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1、第3章 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析第1節(jié) 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)對(duì)輸出c(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律進(jìn)展分析對(duì)輸入r(t)分析?第1節(jié) 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)作用下,輸出c(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律,即微分方程的解,就是系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)。第1節(jié) 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)系統(tǒng)在輸入信號(hào)r(t)作用下,輸出c(t)隨時(shí)間變化的規(guī)律可概括為,c(t)=c1(t)+c2(t) 動(dòng)態(tài)呼應(yīng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)系統(tǒng)構(gòu)造,參數(shù),初始條件系統(tǒng)構(gòu)造,參數(shù),輸入信號(hào)第1節(jié) 線性定常系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)的概念從系統(tǒng)時(shí)域呼應(yīng)的兩部分看,穩(wěn)態(tài)分量(特解)是系統(tǒng)在時(shí)間t時(shí)系統(tǒng)的輸出,衡量其好壞是穩(wěn)態(tài)性能目的:穩(wěn)態(tài)誤差。第1節(jié) 線性定

2、常系統(tǒng)的時(shí)域呼應(yīng)動(dòng)態(tài)呼應(yīng)的概念系統(tǒng)呼應(yīng)的暫態(tài)分量是指從t=0開(kāi)場(chǎng)到進(jìn)入穩(wěn)態(tài)之前的這一段過(guò)程,采用動(dòng)態(tài)性能目的(瞬態(tài)呼應(yīng)目的),如快速性、平穩(wěn)性等來(lái)衡量。例1: 如圖是一個(gè)由電阻與電容構(gòu)成的RC低通濾波電路,其中Ui為輸入電壓,UC為輸出電壓,求出該低通濾波電路的時(shí)域呼應(yīng)。解題步驟:1根據(jù)電路實(shí)際,列出系統(tǒng)的微分方程2兩邊取拉普拉斯變換,得到因果關(guān)系式解題步驟:3合并得到輸出的拉普拉斯變換為4對(duì)系統(tǒng)進(jìn)展拉普拉斯反變換,動(dòng)態(tài)呼應(yīng)穩(wěn)態(tài)呼應(yīng)第2節(jié) 控制系統(tǒng)時(shí)域系統(tǒng)的性能目的1R=1K,C=1uF, Uc(0)=1V2R=10K,C=1uF, Uc(0)=2V怎樣評(píng)價(jià)系統(tǒng)性能?穩(wěn)態(tài)性能 目的大家好,我叫

3、穩(wěn)態(tài)誤差。我的英文名叫ess,私聊請(qǐng)撥:穩(wěn)態(tài)性能目的 采用穩(wěn)態(tài)誤差ess來(lái)衡量,其定義為:當(dāng)時(shí)間t趨于無(wú)窮時(shí),系統(tǒng)輸出呼應(yīng)的期望值與實(shí)踐值之差。即動(dòng)態(tài)性能 目的大家好,我叫上升時(shí)間。我的英文名叫tr,請(qǐng)看:上升時(shí)間:從零時(shí)辰初次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間,即階躍呼應(yīng)曲線從t=0開(kāi)場(chǎng)第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需求的時(shí)間。 動(dòng)態(tài)性能 目的大家好,我叫峰值時(shí)間。我的英文名叫tp,請(qǐng)看:峰值時(shí)間tp:從零時(shí)辰到達(dá)峰值的時(shí)間,即階躍呼應(yīng)曲線從t=0開(kāi)場(chǎng)上升到第一個(gè)峰值所需求的時(shí)間.動(dòng)態(tài)性能 目的大家好,我叫最大超調(diào)量。我的英文名叫Mp,直播號(hào):最大超調(diào)量Mp:階躍呼應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比,即 動(dòng)態(tài)性能

4、 目的大家好,我叫調(diào)整時(shí)間。我的英文名叫ts,請(qǐng)看:動(dòng)態(tài)性能 目的大家好,我叫振蕩次數(shù)。我的英文名叫N,請(qǐng)看:第3節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)遭到干擾如電源、負(fù)載動(dòng)搖,偏離了平衡形狀,而當(dāng)擾動(dòng)消逝后,系統(tǒng)仍能逐漸恢復(fù)到原平衡形狀,那么稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的或具有穩(wěn)定性。第3節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)不能恢復(fù)到原平衡形狀甚至越偏越遠(yuǎn),那么稱系統(tǒng)是不穩(wěn)定的或不具有穩(wěn)定性。幾點(diǎn)留意:1、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能,是系統(tǒng)正常任務(wù)的首要條件。2、穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的一種固有特性,只取決與系統(tǒng)的構(gòu)造參數(shù),與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)。3、系統(tǒng)穩(wěn)定性是指自在呼應(yīng)零輸入呼應(yīng)下的穩(wěn)定性,即討論系統(tǒng)輸入為零,初始偏向不為零

5、時(shí)的穩(wěn)定性。第3節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)用微分方程描畫,如何確定系統(tǒng)能否穩(wěn)定?線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 設(shè)n 階線性定常系統(tǒng)的微分方程為 對(duì)上式作拉氏變換,得當(dāng)R(s)=0,得到在初始形狀影響下系統(tǒng)的時(shí)間呼應(yīng)(即零輸入呼應(yīng))為假設(shè)pi為系統(tǒng)特征方程D(s)=0的根且當(dāng)pi各不一樣時(shí),有假設(shè)系統(tǒng)一切特征根pi的實(shí)部均為負(fù)值,即Repi0 那么零輸入呼應(yīng)(暫態(tài)呼應(yīng))最終將衰減到零, 這樣的系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。 反之,假設(shè)特征根中有一個(gè)或多個(gè)根具有正實(shí)部時(shí),那么暫態(tài)呼應(yīng)將隨時(shí)間的推移而發(fā)散,即這樣的系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 綜上所述,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)特征根的實(shí)部均小于零,或系統(tǒng)的特征根均

6、在根平面的左半平面。結(jié) 論綜上所述,系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件為:系統(tǒng)一切特征根即傳送函數(shù)極點(diǎn)均為負(fù)實(shí)數(shù)或具有負(fù)的實(shí)部,即:或者稱一切特征根位于S平面的開(kāi)左半部分。例2 一個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳送函數(shù)為:思索: 如圖是一個(gè)由電阻與電容構(gòu)成的RC低通濾波電路,其中Ui為輸入電壓,UC為輸出電壓,試問(wèn)該低通濾波電路系統(tǒng)穩(wěn)定嗎?當(dāng)輸入電壓Uis=0時(shí),有第3節(jié) 線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個(gè)問(wèn)題特征方程的根無(wú)法直接求出,那怎樣判別穩(wěn)定性?3.1小節(jié). 勞斯判據(jù)(1) 線性定常系統(tǒng)的勞斯判據(jù)設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 首先,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是:控制系統(tǒng)特征方程式的一切系數(shù)均為正值,且特征方程式不缺項(xiàng)

7、。其次,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是:勞斯表中第一列一切項(xiàng)均為正號(hào)。 假設(shè)特征方程式一切系數(shù)都是正值,將多項(xiàng)式的系數(shù)排成下面方式的行和列,即為勞斯表。 表中,系數(shù)b 的計(jì)算,不斷進(jìn)展到后面的全部為零時(shí)為止。同樣采用上面兩行系數(shù)交叉相乘的方法,可以求出c、d、e、f 等系數(shù),這個(gè)過(guò)程不斷進(jìn)展到n+1行為止。其中第n+1行僅第一列有值,且正好是方程最后一項(xiàng)an 。 幾點(diǎn)闡明勞斯表是三角形。在展開(kāi)的勞斯表中,為了簡(jiǎn)化其后的數(shù)值運(yùn)算,可以用一個(gè)正數(shù)去除或乘某一行的各項(xiàng),這時(shí)并不改動(dòng)穩(wěn)定性結(jié)論;假設(shè)必要條件不滿足即特征方程系數(shù)不全為正或缺項(xiàng),那么可斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定;假設(shè)必要條件滿足

8、,就需求列出勞斯表,檢查表中第一列的數(shù)值能否均為正值,假設(shè)是,那么系統(tǒng)穩(wěn)定,否那么系統(tǒng)不穩(wěn)定,并且系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改動(dòng)的次數(shù)。例3:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解題過(guò)程:1系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均大于零,并且沒(méi)有缺項(xiàng), 所以穩(wěn)定的必要條件滿足。2列勞斯表解題過(guò)程:3由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次,所以該方程中 有二個(gè)根在復(fù)平面的右半平面,因此系統(tǒng)不穩(wěn)定。例4:知三階系統(tǒng)特征方程為 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),系數(shù)之間的關(guān)系。解題過(guò)程:1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)均大于零, 并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以解題過(guò)程:2列勞斯表例5:

9、知系統(tǒng)特征方程 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解題過(guò)程:1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)均大于零, 并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以滿足必要條件解題過(guò)程:2列勞斯表例6:知系統(tǒng)特征方程 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解題過(guò)程:1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)均大于零, 并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以滿足必要條件解題過(guò)程:2列勞斯表例7:知系統(tǒng)特征方程 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解題過(guò)程:1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)均大于零, 并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以不滿足必要條件,系統(tǒng)不穩(wěn)定解題過(guò)程:2列勞斯表有兩種特殊情況需求闡明:1.勞斯表中某一行的第一個(gè)元素為零,而該行其它元素并不為零,那么在計(jì)算下一行第一個(gè)

10、元素時(shí),該元素必將趨于無(wú)窮大,以致勞斯表的計(jì)算無(wú)法進(jìn)展。 ?有兩種特殊情況需求闡明:2.勞斯表中某一行的元素全為零。那么表示在s平面內(nèi)存在一些大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根,系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 ?第一種情況,可用一個(gè)很小的正數(shù)替代為零的元素,然后繼續(xù)進(jìn)展計(jì)算,完成勞斯表。例如,系統(tǒng)的特征方程為 其勞斯表如左: 由于勞斯表第一列元素 的符號(hào)改動(dòng)了兩次,所 以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩 個(gè)正實(shí)部的特征根。第二種情況,先用全零行的上一行元素構(gòu)成一個(gè)輔助方程,再將上述輔助方程對(duì) s 求導(dǎo),用求導(dǎo)后的方程系數(shù)替代全零行的元素,繼續(xù)完成勞斯表.它的次數(shù)總是偶數(shù),它表示特征根中出現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的的根的數(shù)目這些根或?yàn)楣曹椞摳?;或?yàn)榉?hào)相異但絕對(duì)值一樣的成對(duì)實(shí)根;或?yàn)閷?shí)部符號(hào)相異而虛部數(shù)值一樣的成對(duì)的共軛復(fù)根;或上述情況同時(shí)存在。例如,系統(tǒng)的特征方程為 ,列勞斯表為 由上看出,勞斯表第一列元素符號(hào)均大于零,故系統(tǒng)不含具有正實(shí)部的根,而含一對(duì)純虛根,可由輔助方程 解出 。例8:知系統(tǒng)特征方程 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解題過(guò)程:1系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程式的系數(shù)均大于零, 并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以滿足必要條件解題過(guò)程:2列勞斯表勞斯表中第一列元素符號(hào)

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