需求理論知識(shí)分析報(bào)告

1、. . .85/34. .第四章 需求理論本章研究消費(fèi)者個(gè)人需求和市場總需求的變化規(guī)律。對(duì)于消費(fèi)者個(gè)人需求，主要討論價(jià)格和收入的變化對(duì)需求的影響，尤其是要討論收入效應(yīng)和替代效應(yīng)問題。對(duì)于市場總需求，主要討論三個(gè)方面的問題：總需否還是價(jià)格和收入的函數(shù)？總需求能否揭示一種消費(fèi)者偏好？總需求有什么社會(huì)福利意義？通過對(duì)這些問題的研究，總需求的性質(zhì)和變化規(guī)律便可可得到揭示。本章的討論仍在商品空間中進(jìn)行，即假定市場上共有種可供選擇的商品。第一節(jié) 集值映射集值映射是研究需求的基本工具，是經(jīng)濟(jì)學(xué)研究中發(fā)展起來的一套經(jīng)濟(jì)分析方法。上一章中討論的預(yù)算集合同價(jià)格與收入之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以與需求集合同價(jià)格與收入之間的對(duì)

2、應(yīng)關(guān)系，都是集值映射的典型事例。所謂集值映射，是指集合與元素(點(diǎn))之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，或者說是一種取值為集合的映射。具體來說，設(shè)和是兩個(gè)集合，如果對(duì)于種的任何一個(gè)元素，都有的一個(gè)子集與之對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系就稱為從到的集值映射，并記作。為了方便起見，今后我們把集值映射也簡稱作集映。對(duì)于這個(gè)概念，我們可作兩個(gè)方面的理解。首先，通常所說的映射或函數(shù)都是單值映射或單值函數(shù)，即對(duì)于自變量的每一種取值，與之對(duì)應(yīng)的因變量的值是唯一的；集值映射則實(shí)際上是多值映射，即對(duì)于自變量的每一種取值，與之對(duì)應(yīng)的因變量的值是可能有多個(gè)。其次，也可把集值映射這種多值映射看成是一種單值映射，即把看成是的冪集的元素，這樣一來，

3、就變成了從到的單值映射。因此，集值映射也可記作。圖4-1 集值映射的圖像集值映射還可看作是乘積集合的子集。具體來講，確定了的一個(gè)子集，這個(gè)子集稱為集值映射的圖像(如圖4-1所示)。顯然，不同集映的圖像是不同的。集映確定以后，其圖像也就唯一確定下來。反過來，只要圖像得以確定，集映也就唯一確定了。因此，可把集映與其圖像等同看待。對(duì)于集值映射，如果對(duì)任何，都有，則稱為對(duì)應(yīng)。所以，對(duì)應(yīng)是取值為非空集合的集映，也是人們更為感興趣的集值映射。在集值映射下，的子集的像集是指集合：定義設(shè)與都是拓?fù)淇臻g，集映叫做：(1) 閉(緊、凸)集值的集映，如果對(duì)任何,都是的閉(緊、凸)子集；(2) 在點(diǎn)處上半連續(xù)，如果對(duì)

4、于中任何包含的開集，都存在的鄰域使得；(3) 上半連續(xù)的集映，如果對(duì)任何, 都在處上半連續(xù)；(4) 在點(diǎn)處下半連續(xù)，如果對(duì)中任何與相交的開集，都存在的鄰域使得；(5) 下半連續(xù)的集映，如果對(duì)任何, 都在處下半連續(xù)；(6) 在點(diǎn)處連續(xù)，如果在點(diǎn)處既上半連續(xù)，又下半連續(xù)；(7) 連續(xù)的集映，如果對(duì)任何, 都在處連續(xù)；(8) 閉集映，如果的圖像是積空間的閉子集；(9) 開集映，如果的圖像是積空間的開子集。集映的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性都是函數(shù)連續(xù)性概念的推廣，上半連續(xù)性說的是不會(huì)突然脹，下半連續(xù)性說的是不會(huì)突然收縮。關(guān)于的集映連續(xù)性，下面三個(gè)定理是基本的和重要的。定理1. 設(shè)和都是拓?fù)淇臻g，且為Hau

5、sdorff空間。又設(shè)是閉集值的集映，且包含在的某緊子集當(dāng)中。則上半連續(xù)的充分必要條件是為閉集映。定理2. 設(shè)是第一可數(shù)空間，是Hausdorff空間，是集映，為某個(gè)給定的點(diǎn)，在該點(diǎn)處的值是閉集，且存在的鄰域使得包含在的某緊子集當(dāng)中。則在處上半連續(xù)的充分必要條件是：對(duì)任何與任何序列和，當(dāng)且時(shí)，。定理3. 設(shè)和是第一可數(shù)空間，是對(duì)應(yīng)，為給定的點(diǎn)。則在處下半連續(xù)的充分必要條件是：對(duì)于任何與中任何收斂于的序列，存在中收斂于的序列滿足。推論. 設(shè)和都是拓?fù)淇臻g，且為Hausdorff空間，為閉集值的閉集映，為某個(gè)給定的點(diǎn)。如果存在的鄰域使得包含在的某緊子集當(dāng)中，則在處上半連續(xù)。這個(gè)推論直接從定理1得到

6、，它比定理1可能更為有用。定理2和定理3分別是集值映射的上、下半連續(xù)性的極限形式，因而也是很有用的，為研究集值映射提供了極大的便利。第二節(jié) 需求的連續(xù)性根據(jù)消費(fèi)最優(yōu)化確定的需求，是由價(jià)格因素與收入因素共同決定的。當(dāng)這兩個(gè)因素發(fā)生變化時(shí)，需求自然會(huì)發(fā)生變化。需求變動(dòng)的第一個(gè)規(guī)律，就是當(dāng)價(jià)格和收入變化不大時(shí)，需求也不會(huì)發(fā)生很大的變化，即需隨價(jià)格和收入連續(xù)變動(dòng)的。一.預(yù)算的連續(xù)性預(yù)算的連續(xù)性是需求連續(xù)性的基礎(chǔ)。沒有預(yù)算的連續(xù)性，就很難保證當(dāng)價(jià)格和收入的變化很小時(shí)，需求的變化也很小。因此，為了考察需求的變動(dòng)規(guī)律，需要先來考察消費(fèi)預(yù)算的變化規(guī)律。命題1. 設(shè)消費(fèi)集合是商品空間的非空閉子集，則預(yù)算集映是閉

7、對(duì)應(yīng)。證明：預(yù)算集映是對(duì)應(yīng)，這是明顯的事實(shí)。以下來證明是閉集映，即證明的圖像是的閉子集。為此，設(shè)為中的任一序列，且。為了證明是閉集，只需證明(即,也即)。事實(shí)上，從立即可知。在此式兩邊取極限即可得到：。故。命題2. 設(shè)消費(fèi)集合是的下有界非空閉子集，則預(yù)算集映上半連續(xù)。證明：注意，預(yù)算對(duì)應(yīng)是閉集值的閉集映。因此，可應(yīng)用上一節(jié)中的推論來證明本命題。為此，設(shè)為任一給定的點(diǎn)。為了說明在點(diǎn)處的上半連續(xù)性，只需要找出的一個(gè)鄰域，使得包含在的某個(gè)有界閉子集當(dāng)中。的下有界性告訴我們，存在向量滿足且對(duì)一切成立。令則是的鄰域。令，其中定義如下：易見，是的有界閉子集(從而是緊子集)。我們指出：。事實(shí)上，對(duì)任何與，注

8、意，我們有：由此可知，即，從而。這就證明了。既然任意給出，因此。的上半連續(xù)性得證。命題3. 設(shè)消費(fèi)集合是的凸子集，則預(yù)算集映下半連續(xù)。證明：任意給定，我們來證明在處下半連續(xù)。注意，和都是第一可數(shù)空間，且是對(duì)應(yīng)，因此可應(yīng)用定理3來證明在處的下半連續(xù)性。為此，設(shè)且是中任一收斂于的序列。根據(jù)定理3，我們只需找到中收斂于的序列使得。顯然，。我們按照和兩種情形，分別來找這個(gè)序列。情形1: 此時(shí)，從與可知，存在自然數(shù)使得對(duì)一切成立。于是，對(duì)任何自然數(shù), 當(dāng)時(shí)，任意取定一點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，令。顯然，且。情形2：此時(shí)，從知，存在滿足。注意，因此，存在自然數(shù)使得和對(duì)一切成立?，F(xiàn)在，對(duì)任何的自然數(shù), 當(dāng)時(shí)，任意取定一點(diǎn)；

9、當(dāng)時(shí)，令，其中。容易看出：(1)對(duì)一切成立；(2) ；(3) 當(dāng)時(shí)，且；(4) 當(dāng)時(shí)，?？梢?，且?？傊?，不論是情形1還是情形2，我們都在中找到了某個(gè)收斂于的序列使得。于是，在處的下半連續(xù)性得證。既然是任意給定的，因此是上半連續(xù)的集映。命題2和命題3告訴我們：預(yù)算集映的連續(xù)性. 在假設(shè)HC下，預(yù)算集映是連續(xù)對(duì)應(yīng)。這就是說，消費(fèi)集合的非空下有界閉凸性既保證了消費(fèi)預(yù)算不會(huì)隨價(jià)格與收入變化而突然脹，又保證了消費(fèi)預(yù)算不會(huì)隨價(jià)格與收入的變化而突然收縮。二需求的連續(xù)性現(xiàn)在，我們考察需求的連續(xù)性問題。根據(jù)第三章第四節(jié)關(guān)于馬歇爾需求的討論可知，在連續(xù)的偏好下，需求集映是對(duì)應(yīng)。實(shí)際上，需求集映還是閉集映，即下面命

10、題所述。命題4. 設(shè)消費(fèi)集合是商品空間的下有界非空閉凸子集，偏好關(guān)系是連續(xù)的。則需求對(duì)應(yīng)是閉集值的閉集映。證明：對(duì)于任何，是閉集這一事實(shí)是比較容易說明的，其依據(jù)是的閉性和中任何兩個(gè)方案之間的誤差異性。下面來證明是閉集映，即證明是的閉子集。為此，設(shè)是中的任一序列，并且收斂于某點(diǎn)。我們來證明，即欲證明，也即要證明且對(duì)一切成立。注意，并且預(yù)算對(duì)應(yīng)上半連續(xù)(命題2)。因此，。再注意，預(yù)算對(duì)應(yīng)還是下半連續(xù)的(命題3)。因此，對(duì)于任何的，都存在中的序列滿足且。既然，因此。偏好的連續(xù)性保證了可在此式兩邊取極限，于是。這就說明，即?？梢姡堑拈]子集。命題5(需求集映的連續(xù)性). 設(shè)消費(fèi)集合是商品空間的下有界非

11、空閉凸子集，偏好關(guān)系是連續(xù)的。則需求對(duì)應(yīng)上半連續(xù)。證明：由于命題4，我們可應(yīng)用第一節(jié)中的推論來證明本命題。設(shè)任意給定。我們?cè)谧C明命題2的時(shí)候，曾經(jīng)找到了的一個(gè)鄰域使得包含在的某個(gè)有界閉子集當(dāng)中。由于，因此這個(gè)鄰域也必然使得包含在的這個(gè)有界閉子集當(dāng)中。既然是閉集值的閉集映，根據(jù)第一節(jié)中的推論便知在處上半連續(xù)。而是任意給定的，于是是上半連續(xù)的集映。命題5得證。從上一章的討論可知，在連續(xù)的嚴(yán)格凸偏好假設(shè)下，理性消費(fèi)者的需求映射得到了良好的定義(well defined)，即對(duì)于任何，需求向量是唯一確定的。不僅如此，從命題5可知需求映射(需求函數(shù))還是連續(xù)的(即下面的命題6所述)。因此，只要價(jià)格與與收

12、入的變化很小，需求的變化也就很小。命題6(需求映射的連續(xù)性). 在假設(shè)HC和假設(shè)HP下，需求映射是連續(xù)映射。第三節(jié) 需求的可微分性本節(jié)研究需求函數(shù)的可微分變化規(guī)律，即需求的變化率問題。我們的討論將在假設(shè)HC和HP下進(jìn)行，并且還要使用效用函數(shù)。事實(shí)上，需求函數(shù)的可微分性同效用函數(shù)的擬凹性關(guān)系密切，因此本節(jié)要進(jìn)一步討論效用函數(shù)的性質(zhì)。這里，我們先假定效用函數(shù)服從假設(shè)HU并且嚴(yán)格擬凹。在這些假定下，消費(fèi)者的需求向量由價(jià)格和收入唯一確定，這就唯一確定下來了消費(fèi)者的需求映射。對(duì)于，。其中的便是商品的需求函數(shù)。對(duì)于，效用函數(shù)在處的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，稱為在處的海森(Hessian)矩陣。在假設(shè)HU之下，海森矩

13、陣是對(duì)稱矩陣。今后，為了方便起見， 把在處的梯度記為。一效用函數(shù)的強(qiáng)擬凹性效用函數(shù)的擬凹性蘊(yùn)含著海森矩陣具有某種良好性質(zhì)，或者說，任何一點(diǎn)處的無差異曲面必然在該點(diǎn)處的切平面的上方。因此，從切平面上看，切點(diǎn)是效用函數(shù)在切平面上的最大值點(diǎn)，即切點(diǎn)是切平面上效用最大的點(diǎn)。這就是下面命題所述的事實(shí)。命題1. 設(shè)消費(fèi)集合是商品空間的凸子集，效用函數(shù)是擬凹的，在處可微，且。對(duì)于任何，如果，那么；也即，如果，那么；如果, 那么；也即，如果，那么；(3) 進(jìn)一步，當(dāng)效用函數(shù)嚴(yán)格擬凹并且時(shí)，如果，那么；也即，如果，那么。證明：任意給定。(1) 設(shè)。的擬凹性保證了對(duì)一切成立，從而即，這就證明了(1)。(2) 設(shè)。

14、既然，存在的鄰域使得, 從而也存在使得。效用函數(shù)的擬凹性保證了，而的連續(xù)性又保證了存在的鄰域（即以為中心的一個(gè)開球）使得且對(duì)于任何，都有。顯然，我們可以在中選取一個(gè)符合下列條件的點(diǎn)：對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。對(duì)于這樣選定的點(diǎn)，從可知。既然，從(1)的結(jié)論可知，從而。注意，因此。而，于是。(2)得證。(3) 設(shè)嚴(yán)格擬凹，且。令。效用函數(shù)的嚴(yán)格擬凹性保證了，于是從(2)的結(jié)論可知。將代入此式即可得到，(3)得證。命題2. 設(shè)消費(fèi)集合是的凸子集，效用函數(shù)擬凹，在點(diǎn)處二階可微，并且。則對(duì)于任何，都有。這里，“”表示矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算，集合是無差異曲面在點(diǎn)處的切平面。證明：設(shè)是命題中給定的點(diǎn)，這意味著存在正實(shí)

15、數(shù)滿足，其中是以為中心、為半徑的開球。現(xiàn)在，設(shè)是切平面上的任一點(diǎn)。如果，那么是明顯的。以下設(shè)。于是，必然存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得且。記，并對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)，令。顯然，對(duì)于任何，都有成立，從而有成立（因?yàn)椋＿@說明，命題1(2)的條件得到滿足，因此對(duì)一切成立。定義函數(shù)如下：。則從上面的討論知，是在上的最大值點(diǎn)，而且在上二階可微。根據(jù)函數(shù)最大值二階必要條件可知，(這是因?yàn)椋偃?，那么便為的極小值，出現(xiàn)矛盾)。計(jì)算可知，結(jié)果，。命題得證。效用函數(shù)的擬凹性或嚴(yán)格擬凹性，都不足以保證需求函數(shù)的可微性。為了用微分法分析消費(fèi)者需求的變動(dòng)情況，需要把上述命題中得到的不等式換為嚴(yán)格不等式，即提出效用函數(shù)的強(qiáng)擬凹性概念。定

16、義. 設(shè)效用函數(shù)嚴(yán)格擬凹，在部二階可微。叫做在點(diǎn)處強(qiáng)擬凹，是指且對(duì)任何,，都有。如果在部的每個(gè)點(diǎn)處都是強(qiáng)擬凹的，則稱是強(qiáng)擬凹的效用函數(shù)。效用函數(shù)的強(qiáng)擬凹性實(shí)際上只與消費(fèi)者的偏好有關(guān)，而與二階可微效用函數(shù)的具體選擇無關(guān)。事實(shí)上，對(duì)于等價(jià)的效用函數(shù)與來說，從第三章第3節(jié)的討論可知，存在嚴(yán)格遞增可微函數(shù)滿足：對(duì)任何,；對(duì)任何,。由此可知，對(duì)任何,。注意，且對(duì)于任何，。這說明，強(qiáng)擬凹當(dāng)且僅當(dāng)強(qiáng)擬凹。即強(qiáng)擬凹性與效用函數(shù)的具體選擇無關(guān)，屬于偏好關(guān)系本身的性質(zhì)。命題3. 設(shè)消費(fèi)集合是凸集，效用函數(shù)嚴(yán)格擬凹且在部二階可微，。則在處強(qiáng)擬凹的充分必要條件是：在處的加邊海森矩陣非奇異。這里，所謂效用函數(shù)的加邊海森

17、矩陣，是指：證明：線性代數(shù)理論告訴我們，一個(gè)階方陣非奇異的充要條件是：對(duì)任何非零的維列向量，都有。下面的證明將應(yīng)用這一事實(shí)。設(shè)為命題中給定的點(diǎn)。必要性我們只需證明：對(duì)于任何維向量，如果，那么。為此，設(shè)滿足的任意一個(gè)維向量。注意，因此，從而。進(jìn)一步，。既然強(qiáng)擬凹且，可見只有。將這一結(jié)果代入，可得。由于，因此。這就證明了。的非奇異性得證。充分性的非奇異性說明，對(duì)于任何維向量，如果，那么。對(duì)應(yīng)用這一結(jié)論，便可知。對(duì)于每個(gè)，令。則對(duì)于任何的，都有的擬凹性保證了對(duì)于任何的，都有。令，并取定一個(gè)。我們斷定：是非奇異的、半負(fù)定的，從而是負(fù)定的。的非奇異性的證明：設(shè)任意給出且。如果，則從的非奇異性可知，即，從

18、而。以下設(shè)，并令，則。假若，則，從而，這與發(fā)生矛盾。可見，不成立。這樣，?？傊?，對(duì)任何，都成立。這說明是非奇異的。的半負(fù)定性的證明：設(shè)任意給定。如果，則根據(jù)的擬凹性和命題2可知，。以下設(shè)。令，則。注意,因此，即，從而?？傊?，對(duì)任何的，都有。這說明是半負(fù)定的。由于非奇異的半負(fù)定矩陣必是負(fù)定的，因此是負(fù)定矩陣，即對(duì)于任何，只要，就有?？梢妼?duì)于任何,，都有。這說明是強(qiáng)擬凹的。充分性得證。二需求函數(shù)的可微分性現(xiàn)在考察需求函數(shù)的可微分變化規(guī)律。設(shè)消費(fèi)集合滿足假設(shè)HC；效用函數(shù)強(qiáng)擬凹、在部二階可微，并且無最大值；均衡在消費(fèi)集合部實(shí)現(xiàn)，即對(duì)一切成立。在這些假設(shè)之下，對(duì)于任何，邊際方程確定了消費(fèi)者的唯一需求向

19、量與拉格朗日乘數(shù)。確定了消費(fèi)者對(duì)商品的需求函數(shù)。將這些需求函數(shù)代入邊際方程，則邊際方程就變成為恒等式，稱為邊際等式?，F(xiàn)在假定價(jià)格和收入都發(fā)生了微小變化，從而引起了需求發(fā)生變化。設(shè)商品的價(jià)格變化為，消費(fèi)者收入的變化為，消費(fèi)者對(duì)商品的需求的變化為。這些變化之間的關(guān)系，可通過在邊際等式兩邊求微分加以確定：記，則上式可改寫為。用表示階單位方陣，則此式又可改寫成： 此式稱為消費(fèi)者需求的基本矩陣方程或者稱為基本矩陣等式。命題4. 設(shè)消費(fèi)集合滿足假設(shè)HC，效用函數(shù)強(qiáng)擬凹、在部二階可微、且無最大值，。則矩陣非奇異，并且需求函數(shù)在點(diǎn)附近連續(xù)可微。證明： 我們先來證明矩陣的非奇異性，即證明對(duì)于任意的，只要，就有。

20、為此，設(shè)任意給出，且。計(jì)算一下這里的矩陣乘積，我們得到：根據(jù)是否為零，我們分兩種情況進(jìn)行討論。情形1. ，即。由于，因此，即。如果，則根據(jù)的強(qiáng)擬凹性可知。注意，。這說明，從而。如果，則，從而?？傊徽撌欠駷榱阆蛄?，我們總有。情形2. 。此時(shí)，顯然有?？偠灾徽撌欠駷榱?，都有?？梢娋仃嚤厝皇欠瞧娈惖?。我們?cè)賮碚f明各個(gè)需求函數(shù)的可微性。首先，需求函數(shù)由邊際等式確定這一事實(shí)以與隱函數(shù)存在定理告訴我們，只要邊際方程的雅可比(Jaccobi)矩陣非奇異，邊際方程就確定了在附近連續(xù)可微的需求函數(shù)。計(jì)算關(guān)于的雅可比矩陣，不難發(fā)現(xiàn)：于是，根據(jù)上面的分析論證，雅可比矩陣是非奇異的。這就證明了各個(gè)需求函數(shù)在

21、點(diǎn)附近的連續(xù)可微性。命題4得證。命題4表明，當(dāng)價(jià)格與收入的變化都很微小時(shí)，需求的變化也很微小，并且基本上與價(jià)格和收入的微小變化呈線性關(guān)系，這種線性關(guān)系可通過需求的基本矩陣方程來求解：第四節(jié)替代效應(yīng)與收入效應(yīng)本節(jié)從需求的基本矩陣方程出發(fā)，分析價(jià)格與收入的變化所引起的需求的變動(dòng)?，F(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中，我們常常會(huì)看到這樣的情況，某種商品的價(jià)格并未發(fā)生變化，消費(fèi)者的收入也沒有變化，然而消費(fèi)者對(duì)該種商品的需求量卻發(fā)生了變化。這是為什么呢？實(shí)際上，這種需求變動(dòng)來自于其他商品價(jià)格的變化而引起的商品之間的替代。本節(jié)要研究這種替代效應(yīng)，即要分析一種商品的價(jià)格變化對(duì)另一種商品的需求量的影響。另一方面，當(dāng)商品自身的價(jià)格發(fā)

22、生變化時(shí)，該商品的需求量會(huì)發(fā)生變化，這就是所謂的自身效應(yīng)，本節(jié)也要加以研究，即要分析商品價(jià)格的變化對(duì)商品自身需求量的影響。當(dāng)消費(fèi)者收入發(fā)生變化時(shí)，商品的需求量明顯地要受到影響，這則是收入效應(yīng)。因此，本節(jié)還要分析收入的變化對(duì)需求的影響。我們將用總效應(yīng)一詞來表達(dá)價(jià)格與收入的變化所引起的需求的變動(dòng)。對(duì)于總效應(yīng)的研究，其依據(jù)是上一節(jié)最后對(duì)命題4作說明時(shí)，所改寫的需求基本矩陣方程：這個(gè)矩陣等式準(zhǔn)確地表達(dá)了價(jià)格和收入的變化對(duì)需求的影響。但是，我們希望知道一些更加具體、更加明確的需求變動(dòng)規(guī)律，因而需要對(duì)如上方程進(jìn)行深入分析。為了方便起見，令則。進(jìn)一步，令。這個(gè)矩陣稱為斯勒茨基矩陣(Slutskys matr

23、ix)，其元素稱為斯勒茨基系數(shù)(Slutskys coeficients)。我們有：稱此方稱為修正的需求基本矩陣方程。一替代效應(yīng)與收入效應(yīng)的含義首先，我們來解釋替代效應(yīng)與收入效應(yīng)的含義，從而給斯勒茨基系數(shù)的意義作出解釋。一種商品的價(jià)格變化，會(huì)對(duì)消費(fèi)者產(chǎn)生兩種影響：一是使消費(fèi)者的實(shí)際收入水平發(fā)生變化，另一是使商品的相對(duì)價(jià)格發(fā)生變化。這兩種變化都會(huì)改變消費(fèi)者對(duì)商品的需求量。在這里，消費(fèi)者的實(shí)際收入水平變化被定義為效用水平的變化。比如，當(dāng)服裝的價(jià)格下降時(shí)，雖然消費(fèi)者的貨幣收入未變，但現(xiàn)有貨幣收入的購買力增強(qiáng)了，也就是說消費(fèi)者的實(shí)際收入水平提高了。而實(shí)際收入水平的提高，會(huì)使消費(fèi)者改變對(duì)服裝以與其他商品

24、的消費(fèi)量，從而達(dá)到更高的效用水平，這就是收入效應(yīng)。還有另一方面，服裝價(jià)格下降，使得服裝相對(duì)于其他價(jià)格未變的商品來說變得較以前便宜了，也就是說，服裝價(jià)格下降等同于其他商品價(jià)格相對(duì)上升；即使服裝價(jià)格未變，但其他商品的價(jià)格上升，這也使得服裝相對(duì)于其他價(jià)格上升的商品來說變得較以前便宜了。商品的這種相對(duì)價(jià)格變化，會(huì)使消費(fèi)者增加對(duì)服裝的購買量而減少對(duì)其他商品的購買量，這就是替代效應(yīng)。顯然，替代效應(yīng)不考慮實(shí)際收入水平變動(dòng)對(duì)需求的影響，因而替代效應(yīng)不改變消費(fèi)者的效用水平。綜上所述，一種商品的價(jià)格變化所引起的商品需求量變動(dòng)的總效應(yīng)，可以分解為替代效應(yīng)和收入效應(yīng)兩部分：總效應(yīng)替代效應(yīng)收入效應(yīng)。其中，由商品的價(jià)格變

25、動(dòng)引起商品相對(duì)價(jià)格發(fā)生變動(dòng)，進(jìn)而由商品相對(duì)價(jià)格變動(dòng)所引起的商品需求量變動(dòng)，就是替代效應(yīng)；由商品的價(jià)格變動(dòng)引起消費(fèi)者實(shí)際收入水平變動(dòng)，進(jìn)而由實(shí)際收入水平變動(dòng)所引起的商品需求量變動(dòng)，就是收入效應(yīng)。替代效應(yīng)不改變消費(fèi)者的效用水平，而收入效應(yīng)則使消費(fèi)者的效用水平發(fā)生變化。為了具體分析替代效應(yīng)和收入效應(yīng)，用列向量表示價(jià)格體系的變動(dòng)，用表示收入水平的變動(dòng)。這些變動(dòng)所引起的各種商品需求量的變動(dòng)，用列向量表示，即代表總效應(yīng)。用表示拉格朗日乘數(shù)所發(fā)生的相應(yīng)的變動(dòng)。根據(jù)修正的需求基本矩陣方程，我們有：即，。注意，這里的為行向量，為列向量。因此，。我們得到：其中，表示當(dāng)商品的價(jià)格增加(減少)一單位而其余商品的價(jià)格保

26、持不變時(shí)，商品的需求量的增加(減少)量；表示當(dāng)消費(fèi)者收入增加(減少)一個(gè)單位而商品價(jià)格保持不變時(shí)，商品的需求量的增加(減少)量。在價(jià)格體系和收入水平下，消費(fèi)者選擇了消費(fèi)向量?，F(xiàn)在，商品的價(jià)格增加了一個(gè)單位而其余商品的價(jià)格不變，這相當(dāng)于消費(fèi)者的實(shí)際收入減少了個(gè)單位，進(jìn)而實(shí)際收入的減少引起了商品的購買量減少個(gè)單位，從而消費(fèi)者的效用水平必將下降。為了不讓消費(fèi)者的效用水平發(fā)生變化，必須保證消費(fèi)者的實(shí)際收入水平不變，即必須使所減少的這個(gè)單位的商品的消費(fèi)量得到補(bǔ)償。這也就是說，當(dāng)商品的價(jià)格上升而其余商品的價(jià)格未變時(shí)，按照變化后的價(jià)格體系，消費(fèi)者將增加對(duì)商品的購買量，其增加量為。但是，僅僅按照這個(gè)水平來增加

27、商品的消費(fèi)，由于實(shí)際收入水平的下降，消費(fèi)者的效用水平要下降。如果要保持價(jià)格變化后的效用水平同價(jià)格變化前的效用水平一致，商品的消費(fèi)量還必須再增加個(gè)單位。于是，當(dāng)商品的價(jià)格上升(下降)一個(gè)單位時(shí)，為了保持消費(fèi)者的效用水平不變，商品的消費(fèi)量應(yīng)該增加(減少)個(gè)單位。這正說明，斯勒茨基系數(shù)表達(dá)了商品對(duì)商品的替代效應(yīng)(如圖4-2所示，圖中的粗線表示價(jià)格變化前的曲線，細(xì)線表示價(jià)格變化后的曲線，虛線表示的預(yù)算線叫做補(bǔ)償預(yù)算線，它代表當(dāng)價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，與價(jià)格變化前的效用水平一樣的實(shí)際收入水平)。再從可知，當(dāng)價(jià)格向量發(fā)生增加性變化時(shí)，消費(fèi)者的實(shí)際收入將減少了。現(xiàn)在，貨幣收入也有一個(gè)變化，因此實(shí)際收入的變化為。當(dāng)，

28、即時(shí)，價(jià)格上升引起的實(shí)際收入水平的下降正好得到了補(bǔ)償，需求變動(dòng)保持了消費(fèi)者的效用水平不變。這就進(jìn)一步說明了斯勒茨基矩陣的替代效應(yīng)意義。鑒于此，我們就稱為替代效應(yīng)，斯勒茨基矩陣也就叫做替代矩陣。斯勒茨基系數(shù)就是在保持效用水平不變的條件下，商品的價(jià)格發(fā)生單位變化所引起的商品的需求量的變動(dòng)量，故又可稱為商品對(duì)商品的替代效應(yīng)系數(shù)。為了表達(dá)斯勒茨基系數(shù)的替代效應(yīng)意義，可把表示成：既然表示實(shí)際收入的變動(dòng)，而表示收入增加一單位所引起的商品需求量的增加向量，因此表示了實(shí)際收入變動(dòng)所引起的商品需求的變動(dòng)，即表示了收入效應(yīng)。鑒于此，我們就把稱為收入效應(yīng)。收入效應(yīng)影響消費(fèi)者的效用水平。當(dāng)時(shí)，收入效應(yīng)為，它正表示價(jià)格

29、變化引起實(shí)際收入水平變化，進(jìn)而實(shí)際收入水平變化所引起的商品需求的變動(dòng)。鑒于此，我們把稱為商品對(duì)商品的價(jià)格變動(dòng)的收入效應(yīng)系數(shù)。價(jià)格與收入的變動(dòng)所引起的商品需求向量的變動(dòng)，就是總效應(yīng)。它是替代效應(yīng)與收入效應(yīng)之總和：?？傂?yīng) 替代效應(yīng)替代效應(yīng)收入效應(yīng)收入效應(yīng) (a) 商品的價(jià)格(相對(duì))上升 (b) 商品的價(jià)格(相對(duì))下降圖4-2 替代效應(yīng)與收入效應(yīng)二. 替代效應(yīng)與收入效應(yīng)的特點(diǎn)注意，是對(duì)稱矩陣，而對(duì)稱矩陣的逆矩陣仍是對(duì)稱矩陣，因此是對(duì)稱矩陣，這蘊(yùn)含著矩陣的對(duì)稱性，從而斯勒茨基矩陣也是對(duì)稱的，即。根據(jù)斯勒茨基系數(shù)的替代效應(yīng)意義，我們得到下面的結(jié)論：替代效應(yīng)的對(duì)稱性. 商品對(duì)商品的替代效應(yīng)系數(shù)等于商品對(duì)

30、商品的替代效應(yīng)系數(shù)，即。我們?cè)賮矸治鲆幌律唐穬r(jià)格變動(dòng)對(duì)商品自身需求量的影響。從可知，其中為階單位矩陣。這就給出與，從而且（因?yàn)椋?，即說明了什么？注意，從而，這說明，即。表示當(dāng)商品的價(jià)格上漲一個(gè)單位而商品的價(jià)格未變時(shí)，為了保持效用水平不變，消費(fèi)者在商品上所增加的消費(fèi)支出；則表示消費(fèi)者在商品上所減少的消費(fèi)支出（一般情況下為負(fù)值）。因此，表明：當(dāng)商品的價(jià)格上漲而其余商品的價(jià)格未變時(shí)，為了保持消費(fèi)者的實(shí)際收入水平(即效用水平)不變，消費(fèi)者在商品上所減少的消費(fèi)支出等于在其他各種商品上所總共增加的消費(fèi)支出。也就是說，當(dāng)商品價(jià)格發(fā)生變化時(shí)，給消費(fèi)者以收入補(bǔ)貼使得消費(fèi)者的實(shí)際收入水平(即效用水平)不發(fā)生變化，

31、則消費(fèi)者的總支出既不會(huì)增加，也不會(huì)減少。又說明了什么？實(shí)際上，表示當(dāng)消費(fèi)者的收入增加一個(gè)單位時(shí)，消費(fèi)者在商品上所增加的消費(fèi)支出。表明，收入的增加量等于消費(fèi)支出的增加量，因此不論收入如何變動(dòng)，消費(fèi)者的收支總是相抵的。我們指出：是半負(fù)定的(這里，我們不能期望負(fù)定，因?yàn)榭赡苁瞧娈惖?。本?jié)最后給出的例子，說明了這一點(diǎn))。事實(shí)上，對(duì)任何行向量，令，即。則（因?yàn)椋?，故（因?yàn)椋?。根?jù)本章第三節(jié)的命題2，我們有。進(jìn)一步計(jì)算可得：因此，。這就證明了的半負(fù)定性。的半負(fù)定性蘊(yùn)含著斯勒茨基矩陣的半負(fù)定性，只要效用函數(shù)是單調(diào)的。這是因?yàn)?，的單調(diào)性保證了，因而是半負(fù)定的?；谶@個(gè)原因，我們假定效用函數(shù)是單調(diào)的。斯勒茨基矩

32、陣的半負(fù)定性蘊(yùn)含著，這說明價(jià)格變動(dòng)引起的需求變動(dòng)具有下述性質(zhì)：反向變動(dòng)性質(zhì). 如果一種商品漲價(jià)而其余商品的價(jià)格不變，那么即使收入的變化恰好彌補(bǔ)了漲價(jià)引起的實(shí)際收入損失，消費(fèi)者也不會(huì)增加該商品的消費(fèi)，而是更可能要減少其消費(fèi)。一般來說，對(duì)于正常商品而言，當(dāng)消費(fèi)者的收入增加時(shí)，正常商品的需求量不會(huì)減少，即。加上負(fù)的替代效應(yīng)，即可看到：。這就說明，當(dāng)一種商品漲價(jià)后，不論是否給消費(fèi)者以收入補(bǔ)償，該種商品的需求量都要減少，至少不會(huì)增加。到此，我們對(duì)以上的討論作一總結(jié)。替代效應(yīng)的對(duì)稱性來自于斯勒茨基矩陣的對(duì)稱性，而需求的反向變動(dòng)性質(zhì)則來自于斯勒茨基矩陣的半負(fù)定性。因此，可以把這兩條性質(zhì)概括為一條總的性質(zhì)：斯

33、勒茨基性質(zhì). 替代矩陣(斯勒茨基矩陣)是對(duì)稱的半負(fù)定矩陣。我們回過頭來再討論一下商品之間的替代性問題。當(dāng)時(shí)，商品與商品互為替代品；當(dāng)時(shí)，商品與商品互為補(bǔ)充品；當(dāng)時(shí)，商品與商品互為獨(dú)立品。從,以與可以看出，。這意味著商品之間的互相替代性比互相補(bǔ)充性更為普遍。三羅伊恒等式上一章曾經(jīng)討論過間接效用函數(shù)?；貞浺幌?，間接效用反映了價(jià)格和收入所確定的消費(fèi)者生活水平。根據(jù)上一節(jié)的命題4，只要效用函數(shù)強(qiáng)擬凹且在消費(fèi)集合部二階可微，各個(gè)需求函數(shù)就都價(jià)格收入空間上連續(xù)可微性，從而間接效用函數(shù)也在上連續(xù)可微?，F(xiàn)在，我們應(yīng)用上面關(guān)于替代效應(yīng)的分析結(jié)論(比如，)，來看一看間接效用函數(shù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)情況。間接效用對(duì)收入的偏

34、導(dǎo)數(shù)反映了需求隨收入變動(dòng)而變動(dòng)的變化率。計(jì)算可得：這說明，確定需求的邊際方程中德拉格朗日乘數(shù)就是間接效用對(duì)貨幣收入的偏導(dǎo)數(shù)，反映了貨幣收入對(duì)消費(fèi)者生活水平的影響大小。再看間接效用對(duì)商品價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)。計(jì)算這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，可得：由于，且，因此且。于是，我們有：這個(gè)等式稱為羅伊恒等式(Roys identity)。我們來解釋羅伊恒等式的意義。這個(gè)等式中，間接效用對(duì)價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)表示商品的價(jià)格上漲一單位所引起效用增加量(這個(gè)量值實(shí)際為負(fù)，即價(jià)格上漲將使實(shí)際收入水平下降)。當(dāng)商品的價(jià)格上漲一單位時(shí)，消費(fèi)者的支出將增加個(gè)單位。增加一單位支出，將使效用增加個(gè)單位。那么，增加個(gè)單位的消費(fèi)支出，將使效用增加個(gè)單位。這

35、就是羅伊恒等式左邊第二項(xiàng)的意義。根據(jù)以上解釋，羅伊恒等式表示：當(dāng)商品的價(jià)格上漲一單位時(shí)，當(dāng)商品的價(jià)格上漲而其他商品價(jià)格不變時(shí)，給消費(fèi)者在收入上以補(bǔ)貼使消費(fèi)者的實(shí)際收入水平保持不變，那么價(jià)格上漲所造成的效用損失正好從收入補(bǔ)償所增加的效用得到補(bǔ)償，因而這樣的收入補(bǔ)貼保持了消費(fèi)者的效用水平不發(fā)生變化。我們把羅伊恒等式所說明的這種意義，稱為實(shí)際收入水平(效用水平)變動(dòng)的羅伊恒等性質(zhì)，即下面所述：羅伊恒等性質(zhì). 商品漲價(jià)以后，對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行收入補(bǔ)貼，使得補(bǔ)貼增加的收入正好彌補(bǔ)漲價(jià)引起的收入損失，那么，消費(fèi)者的生活水平保持不變，即漲價(jià)前后的生活水平相等。四. 替代效應(yīng)、收入效應(yīng)與需求彈性盡管替代效應(yīng)與收入效

36、應(yīng)反映了商品價(jià)格與消費(fèi)者收入變化對(duì)需求變動(dòng)的影響，但是這種需求變動(dòng)既與商品的計(jì)量單位有關(guān)，又與價(jià)格和收入的計(jì)量單位有關(guān)，并且受量綱的影響較大。為了消除量綱的影響，人們采用需求彈性概念來反映需求變動(dòng)與價(jià)格和收入變動(dòng)之間的關(guān)系。中級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)對(duì)需求彈性有過介紹和討論?，F(xiàn)在，我們進(jìn)一步研究需求彈性同替代效應(yīng)和收入效應(yīng)之間的關(guān)系。首先，簡要回顧一下需求彈性的有關(guān)概念。需求彈性有三種：需求價(jià)格彈性、需求交叉彈性、需求收入彈性。需求價(jià)格彈性反映的是一種商品的需求量變動(dòng)對(duì)該商品的價(jià)格變動(dòng)的敏感性程度；需求交叉彈性說的則是一種商品的需求變動(dòng)對(duì)另一種商品的價(jià)格變動(dòng)的敏感性程度；需求收入彈性揭示了商品的需求量變動(dòng)

37、對(duì)消費(fèi)者收入變動(dòng)的敏感性程度。對(duì)于需求的這三種彈性，用我們這里的需求函數(shù)來表達(dá)，可有如下的表達(dá)式。商品的價(jià)格彈性，記作，是商品的需求量變動(dòng)幅度與商品的價(jià)格的變動(dòng)幅度之比，即商品對(duì)商品的價(jià)格變動(dòng)的交叉彈性，記作，是商品的需求量變動(dòng)幅度與商品的價(jià)格的變動(dòng)幅度之比(這里)，即可見，商品的價(jià)格彈性和交叉彈性可統(tǒng)一表示為：。當(dāng)時(shí)，為價(jià)格彈性；當(dāng)時(shí)，為交叉彈性。商品的需求收入彈性，記作，是商品的需求量變動(dòng)幅度與消費(fèi)者收入的變動(dòng)幅度之比，即下面來分析各種需求彈性同替代效應(yīng)和收入效應(yīng)之間的關(guān)系，同時(shí)分析各種需求彈性之間的關(guān)系?；貞浺幌虑懊嫠v的替代效應(yīng)系數(shù)和收入效應(yīng)系數(shù)：結(jié)合需求彈性的表達(dá)公式，我們可以得到：

38、進(jìn)一步，各種需求彈性之間有如下關(guān)系:即任何商品的各種需求彈性之總和都為零。這是一個(gè)重要的事實(shí)，因?yàn)樗f明，一種商品的需求價(jià)格彈性從其絕對(duì)值上看，等于該商品的收入彈性與其與其他各種商品之間的交叉彈性之和。尤其是當(dāng)我們?cè)趦煞N正常商品之間進(jìn)行選擇時(shí)，我們就可對(duì)商品的需求價(jià)格彈性做出更明確的理解。比如消費(fèi)者面臨的商品為服裝和皮鞋。如果皮鞋價(jià)格下降10導(dǎo)致對(duì)皮鞋的需求量上升20，那么根據(jù)各種彈性之和為零這一事實(shí)可知，皮鞋需求量的20上升幅度可看成是在皮鞋價(jià)格不變，而服裝價(jià)格上漲10，同時(shí)消費(fèi)者收入提高10的情況下皮鞋需求量的增加幅度。反過來，如果服裝價(jià)格上漲10，同時(shí)消費(fèi)者收入提高10，導(dǎo)致皮鞋需求量上

39、升20，那么皮鞋需求量的這一上升幅度也可看成是在服裝價(jià)格和貨幣收入都不變的情況下，皮鞋價(jià)格下降10所引起的皮鞋需求量上升幅度。上述事實(shí)的證明并不困難。其實(shí)，根據(jù)可知，故。作為本節(jié)的一個(gè)應(yīng)用，也作為對(duì)所講容的一個(gè)熟悉過程，下面給出一個(gè)例子。例. 奇異的斯勒茨基矩陣設(shè)消費(fèi)集合，效用函數(shù)，其中。這個(gè)需求系統(tǒng)屬于線性支出系統(tǒng)，其需求函數(shù)為：,。計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)可得：計(jì)算替代效應(yīng)系數(shù)，可得：計(jì)算替代矩陣的行列式，可得。這說明是奇異矩陣，因而不是負(fù)定的，而只能是半負(fù)定的?；谶x擇的需求到目前為止，我們的需求理論建立在理性消費(fèi)者的偏好之上。這種以偏好為基礎(chǔ)的需求，稱為基于偏好的需求。通過嚴(yán)格論證分析，我們發(fā)現(xiàn)基于

40、偏好的需求映射滿足零階齊次性、瓦爾拉法則、二階可微，并且具有一個(gè)半負(fù)定、對(duì)稱的替代矩陣。我們不禁要問，這些性質(zhì)是否是需求函數(shù)所特有的性質(zhì)？或者說，如果一個(gè)關(guān)于價(jià)格和收入的映射滿足這些性質(zhì)，那么該映射能否看成是某個(gè)理性消費(fèi)者的需求映射？也即能否看成是基于某個(gè)理性偏好的需求映射？本節(jié)討論這個(gè)問題，進(jìn)一步研究需求與偏好之間的關(guān)系，建立基于選擇的需求理論，并從原理上論述基于選擇的需求與基于偏好的需求二者的一致性。需求顯示的偏好從消費(fèi)者偏好出發(fā)導(dǎo)出的消費(fèi)者需求，存在著這樣的一個(gè)實(shí)際問題：實(shí)實(shí)在在的需求建立在了難以捉摸的主觀偏好概念之上，那么這種需求理論是否可信？實(shí)用價(jià)值到底有多大？其實(shí)，對(duì)于偏好早就存在

41、著兩種觀點(diǎn)的爭論，即基數(shù)效用論與序數(shù)效用論。爭論的焦點(diǎn)是“應(yīng)該說效用只是可把握的，而不是可絕對(duì)地計(jì)量多少的”。序數(shù)效用者認(rèn)為，可把握的效用是序數(shù)效用，序數(shù)效用可通過觀察消費(fèi)者的行為來確定，而基數(shù)效用實(shí)際上是不可把握的，是無法確定的。為了找出消費(fèi)者的偏好系統(tǒng)，只需給他充分多的選擇方案，然后觀察他的偏好情況。從觀察可確定消費(fèi)者的偏好關(guān)系，然而從觀察卻不能確定兩種消費(fèi)方案之間效用量的差值?？茖W(xué)家們不應(yīng)該把不可把握的概念引入到他們的理論之中。這一爭論引起了薩繆爾森(P.A. Samuelson)對(duì)偏好關(guān)系發(fā)生了疑問。薩繆爾森認(rèn)為，偏好關(guān)系是一個(gè)抽象概念，不受到任何經(jīng)濟(jì)上的約束，因而實(shí)際上并不可能對(duì)消費(fèi)

42、者的偏好進(jìn)行有效的觀測和試驗(yàn)。對(duì)抽象概念進(jìn)行實(shí)際觀測是困難的，也是罕見的，應(yīng)該避免這種做法，避免使用偏好這個(gè)抽象概念。另一方面，當(dāng)價(jià)格和收入既定時(shí)，消費(fèi)者必然會(huì)選擇出所需要的商品，而且觀察消費(fèi)者的選擇并沒有多大困難，可以做到。所以，需際上由價(jià)格和收入直接決定，無須通過偏好這個(gè)中間環(huán)節(jié)，不必為了觀測難以觀察的偏好而設(shè)計(jì)人為的試驗(yàn)，我們可把消費(fèi)理論建立在價(jià)格與收入直接決定的需求之上。消費(fèi)者用實(shí)際行動(dòng)顯示了個(gè)人偏好。在客觀環(huán)境條件和經(jīng)濟(jì)支付能力都許可的圍，消費(fèi)者選擇了這種方案而沒有選擇那種方案，說明與那種方案相比消費(fèi)者更偏好于這種方案?？梢妰r(jià)格和收入直接決定的需求顯示著消費(fèi)者對(duì)消費(fèi)方案作出的“好壞”

43、評(píng)價(jià)，即個(gè)人需求顯示著個(gè)人偏好。那么這種由需求顯示的偏好符合消費(fèi)者的理性嗎？如果不符合，那么在什么條件下才能符合？這些問題正是本節(jié)所要深入研究的。(一) 需求與選擇法則觀察消費(fèi)者需求或者觀察消費(fèi)者的購買，就是通過觀察來確定每種價(jià)格和每種收入下的需求集合?，F(xiàn)在，假定是觀察確定的需求集映（這里，從需求集合改稱為需求集映，意味著其中的是任意變動(dòng)的），既由價(jià)格和收入直接決定的需求。消費(fèi)者能夠購買集合中的任何商品向量，說明通過觀察所得到的確實(shí)是預(yù)算集合的子集。所以，對(duì)于這種由價(jià)格和收入直接決定的需求來說，毋容懷疑需求集合是否是預(yù)算集合的子集。知道了消費(fèi)者的需求集映或需求映射，這又意味著什么？事實(shí)上，需求

44、集映告訴了我們消費(fèi)者的選擇法則。這個(gè)法則就是：對(duì)于任意的價(jià)格體系和收入水平，消費(fèi)者首先面臨著一個(gè)由（即經(jīng)濟(jì)環(huán)境與支付能力）決定的許可選擇圍（即預(yù)算集合），然后這個(gè)圍中又有某個(gè)確定的子集（即需求集合），消費(fèi)者在這個(gè)子集中任意選擇一種消費(fèi)方案。既然需求集映代表著消費(fèi)選擇法則，我們可對(duì)需求映射作出這樣的定義：集值映射叫做需求集映，是指對(duì)一切成立。其中，為消費(fèi)集合，為價(jià)格收入空間(定義于上一章中)，代表不含任何元素的空集合。為了與前面章節(jié)討論的需求映射相區(qū)別，稱這里定義的需求映射為基于選擇的需求映射(choice-based demand)，而稱以前討論的需求映射為基于偏好的需求映射(preferen

45、ce-based demand)。(二) 顯示性偏好不同消費(fèi)者的選擇法則一般是不同的，需求集映也就不同。這是因?yàn)椴煌擞兄煌钠肺逗褪群茫蚨谏唐愤x擇上有著不同的愛好和需要，個(gè)人愛好、個(gè)人興趣和個(gè)人需要決定著消費(fèi)者選擇法則的形式與容。反過來，不同的選擇法則也反映了不同的個(gè)人愛好和興趣。這樣看來，選擇法則顯示了一個(gè)人的偏好。既然需求集映代表著選擇法則，需求集映也就能夠顯示消費(fèi)者的偏好。需求顯示偏好，首先是顯示著消費(fèi)者對(duì)需求集合中的任何兩種消費(fèi)方案都有一樣的偏好，這主要是因?yàn)橄M(fèi)者把中的任何一種方案都不加選擇地作為自己的最終消費(fèi)選擇。假如消費(fèi)者認(rèn)為中的消費(fèi)方案之間存有差異，那么他就不會(huì)不在中挑

46、挑揀揀。其次是顯示著需求集合中的方案比預(yù)算集合中那些不在中的方案要好，因?yàn)檫@些方案被消費(fèi)者挑選過了而沒有被選中，意味著這些方案較差。按照需求顯示偏好的這種意義，我們給出如下的嚴(yán)格敘述：定義(顯示性偏好). 設(shè)為消費(fèi)集合，為需求集映。對(duì)于任何兩種消費(fèi)方案，如果存在使得且，則記作或記作，并稱不比好，或者稱不比差。如果且同時(shí)，則記作，并稱與無差異。如果但不成立，則記作或記作，并稱比差，或稱優(yōu)于。如此定義的集合上的這個(gè)二元關(guān)系，就稱為需求顯示的偏好關(guān)系，或者稱為顯示性偏好關(guān)系，簡稱為顯示性偏好。從定義立即可以看出：(1) 如果對(duì)某個(gè)，有，那么。即需求集合中的任何兩種方案都是無差異的。(2) 對(duì)于任何，

47、如果，則存在使得且。反過來，假如且，即既存在使得且，又存在使得且。那么從邏輯上講，既然是中“最好”的方案的全體，而且，就應(yīng)該有；同樣，也應(yīng)該有。但是，就目前而言，我們并不能保證和。這就說明，如果不對(duì)需求集映附加要求條件，如上給出的顯示性偏好就不能符合消費(fèi)選擇上通常的邏輯，也就是說需求集映不符合消費(fèi)選擇的邏輯。為此，我們對(duì)需求集映提出如下的公理：需求弱公理. 需求集映滿足條件：對(duì)于任何，如果存在使得且，那么對(duì)于任何，若且，則。有了需求弱公理，上面所述的選擇邏輯問題就迎刃而解了，即(3) 對(duì)任何與任何，若且，則。不僅如此，在需求弱公理下我們還容易看到：(4) 對(duì)于任何與任何，如果但，則。即，需求集

48、合中的方案比預(yù)算集合中那些不在中的方案要好。(5) 對(duì)任何，若，則不能成立。把事實(shí)(2)與事實(shí)(4)結(jié)合起來，我們得到：(6) 對(duì)任何，當(dāng)且僅當(dāng)存在使得且。以上這些事實(shí)的證明，留作讀者的練習(xí)?？偠灾枨笕豕肀ＷC了顯示性偏好定義的合理性。也正是基于這個(gè)理由，人們通常把需求弱公理也叫做顯示性偏好弱公理。然而就目前的條件，我們不能期望顯示性偏好具有自反性、完全性和傳遞性，即不能期盼顯示性偏好符合消費(fèi)選擇的理性。這正是我們把上述關(guān)于需求的公理稱為需求弱公理的原因所在。(三) 可積性問題與其意義基于偏好的需求映射具有零階齊次性，滿足瓦爾拉法則，二階連續(xù)可微，并且具有半負(fù)定的對(duì)稱替代矩陣。反過來，當(dāng)

49、基于選擇的需求映射也滿足這些條件時(shí)，該需求映射能否看成是基于偏好的需求映射？這就是所謂的可積性問題，其答案是肯定。無論從理論角度看，還是從實(shí)踐角度看，可積性問題與其答案在經(jīng)濟(jì)學(xué)中都是相當(dāng)重要的。從理論上講，可積性問題的答案告訴我們兩件重要的事情。首先，它告訴我們，零階齊次性、瓦爾拉法則、二階連續(xù)可微性、與半負(fù)定的對(duì)稱替代矩陣，這些都是需求映射所具有的性質(zhì)，而且是需求映射所具有的全部性質(zhì)。只要消費(fèi)者需求滿足這些性質(zhì)，該需求就一定能夠從某個(gè)符合理性的偏好出發(fā)來導(dǎo)出。其次，它清楚地說明了基于選擇的需求與基于偏好的需求之間的關(guān)系。從本節(jié)后面的分析將會(huì)看到，一個(gè)滿足零階齊次性、瓦爾拉法則和需求弱公理的二

50、階連續(xù)可微需求映射，必然具有半負(fù)定的替代效應(yīng)矩陣，但需求弱公理不能保證替代矩陣的對(duì)稱性?？煞e性問題的答案說明，這樣的需求映射可由理性偏好導(dǎo)出的充分必要條件是該映射具有對(duì)稱的替代矩陣。這就展示了替代矩陣的對(duì)稱性在揭示基于選擇的需求和基于偏好的需求之間的關(guān)系時(shí)的重要性。從實(shí)踐的角度看，可積性問題的答案之所以重要，原因之一是基于選擇的需求顯示了消費(fèi)者的偏好，這就讓我們可以對(duì)消費(fèi)者進(jìn)行福利分析，尤其是我們可以從觀察到的需求信息出發(fā)，構(gòu)造出消費(fèi)者的效用函數(shù)(支出函數(shù))。原因之二是我們?cè)趯?duì)需求作經(jīng)驗(yàn)分析時(shí)，可以直接使用一些形式簡單的需求函數(shù)，只要驗(yàn)證一下該函數(shù)是否嗎滿足階齊次性、瓦爾拉法則、二階連續(xù)可微性

51、與替代矩陣的對(duì)稱性就行了。而這在基于偏好的需求理論中是困難的，在那里我們需要首先選擇合適的效用函數(shù)，其次從該效用函數(shù)出發(fā)寫出邊際方程，然后導(dǎo)出消費(fèi)者需求，最后再看導(dǎo)出的需求函數(shù)是否具備我們所希望的簡單形式。所以，可積性問題的答案讓我們能夠比較容易地對(duì)需求進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)研究，使得需求理論具備了較強(qiáng)的可操作性。二. 基于選擇的需求公理既然需求弱公理不能保證顯示性偏好符合消費(fèi)選擇的理性，看來我們需要對(duì)需求函數(shù)應(yīng)具有的性質(zhì)要有一個(gè)認(rèn)可，即不能無條件地把任何一個(gè)滿足需求弱公理的集值映射或單值映射就看作需求集映或需求映射。為了討論上的方便起見，從現(xiàn)在開始我們只討論需求映射，即處處取值為單點(diǎn)集的集值映射。既然基于

52、偏好的需求映射是零階齊次的、符合瓦爾拉法則、連續(xù)可微、并且具備斯勒茨基性質(zhì)(即具有半負(fù)定的對(duì)稱替代矩陣)，我們把這些性質(zhì)中的哪些獨(dú)立的性質(zhì)就可看作需求映射應(yīng)該服從的公理而予以承認(rèn)。以下，我們總表示消費(fèi)集合，用來表示需求映射，即用表示商品的需求函數(shù)()。齊次性公理(零階齊次性). 需求映射是零階齊次的，即對(duì)任何與任何正實(shí)數(shù)，都有。瓦爾拉公理(瓦爾拉法則). 對(duì)任何，都有?？晌⑿怨?連續(xù)可微性). 需求映射在部(即在上)是連續(xù)可微的。定義(瓦爾拉需求). 當(dāng)一個(gè)需求映射服從齊次性公里、瓦爾拉公理和可微性公理時(shí)，稱該需求映射為瓦爾拉需求映射。對(duì)于瓦爾拉需求映射來說，令，。這個(gè)矩陣稱為瓦爾拉需求映射

53、(在處)的替代效應(yīng)矩陣或斯勒茨基矩陣或簡稱為替代矩陣，稱為商品對(duì)商品的替代效應(yīng)系數(shù)，或者簡稱為替代系數(shù)。以上只把零階齊次性、瓦爾拉法則和連續(xù)可微性作為公理予以承認(rèn)，而沒有提與斯勒茨基性質(zhì)，這是因?yàn)樗估沾幕再|(zhì)同這三條公理之間具有一定的聯(lián)系。實(shí)際上，這三條公理加上需求弱公理，就蘊(yùn)含著替代矩陣的半負(fù)定性。如果再加上需求強(qiáng)公理(本節(jié)后面將要介紹這個(gè)公理)，替代矩陣的對(duì)稱性就可得到保證。下面，就來具體說明和論述這些事實(shí)。命題1. 設(shè)為瓦爾拉需求映射。對(duì)于任何,視為列向量，我們有：(1)，從而，即；(2) ，即，其中；(3) ，從而，即。下面，我們證明本命題。(1)的證明. 根據(jù)需求函數(shù)的零階齊次性和泰

54、勒展開式可知：再從瓦爾拉法則與又可知：從而(1)得證。(2)的證明. 根據(jù)瓦爾拉法則，是一個(gè)恒等式。在此式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，可知：。(2)得證。(3)的證明：在恒等式兩邊對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，可得，從而(3)得證?，F(xiàn)在，我們來看一看需求映射服從的需求弱公理的形式。命題2. 對(duì)于需求映射來說，下面的敘述相互等價(jià)：(1) 服從需求弱公理。(2) 對(duì)任何，若存在使得且，那么對(duì)于任何，如果且，則。(3) 對(duì)任何，若且，則。(4) 對(duì)任何，若且，則。證明：、與都是明顯的，證明過程略去。命題3. 設(shè)需求映射滿足瓦爾拉公理，則下列敘述相互等價(jià)：(1) 服從需求弱公理。(2) 服從需求補(bǔ)償法則(compensated l

55、aw of demand，CLD)，即對(duì)任何，若且，則。(3) 對(duì)任何，若且，則。命題中的條件是說，價(jià)格和收入從變到以后，消費(fèi)者仍然被允許選擇變化前的消費(fèi)方案。這樣的價(jià)格和收入的變化，就稱為補(bǔ)償變化，并把條件稱為補(bǔ)償條件。當(dāng)需求映射服從需求補(bǔ)償法則時(shí)，也稱具有CLD性質(zhì)。下面證明本命題。證明：. 設(shè)，且。需求弱公理(命題2(4)給出，瓦爾拉法則給出，因此。瓦爾拉法則還給出，結(jié)合，則有。這說明，。(2)得證。.設(shè)，且。則從與瓦爾拉法則知，從而，即。(3)得證。. 用反證法，假定不服從需求弱公理，則根據(jù)命題2(3)，存在使得、且。根據(jù)題設(shè)可以推知，如果，則應(yīng)有?？梢姴荒艹闪?，即只有。同樣，也不能成

56、立，即。為了書寫方便起見，記,。我們有：且?，F(xiàn)在，我們來找出通過和的預(yù)算線，即尋找價(jià)格向量使得(如圖4-3所示)。尋找這個(gè)的想法是讓等于和的某個(gè)加權(quán)平均：。由于要求，這個(gè)權(quán)數(shù)只能為：。經(jīng)過簡單的驗(yàn)證，容易看到這樣確定的與相應(yīng)的確實(shí)滿足和。 圖4-3 通過和的預(yù)算線令，則。記，我們有，并且還有：從而或者。如果說成立，則因而有，即。根據(jù)題設(shè)，既然，應(yīng)有，即應(yīng)有，這與相矛盾。由此可見，不能成立。如果說成立，則因而有，即。根據(jù)題設(shè)，既然，應(yīng)有，即應(yīng)有，這與相矛盾?？梢?，也不能成立。既然和都不能成立，這就與“或成立”的結(jié)論相矛盾。矛盾的結(jié)論說明，不服從需求弱公理之假定不能成立，即必須服從需求弱公理。(1

57、)得證。命題3證明完畢。命題4. 設(shè)為滿足需求弱公理的瓦爾拉需求映射，則具有半負(fù)定的替代效應(yīng)矩陣，即對(duì)于任何，都是半負(fù)定的。證明：任意給定，記。設(shè)價(jià)格發(fā)生了任意一個(gè)微小變動(dòng)。這時(shí)，讓收入發(fā)生一個(gè)補(bǔ)償性變動(dòng)，即，也即（這里向量相乘是指積。當(dāng)把向量寫成矩陣形式，即稱呼行向量或列向量時(shí)，積運(yùn)算便是矩陣乘積運(yùn)算）。根據(jù)命題3(2)，我們有。記，即表示需求的相應(yīng)變動(dòng)。于是，。對(duì)于價(jià)格的這個(gè)微小變動(dòng)來說，收入的補(bǔ)償性變動(dòng)也是微小的。因此，根據(jù)全微分公式可知，需求的變動(dòng)可表達(dá)稱：把上式代入，即可得到。既然是任意一個(gè)微小變動(dòng)，因而對(duì)任何，都有。這說明替代矩陣半負(fù)定。證完。雖然已經(jīng)證明了替代矩陣的半負(fù)定性，但是

58、就目前的情況而言，我們不能期望替代矩陣的對(duì)稱性。這說明我們還需要對(duì)需求映射增加另外的條件，或者說，我們直接把替代矩陣的對(duì)稱性作為需求公理予以承認(rèn)。對(duì)稱性公理(替代矩陣的對(duì)稱性). 需求映射具有對(duì)稱的替代矩陣，即對(duì)于任何，都有。有了對(duì)稱性公理，我們就可以說：基于選擇的需求與基于偏好的需一致的。這就是下面定理所述的事實(shí)：顯示性偏好定理. 設(shè)為瓦爾拉需求映射且滿足需求弱公理。則下列條件等價(jià)：(1) 具有對(duì)稱的替代矩陣, 即對(duì)任何與任何，都有。(2) 存在的偏好關(guān)系，使得是基于這個(gè)偏好關(guān)系的需求映射。本定理的證明比較復(fù)雜，而且是純粹數(shù)學(xué)化的。因此，我們就不詳細(xì)證明了。這里，只介紹一下證明思路，這個(gè)思路

59、告訴了我們?nèi)绾螐幕谶x擇的需求來構(gòu)造消費(fèi)者的效用函數(shù)。第一步：從需求映射找出支出函數(shù)。做法大概如下：對(duì)于任意的，求解下面偏微分方程組符合初值條件的解，并對(duì)指定一個(gè)效用水平，然后令。這個(gè)函數(shù)便是效用水平上的支出函數(shù)，即是價(jià)格體系的遞增、連續(xù)的凹函數(shù)。效用水平的指定要使成為的嚴(yán)格遞增函數(shù)。之所以求解這個(gè)方程組，是因?yàn)樵诨谄玫男枨笙到y(tǒng)中，支出函數(shù)關(guān)于價(jià)格的偏導(dǎo)數(shù)等于需求函數(shù)，而且支出函數(shù)是價(jià)格的遞增、連續(xù)的凹函數(shù)，是效用水平的嚴(yán)格遞增函數(shù)。第二步：從支出函數(shù)引出偏好。引出方法大意如下：首先定義至少一樣好的集合，該集合必滿足；這些集合確定了一個(gè)偏好，使得就是基于這個(gè)偏好的支出函數(shù)。到此可以說，可積

60、性問題得到了肯定的答案。有了這個(gè)肯定的回答，今后就可把需求映射，不論是基于偏好還是基于選擇，都可認(rèn)為是滿足需求弱公理、齊次性公里、瓦爾拉公里、可微性公理和對(duì)稱性公理的任何映射。作為本節(jié)的結(jié)束，我們?cè)趯?duì)需求弱公理所保證的顯示性偏好作一些探討。我們知道，需求弱公理不能保證需求顯示的偏好具有自反性、傳遞性和完全性，即不能保證需求顯示理性偏好。那么，我們能否提出一種類似于需求弱公理的公理，來保證需求顯示的偏好負(fù)合理性呢？這個(gè)問題的答案也是肯定的。需求強(qiáng)公理. 需求映射滿足條件：對(duì)于任何有限序列，若且對(duì)一切成立，則。應(yīng)用集合論可以證明：如果映射滿足需求強(qiáng)公理，則存在上自反、傳遞和完全的二元關(guān)系使得對(duì)任何