輸油管的布置講座

1、一 問題的提出 某油田計劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在鐵路線上增建一車站，用來運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。 1. 針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出您的設(shè)計方案。在方案設(shè)計時，若有共用管線，應(yīng)考慮共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。 2. 設(shè)計院目前須對一更為復(fù)雜的情形進(jìn)行具體的設(shè)計。兩煉油廠的具體位置由附圖所示。其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域）。圖中各字母表示的距離（單位：）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。 若管線鋪設(shè)的費(fèi)用

2、均為每千米7.2萬元。 管線經(jīng)過城區(qū)還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，為對此項附加費(fèi)用進(jìn)行估計，聘請三家工程咨詢公司（其中公司A具有甲級資質(zhì)，公司B和C具有乙級資質(zhì)）進(jìn)行了估算。估算結(jié)果由下表所示： 工程咨詢公司ABC附加費(fèi)用（萬元/千米）212420 3. 在該實際問題中，為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費(fèi)用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送 B 廠成品油的每千米6.0萬元，公用管線費(fèi)用仍為每千米7.2萬元，拆遷等附加費(fèi)用同上。請給出管線最佳布置方案。二 問題的數(shù)學(xué)背景 Fermat ( Steiner ) 點：到三角形三個頂點距離之

3、和最小的點。 到兩定點和一條定直線距離之和最小的點。 （可以稱之為擬Fermat點）三 模型與求解問題一 模型一 基于幾何方法的解析模型 假設(shè)鐵路線近似為一條直線。兩家煉油廠到鐵路線的距離分別為a和b (不妨假設(shè) )，兩垂足的距離為l。 添加點P作為兩家煉油廠成品油的集運(yùn)點。容易見到， P到鐵路線的一段管道(共用管道)必然與鐵路線垂直(垂線最短) ，AP與BP兩部分管道必然關(guān)于該條垂線對稱(直線上取點，到兩定點距離之和最小)。 考慮共用管道和非公用管道費(fèi)用相同時，問題就 是前述的擬Fermat點問題。ba 根據(jù)擬Fermat點的性質(zhì)，只要從A、B兩點分別 向鐵路線引傾角為 的直線，其交點就是所

4、求的P； 從作圖過程可以看到，可能出現(xiàn)兩種例外情況： (1) 當(dāng) 時，A點將位于B點所引直線下方。 最佳方案就是把車站建在C點，將管道直接鋪設(shè)在 AB和AC連線上；(見下圖(a)633lab (2) 當(dāng) 時，所引直線將交于鐵路線下方。最佳方案是將管道交匯點放在鐵路線上。根據(jù)直線上取點到兩定點距離之和最小的反射原理，可以確定P點的位置。(上圖(b) 33lba 如果考慮共用和非共用管道費(fèi)用不同(假定 非共用管道費(fèi)用是共用管道的k倍), 上述純幾何的 方法不再適用。但是，PA與PB的對稱性以及PH垂直于鐵路線的性質(zhì)并未改變，因此可以用幾何結(jié)合解析的方法建模。 設(shè)PH長度為y. 根據(jù)對稱原理， PA

5、加PB的最小值可以表示成y的函數(shù) 原問題的數(shù)學(xué)模型成為： 22)(lybyaaytskylyba0.)2(min22 根據(jù)k的不同取值，可分為以下兩種情況： (1) k=1 即共用非共用管道費(fèi)用相同。容易解得當(dāng)且僅當(dāng) 時，( ) 取最小值： 以上又因為已知參數(shù)的不同，會有兩種例外： 1a) , 這時應(yīng)取 ，相應(yīng)的有 ， ； 1b) 即 , 這時應(yīng)取 相應(yīng)的 ， ； )(yg)3321*lbay （)3(21*)(lbayglba330* ybaalx*22)(*)(balygalba)3321（lab33ay *0*xalabyg22)(*)()(321*abcx (2) 1k2 即費(fèi)用不同。

6、同樣可以利用一元函數(shù)求 極值的方法得，當(dāng)且僅當(dāng) 時 取最小值： 同樣，根據(jù)參數(shù)的不同取值也有兩種例外： 2a)當(dāng) 時，應(yīng)取 ，相應(yīng)的有 ， 2b)當(dāng) 時，應(yīng)取 ，相應(yīng)的有 ，)4(21*2lkkbay)(yg)(4(21*(2abkklx)(42bakkl0*ybaalx*22)(*)(balyg)(42abkklay *0*xkalabyg22)(*)(lkkbayg24)(21*)(模型二解析模型 以A廠到鐵路線的垂線AC為x軸，以鐵路線CD為y軸，C為原點，建立坐標(biāo)系。 設(shè) P 的坐標(biāo)為(x, y) ( ), 非共用管道的費(fèi)用單價為p,共用管道費(fèi)用為非共用管道的k倍，則管道總費(fèi)用為 原問

7、題可歸結(jié)為：kyybxlyaxyxf2222)()()(),(minaylx0,0kpyybxlyaxp)(2222aylxts00. . 為求解該模型，可作如下分析： 一旦y固定，上述模型退化成為x的一元函數(shù)優(yōu)化問題 容易驗證當(dāng)且僅當(dāng) 即 時，有最小值 于是，原問題仍轉(zhuǎn)化成lxtsybxlyaxxf0.)()()()(min2222ybyaxlxybayalx2)(22)2(ybalaytskyybalyg0.)2()(min22四 模型與求解問題二 (1) 首先考慮城區(qū)拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用 根據(jù)三家咨詢公司的資質(zhì)，對他們的結(jié)果進(jìn)行加權(quán)平均，得到最終估計值。計算公式 其中 為賦予三家公司

8、的權(quán)，它們應(yīng)滿足 一種可以考慮的方法是將 按從1.0到 分別計算w的值以及相關(guān)的結(jié)果。 例如：常用的權(quán)值取法有0.4:0.3:0.3；0.5:0.25:0.25等等，相應(yīng)的附加費(fèi)用值w分別為21.5、21.6萬元。1jjwwj132132131 (2) 由于城區(qū)油管鋪設(shè)費(fèi)用大大高于郊區(qū)，因此 不用考慮將共用管道（如果需要）建在城區(qū)； (3) 假設(shè)輸油管在城鄉(xiāng)結(jié)合處Q點的坐標(biāo)為 共用管道在郊區(qū)鋪設(shè)，則總費(fèi)用的數(shù)學(xué)模型為 記 ，上式等價于 討論該問題的解析解：),(zc22)()()()3(2minclzbpwczaptppw22)()(2)3()(minclzbtczazg 先對函數(shù) 求導(dǎo)： 當(dāng)

9、且僅當(dāng) 時， 取最小值 相應(yīng)的，P點坐標(biāo)為 ， 數(shù)值解（略） 注：真正意義上的解析解還需考慮z在邊界上的情況。22)()()(21)( clzbzbtzg14*2tclbz)(zg)(143*)(2cltcbazg)33*(21),*(3(21(czaazc)(zg五 模型與求解問題三 考慮各部分管道費(fèi)率不等的情況。 分別用 記AP、PQ、PH、BQ段管道的費(fèi)率，并設(shè)P、Q兩點的坐標(biāo)分別為 、 則總費(fèi)用的表達(dá)式為 其中 均為已知。 這是一個三元函數(shù)，問題的數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為求該函數(shù)的最小值。 ),(yx4321,kkkk),(zc2243222221)()()()()(),(zbclkykyzxc

10、kyaxkzyxFlcbaki, 由于管道費(fèi)率不同，AP、PQ關(guān)于垂線PH的對稱性將不復(fù)存在。 利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識求極值： 求函數(shù)的駐點，令 。這是一個三元的根式方程，直接求解較為繁瑣。222221)()()()(yzxcxckyaxxkxF224222)()()()()()(zbclzbkyzxcyzkzF3222221)()()()()(kyzxcyzkyaxyakyF0zFyFxF 這里利用幾個方位角(見下頁圖) 的三角函數(shù)： 將方程改寫為： (1) (2) (3)cos)(22yaxxcos)()(22yzxcxcsin)()(22zbclzb0coscos21kk0sinsin321kkk0sinsin42kk 由得： 由得： 兩式相加，整理得： 分別代入和，得： 222221coscoskk2223223221sinsin2sinkkkkk322122232sinkkkkk432122232sinkkkkk312221232sinkkkkk 由 解得： 再由 解得： 其中 最后，由 解得：43212223222)()(sinkkkkkzbclzb22122232423212223)(4)(kkkkkclkkkbzcyzyacot)(cot)（c