現(xiàn)代信號處理胡廣元第二章

1、2.1 連續(xù)信號的短時傅立葉變換2.2 短時傅立葉反變換2.3 離散信號的短時傅立葉變換2.4 Gabor變換的基本概念2.5 臨界抽樣時連續(xù)信號展開系數(shù)的計算2.6 過抽樣情況下連續(xù)信號展開系數(shù)的計算1*,STFT ( ,)( )( )( ),( )xtttxgdxg )()(2RLtx其STFT定義為: 式中 1|)(|g窗函數(shù)應取對稱函數(shù)。*STFT ( ,)( )()( ), ()jxjtxgt edxgt e ,( )()jtggt e2)()(3tgxx()0)()(1tgx)()(2tgx1t2t3tFTFTFT01t2t3tt3的頻譜的形狀取決于 ，接近于有限支撐的。而頻率中心

2、由 來決定， 這樣，利用STFT可實現(xiàn)對 時頻定位的功能。由于 是窗函數(shù)，因此它在時域應是有限支撐的;同理， 在時域也是有限支撐的;由于 在頻域是線譜，所以STFT的基函數(shù)( )g( )x t,()()()( )()( )()jjtjtjtjtGgt eedeg t edtGe,( )()jtggt ejeje,( )()( )jttggt eGv( )G v4,*()1( ),( )( ),( )21( )()2ttjtx tgXGXGed由于*1STFT ( ,)( )()2j tj txteXGed 所以：STFT的頻域表達式對 在時域加窗對 在頻域加窗 ( )x()gt( )X v()

3、G v 等效有了時頻定位功能，下面再關心其時頻分辨率。5時間中心時間中心 由由 的中心位置所決定的中心位置所決定 ，即0( )g12,nt tt頻率中心頻率中心 由由G(v)的中心決定，即的中心決定，即0v12,n dg222| )(|時寬：與時移 無關tdG22212| )(|帶寬：與頻移 無關思考：各與什么有關6 時間中心在 處 頻率中心在 處分辨“細胞”為21)(,vGt )(,vGt vv1t2t,( )tg,( )tgv ktlSTFT的基函數(shù)分辨“細胞”和 無關，即不論 和 處在何處，分辨細胞的形狀都保持不變。這是STFT的特點。 ktlktl,( )()lkljtkggt e7該

4、例說明，STFT的時間分辨率由窗函數(shù) 的寬度而決定。 令 ，可以求出其 )()(0 x000STFT ( ,)() ()()jxjtgt edgt e )(g例1STFT的頻率分辨率由 頻譜的寬度來決定。 若 ，則 0)(jex00()0STFT ( ,)()()jjxjttegt edGe )(g例28 若 ，則 ， 這時，STFT減為簡單的FT，這將給不出任何的時間定位信息。其實，由于 為無限寬的矩形窗，故等于沒有對信號作截短。 1)(g)()(GSTFT ( ,)( )xtX )(g-0.500.5Real partSignal in time084168Linear scaleEner

5、gy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=63, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz例3高斯Chirp調制信號9令 ，則 )()(gSTFT ( ,)( )j txtx t e 例4-0.500.5Real partSignal in time084167Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=0, Nf=64, lin. scale, con

6、tour, Thld=5%Time sFrequency Hz可準確地實現(xiàn)時域定位，但無法實現(xiàn)頻域定位。10例5設 由兩個時頻“原子”構成, 一個時間中心在 處，時寬是32，另一個時間中心在 處時寬也是32，調制信號的歸一化頻率都是0.25 。選擇 為Hanning窗)(g-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=27, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFre

7、quency Hz-0.500.51Real partSignal in time020454091Linear scaleEnergy spectral density2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2, Lh=6, Nf=64, lin. scale, contour, Thld=5%Time sFrequency Hz窗函數(shù)的寬度為13 窗函數(shù)的寬度為55( )x t150t 290t 1122STFT ( ,)( ) ()( ,)jxxtxgt edS t 譜圖是恒正的，且是實的。 1|)(|gxxEdtdtS),(“譜圖（spectrogram）”由

8、于所以譜圖是信號能量的分布。12 若 ，則 tjetxty0)()(0STFT ( ,)STFT ( ,)yxtt ),(),(0tStSxy 若 ， 則 )()(0ttxty00STFT ( ,)STFT (,)j tyxttte ),(),(0ttStSxySTFT和譜圖的性質和譜圖的性質 13短時傅里葉反變換有不同的表示形式：STFT ( ,)( ) ()jxtxgt ed 取反變換1STFT ( ,)2jxted左邊()1( ) ()2jxgt ed d右邊( ) () ()( ) ()xgtdxgt lett1( )STFT ( ,)2(0)j txx ttedgSTFT的一維反變換

9、表示 14STFT的二維反變換來表示 ：1( )STFT ( ,) ()2jxxtgt edtd 用 的對偶函數(shù) 來表示 ( )g t( )h t1( )STFT ( ,) ()2jxxtht edtd 1)()(*dtthtg1( )STFT ( ,)2(0)j txx ttedg區(qū)別STFT ( ,)( ) ()jxtxgt ed 15 2.3 2.3 離散信號的短時傅立葉變換離散信號的短時傅立葉變換 *STFT ( ,)( )()j nxnmx n g nmN eDTFT2*STFT ( ,)( )()Mjnkxknmx n g nmN eDFT*2,( )()( )kkletx n g

10、nmNx nM210STFT ( , )( )MMjnkxnm kx n eNM 是在時間軸上窗函數(shù)移動的步長，是一個周期 的分點數(shù)。(2 ) ：窗函數(shù)移動的序號m窗函數(shù)寬度162.4 Gabor變換的基本概念 ,2,( )( )()m nm nmnjmbtm nmnx tChtCh tna e 早在1946年，Gabor就提出：可用時頻平面上離散柵格上的點來表示一個連續(xù)的一維信號：banambt ：柵格的時間長度：柵格的時間長度 ：柵格的頻率長度：柵格的頻率長度 ab17,( )( )m nm nmnx tCht ,m nCGabor展開系數(shù)；( )h t母函數(shù)2,( )()jmbtm nh

11、th tna e展開的基函數(shù)( )h t()h ta()h tna0anattt() exp( 2)h tajbt()exp( 2)h tajmbt移位調制18( )h t5. 時頻平面離散柵格上的任一個二維函數(shù)是否都唯一地對應一個一 維的信號？19 1abab ：臨界抽樣（Critical Sampling） ：欠抽樣（Undersampling）：過抽樣（Oversampling）1ab1ab欠抽樣將引起信息的丟失，因此很少被研究；1ab 20Gabor最早提出：,( )( )m nm nmnx tCht 使用高斯窗取臨界抽樣臨界抽樣最簡單；高斯窗滿足不定原理的下限；高斯窗的傅里葉變換仍然

12、是高斯的。原因 但是，由于展開系數(shù)計算的困難，Gabor展開長期沒有被重視； 從1946年1980年，人們也不斷地提出一些計算的方法，但都不理想。直到 Bastians于1980年提出了用“對偶”函數(shù)計算Gabor系數(shù)的方法，這一問題才初步的被解決。 當時，考慮的是 的臨界情況1ab 21,2,( )( )()m nm nmnjmbtm nmnx tChtCh tna e 2.5 臨界抽樣情況下連續(xù)信號 Gabor展開系數(shù)的計算 如何計算2,( )()jmbtm ngtg tna e選擇一母函數(shù) ，移位加調制：( )g t,*2,( ),( )( )()m njmbtm nx tgtx t g

13、 tna edtC假定內積結果就是22,( )( )m nm nmnx tCht 目標：找到 的關系：( ), ( )g th t,( ),( )m nm nCx tgt,*,*,( )( ),( )( )( )( )( )( )( )( )m nm nmnm nm nmnm nm nmnx tx tgthtx t gt dt htx tgt ht dt *,( )( )()m nm nmngt httt( )ifx tthen23*,( )( )()m nm nmngt httt滿足該條件的 被認為是完備的，從而可實現(xiàn)對 的準確重建。,( )m nht( )x t2( )()jmbtmng

14、t h tna edt 雙正交關系( )( )1g t h t dt0ifmn求解Gabor系數(shù)的方法：（1）選擇一個母函數(shù) ；（2）求其對偶函數(shù) ，使之滿足雙正交關系；（3）做內積 ，從而得到 。( )h t( )g t,m nC,( ),( )m nx tgt24可以證明，若矩形窗函數(shù)的寬度等于Gabor展開中移位的步長，那么該矩形窗的移位之間是正交的，其對偶函數(shù)仍是同樣的矩形窗。對高斯窗1 222( )expth tTT可求出1 23 22021 21( )exp211exp2nnt TKtg tTTn01.85407468K 式中25( )g t( )h t 可以看出，在臨界抽樣的情況

15、下，盡管 是高斯的，但 卻是非高斯的，而且完全不具備能量集中的性能?？梢栽O想，用這樣的對偶函數(shù)來重建原信號，重建結果將是不穩(wěn)定的。( )g t( )h t26*STFT ( ,)( )()jxtxgt ed ,STFT ( , )m nxCm nGabor展開和STFT的關系即：Gabor系數(shù)是在離散柵格上求出的STFT 1990年，Welex 和 Ras 將對偶函數(shù)的概念擴展到過抽樣的情況，即1ab 020 00( )()jmb tmna bg t h tna edt 時，用 表示 將會產(chǎn)生冗余。這說明 不是正交的基函數(shù)，那么， 將不唯一。為了討論該問題，需要標架理論。用來研究構成標架的條件

16、、邊界A和B的計算、對偶標架 的求解，直至導出的有效計算方法。1ab ,m nC( )x t,m nh,m nC,m ng272.6 過抽樣情況下連續(xù)信號 Gabor展開系數(shù)的計算 臨界抽樣， 線性獨立，對偶函數(shù) 存在，且唯一。 有好的時頻定位， 卻不一定；1ab ,( )m nht( )g t( )h t,( )m ngt1ab 欠抽樣，基函數(shù) 不完備，構不成標架；,( )m nht簡單的結論：1ab ,( )m ngt過抽樣，存在表示的冗余，但可求出 ，它可形成一個標架。28222,( )( ),( )( )m nmnA x tx tgtB x t222,( )( )m nmnA x tC

17、B x t將標架理論推廣到二維：若 構成標架，則,( )m ngt成立0AB 下述定理說明，在 時， 不能構成標架：1ab ,( )m ngtBalianLaw定理：選擇 如果 構成一個標架，那么，必有2( )( ), ,0,1g tL Ra bab,( )m ngt22( ) ( )( ),( )( )x t g tL Rorg tL R29過抽樣情況下過抽樣情況下GaborGabor展開系數(shù)的計算展開系數(shù)的計算: 選定一個窗函數(shù) ； 選定時頻平面上的步長 和 ，要求 ,即 取 為大于1 的整數(shù)； 計算 的Zak變換 ； 計算 的Zak變換 ； 計算 ( )h tab11abqq( ,)hZ t ( )x t( ,)xZ t 120( ,)( ,)(/ ,hgqhlZ tZtZ tl q 可得( )g t( )h t 做Zak反變換30 計算展開系數(shù),m nC,1 1