該數(shù)列前10項和等于（ ）A、 B、100 C、110 D、120答案：C解：8、設等比數(shù)列的公比為2，前項和為 ，則（ ）A、2 B、4 C、 D、 答案：C解：。9、已知等差數(shù)列中，若，則數(shù)列的前5項和等于（ ）A、30 B、45 C、90 D、186答案：C解：，數(shù)列的前5項和為：10、已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前10項和=70，則其公差。解：由。11、

38、在數(shù)列中，其中為常數(shù)，則。解: 由,知數(shù)列為等差數(shù)列,12、等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的前20項的和。解：由題，得：當時，當時，三角函數(shù)高考知識點及典型例題一、三角函數(shù)的定義bcA如圖，在直角三角形ABC中，設A=，C=90，則sin=(),cos=() aBCtan=(),cot=()y設為任意角（可正、可負、可零），P(x,y)為其終邊上任意一點，|PO|=r，如圖，則P(x,y)Orsin= csc= xcos= sec=tan= cot= 六個三角函數(shù)值的大小與P點在角終邊上的位置無關，只與角的大小有關。如果條件知角的終邊過某一點，點的坐標給出，求某些三角函數(shù)值，考慮用此定義求解

39、。統(tǒng)稱為三角函數(shù)。二、扇形弧長、面積公式扇形弧長扇形面積角度制下L=S=弧度制下L=|RS=其中L是扇形弧長，S是扇形面積，n為扇形圓心角度數(shù)，為扇形圓心角弧度數(shù)，R為扇形半徑。三、象限角將角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸正半軸重合，角的終邊落在第幾象限，就把這個角稱為第幾象限角。角的終邊位置角的集合在x軸的非負半軸上在x軸的非正半軸上在x軸上在y軸的非負半軸上在y軸的非正半軸上在y軸上在坐標軸上在第一象限在第二象限在第三象限在第四象限四、三角函數(shù)線借助單位圓，三角函數(shù)線是有向線段，字母的順序不能隨意調(diào)換。如圖yOMP，Tsin=xcos=Atan=利用三角函數(shù)線：可作y=sinx,y=

40、cosx,y=tanx的圖象；可解簡單的三角不等式，如求sin中的范圍；可比較三角函數(shù)值的大小或證明三角不等式。五、三角公式1、同角三角函數(shù)的基本關系式平方關系: sin+cos=1 1+tan=sec 1+cot=csc商數(shù)關系: tan=倒數(shù)關系： tancot=1 sincsc=1 cossec=1(1) 、解題時，在化簡求值時，要注意“切割化弦”。（2）解題時要注意“平方的方法”。(sin+cos)=1+2sincos=1+sin2(sin-cos)=1-2sincos=1-sin2 (sin+cos)+(sin-cos)=2(sin+cos)-(sin-cos)=4sincos（3）

41、、解題時，要靈活使用“1”的代換：關系式中式可進行“1的代換”。（4）、解題時，次數(shù)高的要注意降次，如：cosx-sinx=(cosx+sinx)( cosx-sinx)=cos2x(5)、使用公式時，都必須在有意義的情況下，如當=90時，tan無意義，則商數(shù)關系tan=不成立。2、誘導公式x 函數(shù) sinx cosx tanx cotx-sincostancotcossincottansincostancotcossincottan2sincostancot2ksincostancot（1）誘導公式可概括為的各三角函數(shù)值的化簡。(2)記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”。 記憶規(guī)律的理解：“

42、奇、偶”是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍。、“變與不變”是指函數(shù)名稱的變化，若是奇數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳挠嗝瘮?shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變。、“符號看象限”是指把看成銳角時，原函數(shù)值的符號作為結(jié)果的符號。兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin()=sincos+ cos=sin()=sincos- cos=tan tan(1)解題時，要注意常見的“變角“技巧和“整體思想”。常見變角有： 等等.解題時，要觀察欲求式中角與已知式角之間的加減運算關系，才易想到變角。（2）使用公式時要注意公式的“逆用”和“變形用”。如變形式：tan+tan=tan()(1-tantan)tan-tan=tan()(1+ta

43、ntan)可將非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角或產(chǎn)生相互抵消的項，便于求值。（3）sin()、cos、tan中當時便是二倍角公式。（4）出現(xiàn)非特殊角，求值時，一般不查表求值，可變角為特殊角，產(chǎn)生相互抵消的項或約分的項，從而達到求值目的。4、二倍角公式sin2=2sincos=cos2= ()（1）、二倍角是相對來說的，如等等。（2）、降次公式： 升冪公式：（3）、二倍角公式的變形式：（4）、sin2=，實現(xiàn)了“弦切互化” 與一起稱為“萬能公式”。5、半角公式，（1）半角公式是由二倍角公式導出的。（2）公式中“”符號是由所在象限確定。（3），該公式實現(xiàn)了“切化弦”，求時，可不討論所在的象限。6、輔助公式其中

44、是由來確定的。該公式是高考解答題考查三角函數(shù)性質(zhì)時的重要公式。當系數(shù)為負數(shù)時，先提出負號，再利用公式。如。這一點要特別注意。7、解三角形常用公式在三角形ABC中，a,b,c分別是A、B、C的對邊（1）、A+B+C=180三角形中的誘導公式：等等。（2）若ABC為銳角三角形，則，注意此用性質(zhì)確定角的范圍。正弦定理：其中2R是ABC外接圓直徑?！斑吔腔セ惫剑?（4）、三角形面公式：S=S=S=S=（5）射影定理：（6）余弦定理：余弦定理實現(xiàn)邊角互化。勾股定理是余弦定理的特殊情況。（7）解題時，要注意“角的限制范圍”和“統(tǒng)一角”的解題方法。（8）、確定三角的形狀，主要有兩條途徑：化邊為角，從角的

45、角度作出判斷；化角為邊，從邊的角度作出判斷。判斷時看題目條件，應采用哪個角度。六、對稱軸、對稱中心函數(shù)對稱軸方程對稱中心y=Asin(x+)由x+=解出對稱軸方程為：由x+=解出對稱中心為（，0）y=Acos(x+)由x+=解出對稱軸方程為由x+=解出對稱中心為（，0）1、對稱軸是過最高點或最低點與x軸垂直的直線，所以對稱軸問題實際上是最值問題。2、對稱中心的縱坐標為0，對稱中心為平衡點。3、對稱軸、對稱中心問題，在選擇題中，一般代入驗證判斷。七、圖象變換問題相位變換由y=sinx的圖象得到y(tǒng)=Asin(x+)的圖象的方法：振幅變換周期變換y=sinx的圖象y=Asin(x+)的圖象 y=si

46、n(x+)的圖象 y=Asin(x+)的圖象1、該圖象變換，從解析式右到左出現(xiàn)的依次變換。2、圖象變換，也可先周期變換，再相位變換，最后振幅變換，即說圖象變換可靈活，哪種變換在先都可以。如y=3sin(2x+先周期變換，應先化為y=3sin2（x+否則平移變換出錯。八、周期公式函數(shù)周期y=Asin(x+)y=Acos(x+)y=Atan(x+)1、求三角函數(shù)周期是指求最小正周期。2、求周期時，要特別注意的正負。3、求三角函數(shù)的周期有時候需要用周期函數(shù)的定義：（T為不為0的常數(shù)）求。九、解三角不等式問題利用三角函數(shù)（）的圖象，建立不等式，但是要注意周期性。如求中的x取值范圍。可利用的圖象得：，進

47、而解該不等式即可。十、強調(diào)注意的幾個問題1、在求值問題，求范圍問題，要特別注意“角的范圍”。2、三角函數(shù)性質(zhì)問題，要注意“先化簡”的原則。若y=Asin(x+)中的，先化為正再求解。如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，應先化為：，否則易出錯。典型例題1、在中，已知內(nèi)角，邊.設內(nèi)角,面積為.(1)求函數(shù)的解析式和定義域；(2)求的最大值.解：（1）的內(nèi)角和 （2） 當即時，y取得最大值 2、已知函數(shù)（）求的最大值，并求出此時x的值；（）寫出的單調(diào)遞增區(qū)間解：（） 當，即時，取得最大值. （）當，即時，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是3、已知向量，函數(shù). （I）若，求函數(shù)的值； （II）將函數(shù)的圖象按向量c平移，使得平

48、移后的圖象關于原點對稱，求向量c.解：由題意，得 （1）， （2）由圖象變換得，平移后的函數(shù)為， 而平移后的圖象關于原點對稱， 即， 即.4、已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；解： ，（1）（2）由得，所以，減區(qū)間為5、在ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a，b，c，且 （1）求的值； （2）若b=2，求ABC面積的最大值解：(1) 由余弦定理：conB= EQ f(1,4) sin+cos2B= - EQ f(1,4) （2）由 b=2， += EQ f(1,2)ac+42ac,得ac,SABC= EQ f(1,2)acsinB(a=c時取等號) 故SABC的最

49、大值為6、已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若存在，使不等式成立，求實數(shù)m的取值范圍.解析：(1) 函數(shù)f(x)的最小正周期 (2)當時， 當，即時，f(x)取最小值1，所以使題設成立的充要條件是，故m的取值范圍是(1,)7、在中，.（）求角；（）設，求的面積.解：（）由， 得， 所以 因為， 且， 故 （）根據(jù)正弦定理得， 所以的面積為8、在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且 （I）求cosB的值； （II）若，且，求b的值. 解：（I）由正弦定理得，因此 （II）解：由，所以ac EQ r(6)9、已知在ABC中，且與是方程的兩個根.（）求的值;（）若AB，求BC的長.

50、解：（）由所給條件，方程的兩根. (),.由（）知，為三角形的內(nèi)角， ，為三角形的內(nèi)角， 由正弦定理得： .10、已知：(1)求的值；(2)求的值;(3)問：函數(shù)的圖像可以通過函數(shù)的圖像進行怎樣的平已得到？解：（1）， （2）.9分（3）函數(shù)的圖像可以通過函數(shù)的圖像向左平移個單位得到。11、在ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，C2A，（1）求的值；（2）若，求邊AC的長。解：（1）（2）又由解得a=4，c=6，即AC邊的長為5.12、已知向量 （1）當時，求的值； （2）求在上的值域解：（1），（2）， 函數(shù) 向量高考知識點及典型例題向量的有關概念向量的概念既有大小又有方向的量叫做

51、向量，向量大小叫做向量的長度（或模）。、向量用有向線段表示，不能說“有向線段是向量，向量是有向線段?！?、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，而向量不能，但向量的模是非負實數(shù)，它可以比較大小。幾種特殊向量的概念向量定義備注（相關結(jié)論）零向量模為0的向量，其方向是任意的。、零向量與任意一個向量平行（或共線）、零向量是方向不確定的向量。單位向量模為1的向量。向量都是與共線的單位向量。平行向量方向相同或方向相反的向量。平行向量又叫共線向量。 任一組平行向量都可以移到同一直線上。證明三點共線問題，可轉(zhuǎn)化為證明有共同起點的兩向量共線。向量與（）共線有且只有一個實數(shù)使得相等向量長度相等且方向相同的向量。向量平

52、移前后，它的坐標沒有發(fā)生變化。相反向量長度相等且方向相反的向量。實數(shù)與向量的積的概念實數(shù)與向量的積是一個向量，記為，它的方向和長度規(guī)定如下：（1）、|=|（2）、當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，=，方向任意。平面向量基本定理（向量分解定理）如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)使=，其中不共線向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。 平面向量的數(shù)量積（也叫內(nèi)積）概 念性 質(zhì)運 算 律向量與的夾角如圖AOBAOB=（叫做非零向量與的夾角。向量與的夾角，向量與所在直線的夾角不同，前者范圍是，后者范圍是。（2）與的數(shù)量積（也叫內(nèi)積）把|叫做與的數(shù)

53、量積（也叫內(nèi)積），記為=|。數(shù)量積=|在向量方向上的投影（|）。數(shù)量積是一個實數(shù)。數(shù)量積與數(shù)乘法不同，數(shù)乘法的一些性質(zhì)不能搬過來用于數(shù)量積。如=0，或等等。設與為非零向量，則有（1）（2）（為單位向量）(3)非零向量與共線(4) |=|=(5)(6)|(7) =0(1)(交換律)(2)(3)(分配律)(4)(5)結(jié)合律不成立向量運算向量運算運算或結(jié)論向量加減法向量加法服從平行四邊形法則、三角形法則，如。向量減法服從三角形法則（先平移兩個向量使其有共同的起點，連接兩個終點，方向指向被減數(shù)向量的終點。）。如。3、中線、重心的向量性質(zhì)若AD是三角形ABC的中線，G 為重心，如圖，則AC（1） BD（

54、2）（3） ，向量坐標運算設則（1）、（2）（3）（）（4）=（5）=0即=0（、）（6）|=（7）平面上兩點間距離公式：設P（），（）則P、P兩點間的距離為：| PP|（8）、直線的方向向量若（）為直線L的方向向量，則直線L的斜率為：，其中為直線的傾斜角。按向量平移結(jié)論下列平移都是按向量平移：平移內(nèi)容平 移 結(jié) 果坐標不變，仍為函數(shù)y=f(x)的圖象可得函數(shù)y-k=f(x-h)即y=f(x-h)+k的圖象曲線F(x,y)=0可得曲線F(x-h,y-k)=0線段定比分點坐標公式定比分點坐標公式已知三點共線，若P分的比為，則 ()中點坐標公式若M為線段AB的中點，則重心坐標公式若，為ABC三個頂點，G為其重心，則重心坐標為三角形“四心”的向量表示：已知O是ABC所在平面上一點，a,b,c是內(nèi)角A、B、C的對邊長，（1）若,則O是ABC的重心（三條中線的交點）；（2）若，則O是ABC的外心（三邊垂直平分線交點）；（3）若，則O是ABC的垂心（三邊上高的交點）；（4）若