狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)

1、第5章 狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì) 建立了狀態(tài)空間模型 提出了基于狀態(tài)空間模型的運(yùn)動(dòng)分析 探討了系統(tǒng)的定性分析： 穩(wěn)定性、能控性、能觀性設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)！ 開(kāi)環(huán)控制、閉環(huán)控制經(jīng)典控制中，用系統(tǒng)輸出作為反饋控制器的入；根據(jù)系統(tǒng)信息：狀態(tài)反饋、輸出反饋。5.1 線性反饋控制系統(tǒng)系統(tǒng)模型5.1.1 反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。v為外部輸入；控制器：動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器、靜態(tài)反饋控制器。狀態(tài)反饋控制器狀態(tài)反饋控制器：K稱為是狀態(tài)反饋增益矩陣狀態(tài)反饋增益矩陣。閉環(huán)系統(tǒng)：靜態(tài)線性輸出反饋控制輸出反饋控制：若v表示系統(tǒng)的參考輸入，用 代替，可得用輸出誤差來(lái)校正系統(tǒng)。當(dāng) 時(shí)，狀態(tài)反饋?zhàn)優(yōu)檩敵龇答?。一類特殊輸出反饋?.1.2 反饋控制的性質(zhì)

2、在靜態(tài)反饋下，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣變?yōu)榻Y(jié)論：反饋可以改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性反饋可以改變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。定理5.1.1 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。例 考慮系統(tǒng)在狀態(tài)反饋 下的閉環(huán)系統(tǒng)能控能觀性。結(jié)論：能控，不能觀。狀態(tài)反饋使得閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生了零極點(diǎn)的對(duì)消。定理5.1.2輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控能觀性。定理5.1.3狀態(tài)反饋不改變單輸入單輸出系統(tǒng)零點(diǎn) 5.1.3 兩種反饋形式的討論： 狀態(tài)和輸出反饋均可保持閉環(huán)系統(tǒng)的能控性； 輸出反饋保持閉環(huán)系統(tǒng)的能觀性，但狀態(tài)反饋不能； 利用系統(tǒng)的信息多，所能達(dá)到的性能好。5.2 穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論設(shè)計(jì)穩(wěn)定化控制器系統(tǒng)模型：控制律：閉環(huán)系統(tǒng)：閉

3、環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：即李雅普諾夫穩(wěn)定性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性定理關(guān)鍵的問(wèn)題：如何確定以上的矩陣K 和P。5.2.1 黎卡提方程處理方法如何使 是閉環(huán)系統(tǒng)李雅普諾夫方程？矩陣P是對(duì)稱的，若選取控制器設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為以下矩陣方程的求解問(wèn)題： （黎卡提矩陣方程黎卡提矩陣方程）優(yōu)點(diǎn)：若對(duì)給定的常數(shù)，以上矩陣方程有解，則對(duì)任意的 都是系統(tǒng)的穩(wěn)定化控制律。結(jié)論：正無(wú)窮大的穩(wěn)定增益裕度！例 設(shè)計(jì)系統(tǒng)的一個(gè)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制律 展開(kāi)矩陣方程，得到求取一個(gè)正定的解矩陣對(duì)任意的 ，穩(wěn)定化控制律：5.3 極點(diǎn)配置系統(tǒng)性能：穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)性能：穩(wěn)定性、靜態(tài)誤差動(dòng)態(tài)性能：調(diào)節(jié)時(shí)間、振蕩、超調(diào)、上升時(shí)間.系統(tǒng)

4、穩(wěn)定性的決定因素：系統(tǒng)極點(diǎn)影響動(dòng)態(tài)性能的因素：二階系統(tǒng)（極點(diǎn)位置） 高階系統(tǒng)（一對(duì)主導(dǎo)極點(diǎn)）結(jié)論：極點(diǎn)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能極點(diǎn)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動(dòng)態(tài)性能5.3.1 問(wèn)題的提出 閉環(huán)系統(tǒng)： 根據(jù)系統(tǒng)性能要求確定閉環(huán)極點(diǎn) ， 求矩陣K，使得5.3.2 極點(diǎn)配置問(wèn)題可解的條件和方法 在什么條件下，極點(diǎn)配置問(wèn)題可解？即存在使得閉環(huán)系統(tǒng)具有給定極點(diǎn)的控制器。 如何設(shè)計(jì)具有給定閉環(huán)極點(diǎn)的控制器？解決問(wèn)題的思路：首先對(duì)特殊的系統(tǒng)討論； 對(duì)一般的系統(tǒng)，設(shè)法化成特殊系統(tǒng)分析算法的可行性。從能控系統(tǒng)入手，以3階能控標(biāo)準(zhǔn)型為例：狀態(tài)反饋控制律：得到的閉環(huán)系統(tǒng)是其特征多項(xiàng)式是期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式要實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置，

5、須結(jié)論：對(duì)對(duì)3階能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)，極點(diǎn)配置問(wèn)題可解階能控標(biāo)準(zhǔn)型系統(tǒng)，極點(diǎn)配置問(wèn)題可解；導(dǎo)出了極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制律；極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制律是惟一的。例 對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)是-2和-3閉環(huán)特征多項(xiàng)式：期望特征多項(xiàng)式：比較可得：極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制律：閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量圖：以上的方法可以推廣到以上的方法可以推廣到n階能控標(biāo)準(zhǔn)型模型階能控標(biāo)準(zhǔn)型模型問(wèn)題：對(duì)一般狀態(tài)空間模型，如何解極點(diǎn)配置？思路：考慮能控狀態(tài)空間模型 將能控狀態(tài)空間模型等價(jià)地轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型 如何從能控標(biāo)準(zhǔn)型模型的解導(dǎo)出一般模型的極點(diǎn)配置控制器。系統(tǒng)模型假定該狀態(tài)空間模型是能控的，則存在線性變換其中 對(duì)能控標(biāo)準(zhǔn)型和

6、給定的極點(diǎn) ，可得極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋增益矩陣即：?jiǎn)栴}：目前的增益矩陣用到變換后的狀態(tài)。 如何得到適合于原來(lái)模型的控制律呢？利用特征值的關(guān)系：定理 對(duì)一個(gè)能控系統(tǒng)，可以通過(guò)狀態(tài)反饋任意配對(duì)一個(gè)能控系統(tǒng)，可以通過(guò)狀態(tài)反饋任意配 置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)置閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)。理論上可以證明：若一個(gè)系統(tǒng)可以通過(guò)狀態(tài)反饋 任意配置極點(diǎn)，那么它一定是能控的。5.3.3 極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)算法 給定系統(tǒng)模型 和閉環(huán)極點(diǎn)1。檢驗(yàn)系統(tǒng)的能控性；2。根據(jù) 確定參數(shù)3。確定轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型的變換矩陣4。確定期望特征多項(xiàng)式系數(shù)5。確定極點(diǎn)配置反饋增益矩陣?yán)?已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)極點(diǎn)是-2,-

7、1j解 確定能控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器閉環(huán)多項(xiàng)式：期望多項(xiàng)式：實(shí)現(xiàn)極點(diǎn)配置的條件：極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器是分析：優(yōu)點(diǎn)：能控標(biāo)準(zhǔn)型使得計(jì)算簡(jiǎn)單； 缺點(diǎn)：能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)難以直接測(cè)量；解決方法：考慮新的實(shí)現(xiàn)。串連分解狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是直接法反饋增益矩陣閉環(huán)特征多項(xiàng)式期望特征多項(xiàng)式比較后可得極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器是變換法確定變換矩陣極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋增益矩陣直接法和變換法得到的結(jié)果是一致的。說(shuō)明了惟一性。 例 對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，且閉環(huán)系統(tǒng)的輸出超調(diào)量 ，峰值時(shí)間系統(tǒng)的一個(gè)狀態(tài)空間模型系統(tǒng)能控，故可以通過(guò)狀態(tài)反饋任意配置極點(diǎn)。系統(tǒng)無(wú)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)性能完全由極點(diǎn)決定！一對(duì)主

8、導(dǎo)極點(diǎn)：和 是二階系統(tǒng)的阻尼比和無(wú)阻尼自振頻率可得取則為保證主導(dǎo)極點(diǎn)，第3個(gè)極點(diǎn)選為期望特征多項(xiàng)式：原模型等價(jià)變換為能控標(biāo)準(zhǔn)型要求的狀態(tài)反饋增益矩陣閉環(huán)系統(tǒng)：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)：峰值時(shí)間為0.4到0.5秒5.3.4 愛(ài)克曼（Ackermann）公式 極點(diǎn)配置狀態(tài)狀態(tài)反饋增益矩陣K的解析表達(dá)式閉環(huán)系統(tǒng)特征多項(xiàng)式：閉環(huán)矩陣滿足問(wèn)題：如何從以上的關(guān)系式來(lái)確定增益矩陣K？從關(guān)系式分別乘以 ，再相加可得由能控性，可得愛(ài)克曼公式愛(ài)克曼公式：例 對(duì)傳遞函數(shù)描述的二階系統(tǒng) ，確定一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)極點(diǎn)位于解 期望閉環(huán)多項(xiàng)式： 對(duì)象的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)： 能控性矩陣：愛(ài)克曼公式：關(guān)于極點(diǎn)配置問(wèn)題：1。n個(gè)極點(diǎn)，以

9、共軛對(duì)的形式出現(xiàn)；2。主導(dǎo)極點(diǎn)；3?？紤]到零點(diǎn)的影響；4。系統(tǒng)響應(yīng)速度并非越快越好；5。單輸入系統(tǒng)，極點(diǎn)配置不影響零點(diǎn)分布；6。單輸入能控系統(tǒng)，控制器惟一，多輸入則不惟一；7。區(qū)域極點(diǎn)配置。不足：需要用到全部狀態(tài)。5.3.5 應(yīng)用MATLAB求解極點(diǎn)配置問(wèn)題 提供了兩個(gè)函數(shù)： acker:基于愛(ài)克曼公式，單輸入系統(tǒng)，多重極點(diǎn) place:多輸入系統(tǒng)，相同極點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)B的秩對(duì)單輸入系統(tǒng)，所得的K是一致的 K=acker(A,B,J) K=place(A,B,J)檢驗(yàn)：eig(A-B*K)極點(diǎn)配置的優(yōu)點(diǎn)： 可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能5.4 跟蹤控制器設(shè)計(jì)極點(diǎn)配置的優(yōu)點(diǎn)：改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)

10、性能那么，對(duì)穩(wěn)態(tài)性能、靜態(tài)誤差等的影響？例 已知被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為 設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)極點(diǎn)為-4和-5，并討論閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式是所要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣是相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)參考輸入為單位階躍時(shí)，輸出的穩(wěn)態(tài)值開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差開(kāi)環(huán)系統(tǒng)是無(wú)靜差的。閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出因此閉環(huán)系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)誤差考慮系統(tǒng) 參考輸入 外部擾動(dòng)問(wèn)題：在存在擾動(dòng)下，使輸出跟蹤設(shè)定值。定義誤差向量：引入偏差的積分：引入增廣系統(tǒng) 對(duì)增廣系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律使得閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的求拉氏變換，得到 參考輸入和外部擾動(dòng)都是階躍信號(hào)時(shí)，由終值定理 即 x 和 q 趨向于常值。從而 趨于零。 針對(duì)增廣系統(tǒng)，設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制律，只要閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，則系統(tǒng)無(wú)靜態(tài)誤差。若需要系統(tǒng)有一定的過(guò)渡過(guò)程特性，極點(diǎn)配置！要求：增廣系統(tǒng)是能控性的。定理 增廣系統(tǒng)能控的充分必要條件是（1）原來(lái)系統(tǒng)是能控的（2）證明：其中 由原系統(tǒng)的能控性 的行向量線性無(wú)關(guān)。必要條件： ：輸入的個(gè)數(shù)不能小于輸出的個(gè)數(shù) ：所有的測(cè)量輸出都是獨(dú)立的。跟蹤外部參考輸入