一元一次方程知識點(diǎn)及經(jīng)典例基礎(chǔ)(教師版)

1、第三章 一元一次方程單元基礎(chǔ)(教師版） 一、知識網(wǎng)絡(luò)二、目標(biāo)認(rèn)知重點(diǎn)：一元一次方程的解法，列方程解應(yīng)用題難點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題三、知識要點(diǎn)梳理知識點(diǎn)一：一元一次方程及解的概念1、一元一次方程： 一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式是：ax+b=0(其中x是未知數(shù)，a,b是已知數(shù)，且a0)。要點(diǎn)詮釋：一元一次方程須滿足下列三個條件： （1） 只含有一個未知數(shù)； （2） 未知數(shù)的次數(shù)是1次； （3） 整式方程2、方程的解：判斷一個數(shù)是否是某方程的解：將其代入方程兩邊，看兩邊是否相等知識點(diǎn)二：一元一次方程的解法1、方程的同解原理（也叫等式的基本性質(zhì)）等式的性質(zhì)1：等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），結(jié)果仍相等。如

2、果，那么；(c為一個數(shù)或一個式子)。等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等。如果，那么；如果，那么要點(diǎn)詮釋：分?jǐn)?shù)的分子、分母同時乘以或除以同一個不為0的數(shù)，分?jǐn)?shù)的值不變。即：（其中m0）特別須注意：分?jǐn)?shù)的基本的性質(zhì)主要是用于將方程中的小數(shù)系數(shù)（特別是分母中的小數(shù)）化為整數(shù)，如方程：=1.6，將其化為： =1.6。方程的右邊沒有變化，這要與“去分母”區(qū)別開。2、解一元一次方程的一般步驟：解一元一次方程的一般步驟 常用步驟具體做法依據(jù)注意事項(xiàng)去分母在方程兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)等式基本性質(zhì)2防止漏乘（尤其整數(shù)項(xiàng)），注意添括號；去括號一般先去小括號，再去中括號，最后

3、去大括號去括號法則、分配律注意變號，防止漏乘；移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)都移到方程的一邊，其他項(xiàng)都移到方程的另一邊(記住移項(xiàng)要變號)等式基本性質(zhì)1移項(xiàng)要變號，不移不變號；合并同類項(xiàng)把方程化成axb(a0)的形式合并同類項(xiàng)法則計算要仔細(xì)，不要出差錯；系數(shù)化成1在方程兩邊都除以未知數(shù)的系數(shù)a，得到方程的解x等式基本性質(zhì)2計算要仔細(xì)，分子分母勿顛倒要點(diǎn)詮釋：理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進(jìn)行簡單應(yīng)用: a0時，方程有唯一解； a=0，b=0時，方程有無數(shù)個解； a=0，b0時，方程無解。知識點(diǎn)三：列一元一次方程解應(yīng)用題1、列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題，分析題中已知什么，未知

4、什么，明確各量之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系（2）設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時也可以間接設(shè)未知數(shù)（3）列方程，把相等關(guān)系左右兩邊的量用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出來，列出方程（4）解方程（5）檢驗(yàn)，看方程的解是否符合題意（6）寫出答案2、解應(yīng)用題的書寫格式：設(shè)根據(jù)題意解這個方程答。3、常見的一些等量關(guān)系常見列方程解應(yīng)用題的幾種類型：類型基本數(shù)量關(guān)系等量關(guān)系(1)和、差、倍、分問題較大量較小量多余量總量倍數(shù)倍量抓住關(guān)鍵性詞語(2)等積變形問題變形前后體積相等(3)行程問題相遇問題路程速度時間甲走的路程乙走的路程兩地距離追及問題同地不同時出發(fā)：前者走的路程追者走的路程同時不同地出發(fā)：前者走的路程

5、兩地距離追者所走的路程順逆流問題順流速度靜水速度水流速度逆流速度靜水速度水流速度順流的距離逆流的距離(4)勞力調(diào)配問題從調(diào)配后的數(shù)量關(guān)系中找相等關(guān)系，要抓住“相等”“幾倍”“幾分之幾”“多”“少”等關(guān)鍵詞語(5)工程問題工作總量工作效率工作時間各部分工作量之和1(6)利潤率問題商品利潤商品售價商品進(jìn)價商品利潤率100售價進(jìn)價(1利潤率)抓住價格升降對利潤率的影響來考慮(7)數(shù)字問題設(shè)一個兩位數(shù)的十位上的數(shù)字、個位上的數(shù)字分別為a，b，則這個兩位數(shù)可表示為10ab抓住數(shù)字所在的位置或新數(shù)、原數(shù)之間的關(guān)系(8)儲蓄問題利息本金利率期數(shù)本息和本金利息本金本金利率期數(shù)(1利息稅率)(9)按比例分配問題

6、甲乙丙abc全部數(shù)量各種成分的數(shù)量之和(設(shè)一份為x)(10)日歷中的問題日歷中每一行上相鄰兩數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大1；日歷中每一列上相鄰的兩數(shù)，下邊的數(shù)比上邊的數(shù)大7日歷中的數(shù)a的取值范圍是1a31，且都是正整數(shù) 知識點(diǎn)四：方程與整式、等式的區(qū)別（1）從概念來看：整式：單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱整式。等式：用等號來表示相等關(guān)系的式子叫做等式。如，mnnm等都叫做等式，而像，m2n不含等號，所以它們不是等式，而是代數(shù)式。方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。如5x311，等都是方程。理解方程的概念必須明確兩點(diǎn)：是等式；含有未知數(shù)。兩者缺一不可。（2）從是否含有等號來看：方程首先是一個等式，它是用“”將兩個代

7、數(shù)式連接起來的等式，而整式僅用運(yùn)算符號連接起來，不含有等號。（3）從是否含有未知量來看：等式必含有“”，但不一定含有未知量；方程既含有“”，又必須含有未知數(shù)。但整式必不含有等號，不一定含有未知量，分為單項(xiàng)式和多項(xiàng)式。四、規(guī)律方法指導(dǎo)1、判斷一個式子是否是一元一次方程：（1）首先看是否是方程，（2）再看是否滿足一元一次方程的三個條件或?qū)υ竭M(jìn)行等價變形化簡后再看；2、解一元一次方程常用的技巧有：(1)有多重括號，去括號與合并同類項(xiàng)可交替進(jìn)行。(2)當(dāng)括號內(nèi)含有分?jǐn)?shù)時，常由外向內(nèi)先去括號，再去分母。(3)當(dāng)分母中含有小數(shù)時，可用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)化成整數(shù)。(4)運(yùn)用整體思想，即把含有未知數(shù)的代數(shù)式看做

8、整體進(jìn)行變形。四、經(jīng)典例題透析類型一：一元一次方程的相關(guān)概念1、已知下列各式：2x51；871；xy；xyx2；3xy6；5x3y4z0；8；x0。其中方程的個數(shù)是()A、5B、6C、7D、8思路點(diǎn)撥：方程是含有未知數(shù)的等式，根據(jù)定義逐個進(jìn)行判斷，顯然不合題意。解：是方程的是，共六個，所以選B總結(jié)升華：根據(jù)定義逐個進(jìn)行判斷是解題的基本方法，判斷時應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是等式；二是含有未知數(shù)，體現(xiàn)了對概念的理解與應(yīng)用能力。舉一反三：變式1判斷下列方程是否是一元一次方程：（1）-2x2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+=2 （4）2x2-1=1-2(2x-x2)解析：判斷是否為一元一次方程需要對原

9、方程進(jìn)行化簡后再作判斷。答案：（1）（2）（3）不是，（4）是變式2已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+60是一元一次方程，求a的值。解析：分兩種情況：（1）只含字母y，則有(a-3)(2a+5)0且a-30 （2）只含字母x，則有a-30且(a-3)(2a+5)0 不可能綜上，a的值為。變式3（2011重慶江津）已知3是關(guān)于x的方程2xa=1的解,則a的值是( )A5 B5 C7 D2答案：B類型二：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟是：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。如果我們在牢固掌握這一常規(guī)解題思路的基礎(chǔ)上，根據(jù)方程原形和特點(diǎn)，靈活安排解題步驟，并且巧妙地

10、運(yùn)用學(xué)過的知識，就可以收到化繁為簡、事半功倍的效果。1巧湊整數(shù)解方程：2、思路點(diǎn)撥：仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，含未知數(shù)的項(xiàng)的系數(shù)和為，常數(shù)項(xiàng)的和故直接移項(xiàng)湊成整數(shù)比先去分母簡單。解：移項(xiàng)，得。合并同類項(xiàng)，得2x1。系數(shù)化為1，得x。舉一反三：變式解方程：2x5解：原方程可變形為2x5整理，得8x18(215x)2x5，去括號，得8x18215x2x5移項(xiàng)，得8x15x2x5182合并同類項(xiàng)，得9x21系數(shù)化為1，得x。2巧用觀察法解方程：3、思路點(diǎn)撥：該方程可化為3，不難看出，當(dāng)y1時，該方程左邊三項(xiàng)的值都是1，即左邊右邊，因原方程是一元一次方程，故只能有一個解，于是可求得方程的解是y1。解：由觀察可得y

11、13巧去括號解方程：4、思路點(diǎn)撥：含多層括號的一元一次方程，要根據(jù)方程中各系數(shù)的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)娜ダㄌ柕姆椒?，因?yàn)轭}目中分?jǐn)?shù)的分子和分母具有倍數(shù)關(guān)系，所以從外向內(nèi)去括號可以使計算簡單。解：去括號，得去小括號，得去分母，得(3x5)88去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得3x21兩邊同除以3，得x7原方程的解為x7舉一反三：變式解方程：解：依次移項(xiàng)、去分母、去大括號，得依次移項(xiàng)、去分母、去中括號，得依次移項(xiàng)、去分母、去小括號，得，x484運(yùn)用拆項(xiàng)法解方程：5、思路點(diǎn)撥：注意到，在解有分母的一元一次方程時，可以不直接去分母，而是逆用分?jǐn)?shù)加減法法則，拆項(xiàng)后再合并，有時可以使運(yùn)算簡便。解：原方程逆用分?jǐn)?shù)加減法

12、法則，得移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得。系數(shù)化為1，得。5巧去分母解方程：6、思路點(diǎn)撥：當(dāng)方程的分母含有小數(shù)，而小數(shù)之間又沒有特殊的倍數(shù)關(guān)系時，若直接去分母則會出現(xiàn)比較繁瑣的運(yùn)算。為了避免這樣的運(yùn)算。應(yīng)把分母化成整數(shù)?；麛?shù)時，利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)將分子、分母同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)即可。解：原方程化為去分母，得100 x(1320 x)7去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得120 x20兩邊同除以120，得x原方程的解為總結(jié)升華：應(yīng)用分?jǐn)?shù)性質(zhì)時要和等式性質(zhì)相區(qū)別。可以化為同分母的，先化為同分母，再去分母較簡便。舉一反三：變式（2011山東濱州）依據(jù)下列解方程的過程，請在前面的括號內(nèi)填寫變形步驟，在后面的括號內(nèi)填寫變形

13、依據(jù)。解：原方程可變形為 (_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_)去括號，得9x+15=4x-2. （_）(_),得9x-4x=-15-2. (_)合并，得5x=-17. (合并同類項(xiàng))（_）,得x=. （_）【答案】解：原方程可變形為 (_分式的基本性質(zhì)_)去分母，得3（3x+5）=2(2x-1). (_等式性質(zhì)2_)去括號，得9x+15=4x-2. （去括號法則或乘法分配律_）(_移項(xiàng)_),得9x-4x=-15-2. (等式性質(zhì)1_)合并，得5x=-17. (合并同類項(xiàng))（_系數(shù)化為1_）,得x=. （等式性質(zhì)2）6巧組合解方程：7、思路點(diǎn)撥：按常規(guī)解法將方程兩邊同乘72化

14、去分母，但運(yùn)算較復(fù)雜，注意到左邊的第一項(xiàng)和右邊的第二項(xiàng)中的分母有公約數(shù)3，左邊的第二項(xiàng)和右邊的第一項(xiàng)的分母有公約數(shù)4，移項(xiàng)局部通分化簡，可簡化解題過程。解：移項(xiàng)通分，得化簡，得去分母，得8x1449x99。移項(xiàng)、合并，得x45。7巧解含有絕對值的方程：8、|x2|30思路點(diǎn)撥：解含有絕對值的方程的基本思想是先去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為一般的一元一次方程。對于只含一重絕對值符號的方程，依據(jù)絕對值的意義，直接去絕對值符號，化為兩個一元一次方程分別解之，即若|x|m，則xm或xm；也可以根據(jù)絕對值的幾何意義進(jìn)行去括號，如解法二。解法一：移項(xiàng)，得|x2|3 當(dāng)x20時，原方程可化為x23，解得x5 當(dāng)x20時，原方程可化為(x2)3，解得x1。 所以方程|x2|30的解有兩個：x5或x1。解法二：移項(xiàng)，得|x2|3。 因?yàn)榻^對值等于3的數(shù)有兩個：3和3，所以x23或x23。 分別解這兩個一元一次方程，得解為x5或x1。舉一反三：【變式1】（2011福建泉州）已知方程，那么方程的解是_.【答案】；變式2 5|x|-163|x|-4解：5|x|-3|x|16-42|x|12|x|6x6變式3