《數(shù)值計算》試題庫證明題

1、第7頁 共7頁數(shù)值計算試題庫證明題數(shù)值 計算 試 題 庫 - 證明題第二章：1、此題 10 分-中等設(shè) ) 2 )( 1 ( ) ( _ _ _ f ，證明對任意的 _ 有：1 ) , 2 , 1 ( _ f .第四章：2、10 分-難證明向量 _ 的范數(shù)滿足不等式 12_ _ n _ (2)1 11_ _ _n 3、10 分-難設(shè) R=ICA，假如 ，證明：1A、C 都是非奇異的矩陣 2第五章：4、5 分-根底設(shè) _ B_ b ， 1 B 證明由公式 1 m m_ B_ b ， 0,1, m ，得到的序列 m_ 收斂于 _ 。5、 (10 分-難) 證明: 方程組 1 211 23 2 13

2、 2 13 2 1_ _ _ _ _ _ _ 使用 Jacobi 迭代法求解不收斂.第六章：6、此題 10 分-中等證明求積公式 2242 ( ) 0 23hhhf _ d_ f h f f h 具有三次代數(shù)精度，其中 h 是正常數(shù)。7、10 分-中等證明定積分近似計算的拋物線公式 ) ( )2( 4 ) ( ) ( b fb af a fba bd_ _ fba具有三次代數(shù)精度第七章：8、5 分-根底證明計算 0 的切線法迭代公式為 11( )2n nn_ _ ， 0,1, n9、10 分-難設(shè)1寫出解 的 Newton 迭代格式2證明此迭代格式是線性收斂的 第八 章：10、12 分-難證明

3、用數(shù)值積分方法構(gòu)造微分方程的初值問題 0 0 ) , (y _ yy _ f y的數(shù)值解公式為證明題 參考答案1、證明題共 10 分證明:f (1, 2) = f (1) ndash; f (2)/ (1 ndash; 2)= 0 ndash; 0/ (-1)= 0,3 分 對任意的 _ 有 f (2, _) = f (2) ndash; f (_)/ (2 ndash; _)= 0 ndash; (_-1) (_-2)/ (2 ndash; _)= (_-1),6 分 所以 f (1, 2, _) = f (1, 2) - f (2, _)/ (1 ndash; _)= 0 - (_-1)/

4、 (1 ndash; _)= 110 分 2、證明題共 10 分證明1設(shè)j_ 是向量 _ 的分量，那么2 22 2 21ma_ ma_ni i ii ii_ _ _ n _ n _ ， 所以由向量范數(shù)的概念可知，結(jié)論成立。5 分 2由111 1ma_ni iii_ _ _ _n n 11ma_ni iii_ _ _ _ 所以結(jié)論成立。10 分 3、10 分證明：1因 ，所以 Indash;R 非奇異，因 Indash;R=CA， 0 0 0 A C CA ,所以 C，A 都是非奇異矩陣3 分2故 那么有 5 分因 CA=Indash;R，所以 C=Indash;RA -1 ，即 A -1 =I

5、ndash;R-1 C 又 RA -1 =A -1 ndash;C，故由 7 分移項得結(jié)合2.1、(2.2)兩式，得 10 分4、5 分證明由公式 1 m m_ B_ b 和 _ B_ b 兩式相減得 1 m m_ _ B _ _ 00mB _ _ 3 分 所以有： 0, ,( )m m_ _ _ _ m 5 分 5、 (10 分) 證明: 方程組 1 211 23 2 13 2 13 2 1_ _ _ _ _ _ _ 使用 Jacobi 迭代法求解不收斂.證明 Jacobi 迭代法的迭代矩陣為 0 5 .0 5 .01 0 15 .0 5 .0 0JG 3 分JG 的特征多項式為 ) 25

6、.1 (5 .0 5 .01 15 .0 5 .0) det(2 JG I 6 分JG 的特征值為 01 ， i 25 .12 ， i 25 .13 ，故 1 25 .1 ) ( JG ，因此 Jacobi 迭代法不收斂。10 分6、證明：此題 10 分1當(dāng) 1 f _ 時，左邊 44 2 1 23hh 右邊2 分2當(dāng) f _ _ 時，左邊 40 2 1 0 23hh h 右邊4 分3當(dāng) 2f _ _ 時，左邊 32216 42 1 0 23 3h hh h 右邊 4當(dāng) 3f _ _ 時，左邊 3340 2 0 23hh h 右邊 5當(dāng) 4f _ _ 時，左邊5645h ， 右邊 5444 1

7、62 0 23 3h hh h 左邊 8 分所以，該求積公式具有三次代數(shù)精度。10 分7、10 分證明：當(dāng) 1 ) ( _ f 時，公式左邊：a b d_ _ fba ) (公式右邊：a bba b 1 4 1 左邊=右邊1 分當(dāng) _ _ f ) ( 時左邊：2 22 2 2a bab_d_ba 右邊：224 2 2a bbb aaba b 左邊=右邊3 分當(dāng)2) ( _ _ f 時左邊：3 33 3 32a bab_d_ _ba 右邊：3 )2( 4 3 32 2 2a bbb aaba b 左邊=右邊5 分當(dāng)3) ( _ _ f 時左邊：4 44 4 43a bab_d_ _ba 右邊：4

8、 )2( 4 4 43 3 3a bbb aaba b 左邊=右邊7 分當(dāng)4) ( _ _ f 時左邊：5 55 5 54a bab_d_ _ba 右邊：5) 5 4 6 4 5 (6 )2( 4 5 55 3 2 2 3 4 4 4 4a bb ab b a b a aa bbb aaba b 9 分故 ) (_ f 具有三次代數(shù)精度。10 分8、5 分證明因為計算 0 等同于求方程20 _ 的正根， 令 2, 2 f _ _ f _ _ ，2 分 代入切線法迭代公式得：211( )2 2nn n nn n_ _ _ _ ， 0,1, n 5 分 9、10 分證明：1因 ，故 ，由 Newton 迭代公式：3 分n