2021版數(shù)學(xué)（新教材）必修 第一冊(cè)人教A版：第四章 4-3-2

1、43.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，理解其推導(dǎo)過程和成立條件.2.掌握換底公式及其推論.3.能熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值知識(shí)點(diǎn)一對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)如果a0，且a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaeq f(M,N)logaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)知識(shí)點(diǎn)二換底公式1logabeq f(logcb,logca)(a0，且a1；c0，且c1；b0)2對(duì)數(shù)換底公式的重要推論：(1)logaNeq f(1,logNa)(N0，且N1；a0，且a1)；(2)eq f(m,n)logab(a0，且a1，b0)；

2、(3)logablogbclogcdlogad(a0，b0，c0，d0，且a1，b1，c1)預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)1計(jì)算log84log82_.答案12計(jì)算log510log52_.答案13(1)lg eq r(10)_；(2)已知ln a0.2，則ln eq f(e,a)_.答案(1)eq f(1,2)(2)0.84.eq f(log29,log23)_.答案2一、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例1計(jì)算下列各式：(1)log5eq r(3,625)；(2)log2(3242)；(3)log5352log5eq f(7,3)log57log5eq f(9,5).解(1)原式eq f(1,3)log5625eq

3、f(1,3)log554eq f(4,3).(2)原式log232log242549.(3)原式log5(57)2(log57log53)log57log5eq f(9,5)log55log572log572log53log572log53log552log552.反思感悟?qū)?shù)式化簡(jiǎn)與求值的基本原則和方法(1)基本原則對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值一般是正用或逆用公式，對(duì)真數(shù)進(jìn)行處理，選哪種策略化簡(jiǎn)，取決于問題的實(shí)際情況，一般本著便于真數(shù)化簡(jiǎn)的原則進(jìn)行(2)兩種常用的方法“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)收成積(商)的對(duì)數(shù)；“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)跟蹤訓(xùn)練1計(jì)算下列各式的值：(1)(

4、lg 5)22lg 2(lg 2)2；(2)eq f(lg 3f(2,5)lg 9f(3,5)lgr(27),lg 81lg 27).解(1)原式(lg 5lg 2)(lg 5lg 2)2lg 2lg 10(lg 5lg 2)2lg 2lg 5lg 22lg 2lg 5lg 21.(2)原式eq f(lg 3f(4,5)lg 3f(9,10)lg 3,4lg 33lg 3)eq f(blc(rc)(avs4alco1(1f(4,5)f(9,10)lg 3,43lg 3)eq f(9,10).二、對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用例2(1)計(jì)算：(log43log83)log32_.答案eq f(5,6)解析原

5、式eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,log34)f(1,log38)log32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2log32)f(1,3log32)log32eq f(1,2)eq f(1,3)eq f(5,6).(2)已知log189a,18b5，求log3645.(用a，b表示)解因?yàn)?8b5，所以blog185.所以log3645eq f(log1845,log1836)eq f(log1859,log18218)eq f(log185log189,log182log1818)eq f(ab,1log182)eq f(ab,1log18f(18,9)eq

6、f(ab,2log189)eq f(ab,2a).延伸探究若本例(2)條件不變，求log915.(用a，b表示)解因?yàn)?8b5，所以log185b.所以log915eq f(log1815,log189)eq f(log1835,log189)eq f(log183log185,a)eq f(log18r(9)b,a)eq f(f(1,2)log189b,a)eq f(f(1,2)ab,a)eq f(a2b,2a).反思感悟利用換底公式化簡(jiǎn)與求值的思路跟蹤訓(xùn)練2(1)eq f(log89,log23)的值是()A.eq f(2,3) B.eq f(3,2) C1 D2答案A解析方法一將分子、分

7、母利用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)，即eq f(log89,log23)eq f(f(lg 9,lg 8),f(lg 3,lg 2)eq f(2lg 3,3lg 2)eq f(lg 2,lg 3)eq f(2,3).方法二將分子利用換底公式轉(zhuǎn)化為以2為底的對(duì)數(shù)，即eq f(log89,log23)eq f(f(log29,log28),log23)eq f(2log23,3log23)eq f(2,3).(2)計(jì)算：eq f(log5r(2)log79,log5f(1,3)log7r(3,4).解原式eq f(log5r(2),log5f(1,3)eq f(log79,log7r(3,4)eq f(

8、1,2)log323log23eq f(3,2).三、對(duì)數(shù)的綜合應(yīng)用例32018年我國(guó)國(guó)民生產(chǎn)總值為a億元，如果平均每年增長(zhǎng)8%，估計(jì)約經(jīng)過多少年后國(guó)民生產(chǎn)總值是2018年的2倍？(lg 20.301 0，lg 1.080.033 4，精確到1年)解設(shè)經(jīng)過x年后國(guó)民生產(chǎn)總值為2018年的2倍經(jīng)過1年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(18%)，經(jīng)過2年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(18%)2，經(jīng)過x年，國(guó)民生產(chǎn)總值為a(18%)x2a，所以1.08x2，所以xlog1.082eq f(lg 2,lg 1.08)eq f(0.301 0,0.033 4)9，故約經(jīng)過9年后國(guó)民生產(chǎn)總值是2018年的2倍反思感悟解決對(duì)數(shù)應(yīng)用

9、題的一般步驟跟蹤訓(xùn)練3在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v(單位：m/s)和燃料的質(zhì)量M(單位：kg)，火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(單位：kg)滿足eveq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)2 000(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ln 31.099)當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭(除燃料外)質(zhì)量m的兩倍時(shí)，求火箭的最大速度(單位：m/s)解因?yàn)関lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)2 0002 000lneq blc(rc)(avs4alco1(1f(M,m)，所以v2 000ln 32 0001.0992 198(m/s)故當(dāng)燃料質(zhì)量M為火箭質(zhì)量m的兩倍時(shí)，火箭的最

10、大速度為2 198 m/s.1計(jì)算：log123log124等于()A1 B2 C3 D4答案A2若lg 2m，則lg 5等于()Am B.eq f(1,m) C1m D.eq f(10,m)答案C解析lg 5lg eq f(10,2)lg 10lg 21m.3化簡(jiǎn)eq f(1,2)log6122log6eq r(2)的結(jié)果為()A6eq r(2) B12eq r(2) Clog6eq r(3) D.eq f(1,2)答案C解析原式log6eq r(12)log62log6eq f(r(12),2)log6eq r(3).4下列各等式正確的為()Alog23log25log2(35)Blg 3

11、lg 4lg(34)Clog2eq f(x,y)log2xlog2yDlgeq r(n,m)eq f(1,n)lg m(m0，n1，nN*)答案D解析A，B顯然錯(cuò)誤，C中，當(dāng)x，y均為負(fù)數(shù)時(shí)，等式右邊無意義5計(jì)算：log5eq f(1,3)log36log6eq f(1,25)_.答案2解析原式eq f(lg f(1,3),lg 5)eq f(lg 6,lg 3)eq f(lg f(1,25),lg 6)eq f(lg 3,lg 5)eq f(lg 6,lg 3)eq f(2lg 5,lg 6)2.1知識(shí)清單：(1)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(2)換底公式(3)對(duì)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用2方法歸納：(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)

12、算性質(zhì)，可以把乘、除、乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加、減、乘的運(yùn)算，加快計(jì)算速度(2)利用結(jié)論logablogba1，eq f(m,n)logab化簡(jiǎn)求值更方便3常見誤區(qū)：要注意對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)(2)的結(jié)構(gòu)形式，易混淆1lg 83lg 5的值為()A3 B1 C1 D3答案D解析lg 83lg 53lg 23lg 53(lg 2lg 5)3.2如果lg xlg a3lg b5lg c，那么()Axeq f(ab3,c5) Bxeq f(3ab,5c)Cxa3b5c Dxab3c3考點(diǎn)對(duì)數(shù)的運(yùn)算題點(diǎn)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)答案A解析lg a3lg b5lg clg alg b3lg c5lgeq f(ab3,c5)

13、，由lg xlgeq f(ab3,c5)，可得xeq f(ab3,c5).3設(shè)alog32，則log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.4計(jì)算log225log32eq r(2)log59的結(jié)果為()A3 B4 C5 D6答案D解析原式eq f(lg 25,lg 2)eq f(lg 2r(2),lg 3)eq f(lg 9,lg 5)eq f(2lg 5,lg 2)eq f(f(3,2)lg 2,lg 3)eq f(2lg 3,lg 5)6.5若lg x

14、lg yt，則lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)3等于()A3t B.eq f(3,2)t Ct D.eq f(t,2)答案A解析lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lgeq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)33lg eq f(x,2)3lg eq f(y,2)3lg eq f(x,y)3(lg xlg y)3t.6lg eq r(5)lg eq r(20)的值是_答案1解析lgeq r(5)lgeq r(20)lgeq r(100)lg 101.7(lg 5)2lg 2

15、lg 50_.考點(diǎn)對(duì)數(shù)的運(yùn)算題點(diǎn)利用lg 2lg 51化簡(jiǎn)求解對(duì)數(shù)值答案1解析(lg 5)2lg 2lg 50(lg 5)2lg 2(lg 5lg 10)(lg 5)2lg 2lg 5lg 2lg 5(lg 5lg 2)lg 2lg 5lg 21.8若lg xlg y2lg(x2y)，則eq f(x,y)_.答案4解析因?yàn)閘g xlg y2lg(x2y)，所以eq blcrc (avs4alco1(x0，y0，,x2y0，,xyx2y2.)由xy(x2y)2，知x25xy4y20，所以xy或x4y.又x0，y0且x2y0，所以舍去xy，故x4y，則eq f(x,y)4.9用lg x，lg y，

16、lg z表示下列各式：(1)lg(xyz)；(2)lg eq f(xy2,z)；(3)lg eq f(xy3,r(z)；(4)lg eq f(r(x),y2z).解(1)lg(xyz)lg xlg ylg z.(2)lg eq f(xy2,z)lg(xy2)lg zlg x2lg ylg z.(3)lg eq f(xy3,r(z)lg(xy3)lg eq r(z)lg x3lg yeq f(1,2)lg z.(4)lg eq f(r(x),y2z)lg eq r(x)lg(y2z)eq f(1,2)lg x2lg ylg z.10計(jì)算下列各式的值：(1)log5352log5eq f(1,50

17、)log514；(2)(1log63)2log62log618log64；(3)(log43log83)(log32log92)解(1)原式log535log550log5142log5eq f(3550,14)log55312.(2)原式(log66log63)2log62log6(232)log64eq blcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(log6f(6,3)2log62log62log632)log622(log62)2(log62)22log62log632log62log62log63log6(23)1.(3)(log43log83)(log32log

18、92)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,lg 4)f(lg 3,lg 8)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,lg 9)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 3,2lg 2)f(lg 3,3lg 2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(lg 2,lg 3)f(lg 2,2lg 3)eq f(5lg 3,6lg 2)eq f(3lg 2,2lg 3)eq f(5,4).11方程log3(x210)1log3x的解是()A2 B2或5 C5 D3答案C解析原方程可化為log3(x210)log3(3x)，所以x2103x，解得x2，或x5.經(jīng)檢驗(yàn)知x5.12若lg xlg ya，則lg eq blc(rc)(avs4alco1(f(x,2)3lg eq blc(rc)(avs4alco1(f(y,2)3等于()A3a B.eq f(3,2)a Ca D.eq f(a,2)答案A解析由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)知，原式3(lg xlg 2)3(lg ylg 2)3(lg xlg y)3a.13若3x4y36，則eq f(2,x)eq f(1,y)_.考點(diǎn)對(duì)數(shù)的運(yùn)算題點(diǎn)用代數(shù)式表示對(duì)數(shù)答案1解析3x4y36，兩邊取以6為