數(shù)據(jù)插值與曲線擬合

1、數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 1第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合大多數(shù)數(shù)學建模問題都是從實際工程或生活中提煉出來的，往往帶有大量的離散的實驗觀測數(shù)據(jù)，要對這類問題進行建模求解，就必須對這些數(shù)據(jù)進行處理。 其目的是為了從大量的數(shù)據(jù)中尋找它們反映出來的規(guī) 律。用數(shù)學語言來講，就是要找出與這些數(shù)據(jù)相應的變量之間的近似關(guān)系。 對于非確定性關(guān)系， 一般用統(tǒng)計分析的方法來研究，如回歸分析的方法。 對于確定 性的關(guān)系，即變量間的函數(shù)關(guān)系， 一般可用數(shù)據(jù)插值與擬合的方法來研究。 本講學習數(shù)據(jù)插值與擬和的基本方法和相關(guān)的MATLAB命令。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 2第七章第七章

2、 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合1 引例引例擬合并不要求函數(shù)圖像通過這些點，但要求在某種準則下，該函數(shù)在這些點處的函數(shù)值與給定的這些值能最接近。簡單地講，插值是對于給定的n組離散數(shù)據(jù)，尋找一個函數(shù)，使該函數(shù)的圖像能嚴格通過這些數(shù)據(jù)對應的點。例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 3第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 這就是一個插值問題。 利用所得的函數(shù)來求x=175處 y 的值。我們可以先確定插值函數(shù)，再需要說明的是這3組數(shù)據(jù)事實上已經(jīng)反映出 x與y的 的函數(shù)

3、關(guān)系為： xy 關(guān)系是不明顯的。 ，當數(shù)據(jù)量較大時，這種函數(shù)也就是說，插值方法在處理數(shù)據(jù)時， 不論數(shù)據(jù)本身對應的被插值函數(shù) )(xfy 是否已知， 它都要找到一個通過這些點的插值函數(shù)，此函數(shù)是被 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 4第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合插值函數(shù)的一個近似，從而通過插值函數(shù)來計算被插值函數(shù)在未知點處的近似值。 對于所構(gòu)造的插值函數(shù)要求相對簡單，便于計算，一般選用多項式函數(shù)來逼近。例2：觀測物體的直線運動，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運動方程。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 5第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例2：觀測物體的直線運動，得

4、以下數(shù)據(jù)，求物體的運動方程。這是一個擬合問題，其明顯的特征是與數(shù)據(jù)對應的 函數(shù)未知，要找到一個函數(shù)來比較準確地表述這些數(shù) 據(jù)蘊藏的規(guī)律。 顯然，我們找出的函數(shù)不一定會通過 這些點，也沒有必要，因為觀測數(shù)據(jù)本身并不是完全準確的。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 6第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2 數(shù)據(jù)插值的基本原理數(shù)據(jù)插值的基本原理一般地，對于給定的n+1組數(shù)據(jù) ( ,)iixy(0,1,2, )in), 2 , 1 , 0(nixi互不相等，確定一個n次多項式 )(xPn使 ), 2 , 1 , 0()(niyxPiin。其中 )(xPn稱為插值函數(shù)， ( ,)iixy為

5、插值節(jié)點， )max,min(,00iniinixbxaba區(qū)間， 為插值), 2 , 1 , 0()(niyxPiin稱為插值條件。當n=1時為線性插值。 )(1xP表示過兩點 ),(),(1100yxyx、的直線方程，即 定理：滿足n+1個插值節(jié)點的次數(shù)不超過n次的多多項式存在且唯一。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 7第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合稍加整理，即得 101001011)(yxxxxyxxxxxP記 1010)(xxxxxl0101)(xxxxxl則它們滿足： ) 1 , 0,(10)(jijijixlji稱 )(xli為基函數(shù)， 那么 )(1xP是兩個

6、基函數(shù)的線性組合,也稱為Lagrange 線性插值函數(shù)。)()(0010101xxxxyyyxP數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 8第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合當 n=2 時為拋物插值。 )(2xP表示過三點 ),(),(),(221100yxyxyx、的拋物線方程，)()()(2010210 xxxxxxxxxl)()()(2101201xxxxxxxxxl)()()(0212012xxxxxxxxxl使它們滿足)2 , 1 , 0,(10)(jijijixlji則 )(2xP可表示為三個基函數(shù)的線性組合，即 仿照線性插值的情形取基函數(shù)數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slid

7、e 9第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2211002)()()()(yxlyxlyxlxP也稱為Lagrange 拋物插值函數(shù)。一般地，滿足插值條件的n次多項式為：iniinyxlxP0)()(其中基函數(shù)滿足), 2 , 1 , 0()()()(0,0,nixxxxxlnjijjinjijji上述多項式插值又稱為n次Lagrange插值。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 10第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合說明：1、多項式插值的基函數(shù)僅與節(jié)點有關(guān)，而與被插值的原函數(shù) )(xfy 無關(guān)；2、插值多項式僅由數(shù)對 ), 2 , 1 , 0(),(niyxii確定

8、， 而與數(shù)對的排列次序無關(guān)。3、多項式插值除拉格朗日多項式插值法外，還有 牛頓(Newton)插值法、埃爾米特(Hermite)插值法、三次樣條插值法等，可參看有關(guān)數(shù)值分析的書籍。 其中Newton插值是拉格朗日插值的一種等價變形， Hermite插值一種帶導數(shù)插值條件的插值。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 11第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例例 將 0,/2 n 等分，用 g(x) = cos(x)產(chǎn)生 n+1個節(jié)點，作Pn(x)（取 n =1,2) ，計算cos(/6) 。 解解: n=1, (x0, y0)=(0,1), (x1,y1)=(/2,0), P1(x)

9、=1-2x/, cos( /6)= P1( /6 )0.6667 n=2, (x0,y0)=(0,1), (x1,y1)=(/4,0.7071), (x2,y2)=(/2,0), P2(x)=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2 cos( /6)=P2( /6) 0.8508 精確值：精確值：cos ( /6) 0.8660數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 12第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面來求解引例1(課堂練習)。引例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處 y 的值。 解：用一次拉格朗日插值：所以取 12,x x為插值節(jié)點， 則

10、211121221( )xxxxP xyyxxxx計算得 1(175)13.21428572P因為插值點 175x 位于 1169x 和 2225x 之間， ，于是 (175)13.21428572f數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 13第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合用二次拉格朗日插值：取 012144,169,225xxx，則 0201122012010210122021()()()()()()( )()()()()()()xxxxxxxxxxxxP xyyyxxxxxxxxxxxx計算得 2(175)13.23015873P，于是 (175)13.23015873f1

11、75（ 的準確值為 (175)13.22875656f） 由上例看出，二次插值的精度明顯要比一次插值要高。 但對于拉格朗日多項式插值，是否插值其精度就一定越高呢？數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 14第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合答案是：對于某些函數(shù)，適當?shù)靥岣卟逯刀囗検降?次數(shù)，會提高計算精度。 但與此同時，多項式的次數(shù) 增大可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性越來越差， 逼近的效果往往不理想， 一個典型的例子是函數(shù) 5,5,11)(2xxf選取不同插值節(jié)點個數(shù) n+1，其中 n 為插值多項式的 次數(shù)，使得它在結(jié)點的值與被插函數(shù)在對應結(jié)點的值相等。當n分別取2,4,6, 8

12、,10時，繪出的插值圖形如下。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 15第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合-505-1.5-1-0.500.511.52y=1/(1+x2)n=2n=4n=6n=8n=10從圖中可看出，圖形顯示出振蕩現(xiàn)象，在5和-5附近誤差很大。這種現(xiàn)象叫做Runge 現(xiàn)象。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 16第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合這說明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近效果往往并不理想。 解決此問題的思路是化整為零，采用分段 插值，即在小范圍內(nèi)使用低次多項式插值。 不是去尋求整個插值區(qū)間上的一個高次多項式， 也就是說插值區(qū)間劃分為若

13、干個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上用低而是把次多項式插值， 在整個插值區(qū)間上就得到一個分段插值函數(shù)。區(qū)間的劃分可以是任意的， 各個區(qū)間上插值多項 式的次數(shù)的選取也可按具體問題選擇。 在分段插值中，較為簡單的是分段線性插值。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 17第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合實際數(shù)學建模中，在光滑性要求不高的條件下， 分段線性或二次插值基本可以滿足需要。 問題中提出的插值問題，有一些插值函數(shù)曲線要求然而實際具有較高的光滑性，如飛機機翼的下輪廓線。 分段線性插值雖然簡單，但插值函數(shù)在結(jié)點處的 一階導數(shù)一般不存在，光滑性不高， 樣條插值的提出。 這就導致了三次在數(shù)學上

14、，光滑程度的定量描述是： 函數(shù)(曲線)的 k 階導數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有 k 階光滑性。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 18第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合光滑性的階次越高，則越光滑。 分段多項式達到較高階光滑性的方法？ 是否存在較低次的就是一個很好的例子。三次樣條插值數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 19第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合3 三次樣條插值三次樣條插值三次樣條插值是一種非常有效的插值方法，它在實際工程中有著非常重要的應用。 三次樣條插值的理論推導是比較復雜的，但在數(shù)學軟件MATLAB中有現(xiàn)成的調(diào)用程序，這樣我們就可直接借助計算機來

15、進行運算。 下面簡單介紹一下三次樣條插值的基本原理。定義：設(shè)給定區(qū)間 , a b上的一個劃分 01:naxxxb如果函數(shù) ( )S x滿足條件： 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 20第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合定義： 設(shè)給定區(qū)間 , a b上的一個劃分 01:naxxxb如果函數(shù) ( )S x滿足條件：（1）在每個子區(qū)間 1,(1,2, )iixxin是三次多項式； （2） ( ),( ),( )S x S x Sx在區(qū)間 , a b上連續(xù)，記作 2( ) , S xC a b（3）對于在節(jié)點上給定的函數(shù)值 ( )(0,1,2, )iif xy in( )S x滿足

16、( )(0,1,2, )iiS xy in則稱 ( )S x為 ( )f x在區(qū)間 , a b上的三次樣條插值函數(shù)三次樣條插值函數(shù)。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 21第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合簡單地說，已經(jīng)知道函數(shù) ( )yf x在節(jié)點 01,nx xx上的函數(shù)值 ( )(0,1,2, )iif xy in多項式函數(shù) ，現(xiàn)要求一個三次( )S x，使?jié)M足( )(0,1,2, )iiS xy in且 2( ) , S xC a b。 由定義可知， ( )S x是區(qū)間 , a b上的分段分段三次插值多項式，即00111211( ),( ) ,( )( ),nnns x

17、xx xs xxx xS xsxxxx數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 22第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合由于 2( ) , S xC a b，這個函數(shù)的曲線具有二階光滑度，看起來就很光順了，能滿足一般工程上的需要。其中 ( )is x是子區(qū)間 1 ,iix x插值于兩點 11( ,),(,)iiiix yxy的三次多項式，即 ()(,1;0,1,2,1)ijjs xyji iin00111211( ),( ) ,( )( ),nnns xxx xs xxx xS xsxxxx下面簡單介紹一下三次樣條插值函數(shù)的推導。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 23第七章第七章 數(shù)

18、據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合現(xiàn)要求 1( ) ( ), ,0,1,1iiiS xs x xx xin32( )(0,1,1)iiiiis xa xb xc xdin,iiiia b c d為待定系數(shù)，共4n個。已知條件：1） ( )(0,1,)iiS xyin共 n+1個方程； 2） 20( ),nS xCxx111111111()(), ()(), ()()(0,1, ,2)iiiiiiiiiiiis xsxs xsxs xsxin共 3(n-1) 個方程。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 24第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合現(xiàn)要求 4n 個待定系數(shù)，但只有(n+1

19、)+ 3(n-1)=4n-2個方程，故需要補充兩個方程，即所謂的邊界條件邊界條件。 通常有以下三類邊界條件： 3.1）給定兩個端點 0,nx x處的導數(shù) 0,nyy，即00()()nnS xyS xy3.2）給定兩個端點 0,nx x處的導數(shù) 0,nyy00()()nnS xyS xy即3.3）周期性條件，即( )( )0(0)(0)(0,1,2)kknSxSxk 1) 2)3),( )iiiia b c dS x數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 25第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合4 用用MATLAB軟件求解插值問題軟件求解插值問題在MATLAB中提供了一個一維插值函數(shù)i

20、nterp1，它的調(diào)用格式為cy=interp1(x , y , cx , method)其中x、y是所給數(shù)據(jù)的橫縱坐標，要求x的分量按升序或降序排列，cx是待求的插值點的橫坐標，返回值cy是待求的插值點的縱坐標，method是插值方法， 該函數(shù)提供了四種可選的插值方法：數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 26第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合nearest最鄰近點插值。 點和這兩已知點間位置的遠近來進行插值，取較近已知它根據(jù)已知兩點間的插值插值點處的函數(shù)值作為未知插值點處的函數(shù)值。 linear線性插值。 它將相鄰的數(shù)據(jù)點用直線相連， 按所生成的直線進行插值。spline三次

21、樣條插值。 它利用已知數(shù)據(jù)求出樣條 函數(shù)后，按樣條函數(shù)進行插值。cubic三次插值。 它利用已知數(shù)據(jù)求出三次多項式函數(shù)后， 按三次多項式函數(shù)進行插值。 缺省時插值方法為分段線性插值。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 27第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面用該函數(shù)來求解下列插值問題。對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=110處 y的值。 輸入命令：x=100 121 144 169;y=10 11 12 13;cx=110;cy=interp1(x,y,cx,linear); 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 28第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合運行結(jié)果為c

22、y =10.4762。 由于線性插值只需要兩個點，因而在上述命令中實際上只用了前兩個點。 若將最后一個命令中的method改為缺省、nearest、cubic和spline，運行結(jié)果為依次為 cy =10.4762、cy =10、cy =10.4869、cy =10.4877 通過比較，顯然三次樣條插值的結(jié)果最好。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 29第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例：在1-12的11小時內(nèi)，每隔1小時測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計每隔1/10小時的溫度值。程序：hours=1:12

23、;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); % (直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,+,h,t,r:) %作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 30第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 31第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合xy機翼下輪廓線例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求X每改變0.1時的Y值。數(shù)學模型與數(shù)學建

24、模方法 Slide 32第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合程序：程序：lch(lagr1)lch(lagr1)function y=lagr1(x0,y0,x)function y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0); m=length(x);n=length(x0); m=length(x);for i=1:mfor i=1:m z=x(i); z=x(i); s=0.0; s=0.0; for k=1:n for k=1:n p=1.0; p=1.0; for j=1:n for j=1:n if j=k if j=k p=p p=p* *(z-x0(j)

25、/(x0(k)-x0(j);(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end end end s=p s=p* *y0(k)+s;y0(k)+s; end end y(i)=s; y(i)=s;endend數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 33第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合x0=0 3 5 7 9 11 12 13 14 15 ;y0=0 1.2 1.7 2.0 2.1 2.0 1.8 1.2 1.0 1.6 ;x=0:0.1:15;y1=lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,spline)

26、;subplot(3,1,1)plot(x0,y0,k+,x,y1,r)gridtitle(lagrange)subplot(3,1,2)plot(x0,y0,k+,x,y2,r)gridtitle(piecewise linear)subplot(3,1,3)plot(x0,y0,k+,x,y3,r)gridtitle(spline)數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 34第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 35第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合曲線擬合是指：已知平面上 n 個點（xi, yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲

27、線）y=f(x), 使 f(x) 在某種準則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好。 +xyy=f(x)(xi , yi)ii 為點（xi, yi) 與曲線 y=f(x) 的距離5 曲線擬合的基本原理曲線擬合的基本原理數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 36第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合擬合與插值的區(qū)別擬合與插值的區(qū)別函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學方法上是完全不同的。問題：問題：給定一批數(shù)據(jù)點，需確定滿足特定要求的曲線或曲面。解決方案：解決方案： 若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，

28、這就是曲線數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。 若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點，就是插值問題；數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 37第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合根據(jù)曲線擬合問題的定義，其關(guān)鍵在于準則的選取， 選取的準則不同，其對應的擬合方法及其復雜程度也不相同。對于一維曲線擬合，設(shè)n個不同的離散數(shù)據(jù)點為 ), 2 , 1(),(niyxii，要尋找的擬合曲線方程為 ( )yf x記擬合函數(shù)在 ix處的偏差為 ( )(1,2,)iiif xyin常用的準則有： 準則1： 選取 ( )f x，使所有偏差的絕對值之和最小，即 11( )minnniiiiif xy數(shù)學模

29、型與數(shù)學建模方法 Slide 38第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合準則2： 選取 ( )f x，使所有偏差的絕對值的最大值最小，即11maxmax( )minnniiiiif xy準則3： 選取 ( )f x，使所有偏差的平方和最小，即 2211( )minnniiiiif xy相對而言，準則3最便于計算，因而通常根據(jù)準則3 來選取擬合曲線 ( )yf x。準則3又稱為最小二乘準則， 對應的曲線擬合方法稱為最小二乘法。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 39第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù)

30、 r1(x), r2(x), rm(x), mn, 令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x)其中 a1,a2, am 為待定系數(shù)。第二步: 確定a1,a2, am 的最小二乘準則：使n個點（xi, yi) 與曲線 y=P(x) 的距離i 的平方和最小 。記 221211211(,)()()nnmiiiiinmk kiiikJ a aaf xya rxy 問題歸結(jié)為，求 a1,a2, am 使 J(a1,a2, am) 最小。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 40第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘法的求解線性最小二乘法的求解要使 J(a1,a

31、2, am) 最小，的必要條件得則由多元函數(shù)取得極值0(1,2,)kJkma即11( )( )0nmk kiikiika r xyr x 亦即111( ) ( )( )(1,2,)mnnjikiji kijiir x r xay r xkm 是未知量 12,ma aa的線性方程組， 稱之為正定方程組。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 41第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合選定一組函數(shù) 12( ),( ),( )mr x r xrx組解出 后，就可由正規(guī)方程12,ma aa，于是就可得線性最小二乘擬合函數(shù)1 12 2( )( )( )( )m mf xa r xa r xa

32、rx所給數(shù)據(jù)的散點圖，觀察數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的曲線的大致一般的做法是首先繪出形狀， 再結(jié)合該問題所在專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)規(guī)律和結(jié)論， 來確定擬合函數(shù)的形式。 實際操作時可在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選幾種常用的曲線分別進行擬合，比較選擇擬合效果最好的曲線。 面對一組數(shù)據(jù)，作線性最小二乘擬合時，恰當選定函12( ),( ),( )mr x r xrx是一個難點。 數(shù)數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 42第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合常用的曲線有直線、多項式、雙曲線和指數(shù)曲線等。 另外，曲線擬合又可分為線性曲線擬合和非線性曲線 擬合。一般地，如果擬合函數(shù)中的系數(shù) naaa,10以線性形式出現(xiàn)

33、， 全部如擬合函數(shù) 01( )nnf xaa xa x為線性擬合，也稱為多項式擬合； 若擬合函數(shù)中的系數(shù) naaa,10不能全部以線性形式出現(xiàn)， 如指數(shù)擬合函數(shù)xaeaaxP210)(為非線性曲線擬合。 實際應用中，多項式最小二乘擬合用的較多，MATLAB中也有專用函數(shù)。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 43第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合線性最小二乘擬合線性最小二乘擬合 f(x)=a1r1(x)+ +amrm(x)中函數(shù)中函數(shù)r1(x), rm(x)的選取方法的選取方法 1. 通過機理分析建立數(shù)學模型來確定通過機理分析建立數(shù)學模型來確定f(x)；+f=a1+a2xf=a1

34、+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx 2. 將數(shù)據(jù)將數(shù)據(jù)(xi , yi) i=1, n 作圖，通過直觀判斷確定作圖，通過直觀判斷確定f(x)：數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 44第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合6 用用MATLAB軟件求解擬合問題軟件求解擬合問題在MATLAB中提供了一個多項式最小二乘擬合函數(shù) polyfit (x, y, n) ，它的調(diào)用格式為P=polyfit(x, y, n)擬合多項式按自變量擬合多項式按自變量降冪排列的系數(shù)向量降冪排列的系數(shù)向量 輸入同長度輸入同長度的數(shù)組的數(shù)組X，Y擬合多項擬合

35、多項式次數(shù)式次數(shù)下面用該函數(shù)來求解擬合問題引例2：數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 45第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合例2：觀測物體的直線運動，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運動方程。輸入命令：t=0 0.9 1.9 3 3.9 5;s=0 10 30 50 80 110;plot(t,s,*-)xlabel(運動時間 t（秒）)ylabel(運動位移 s（米）)gtext(物體運動的時間與位移散點圖)數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 46第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合下面顯示的是物體運動的時間與位移散點圖：數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 47第七章第七章

36、 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合不難看出圖形近似為一條直線，因此猜測用一次多項式來擬合，輸入命令： P=polyfit(t,s,1) 運行結(jié)果為：P =22.2538 -7.8550即 xxP2538.22855. 7)(下面繪出的是擬合曲線和散點圖對比圖形，數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 48第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合可以看出擬合效果并不理想。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 49第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合根據(jù)物理學中物體運動的方程，我們用二次曲線來擬合，輸入命令： P=polyfit(t,s,2) 得到擬合函數(shù)為： 22488.

37、 20814.115834. 0)(xxxP對比圖形如下， 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 50第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 51第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合可見曲線擬合本身就是一個猜測的過程，通常是不斷地修正擬合函數(shù)，使擬合效果達到滿意的程度?？梢钥闯鰯M合效果有明顯改善，擬合曲線與散點圖 基本上是吻合的，因此該物體運動的方程是22488. 20814.115834. 0)(ttts數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 52第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合7 建模案例建模案例(1992年年A題：農(nóng)

38、作物施肥效果分析題：農(nóng)作物施肥效果分析)某地區(qū)作物生長所需要的營養(yǎng)元素主要有氮（N）、 鉀（K）、磷（P）。 某作物研究所在該地區(qū)對土豆 與生菜做了一定數(shù)量的實驗，實驗數(shù)據(jù)如下列表格所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示公斤。 當一個營養(yǎng)素的施肥量變化時，總將另兩個營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個水平上， 于N的施肥量做實驗時，P與K的施肥量分別取為 如對土豆產(chǎn)量關(guān)196kg/ha與372kg/ha。 試分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 53第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合土豆：土豆： N P K數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 54第七章第七

39、章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合生菜生菜： N P K數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 55第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合模型假設(shè)：模型假設(shè)：1、研究所的實驗是在相同的正常實驗條件(如充足 的水分供應，正常的耕作程序)下進行的，產(chǎn)量的變化是由施肥量的改變引起的，產(chǎn)量與施肥量之間存在一定的規(guī)律。（此假設(shè)的目的是抓住影響產(chǎn)量的主要因素而剔除次要因素，使要研究的問題內(nèi)部諸因素明朗化，即抓住主要矛盾） 2、土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料， 即具有一定的天然肥力。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 56第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2、土壤本

40、身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料， 即具有一定的天然肥力。 （此假設(shè)非常符合常理，而且實驗數(shù)據(jù)也證明了此假設(shè)的合理性，因而此假設(shè)將實驗數(shù)據(jù)中所隱藏的信息清晰化）3、每次實驗是相互獨立的，互不影響。 （此假設(shè)澄清了在連續(xù)進行的實驗中，后期實驗產(chǎn)量與前期施肥無關(guān)） 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 57第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合符號說明：符號說明： W：農(nóng)作物產(chǎn)量； x：施肥量； N、K、P ：氮、磷、鉀肥的施肥量； wT：農(nóng)產(chǎn)品價格； xT：肥料價格； Tn、Tp、Tk：氮、磷、鉀肥的價格；1010210,cccccbbbba：常數(shù)。 數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slid

41、e 58第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合問題分析：問題分析：1、普遍規(guī)律施肥量與產(chǎn)量滿足下圖所示關(guān)系，它分為三個不同的區(qū)段，第二區(qū)段，隨著施肥量的增加，作物產(chǎn)量平緩上升， 一定限度后， 第三區(qū)段，當施肥量超過產(chǎn)量反而隨施肥量的增加而減少。施肥量的增加而迅速增加， 在第一區(qū)段，當施肥量較小時，作物產(chǎn)量隨數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 59第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 60第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合2、數(shù)據(jù)分析通過繪制散點圖，初步得到農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量間的定性認識。數(shù)學模型與數(shù)學建模方法 Slide 61第七章第七章 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合數(shù)據(jù)插值與曲線擬合從散點圖可以發(fā)現(xiàn)，氮肥施加量與農(nóng)作物的產(chǎn)量大致呈指數(shù)關(guān)系， 磷肥施加量與農(nóng)作物產(chǎn)量大致呈分段直線關(guān)系，鉀肥施加量與土豆產(chǎn)量大致呈指數(shù)關(guān)系，與生菜產(chǎn)量產(chǎn)量關(guān)系規(guī)律不明顯。 但有一點，鉀肥施加量的增加時，生菜產(chǎn)量上升幅度不大，波動也不大，這說明鉀肥對生菜產(chǎn)量的影響較小。 3、理論支撐1）Nicklas和Miller理論： 設(shè)