數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用

1、數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用摘 要數(shù)學模型是研究生命發(fā)展規(guī)律，發(fā)現(xiàn)和分析生命現(xiàn)狀的工具。建立可靠的本文從生物數(shù)學的發(fā)展、分支了解生物數(shù)學的歷史，緊接著又在數(shù)學模型在生物數(shù)學的地位中了解數(shù)學模型的地位，最后在數(shù)學模型的應(yīng)用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型.這將有助于在生物數(shù)學的研究中，依據(jù)數(shù)學模型的基礎(chǔ)，建立符合規(guī)律的數(shù)學模型，在生命進程中驗證新的規(guī)律、新的發(fā)現(xiàn)，使在研究生物學時更清晰、更明了.關(guān)鍵詞：數(shù)學模型；生物學；應(yīng)用Application of mathematical model in BiologyAbstract: Mathematical models in biol

2、ogy such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified an

3、alysis and forecasting.The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mat

4、hematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model.This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify

5、 new rules, new found in biological research clearer, more clear.Keywords: mathematical mode; biology; application目 錄1 引言12 文獻綜述12.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀12.3 提出問題23 生物數(shù)學的發(fā)展23.1 生物數(shù)學發(fā)展歷史33.2 生物數(shù)學的分支43.2.1 生物信息學53.2.2 生物統(tǒng)計53.2.3 數(shù)量遺傳學53.2.4 數(shù)學生態(tài)學53.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學63.3 數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位64 數(shù)學模型在生物學中應(yīng)用64.1 微分方程模型64.2 差分方程模型 11

6、4.3 穩(wěn)定性模型 135 結(jié)論 175.1 主要發(fā)現(xiàn) 175.2 啟示 185.3 局限性 185.4 努力方向 18參考文獻 191 引言數(shù)學是所有自然學科的基礎(chǔ)，生物卻是偏文科性質(zhì)的自然學科，把兩者有機的的結(jié)合在一起就構(gòu)成了生物數(shù)學.但在生物學中應(yīng)用數(shù)學最多的還是數(shù)學模型的應(yīng)用，解決生物中各種種群增長問題，種群擴散問題，環(huán)境污染問題等.雖然有生物數(shù)學這樣的學科產(chǎn)生，但真正讓數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學的學生了解數(shù)學在生物中的應(yīng)用，仍需要很大的努力.同時，許多人會覺得數(shù)學的知識只能應(yīng)用在生物中，而生物知識卻不能應(yīng)用在數(shù)學問題解決中，但是有些實際問題卻不得不提醒我們，在解決一部分實際問題時，我必須得先了解

7、生物上的一些知識，才能解決.但同時我們也得先了解生物數(shù)學這門學科，以及生物數(shù)學的的分支，我們才能知道生物與數(shù)學的聯(lián)系，方便我們在解決一些實際問題時，全面的考慮問題，分析問題.生物數(shù)學是數(shù)學的邊沿學科，使數(shù)學模型得以更好的建立的根本，不僅是一個學科的分支，更是學習應(yīng)用數(shù)學的一個工具.了解生物數(shù)學的發(fā)展，知道生物數(shù)學的產(chǎn)生，并知道生物數(shù)學的分支，方便更好的學習數(shù)學模型，然后才能把數(shù)學模型更好應(yīng)用在生物學中，數(shù)學模型是應(yīng)用數(shù)學中最直觀應(yīng)用于數(shù)學的東西，但數(shù)學模型中很大一部分模型和生物相關(guān)聯(lián)，所以才會出現(xiàn)生物數(shù)學.特別地，生物數(shù)學在整個數(shù)學建模中起了很重要的作用.2 文獻綜述2.1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀現(xiàn)查

8、閱到的參考文獻中，分別就數(shù)學模型做了介紹，并且對模型的應(yīng)用也做了介紹.在文獻1-4中詳細的講解了生物數(shù)學的起源、發(fā)展、分支等方面，還闡述了生物數(shù)學在其他方面的應(yīng)用，其中穿插的講解了數(shù)學模型在生物數(shù)學中地位以及生物數(shù)學的未來發(fā)展趨勢.在文獻5中主要是利用數(shù)學模型在生物序列結(jié)構(gòu)比較中的研究及其應(yīng)用進行了介紹，且主要研究了數(shù)學模型在DNA、蛋白質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的應(yīng)用.在文獻6中主要綜述了生物數(shù)學這一門學科的大概，介紹了生物數(shù)學各分支的具體內(nèi)容，還講解了生物數(shù)學模型的實例.在文獻7中強調(diào)了數(shù)學在生物學中的地位，從不同的角度詮釋數(shù)學在生物學中的應(yīng)用，以及數(shù)學模型的方法.在文獻8中從建立數(shù)學模型的步驟、初等模

9、型、優(yōu)化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面進行了介紹，詳細的講解了數(shù)學模型在不同方面的應(yīng)用.在文獻9中運用馬爾薩斯模型、logistic模型、人口統(tǒng)計模型三種方法對江蘇省人口總數(shù)進行了預測，并且對三種模型的精確度作了分析.在文獻10中依據(jù)文獻8中的課后習題進行了解答，更好理解了數(shù)學模型的應(yīng)用.在文獻11中對人口增長的原因進行了分析，并且運用不同的方法對人口增長過快的控制進行了描述，還運用偏微分方程、差分方程分別描述了人口狀態(tài)的連續(xù)模型和離散模型.在文獻12中介紹了差分方程在經(jīng)濟領(lǐng)域、動力系統(tǒng)和生態(tài)系統(tǒng)等多方面的應(yīng)用，強調(diào)了運用差分方程模型建立數(shù)學模型解決實際問題的重要性.在文獻13中通過化

10、學、物理、生物、交通、經(jīng)濟管理和工程技術(shù)中眾多數(shù)學模型的實例，建立了各種現(xiàn)實問題數(shù)學模型的主要方法和基本規(guī)律.在文獻14中找到了種群生長的數(shù)學模型，依據(jù)差分方程理論，建立了描述種群生長的非線性差分方程模型，并分析了該模型的可靠性和穩(wěn)定性.在文獻15中主要從兩個方面闡述了植物昆蟲種群模型的分類、通用表達式的表達，并針對各類型的植物種群動態(tài)模型進行了特殊說明.2.2 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀評價 文獻1-15中分別就生物數(shù)學的起源、發(fā)展、分支分別進行了闡述以及差分方程模型在生物學中的應(yīng)用等方面作了說明.但文獻中沒有對生物數(shù)學深入進行研究，以及沒有對與差分方程模型相關(guān)的的微分方程模型以及穩(wěn)定性模型在生物學中應(yīng)

11、用進行研究.2.3 提出問題現(xiàn)有文獻中只是對生物數(shù)學發(fā)展、起源、分支的各方面單獨的進行了研究，以及數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用只是進行了一方面的介紹.因此本文就以上問題把生物數(shù)學的發(fā)展、起源、分支的各方面綜合進行了分析，并且對數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用中的差分方程模型進行了全方面的研究.3 生物數(shù)學的發(fā)展 生物數(shù)學顧名思義便是生物與數(shù)學的結(jié)合，是生物與數(shù)學的邊沿學科，運用數(shù)學方法研究和解決生物學問題，并對與生物有關(guān)的數(shù)學方法進行理論研究的學科.粗略地說，它包括生物數(shù)學與數(shù)學生物學兩部分內(nèi)容，前者看重數(shù)學，后者看重生物學1.如果把生物學的分支領(lǐng)域看作一個集合，數(shù)學的分支范圍看作另一個集合，生物數(shù)學便是

12、兩個集合導出的乘積空間.因而生物數(shù)學的分支內(nèi)容十分豐富，從研究使用的數(shù)學方法區(qū)分，生物數(shù)學可分為生物統(tǒng)計學、生物信息論、生物系統(tǒng)論、生物控制論和生物方程等的分支.另外，由于生命現(xiàn)象極為復雜，從生物學中提出的數(shù)學問題往往也十分復雜，需要進行大量計算工作，因此計算機是解決生物數(shù)學問題的重要工具2.3.1生物數(shù)學發(fā)展歷史生物數(shù)學的最早起源于中國北宋科學家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的數(shù)學模型，并說明了出生嬰兒性別大致相等的規(guī)律，建立了種群動態(tài)模型.到1202年，意大利數(shù)學家斐波那契在計算書第12章的第七節(jié)中，關(guān)于家兔繁殖的問題，建立了家兔增長的動態(tài)模型.，；.后來，法國數(shù)學家棣莫弗于1730

13、年的分析集錦中第一次給出了斐波那契數(shù)列的通項公式.1963年，一些美國數(shù)學家成立了斐波那契協(xié)會，并且發(fā)行了一份專門研究他的季刊-斐波那契季刊，這標志著對斐波那契家兔增長的動態(tài)模型的性質(zhì)及應(yīng)用進入了一個新的發(fā)展階段.1604年，中國明朝的著名科學家徐光啟在其著作農(nóng)政全書中用數(shù)學的概率方法估計過和平時期人口的增長，說“頭三十年為一世”這是最早的人口增長模型.1662年，英國經(jīng)濟學家、人口統(tǒng)計學家格朗特，在他的專著生命表的自然和政治觀察中，研究了倫敦市人口的出生率、死亡率等指數(shù)與人口增長的關(guān)系，并且通過計算得出倫敦的人口大概每64年將增加一倍.且發(fā)現(xiàn)人口的出生率與死亡率相對穩(wěn)定，提出“大數(shù)恒靜定律”

14、.1693年，英國數(shù)學家、天文學家哈雷按年齡分類，以德國布雷斯勞市1687-1691年間市民的死亡統(tǒng)計數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，精確地表示了每年的死亡率.從而改進了格朗特的生命表，并定義了死亡率的含義，制訂了世界上第一份最完整、最科學的生命表.1748年，歐拉在其出版的無窮分析引論的第六章“指數(shù)與對數(shù)”中，所舉的例子中：假設(shè)人口數(shù)量關(guān)于年份滿足方程（其中為整數(shù)，增長率為正實數(shù)），若初值為，則關(guān)于的表達式可以改寫為，此模型被稱為人口幾何增長動態(tài)數(shù)學模型.1760年，瑞士數(shù)學家、醫(yī)學家、物理學家丹尼爾伯努利對天花病毒進行了分析，且建立了天花病毒動態(tài)數(shù)學模型，其中，為人口的年齡，為人口因感染上天花而死亡的概率，表

15、示感染天花病毒后痊愈的年齡為的人口數(shù)量，為每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒動態(tài)數(shù)學模型中所作感染上天花的概率與因感染上天花的概率，關(guān)于相互獨立的理想假設(shè)存在一定的局限性.1761年，法國物理學家、數(shù)學家達蘭貝爾改進了伯努利的模型，得到了更符合實際情況的動態(tài)數(shù)學模型：，其中為因感染天花而死亡的人數(shù).1798年，英國統(tǒng)計學家馬爾薩斯在人口原理中，根據(jù)百余年的人口統(tǒng)計顯示，針對人口增長規(guī)律，提出人口種群模型的基本假設(shè)：在人口自然增長的過程中，凈相對增長率的常數(shù)，從對人口增長和食品過去增長的分析中導出了微分方程模型：已知初始時刻時種群數(shù)量為,設(shè)時刻的種群數(shù)量為.經(jīng)過后，在時刻，種群的數(shù)量變?yōu)?/p>

16、.由上述基本假設(shè)，在時間內(nèi)，種群數(shù)量的增加量與當時的種群數(shù)量成比例，比例系數(shù)為，則在內(nèi)，種群的增量可寫為.再將上式兩邊同時除以，得到，當時，滿足：或.上述微分方程模型為馬爾薩斯模型3.3.2 生物數(shù)學的分支 伴隨著生物數(shù)學的快速發(fā)展，生物數(shù)學研究的內(nèi)容已經(jīng)形成一個巨大的體系，總共包含了14個分支學科 4.這些學科是按下列兩種分類方法來劃分的. 第一種是按所涉及的數(shù)學方法來分類，分為生物統(tǒng)計、生物動力系統(tǒng)和生物控制論、統(tǒng)計醫(yī)藥學、人口統(tǒng)計學等；生物動力系統(tǒng)又分為種群動力學，細胞動力學、人口動力學等. 第二種是按研究生命科學中的分支學科的不同分類，有數(shù)學生態(tài)、數(shù)量生理、數(shù)量分類、數(shù)量遺傳、傳染病動

17、力學、數(shù)量生物經(jīng)濟學、數(shù)理醫(yī)藥學、神經(jīng)科學的數(shù)學模型、分子動力學、細胞動力學、人口動力學等分支學科.其中數(shù)學生態(tài)學又可分為種群生態(tài)學、統(tǒng)計生態(tài)學、系統(tǒng)生態(tài)學等分支學科.3.2.1 生物信息學從生物信息學研究的具體內(nèi)容上說，主要有3個部分：新算法與統(tǒng)計學方法研究、各類數(shù)據(jù)的分析和解釋以及管理數(shù)據(jù)和研制有效利用的新工具.生物信息學是由分子生物學與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是由各種生物學與信息技術(shù)的組成，它的研究材料和結(jié)果是各種生物學數(shù)據(jù)，研究的方法主要有對生物學數(shù)據(jù)的搜索、收集、篩選、處理（編輯、整理、管理和顯示）以及利用（計算和模擬）.生物信息學是現(xiàn)在生命科學和自然科學的重大前沿領(lǐng)域之一

18、，并且也將是21世紀自然科學的核心領(lǐng)域之一.隨著基因組測序計劃的展開和分子結(jié)構(gòu)測定技術(shù)的突破以及網(wǎng)絡(luò)的普及，生物學數(shù)據(jù)庫逐漸成熟起來.伴隨著生物研究中數(shù)學模型和算法的不斷完善，擁有許多強有力的生物信息分析工具，如進化分析、聚類分析等的產(chǎn)生.部分有效的分析工具極大地依賴于生物序列和結(jié)構(gòu)的比較.序列和結(jié)構(gòu)的比較是最重要和最常用的原始操作，是許多其它復雜操作的基礎(chǔ) 5.3.2.2 生物統(tǒng)計生物統(tǒng)計是生物數(shù)學的一個重要分支，在生物界一直受到普遍重視.它在醫(yī)學界成為了衛(wèi)生統(tǒng)計的主要內(nèi)容，目前主要從事統(tǒng)計檢驗的應(yīng)用和改進有關(guān)logistic回歸模型方面的研究和應(yīng)用生存分析以及研究人的壽命表的人口統(tǒng)計等方面

19、.其中運用多元統(tǒng)計分析來研究生物現(xiàn)象，成為生物統(tǒng)計發(fā)展的一個方向.3.2.3 數(shù)量遺傳學 數(shù)量遺傳學的分析方法，在動物遺傳育種方面，提供有價值的育種參數(shù)；在作物育種方面，對主要作物的一些基本數(shù)量性狀的遺傳規(guī)律進行分析，現(xiàn)在趨向于分析一些地區(qū)性作物的一些特定的性狀；在試驗設(shè)計上更加接近于信息量較大的雙列雜交設(shè)計，并且也是林木遺傳育種的一個分析手段.3.2.4 數(shù)學生態(tài)學 數(shù)學生態(tài)學不僅是生物數(shù)學的分支，也是生態(tài)學的一部分.從使用的數(shù)學工具來分有理論生態(tài)學, 統(tǒng)計生態(tài)學與系統(tǒng)生態(tài)學. 理論生態(tài)學主要是使用隨機微分方程,差分方程, 線性代數(shù)，常微分方程和隨機過程等數(shù)學工具來設(shè)計與實際相近的數(shù)學模型；

20、系統(tǒng)生態(tài)學是采用運籌學與系統(tǒng)分析理論等數(shù)學工具來研究生態(tài)系統(tǒng)；統(tǒng)計生態(tài)學主要是數(shù)理生態(tài)學與統(tǒng)計學的相結(jié)合,其中包括空間分布型,抽樣技術(shù)與多元分析等；如果就研究的對象來分,分為動物數(shù)學生態(tài)學, 昆蟲數(shù)學生態(tài)學與植物數(shù)學生態(tài)學.3.2.5 數(shù)理醫(yī)藥學 數(shù)理醫(yī)藥學是研究生物細胞的化學作用建立數(shù)學模型來研究，是生命科學的圍觀研究，例如：在毒理生態(tài)學中利用宏觀和微觀數(shù)學模型來研究環(huán)境污染對生物種群的影響.數(shù)理醫(yī)藥學主要利用數(shù)學模型研究傳染病的方式、發(fā)展和傳染過程，已成為生物數(shù)學的分支.例如：對現(xiàn)有的傳染病模型作改進，使其更隨機化，更符合實際，并且建立了帶有年齡結(jié)構(gòu)的種群的長期和非長期免疫型的傳染病模型.

21、3.3 數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位 在數(shù)學的發(fā)展史中，數(shù)學一直都有著自己的理論體系.第一是基礎(chǔ)數(shù)學，第二是應(yīng)用數(shù)學，第三是計算數(shù)學.生命是數(shù)字的游戲，隨著近代生物學的高速發(fā)展，數(shù)學在生命科學的作用愈發(fā)突出，無論是微觀方向的發(fā)展，還是宏觀方向的研究，都必須有精密的數(shù)學計算作為推動其前進的不懈動力6.數(shù)學模型：為了研究的目的而建立并能夠表現(xiàn)和描述真實世界某些現(xiàn)象、特征和狀況的數(shù)學問題.數(shù)學模型能定量地描述生命物質(zhì)運動的過程，一個復雜的生物學問題借助數(shù)學模型能轉(zhuǎn)變成一個數(shù)學問題，通過對數(shù)學模型的邏輯推理、求解和運算，就能夠獲得客觀事物的有關(guān)結(jié)論，達到對生命現(xiàn)象進行研究的目的7.4 數(shù)學模型在生物學中

22、的應(yīng)用 數(shù)學模型中有初等模型、簡單優(yōu)化模型、數(shù)學規(guī)劃模型、微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型等，在生物學中應(yīng)用較廣泛的是微分方程模型、差分方程模型、穩(wěn)定性模型，并應(yīng)用于種群增長、疾病預測與控制、種群競爭、種群依存等方面.4.1 微分方程模型微分方程是描述未知函數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，形如.在數(shù)學模型中需要描述實際對象的某些特性隨時間或空間的演變的過程，分析它的變化規(guī)律、預測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時，就需要建立的對象的動態(tài)模型8.微分方程模型應(yīng)用于經(jīng)濟、戰(zhàn)爭、醫(yī)學等方面，在生物學中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于傳染病的控制與防范，人口的控制和預測，種群增長的預測，細胞增長速率等方面.下

23、面介紹人口的預測和控制：指數(shù)增長模型由英國人口學家馬爾薩斯提出的，記時刻的人口為，且視為連續(xù)，可微的函數(shù)，并令初始時刻的人口為，人口增長率為常數(shù)，即單位時間內(nèi)的增量，得微分方程 =， （1） 則得： （2）阻滯增長模型-Logistic模型：人口增長到一定數(shù)量后會下降，主要是受到環(huán)境條件、自然資源等因素的影響的阻滯作用，并且隨著人口的增長，阻滯作用越大，阻滯作用主要體現(xiàn)在對人口增長率的影響上，使得隨著人口數(shù)量的增加而下降.將表示為的函數(shù)，方程寫作 （3）假設(shè)為的線性函數(shù)，即 （4）其中，為為自然資源和環(huán)境條件所容納的最大人口數(shù)量，將（4）式代入（3）得 （5）其中等式右邊體現(xiàn)人口自身的增長趨勢

24、，體現(xiàn)環(huán)境和資源對人口增長的阻滯作用.例1 江蘇省是全國主要的經(jīng)濟發(fā)展中心，其發(fā)展變化將帶動整個國民經(jīng)濟的發(fā)展變化，土地面積僅占全國的1.06%，人口卻占全國的5.72%，依據(jù)江蘇省1978-2004年的總?cè)丝诒?，分析江蘇省1978-2000年的數(shù)據(jù)及預測江蘇省規(guī)劃期內(nèi)的總?cè)丝跀?shù)9.江蘇省1978-2004年歷年總?cè)丝诒恚ㄈf人）年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)年份總?cè)丝跀?shù)19785834.3319876348.00 19967110.16 19795892.5519886438.27 19977147.86 19805938.1919896535.85 19987182.46 19816010.241

25、9906766.90 19997213.13 19826088.9419916843.70 20007327.24 19836134.9919926911.20 20017354.92 19846171.4319936967.27 20027382.97 19856213.4819947020.54 20037405.82 19866269.9019957066.02 20047432.50 表1 江蘇省1978-2004年歷年人口表模型分析：江蘇省總?cè)丝趶?978年的5834.33萬人到2004年的7432.5萬人，增加了1598.17萬人，平均年增長率為9.4%.江蘇省1978年至2004

26、年主要表現(xiàn)為：總?cè)丝跀?shù)逐年增長；各年之間的人口增長相對平穩(wěn).1978年-1989年，年平均增長率9.4%；1990年，年平均增長率為35.4%；1991-2003年，年平均增長率為6.7%；2.1-2.4年人口年增長率為3.8%、3.5%、3.4%、3.6%，四年平均增長率為3.6%.馬爾薩斯人口模型建立：模型假設(shè)：1.人口增長率是常數(shù)； 2.隨著時間的增加，人口按指數(shù)規(guī)律無線增長.模型構(gòu)成：把1978年-2000年作為統(tǒng)計數(shù)據(jù)，2001-2004年的數(shù)據(jù)作為驗證.江蘇省1978-2000年的年平均人口增長率為7.65%，2004-2010年人口增長率為5.00%，2010-2020年人口增長

27、率為2.35%.則代入馬爾薩斯人口模型（2） （2）則 江蘇省2001-2020年人口預測值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017477.533201110759.2520027751.628201211015.0920038035.771201311277.0120047785.525201411545.1620058184.697201511819.6820068604.335201612100.7320079045.489201712388.4720089509.261201812683.0520099996.811201912984.63201010509.36202013293.38 表

28、2 馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預測值圖1馬爾薩斯模型對江蘇省2001-2020年人口預測值由馬爾薩斯模型算出的江蘇省2001-2020年各年的人口數(shù)在上表和圖表中顯示出來.Logistic人口阻滯模型：模型構(gòu)成：將微分方程模型（5）化為： （6）將江蘇省人口數(shù)據(jù)代入得出、兩參數(shù)，則得如下方程 （7）代入值： 經(jīng)過計算得表3和圖2的結(jié)果江蘇省2001-2020年人口預測值年份人口總數(shù)年份人口總數(shù)20017335.30 20117720.33 20027380.92 20127750.91 20037424.85 20137780.23 20047467.13 20147808.

29、20057507.79 20157835.25 20067546.89 20167861.02 20077584.46 20177885.70 20087620.54 20187909.32 20097618.36 20197931.92 20107688.43 20207953.53 表3 logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預測圖2 logistic模型對江蘇省2001-2020年人口預測值由此可以看出Logistic阻滯模型精確點，所以江蘇省2020年預測人口為7953.53萬人（數(shù)學模型在人口預測中的應(yīng)用-以江蘇省為例）.4.2 差分方程模型差分方程又稱遞推關(guān)系式，是含

30、有位置函數(shù)及其差分，但不含有導數(shù)的方程，且滿足該方程的函數(shù)稱為差分方程，差分方程是微分方程的離散化.在實際問題中，遇到變量是離散的，就得考慮差分方程模型，在種群的控制與預測中，用到的就是差分方程模型，因為其中的時間和年齡均為離散量10.差分方程模型應(yīng)用于醫(yī)學CT、市場經(jīng)濟分析、產(chǎn)品的投入與產(chǎn)出等方面，同微分方程模型一樣在生物學中的應(yīng)用十分廣泛，可以用于按年齡分組的人口模型、種群的增長變化等方面11.下面介紹差分方程模型當中比較典型的按年齡分組的種群模型-leslie模型：將種群按年齡大小等間隔分成個年齡組，記時段第個年齡組的種群數(shù)量為，.模型假設(shè)：1.假設(shè)種群的繁殖率和死亡率不隨時段變化，只與

31、年齡組有關(guān)； 2.第年齡組的繁殖率為，即每個個體在1個時段內(nèi)繁殖的數(shù)量； 3.第年齡組的死亡率為，即1個時段內(nèi)死亡數(shù)量的比例； 4.記為存活率.模型構(gòu)成：時段第年齡組（）的數(shù)量是時段第年齡組存活下來的數(shù)量.得：， （1）， （2）記種群數(shù)量在時段按年齡組的分布向量為： （3）由繁殖率和存活率構(gòu)成的矩陣 （4）則將（1），（2），（4）綜合為 ， （5）當和已知是，可以預測種群數(shù)量在時段按年齡組的分布為 （6）Leslie模型的穩(wěn)定狀態(tài)分析：（1）矩陣存在正單特征根，特征向量（2）若矩陣存在則，且，是由， ，決定的常數(shù).因為，對角化，則.當充分大使，種群的年齡結(jié)構(gòu)和數(shù)量做如下分析：1），種群按年

32、齡組的分布趨向穩(wěn)定，稱穩(wěn)定分布，與初始分布無關(guān).2），各年齡組種群數(shù)量按同一倍數(shù)增減，稱固有增長率.3）時，,各年齡組種群數(shù)量不變.4），存活率是同一時段的與之比.例2 設(shè)一群動物最高年齡為15歲，每5歲一組，分成3個年齡組，各組的繁殖率為，存活率為，開始時3組各有1000只，求15年后各組分別有多少只，以及時間充分長以后種群的增長率和按年齡組的分布.解：先求矩陣 則則固有增長率按年齡組的分布為:各組15年后分別有14735只、1375只、875只.固有增長率為1.5，穩(wěn)定的按年齡組的分布為.4.3 穩(wěn)定性模型用微分方程建立的動態(tài)模型來描述動態(tài)過程的變化規(guī)律，但是對于某些問題，并不需要研究動態(tài)

33、過程的每個瞬時的動態(tài)，而僅僅是要求研究某種狀態(tài)下的特征，特別是足夠長的時間內(nèi)動態(tài)過程的變化趨勢.穩(wěn)定性方程模型應(yīng)用于捕魚業(yè)、軍事競爭、經(jīng)濟增長穩(wěn)定等方面，在生物學中的應(yīng)用于種群的相互競爭、種群的相互依存、食餌與捕食者等方面12.在建模的開始先了解二階微分方程的平衡點和穩(wěn)定點的求解過程. 的實根，為方程的平衡點，記作.如果存在某個領(lǐng)域，使方程的解為，.從這個領(lǐng)域內(nèi)的某點出發(fā)，滿足，則稱平衡點是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的.用直接法求平衡點的穩(wěn)定性系數(shù)矩陣為 在平衡點的穩(wěn)定性，假定的行列式 的根決定，則可以寫成 若，則平衡點穩(wěn)定；若或，則平衡點不穩(wěn)定.依據(jù)差分方程模型求穩(wěn)定性的方法建立種群競爭模型：兩個

34、種群見存在著相互競爭、依存、捕食關(guān)系，當兩個種群為了爭奪優(yōu)先的資源而進行生產(chǎn)斗爭，其結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強的種群達到環(huán)境容許的最大數(shù)量15.模型假設(shè)：1.兩個種群獨自生存在一個自然環(huán)境中； 2.兩個種群的數(shù)量演變遵循Logistic規(guī)律.模型構(gòu)成：記，分別為兩個種群的數(shù)量，是他們的固有增長率，,是他們的最大容量，則種群一 (1)(1)式表示種群一在原有資源下，無種群二的種群數(shù)量.當種群二出現(xiàn)時，要考慮種群二消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響.于是得種群二的增長方程 (2)其中的意義是：單位數(shù)量的種群二（相對）消耗的供給種群一的食物量為單位數(shù)量(相對)消耗的供給種群一的食物量

35、的.則種群二的方程為 (3) 和的意義相對應(yīng).穩(wěn)定性分析：將（2），（3）解代數(shù)方程組 (5)得4個平衡點 只有當平衡點位于第一象限時才有實際意義，因此對于而言，只有，同時大于1，或者同時小于1才滿足.按照差分方程判斷平衡點和穩(wěn)定性的方法，計算 得下表4 平衡點 穩(wěn)定條件不穩(wěn)定表4 種群競爭模型的平衡點及穩(wěn)定性表格解釋：1. 意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭弱于種群一；意味著種群在競爭資源時，種群一的競爭強于種群二，即趨向于平衡點.2. 意味著種群在競爭資源時，種群二的競爭強于種群一；意味著種群在競爭資源時，種群一的競爭弱于種群二，即趨向于平衡點.3. ，意味著在競爭中種群一和種群二相對于

36、對方都比較弱，即趨向于平衡點.4.，意味著在競爭資源時，種群一和種群二相對于對方都比較強，但這時的平衡點不穩(wěn)定. 例3 一個島嶼上棲居著食肉動物和哺乳動物，又長著茂盛的植物.爬行動物以哺乳動物為食物，哺乳動物又依賴植物生存.在適當假設(shè)下建立三者之間關(guān)系的模型，求平衡點. 解：設(shè)分別表示植物、哺乳動物、食肉動物在時刻的數(shù)量.假設(shè)不考慮植物、哺乳動物對自身的阻滯作用.設(shè)為植物的固有增長率，而哺乳動物的存在使植物的增長率減少，建立植物數(shù)量的模型：意味著哺乳動物消耗植物的能力.哺乳動物依靠植物生存，離開植物無法生存，設(shè)植物的死亡率，則哺乳獨自存在時： 植物存在為哺乳動物提供了食物，但是食肉動物使哺乳動

37、物的數(shù)量減少，建立哺乳動物數(shù)量的模型： 其中意味著植物對哺乳動物的供養(yǎng)能力，意味著食肉動物捕食哺乳動如的能力.食肉動物離開哺乳動物無法生存，設(shè)哺乳動物的死亡率為，則食肉動物獨自存在時有： 哺乳動物的存在時為食肉動物提供食物，于是建立食肉動物的數(shù)量模型： 意味著哺乳動物對食肉動物的供養(yǎng)能力.綜上所述，建立如下微分方程 得微分方程的平衡點得： .5 結(jié)論5.1 主要發(fā)現(xiàn) 本文探討了生物數(shù)學的發(fā)展，生物數(shù)學的分支以及數(shù)學模型在生物數(shù)學中的地位，接著通過數(shù)學模型中的微分方程模型、差分方程模型以及穩(wěn)定性模型更好的了解數(shù)學模型在生物學中的應(yīng)用.并在微分方程模型中運用江蘇省的歷年總?cè)丝谶M行人口的預測，在差分方程模型中對按年齡分布的種群進行了分析，以及在穩(wěn)定性模型中對種群競爭關(guān)系的分析.5.2 啟示 從以上知道了生物數(shù)學的產(chǎn)生，發(fā)展，以及分支，并且還知道了微分方程模型的應(yīng)用、差分方程模型的應(yīng)用以及穩(wěn)定性模型的應(yīng)用.了解數(shù)學模型在生物當中的重要性，方便在以后的學習生活中，正確應(yīng)用數(shù)學模型思想解決現(xiàn)有的實際問題，使數(shù)學模型在生物數(shù)學中能應(yīng)用的更廣泛、更寬廣.5.3 局限性本文主要就生物數(shù)學的產(chǎn)生、發(fā)展、分支以