第一章,第五節(jié)

1、主講人：魏勇 第一章 集合論基礎(chǔ)與點(diǎn)集初步65/jp/sbhsl/index1.htm22/jxcg_wy/(). (,)(,)().(,)(,), (,)()().(,)(,)()aUxUxEbUxUxEUxC EcUxUxC E 滿 足內(nèi) 點(diǎn) )滿 足邊 界 點(diǎn)滿 足外 點(diǎn)( )0,( , ) ( ). 0,( , ) ()( ). 0,( , ) ()eU xExfU xExgU xE 對(duì)聚點(diǎn))孤立點(diǎn)外點(diǎn) nRnREO內(nèi)核EE ( EC )OE EE E E E 導(dǎo) 集E-EnR00()(nCREEE按第一種分類)0(

2、)(nCREEE孤按第二種分類)記 為 E的導(dǎo)集（聚點(diǎn)全體）記 EO 為 E的內(nèi)核（內(nèi)點(diǎn)全體）記 為 E的邊界（邊界點(diǎn)全體）顯然E的外點(diǎn)全體為( EC )O(CCEEEE 與邊 界 共 擁 )EE0 EEEEEEE EEEE的孤立點(diǎn)0(, )0,pOE 有P0為 E的接觸點(diǎn)：注:接觸點(diǎn)(非外點(diǎn))不一定屬于E（虛邊界不屬于E）E記 為 E的接觸點(diǎn)全體,稱為E的閉包0()CC E22 (, )|( 5 ) ( 4) (,0)1111 , , ,., ,23|,. (,0)|(5 ,4)30,5 4Exxny xyxxx 022( , )|0(5)(4)4Ex yxy22001 11E ( , )|

3、(5) (4)4 ( ,0)|,1 , , ,., ,. ( ,0)|3,52 3 xyxyxxxxn 1 11EE ( ,0) |1,.,.2 3Exxn孤 證明： 顯然(3)(2)(1)定理.2綜合：下列三條件等價(jià)： (1) p0為E的聚點(diǎn) (3)存在E中互異的點(diǎn)所成點(diǎn)列pn, 使得0(, )0(0,O pEp有） P0 Pn00lim (,)0, 0,0,O(, )nnnd ppNnNpp復(fù)習(xí):若即有 0limnnpp 稱點(diǎn)列pn 收斂于p0 , 記為： (2)點(diǎn)p0的任意鄰域內(nèi)含有無(wú)窮多個(gè)屬于E而異于p0的點(diǎn)0limnnpp00121O(,),.,nnnppEp P P

4、P取220201(,), pO pEp P011令=min ,d(P ,P),取2100O(,1)()ppEp取0limnnpp則上述取出的點(diǎn)列Pn是互異點(diǎn)列,且000,O(, )pEp 證明：由聚點(diǎn)的定義知其中（2）是稱為“聚點(diǎn)”的原因, :(1)(3)還須證01), (,nnd p P令=mi1nn （3）是稱為“極限點(diǎn)”的原因EEEE 若 , 則稱E為開(kāi)集（沒(méi)有E的邊界點(diǎn)在E中)若 , 則稱E為閉集（所有E的邊界點(diǎn)在E中）二、特殊集合1( ,)yOE( , )xOyccEE,EE,cEEE ,ccEEE 定理1.5.61). ，Rn為開(kāi)集，顯然；2). 任意多個(gè)開(kāi)集之并仍為開(kāi)集；000:

5、 2) 0,( ,)xOxOO xOO 證明 滿足A B3). 有限個(gè)開(kāi)集之交仍為開(kāi)集。定理1.5.6(續(xù))1 , ,0,)niiiiiixAi xAixA證明滿足O( 注：無(wú)限多個(gè)開(kāi)集的交不一定為開(kāi)集，A B3). 有限個(gè)開(kāi)集之交仍為開(kāi)集。10111m in,),() ,niiinnniiiiiixAAAA于 是 取則 O(即故是 開(kāi) 集如：En=(-1/n, 1+1/n),其交集為0定理1.5.7)1).空集，Rn為閉集，顯然；2).有限多個(gè)閉集之并仍為閉集；CiA注：無(wú)限多個(gè)閉集的并不一定為閉集，1111: 2 )(), ()nncCiiiinnCciiiiAAAA證明開(kāi)閉iA（因?yàn)殚]集

6、，3).任意多個(gè)閉集之交仍為閉集。則 為開(kāi)集）如：En=0,1-1/n，其并為0，1）定理1.5.7續(xù))3).任意多個(gè)閉集之交仍為閉集。: () ccAAA證明為開(kāi)集為閉集定理1.5.8的應(yīng)用完備集: 沒(méi)有孤立點(diǎn)的閉集反過(guò)來(lái),完備集不一定含有區(qū)間(下節(jié)講)自密集:沒(méi)有孤立點(diǎn)的集10. 互不相交區(qū)間至多可數(shù)證明:每區(qū)間取一個(gè)有理數(shù)作代表, 代表互不相同 區(qū)間與代表一一對(duì)應(yīng), 因代表集至多可數(shù),從而區(qū)間至多可數(shù)證明：平面上的圓由其圓心 (x,y) 和半徑 r 唯一決定,從而,| ),(QrQyxryxQQQA r(x,y)|,!nQnN mNm 可數(shù)13.單調(diào)函數(shù)間斷點(diǎn)至多可數(shù)(不妨設(shè)單調(diào)增)證明

7、:每個(gè)間斷點(diǎn)a對(duì)應(yīng)一個(gè)躍度區(qū)間(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一對(duì)應(yīng) 躍度區(qū)間互不相交從而可數(shù) 間斷點(diǎn)至多可數(shù)13.單調(diào)函數(shù)間斷點(diǎn)至多可數(shù)(不妨設(shè)單調(diào)增)證明:每個(gè)間斷點(diǎn)a對(duì)應(yīng)一個(gè)躍度區(qū)間(f(a-),f(a+) 即 a(f(a-),f(a+)是一一對(duì)應(yīng) 躍度區(qū)間互不相交從而可數(shù) 間斷點(diǎn)至多可數(shù) 但如何具體建立(0,1) 與0,1之間的一一對(duì)應(yīng)呢？(不用定理1.2.9的結(jié)果,只用證明方法!)10 211() ,3 , 4 , 5 , . . . . ,2 ( 0 , 1 )xfxxnnnxx為中其它值同理可具體構(gòu)造 之間的一一對(duì)應(yīng)習(xí)題15：0,1 (0,1)AR無(wú)實(shí)與*,AAAAAAA設(shè) 是一個(gè)無(wú)限集，則存在(真子集)使得而是可數(shù)集。假設(shè)這是無(wú)限集A從中可以取出可數(shù)子集很容易將M分為M1(奇數(shù)項(xiàng)）,M2（偶數(shù)項(xiàng)），均為可