押第20題 統(tǒng)計概率（新高考）（原卷）

1、押第20題 統(tǒng)計概率統(tǒng)計概率是高考的重點和熱點，從2019年高考情況來看，更是有壓軸題的趨勢，并且分值和題量都略有增加。其中解答題考查涉及的主要方向有：（1）與社會生活緊密相連，緊跟時代步伐創(chuàng)設(shè)情境。（2）概率的求解同時也常滲透考查統(tǒng)計知識，背景新穎，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計的工具性和交匯性，綜合考查考生的應(yīng)用意識、閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；（3）統(tǒng)計知識其核心是樣本數(shù)據(jù)的獲得和分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、線性回歸方程、獨立性檢驗，常與概率交匯命題，意在考查考生的數(shù)據(jù)分析能力和綜合應(yīng)用能力1均值與方差的性質(zhì)若Y=aX+b，其中a，b是常數(shù)，X是隨機變

2、量，則（1）E（k）=k，D（k）=0，其中k為常數(shù)；（2）E（aX+b）=aE（X）+b，D（aX+b）=a2D（X）；（3）E（X1+X2）=E（X1）+E（X2）；（4）D（X）=E（X2）（E（X）2；（5）若X1，X2相互獨立，則E（X1X2）=E（X1）E（X2）；（6）若X服從兩點分布，則E（X）=p，D（X）=p（1p）；（7）若X服從二項分布，即XB（n，p），則E（X）=np，D（X）=np（1p）2隨機變量是否服從超幾何分布的判斷若隨機變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：（1）該試驗是不放回地抽取n次；（2）隨機變量X表示抽取到的次品件數(shù)（或類似事件），反之亦然3求超幾

3、何分布的分布列的步驟第一步，驗證隨機變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)N，M，n的值；第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計算公式計算出隨機變量取每一個值時的概率；第三步，用表格的形式列出分布列4求超幾何分布的均值與方差的方法（1）列出隨機變量X的分布列，利用均值與方差的計算公式直接求解；（2）利用公式E（X）=，D（X）=求解1（2021湖南高考真題）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中裝有6個粽子，其中肉粽1個，蛋黃粽2個，豆沙粽3個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個.（1）用表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求的分布列；（2）求選取的2個中至少有1個豆沙粽的概率.2（2021北京高考真題）在核酸檢

4、測中, “k合1” 混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測,如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陰性，得到每人的檢測結(jié)果都為陰性，檢測結(jié)束:如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結(jié)果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測,得到每人的檢測結(jié)果，檢測結(jié)束.現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測結(jié)果準確.（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測.(i)如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測的總次數(shù);(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設(shè)X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).(I

5、I）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設(shè)Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望E(Y)與(I)中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)3（2021全國高考真題）某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束.A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且

6、能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān).（1）若小明先回答A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；（2）為使累計得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由.4（2021全國高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過自身繁殖不斷生存下來，設(shè)一個這種微生物為第0代，經(jīng)過一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過一次繁殖后為第2代，該微生物每代繁殖的個數(shù)是相互獨立的且有相同的分布列，設(shè)X表示1個微生物個體繁殖下一代的個數(shù)，（1）已知，求；（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：的一個最小正實根，求證：當時，當時，；（3）根據(jù)你的理解說明（2）問結(jié)論的實際含義1（2022福建模擬預(yù)測）在

7、某次數(shù)學(xué)考試中，共有四道填空題，每道題5分.已知某同學(xué)在此次考試中，在前兩道題中，每道題答對的概率均為，答錯的概率均為；對于第三道題，答對和答錯的概率均為；對于最后一道題，答對的概率為，答錯的概率為.(1)求該同學(xué)在本次考試中填空題部分得分不低于15分的概率；(2)設(shè)該同學(xué)在本次考試中，填空題部分的總得分為，求的分布列.2（2022廣東深圳二模）2022年北京冬奧會后，由一名高山滑雪運動員甲組成的專業(yè)隊，與兩名高山滑雪愛好者乙、丙組成的業(yè)余隊進行友誼賽約定賽制如下：業(yè)余隊中的兩名隊員輪流與甲進行比賽，若甲連續(xù)贏兩場則專業(yè)隊獲勝；若甲連續(xù)輸兩場則業(yè)余隊獲勝：若比賽三場還沒有決出勝負，則視為平局，

8、比賽結(jié)束已知各場比賽相互獨立，每場比賽都分出勝負，且甲與乙比賽，乙贏概率為；甲與丙比賽，丙贏的概率為p，其中(1)若第一場比賽，業(yè)余隊可以安排乙與甲進行比賽，也可以安排丙與甲進行比賽請分別計算兩種安排下業(yè)余隊獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問：業(yè)余隊第一場應(yīng)該安排乙還是丙與甲進行比賽？(2)為了激勵專業(yè)隊和業(yè)余隊，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時，勝隊獲獎金3萬元，負隊獲獎金1.5萬元；若平局，兩隊各獲獎金1.8萬元在比賽前，已知業(yè)余隊采用了（1）中的最優(yōu)決策與甲進行比賽，設(shè)賽事組織預(yù)備支付的獎金金額共計X萬元，求X的數(shù)學(xué)期望的取值范圍3（2022湖南雅禮中學(xué)二模）“不關(guān)注分數(shù)，就是對學(xué)生的今天

9、不負責(zé)：只關(guān)注分數(shù)，就是對學(xué)生的未來不負責(zé).”為鍛煉學(xué)生的綜合實踐能力，長沙市某中學(xué)組織學(xué)生對雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：月份x24681012凈利潤（萬元y0.92.04.23.95.25.1(1)設(shè).試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程和（保留2位有效數(shù)字）；(2)從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測次年2月（）的凈利潤（保留1位小數(shù)）.附：相關(guān)系數(shù)，回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為；參考數(shù)據(jù)：，4（2022江蘇南京市第一中學(xué)三模）設(shè)， ，甲、乙、丙三個口袋中分別裝有、個小球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個口袋中分別取球，一共取出個球記從甲口袋中取

10、出的小球個數(shù)為(1)當時，求的分布列；(2)證明：；(3)根據(jù)第（2）問中的恒等式，證明：5（2022湖南永州三模）某游樂場開展摸球有獎活動，在一個不透明的盒子中放入大小相同的10個小球，其中紅球4個，黑球6個，游客花10元錢，就可以參加一次摸球有獎活動，從盒子中一次隨機摸取4個小球，規(guī)定摸取到兩個或兩個以上的紅球就中獎.根據(jù)摸取到的紅球個數(shù)，設(shè)立如下的中獎等級：摸取到的紅球個數(shù)234中獎等級三等獎二等獎一等獎(1)求游客在一次摸球有獎活動中中獎的概率；(2)若游樂場規(guī)定：在一次摸球有獎活動中，游客中三等獎，可獲得獎金15元；中二等獎，可獲得獎金20元；中一等獎，可獲得獎金200元.請從游樂場

11、獲利的角度，分析此次摸球有獎活動的合理性.（限時：30分鐘）1年國家發(fā)改委住建部發(fā)布了生活垃圾分類制度實施方案規(guī)定個城市在年底實施生活垃圾強制分類，垃圾回收用率要達以上.某市在實施垃圾分類之前，對該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量在萬左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進行了調(diào)查.已知該市這樣的大型社區(qū)有個，如圖是某天從中隨機抽取個社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過噸/天的社區(qū)稱為“超標”社區(qū).（1）根據(jù)上述資料，估計當天這個社區(qū)垃圾量的平均值(四舍五入精確到整數(shù))；（2）若當天該市這類大型社區(qū)的垃圾量，其中近似為（1）中的樣本平均值，請根據(jù)的分布估計這個社區(qū)中“超標”社區(qū)的個數(shù)(四舍

12、五入精確到整數(shù))；（3）市環(huán)保部門決定對樣本中“超標”社區(qū)的垃圾來源進行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機抽取個進行重點監(jiān)控，設(shè)為其中當天垃圾量至少為噸的社區(qū)個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.附：；.2到2020年年底，經(jīng)過全黨全國各族人民共同努力，現(xiàn)行標準下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)在接下來的5年過渡期，為鞏固脫貧成果，將繼續(xù)實行“四個不摘”，某市工作小組在2021年繼續(xù)為已脫貧群眾的生產(chǎn)生活進行幫扶，工作小組經(jīng)過多方考察，引進了一種新的經(jīng)濟農(nóng)作物，并指導(dǎo)一批農(nóng)戶于2021年初開始種植已知該經(jīng)濟農(nóng)作

13、物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于天氣、市場經(jīng)濟等因素的影響，近幾年該經(jīng)濟農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與每千克售價具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：該經(jīng)濟農(nóng)作物市場價格（元）1015該經(jīng)濟農(nóng)作物每年畝產(chǎn)量400600概率0.40.6概率0.250.75（1）設(shè)2021年當?shù)啬侈r(nóng)戶種植一畝該經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入為X元，求X的分布列；（2）已知當?shù)啬侈r(nóng)戶在2021年初種植了3畝該經(jīng)濟農(nóng)作物，假設(shè)各畝地的產(chǎn)量相互獨立，求該農(nóng)戶在2021年通過種植該經(jīng)濟農(nóng)作物所獲得的純收入超過12000元的概率（注：純收入=種植收入-種植成本）3第24屆冬季奧林匹克運動會，將于2022年2月4日至

14、2022年2月20日在北京舉行實踐“綠色奧運、科技奧運、人文奧運”理念，舉辦一屆“有特色、高水平”的奧運會，是中國和北京的莊嚴承諾，也是全世界的共同期待.為宣傳北京冬奧會，激發(fā)人們參與冬奧會的熱情，某市開展了關(guān)于冬奧知識的有獎問答.從參與的人中隨機抽取100人，得分情況如下：（1）得分在80分以上稱為“優(yōu)秀成績”，從抽取的100人中任取2人，記“優(yōu)秀成績”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由直方圖可以認為，問卷成績值服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.求；用所抽取100人樣本的成績?nèi)ス烙嫵鞘锌傮w，從城市總?cè)丝谥须S機抽出2000人，記表示這2000人中分數(shù)值位于區(qū)間的人數(shù)，利

15、用的結(jié)果求.參考數(shù)據(jù)：，.4在剛剛過去的寒假，由于新冠疫情的影響，哈爾濱市的兩所同類學(xué)校的高三學(xué)年分別采用甲乙兩種方案進行線上教學(xué)，為觀測其教學(xué)效果，分別在兩所學(xué)校的高三學(xué)年各隨機抽取名學(xué)生，對每名學(xué)生進行綜合測試評分，記綜合評分為及以上的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計得到兩所學(xué)校抽取的學(xué)生中共有名優(yōu)秀學(xué)生.（1）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在兩個學(xué)校的高三學(xué)年隨機抽取名學(xué)生，求所抽取的學(xué)生中的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知學(xué)校抽出的優(yōu)秀學(xué)生占該校抽取總?cè)藬?shù)的，填寫下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為學(xué)生綜合測試評分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).優(yōu)秀學(xué)生非優(yōu)秀學(xué)生合計甲方案乙方案合計附：，其中.5為了調(diào)查地區(qū)200000名學(xué)生寒假期間在家的課外閱讀時間，研究人員隨機抽取了20000名學(xué)生作調(diào)查，所得結(jié)果統(tǒng)計如下表所示：閱讀時間頻數(shù)2003700530080002300500（1）若閱讀的時間近似地服從正態(tài)分布，其中為這20000名學(xué)生閱讀時間的平均值，試估計這200000名學(xué)生中閱讀時