第六章 頻響函數(shù)脈沖響應(yīng)函數(shù)

1、 第六章 線性系統(tǒng)的動(dòng)特性分析第六章 線性系統(tǒng)的動(dòng)特性分析6-1 頻率響應(yīng)函數(shù) 6-2 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 6-3 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系 6-4 卷積定理 本章將討論振動(dòng)系統(tǒng)的激勵(lì)與響應(yīng)關(guān)系，且僅限于討論穩(wěn)定的常參數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)。 常參數(shù)系統(tǒng)（非時(shí)變系統(tǒng)）：振動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)（如質(zhì)量、剛度和阻尼等）不隨時(shí)間而變化。 線性系統(tǒng):是指適用疊加原理的系統(tǒng)。 若系統(tǒng)在激勵(lì)x1作用下,其響應(yīng)為y1； 在激勵(lì)x2作用下，其響應(yīng)為y2； 則系統(tǒng)在激勵(lì)ax1與bx2的聯(lián)合作用下， 其響應(yīng)為ay1+by2。 系統(tǒng)的線性假設(shè)可以使問題的分析大為簡化，當(dāng)系統(tǒng)受到聯(lián)合激勵(lì)時(shí)，可以分別確定各個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用時(shí)引

2、起的響應(yīng)，然后把它們疊加起來，便得到系統(tǒng)的總響應(yīng)。 常參數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可用常系數(shù)線性微分方程來描述。 單自由度系統(tǒng)可用一個(gè)二階常微分方程來描述； 多自由度系統(tǒng)則需用多個(gè)互相耦合的二階常微分方程來描述，其方程個(gè)數(shù)與自由度數(shù)相同。如圖所示的單輸入和單輸出的常參數(shù)系統(tǒng)，其響應(yīng)y(t)與激勵(lì)x(t)之間的關(guān)系，可用如下一般形式的線性微分方程來描述：常參數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)常參數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)y(t)輸出（響應(yīng)）輸出（響應(yīng)）x(t)輸入（激勵(lì)）輸入（激勵(lì)）xbdtdxbdtxdbdtxdbyadtdyadtydadtydammmmmmnnnnnn0111101111激勵(lì)x(t)可能是力、位移、速度或加速度

3、等；響應(yīng)y(t)可能是力、位移、速度、加速度或應(yīng)力等。6-16-1 頻率響應(yīng)函數(shù) 頻率響應(yīng)法是描述線性系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的一種常用方法。 對(duì)于常參數(shù)線性系統(tǒng)，當(dāng)激勵(lì)是穩(wěn)態(tài)簡諧輸入時(shí)，其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也一定是具有相同頻率的簡諧輸出，但其幅值和相位有所改變： 對(duì)常參數(shù)線性振動(dòng)系統(tǒng)，采用頻率響應(yīng)法或脈沖響應(yīng)法來確定響應(yīng)與激勵(lì)之間的關(guān)系非常方便，上述兩種方法中的頻率響應(yīng)函數(shù)與脈沖響應(yīng)函數(shù)互為傅里葉變換的關(guān)系。0( )sinx txt0( )sin()y tyt將輸入簡諧函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)穩(wěn)態(tài)輸出則可表示為復(fù)數(shù)H()與輸入x0ejt的乘積0( )j tx tx e0( )( )j ty tHx e0( )sinx t

4、xt0( )sin()y tyt( )( )jHHeH()又可寫成復(fù)指數(shù)形式tjjtjjtjexexyeeyeyty0000)(0)(|H()|表示復(fù)數(shù)H()的模，表示其幅角。于是: 復(fù)數(shù)H()描述了線性系統(tǒng)在頻率域上的動(dòng)態(tài)特性，稱為頻率響應(yīng)函數(shù)，簡稱頻響函數(shù)。頻率響應(yīng)函數(shù)是線性動(dòng)力系統(tǒng)的本身特性，與外加激勵(lì)(輸入)無關(guān)。用復(fù)數(shù)H()表示輸出與輸入的振幅比y0/x0和相位，其模代表了振幅比，幅角即為輸出與輸入之間的相位差，前面的負(fù)號(hào)表示輸出比輸入滯后。頻率響應(yīng)函數(shù)是系統(tǒng)對(duì)單位簡諧輸入的響應(yīng)。0( )( )j ty tHx etjjtjjtjexexyeeyeyty00000)(若已知系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)

5、微分方程，則將x(t)與y(t)代入運(yùn)動(dòng)微分方程并消去ejt項(xiàng)，可得到H()的代數(shù)方程。求解此代數(shù)方程，便可得到復(fù)數(shù)頻率響應(yīng)函數(shù)H()。解：對(duì)于剛度為k的線性彈簧和阻尼系數(shù)為c的線性阻尼器，可得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程例5.1 圖示彈簧阻尼器系統(tǒng)。假設(shè)在質(zhì)量為m的小車上作用激勵(lì)力x(t)，小車的位移響應(yīng)為y(t)。試確定響應(yīng)對(duì)激勵(lì)的振幅比和相位角。)(txkyycym 對(duì)恒幅的正弦激勵(lì)x(t)=x0sint，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是具有相同 頻 率 的 恒 幅 正 弦 波 ， 但 相 位 滯 后 角 ， 即y(t)=y0sin(t-)0( )j tx tx e設(shè)：)(0)(tjeyty帶入方程：)(txkyycy

6、m 2()()()00002()00()()jtjtjtj tjtj tjmy ej cy eky ex ekmjcy ex e()00220020020011( )( )1( )1( )(cossin )( )jtj tjjy ex ekmjcy tx tkmjcy exkmjcy eyy tHjx txxkmjc頻響函數(shù)：)()()()()()(1)(22222222jBAcmkcjcmkmkjcmkH實(shí)部A()和虛部B()皆為實(shí)函數(shù)，它們與的關(guān)系曲線分別稱為頻率響應(yīng)函數(shù)的實(shí)頻特性和虛頻特性。H()的模與相位分別稱為幅頻特性和相頻特性。222)()(1)(cmkH2tanmkc222222

7、22001( )()()()()( )( )(cossin )( )Hkmjckmcjkmckmcyy tHjx tx 除了頻率響應(yīng)函數(shù)(對(duì)單位簡諧輸入的響應(yīng))也可以用脈沖響應(yīng)函數(shù)來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，它定義為系統(tǒng)對(duì)單位脈沖（即沖量）輸入的瞬態(tài)響應(yīng)。0 (0) ( ) (0) ttt6-2 單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 單位脈沖可以用狄拉克函數(shù)表示00( )( )1t dtt dt若系統(tǒng)激勵(lì)x(t)的作用時(shí)間非常短，可視為理想脈沖)(t量綱:時(shí)間1當(dāng)x(t)代表力時(shí)，則表示一次錘擊或一個(gè)脈沖沖量，I具有力乘時(shí)間的量綱。 ( )( )x t dtIt dtI( )( )x tIt“沖量”一詞原只用于力沖量，

8、在此進(jìn)行擴(kuò)展，x(t)可代表任意一種輸入?yún)⒘?，隨x(t)代表的物理量不同，I的量綱也不同。如當(dāng)x(t) 代表加速度時(shí)， I的量綱為加速度時(shí)間自讀此頁系統(tǒng)對(duì)在 t=0 時(shí)作用的單位脈沖所產(chǎn)生的響應(yīng)h(t)，稱為單位脈沖響應(yīng)函數(shù)。如圖所示，由于系統(tǒng)在沖量作用之前是靜止的，故當(dāng)t0 時(shí)上式變?yōu)?mycyky這是彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)微分方程。表示衰減振動(dòng)，在小阻尼情況下，其通解為( )sin()pty tAeqt0mycykymkp pq21mkpmc22kmc2兩種初始條件分別為： (1)當(dāng)t0時(shí)，系統(tǒng)是靜止的(0 )(0 )0yy (2) 在t=0的鄰域內(nèi)，單位脈沖力(t)引起位移與速度:

9、(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt(0 )0y1(0 )ym( )sin()pty tAeqt1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh tt將上述初始位移與初始速度帶入方程：0mqA1求得：故在單位脈沖力作用下，圖示系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為0(0)sin( *0)sinpyAeqA(0)(sin()ptyAeqt頻率響應(yīng)函數(shù)H()描述了系統(tǒng)對(duì)單位簡諧輸入的響應(yīng)脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)描述了系統(tǒng)對(duì)單位脈沖輸入的響應(yīng)兩者分別在頻域和時(shí)域描述了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。6-36-3單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系單位脈沖響應(yīng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)的關(guān)系 1sin (0)( )0 (

10、0)pteqttmqh tt21( )Hkmjc兩者都取決于系統(tǒng)參數(shù)，之間有何內(nèi)在聯(lián)系假定系統(tǒng)穩(wěn)定，即受激勵(lì)前是靜止的，且在脈沖作用之后，其運(yùn)動(dòng)又逐漸衰減，則系統(tǒng)對(duì)單位脈沖輸入的響應(yīng)函數(shù)h(t)是絕對(duì)可積的，即滿足收斂條件：( )0h t dt 單位脈沖輸入 脈沖響應(yīng)函數(shù)分別作傅里葉變換( )( )( )1j tj tXx t edtt edt( )( )( )j tj tYy t edth t edt)()(ttx)()(thty對(duì)于非周期輸入信號(hào)x(t)，可將其利用傅立葉變換展成一系列諧和分量之和。分別考慮各個(gè)諧和分量對(duì)系統(tǒng)的作用結(jié)果，然后把它們疊加起來，就得到系統(tǒng)的總響應(yīng)。對(duì)于任意輸入信

11、號(hào)x(t)，其頻譜X()連續(xù)變化，取其由到d頻帶內(nèi)的頻率分量X() d討論，與之對(duì)應(yīng)的在同一頻帶內(nèi)的輸出y(t)的頻率分量為Y() d對(duì)應(yīng)簡諧分量輸入的時(shí)域波形1( )( )2j tx tXd e與此簡諧輸入相對(duì)應(yīng)的簡諧輸出的時(shí)域波形1( )( )2j ty tYd e對(duì)于簡諧輸入x(t)=x0ejt來說，與其相應(yīng)的輸出為則輸出簡諧分量y(t)又可表示為1( )( )( )2j ty tHXd e1( )( )2j tx tXd e1( )( )2j ty tYd e所以X()、Y()和H()三者之間的重要關(guān)系式為( )( )( )YHX( )( )( )YHXor( )( ) ( )y tH

12、x t( )( )( )YHX此式對(duì)任一頻率分量都成立，則對(duì)于任意非周期輸入來說，頻率響應(yīng)函數(shù)等于輸出的傅里葉變換與輸入的傅里葉變換之比。根據(jù)單位脈沖輸入和脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換：( )1( )( )j tXYh t edt將它們代入到X()、Y()和H()三者的關(guān)系式( )( )j tHh t edt)()(HY( )( )j tHh t edt說明頻率響應(yīng)函數(shù)是脈沖響應(yīng)函數(shù)的傅里葉變換。而脈沖響應(yīng)函數(shù)是頻率響應(yīng)函數(shù)的傅里葉逆變換1( )( )2j th tHed1sin (0)( )0 (0)pteqttmqh ttcmkH21)(可證明上述兩式分別為傅立葉變換對(duì)可證明上述兩式分別為傅立

13、葉變換對(duì)6-4 卷積定理 本章12節(jié)討論了系統(tǒng)對(duì)單位簡諧激勵(lì)和單位脈沖激勵(lì)的響應(yīng)。以此為基礎(chǔ)應(yīng)用頻率響應(yīng)法或脈沖響應(yīng)法分析線性系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)。( )x t dt 若激勵(lì)x(t)是任意已知的非周期函數(shù)，則在采用頻率響應(yīng)法時(shí)，不能將其展開成傅立葉級(jí)數(shù)，而要采用積分形式，對(duì)x(t)作傅里葉變換。只要輸入x(t)絕對(duì)可積，即則其傅里葉變換存在X()的物理意義是非周期函數(shù)激勵(lì)x(t)的各個(gè)簡諧分量的幅值密度。對(duì)于每個(gè)頻率的簡諧分量，將分別存在下式：( )( )j tXx t edt( )( )( )YHXY()是響應(yīng)y(t)的傅里葉變換，取其逆傅里葉變換：11( )( )=( )( )22j tj

14、 tj ty tYedHx t edt ed對(duì)于任意激勵(lì)x(t)，只要知道系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H()，即可得到相應(yīng)的響應(yīng)y(t)，但一般按上式對(duì)積分是很困難的，于是在確定系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng)時(shí)，一般不采用頻率響應(yīng)法。 應(yīng)用脈沖響應(yīng)法計(jì)算任意激勵(lì)下的響應(yīng)。對(duì)于圖示任意輸入x(t)，可以把它分解成一系列的強(qiáng)度為 x()d 脈沖單元。將系統(tǒng)對(duì)各個(gè)脈沖單元的響應(yīng)疊加起來，便得到對(duì)x(t)的總響應(yīng)y(t)。 11( )( )=( )( )22j tj tj ty tYedHx t edt edt=0時(shí)刻，單位脈沖輸入的響應(yīng)為h(t)。t=時(shí)刻，單位脈沖輸入的響應(yīng)則為h(t-)，對(duì)于強(qiáng)度為x()d的脈沖輸入

15、，其響應(yīng)為單位脈沖輸入響應(yīng)h(t-)的x()d倍 ( ) ()xdh t應(yīng)用疊加原理，把對(duì)t以前的每個(gè)脈沖單元輸入的響應(yīng)加起來，便得到t時(shí)刻的總響應(yīng)。如果脈沖單元分得很細(xì)，則極限情況下求和便變成積分。( )( )()ty txh td該形式的積分稱為卷積積分或杜哈美(Duhamel)積分對(duì)于線性系統(tǒng)來說，該定理為最重要的輸入輸出關(guān)系式之一。這是卷積積分的第一種形式。卷積積分的第二種形式 在卷積積分式中，積分下限，表示包含t時(shí)刻以前的所有脈沖單元，積分上限實(shí)際可以擴(kuò)展到 ，因?yàn)閠以后的輸入對(duì)時(shí)刻t處的響應(yīng)不產(chǎn)生影響dthxty)()()(0)()(dthxtt0)(th1sin (0)( )0

16、(0)pteqttmqh tt()1sin () (0)()0 (0)p teq ttmqh tt卷積積分的第三種形式0( )() ( )y tx thd t令： 表示脈沖作用時(shí)間與計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)刻t之間的時(shí)間推移。對(duì)第一種形式進(jìn)行變量置換( )( )()ty txh td第一種形式)( )()()(0dhtxty去掉負(fù)號(hào)調(diào)換積分限第三種形式卷積積分的第四種形式( )() ( )y tx thd0( )() ( )y tx thd第三種形式 t0t當(dāng)相當(dāng)于意味著脈沖輸入在計(jì)算響應(yīng)的時(shí)刻之后0)(h把第三種形式的下限擴(kuò)展到卷積積分的四種形式相互等價(jià)采用分析方法計(jì)算卷積積分一般都比較繁瑣。對(duì)于某些

17、簡單函數(shù)，用圖解法計(jì)算卷積積分卻很方便，并可便于理解卷積積分的真實(shí)意義。(此部分閱讀)( )( ) ()( )( )y txh tdx th t卷積積分的圖解算法設(shè)有兩個(gè)時(shí)間函數(shù)x(t)和h(t)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式分別為1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt它們的圖形如圖所示，在圖中將變量 t 換成變量。1 (0) ( )0 (0 ) tTx ttor tT (0) ( )0 (0) ateth tt圖解計(jì)算的步驟如下:第一步：折轉(zhuǎn)。即把h()圖形繞縱軸翻轉(zhuǎn)180o，這樣就得到了h(-)的圖形。第二步：平移。即把所得的圖形往右移一個(gè)t 的距離，則得h(t-)的圖形。第三步：相乘。即把x()和h(t-)兩個(gè)圖形中對(duì)應(yīng)的時(shí)刻的函數(shù)值相乘。第四步：積分。即求出h(t-)和x()乘積曲線下的面積，為t時(shí)刻的卷積值。則可畫出響應(yīng)y(t)的曲線。時(shí)域卷積定理（理解）