大學物理4機械振動0

1、第二篇第二篇 機械振動機械振動與機械波與機械波廣義振動廣義振動：任一物理量：任一物理量( (如位移、電流等如位移、電流等) )在某一在某一 數值附近反復變化。數值附近反復變化。 振動分類振動分類非線性振動非線性振動線性振動線性振動受迫振動受迫振動自由振動自由振動機械振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復的運動。：物體在一定位置附近作來回往復的運動。4-1 簡諧振動的動力學特征簡諧振動的動力學特征最簡單最基本的線性振動。最簡單最基本的線性振動。簡諧振動簡諧振動：一個作往復運動的物體，如果其偏離：一個作往復運動的物體，如果其偏離平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）隨時間）隨時間

2、t按余弦按余弦（或正弦）規(guī)律變化的振動。（或正弦）規(guī)律變化的振動。)tcos(Ax0 一、彈簧振子模型一、彈簧振子模型彈簧振子彈簧振子：彈簧：彈簧物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕輕彈簧彈簧質量忽略不計，形變滿足胡克定律質量忽略不計，形變滿足胡克定律 物體物體可看作質點可看作質點 kxOmkxF 22dtxdmkx mk 2 簡諧振動簡諧振動微分方程微分方程0222 xdtxd 單擺單擺0222dtd結論結論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg

3、 2200 當當 時時 sin sinmglM 二、微振動的簡諧近似二、微振動的簡諧近似gmfTCOmgldtdml222擺球對擺球對C點的力矩點的力矩 mglM l/g 2 復擺復擺：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體：繞不過質心的水平固定軸轉動的剛體0222dtd結論結論：復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。復擺的小角度擺動振動是簡諧振動。 sin當當 時時gmhCO22dtdImgh Imgh 2 其通解為：其通解為：一、簡諧振動的運動學方程一、簡諧振動的運動學方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 4-2 簡諧振動的運動學簡諧振動的運動學簡諧振動的微分方程簡諧振動的微分方程簡諧振動的運

4、動學方程簡諧振動的運動學方程)tsin()tcos(200 20 )tsin(x 二、二、描述簡諧振動的特征量描述簡諧振動的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 簡諧振動物體離開平衡位置的最大位簡諧振動物體離開平衡位置的最大位移（或角位移）的絕對值。移（或角位移）的絕對值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 初始條件初始條件00 cosAx 00sinAv2020)v(xA 頻率頻率 ：單位時間內振動的次數。單位時間內振動的次數。2、周期周期 、頻率、圓頻率頻率、圓頻率對彈簧振子對彈簧振子 21 T角頻率角頻率 22 TkmT 2 mk 21 mk 固有周期、固有頻率、固有

5、角頻率固有周期、固有頻率、固有角頻率周期周期T ：物體完成一次全振動所需時間。物體完成一次全振動所需時間。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T單擺單擺glT 2 lg 21 lg 復擺復擺mghIT 2 Imgh 21 Imgh )tsin(Av0 0 是是t =0時刻的位相時刻的位相初位相初位相000 cosAxt 時時00 sinAv 000 xvtan 3、位相和初位相位相和初位相)tcos(Ax0 位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)位相，決定諧振動物體的運動狀態(tài)0 t位相差位相差 兩振動位相之差。兩振動位相之差。12 當當=2k ,k=0,1,2,兩振動步調相同兩振動步調相同,

6、,稱稱同相同相當當 = (2k+1) , k=0,1,2.兩振動步調相反兩振動步調相反, ,稱稱反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滯后于滯后于 2 位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落位相差反映了兩個振動不同程度的參差錯落 三、簡諧振動的三、簡諧振動的旋轉矢量表示法旋轉矢量表示法 0t = 0Ax t+ 0t = tA)tcos(Ax0 oX用旋轉矢量表示相位關系用旋轉矢量表示相位關系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 諧振動的位移、速度、加速度之間的位相關系諧振動的

7、位移、速度、加速度之間的位相關系toTa vx.avxT/4T/4)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由圖可見：由圖可見：2 va超前超前2 xv超前超前x t+ o Amv ma 090090例例:如圖如圖m=210-2kg, 彈簧的靜止形變?yōu)閺椈傻撵o止形變?yōu)?l=9.8cm t=0時時 x0=-9.8cm, v0=0 取開始振動時為計時零點，取開始振動時為計時零點， 寫出振動方程；寫出振動方程；（2）若?。┤羧0=0，v00為計時零點，為計時零點， 寫出振動方程寫出振動方程,并計算振動頻率。并計算振動頻率。XOmx解：解： 確定平衡位置確定平

8、衡位置 mg=k l 取為原點取為原點 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 則則 f=mg-k( l +x)=-kx作諧振動作諧振動 設振動方程為設振動方程為)tcos(Ax0 s/rad.lgmk10098089 由初條件得由初條件得 ,)xv(arctg0000 mvxA09802020.)( 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 00 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m對同一諧振動取不同的計時起點對同一諧振動取不同的

9、計時起點 不同，但不同，但 、A不變不變Hzlg6 . 1212 XOmx固有頻率固有頻率例例:如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為如圖所示，振動系統(tǒng)由一倔強系數為k的的 輕彈簧、輕彈簧、一半徑為一半徑為R、轉動慣量為轉動慣量為I的的 定滑輪和一質量為定滑輪和一質量為m的的 物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其物體所組成。使物體略偏離平衡位置后放手，任其振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期振動，試證物體作簡諧振動，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移軸解：取位移軸ox，m在平在平衡位置時，設彈簧伸長量衡位置時，設彈簧伸長量為為 l，則則0 lkmg TmTmga2F mo

10、xkJR當當m有位移有位移x時時maTmg RaJRxlkT )(聯立得聯立得aRJmkx2 0222 xRJmkdtxd物體作簡諧振動物體作簡諧振動 22RJmk kRJmT222 例例 已知某簡諧振動的已知某簡諧振動的 速度與時間的關系曲線如圖速度與時間的關系曲線如圖所示，試求其振動方程。所示，試求其振動方程。431.431. 715.715. 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1100715cms.sinAv )tcos(Ax0 設振動方程為設振動方程為0020 cosAa1431 cmsvAm. 2143171500.Avsin 6560或或0000 cos,a則則60 17

11、151 cmsvt.2161 mvvAv )sin( 6116761或 01001)cos(,a 則則 6761 1143 s. cmvAm10143431 . 故振動方程為故振動方程為cmtx)cos(610 方法方法2： 用旋轉矢量法輔助求解。用旋轉矢量法輔助求解。)cos( tAx)cos()sin(2 tvtAvm1431 cmsAvm. 0 tst1 2 vov的旋轉矢量的旋轉矢量與與v軸夾角表軸夾角表示示t 時刻相位時刻相位2 t由圖知由圖知 322 6 11 s cmvAm10143431 . cmtx)cos(610 以彈簧振子為例以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量諧振動系統(tǒng)的能量

12、=系統(tǒng)的系統(tǒng)的動能動能Ek+系統(tǒng)的系統(tǒng)的勢能勢能Ep某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v，位移為位移為x)tsin(Av0 )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數4-3 簡諧振動的能量簡諧振動的能量動動能能221mvEk )t(sinkA02221 勢勢能能221kxEp )t(coskA02221 情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAEk 機械能機械能221kAEE

13、Epk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 實際振動系統(tǒng)實際振動系統(tǒng)系統(tǒng)沿系統(tǒng)沿x軸振動，勢能函數為軸振動，勢能函數為Ep(x)，勢能曲線存在，勢能曲線存在極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。在該位置（取在該位置（取x=0）附近將勢能函數作級數展開附近將勢能函數作級數展開 20220210 x)dxEd(x)dxdE()(E)x(Expxppp微振動系統(tǒng)一般可以當作諧振動處理微振動系統(tǒng)一般可以當作諧振動處理00 dxdExp202221

14、0 x)dxEd()(E)x(Exppp dx)x(dEFp )kx(x)dxEd(xp 022一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, , 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(AAAAA10202122212 2021012021010coscossinsintgAAAA)tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 質點同時參與同方向同頻率質點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 : :合振動合振動 : :4-4 簡諧振動的合成簡諧振動的合成 * *振動的頻譜分析振動的頻譜分析2A1AA10 2

15、0 0 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , , 則則 A=0,kk21021020 兩分振動相互加強兩分振動相互加強21AAA ,k)k(210121020 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱21AAA 分析分析若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 隨隨t 緩變緩變隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. . 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動分振

16、動)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振動合振動)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 當當 2 1時時, ,ttAx cos)( 則則：1212 拍拍 合振動忽強忽弱的現象合振動忽強忽弱的現象拍頻拍頻 : : 單位時間內強弱變化的次數單位時間內強弱變化的次數 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍拍122 T或或：*三、振動的頻譜分析三、振動的頻譜分析振動的分解振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率

17、為若周期振動的頻率為 : : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: : 0、2 0、3 0( (基頻基頻 , , 二次諧頻二次諧頻 , , 三次諧頻三次諧頻 , , ) )按傅里葉級數展開按傅里葉級數展開)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncosa(a)t (x T 22 方波的分解方波的分解x0t0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222xo ot t鋸齒波鋸齒波A 0 03 3 0 05 5 0 0鋸齒波頻譜圖鋸齒波頻譜圖 一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)一個非周期性振動可分解為無限多個頻率連續(xù)變

18、化的簡諧振動。變化的簡諧振動。xo ot t阻尼振動曲線阻尼振動曲線阻尼振動頻譜圖阻尼振動頻譜圖o o A* *四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成四、兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成合振動合振動)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振動分振動)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第一、第三象限內的直線在第一、第三象限內的直線12AA斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移討論討論)(sin)cos(AyAxAyAx102021

19、020212222122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振動的軌跡為通過原點且合振動的軌跡為通過原點且在第二、第四象限內的直線在第二、第四象限內的直線12AA 斜斜率率質點離開平衡位置的位移質點離開平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)tcos(Ax101 質點沿橢圓的運動方向是順時針的。質點沿橢圓的運動方向是順時針的。)(sin)

20、cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振動的軌跡為以合振動的軌跡為以x軸和軸和y軸軸為軸線的橢圓為軸線的橢圓)tcos(Ax101 質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。質點沿橢圓的運動方向是逆時針的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 時，逆時針方向轉動。時，逆時針方向轉動。 0時，順時針方向轉動。時，順時針方向轉動。*五、五、垂直方向不同頻率垂直方向不同頻率可

21、看作兩頻率相等而可看作兩頻率相等而 2- 1隨隨t 緩慢變化合運動緩慢變化合運動軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。軌跡將按上頁圖依次緩慢變化。 軌跡稱為軌跡稱為李薩如圖形李薩如圖形yxA1A2o o- -A2- -A1簡諧振動的合成簡諧振動的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:兩分振動頻率相差很小兩分振動頻率相差很小兩振動的頻率成兩振動的頻率成整數比整數比李薩如圖形李薩如圖形21:31:32 :一、一、 阻尼振動阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使

22、振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。作用，系統(tǒng)的動能轉化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。4-5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振阻尼振動的振動方程阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到弱介質阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質阻力而衰減）振子動力學方程振子動力學方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr 022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼系數阻尼系數弱介質阻力是指振子運動速度較低時，弱介質阻力是指振子運動速度較低時，介質對物體

23、的阻力僅與速度的一次方成正比介質對物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數阻力系數t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期內損失的能量越小，振幅衰減越慢，每一周期內損失的能量越小，振幅衰減越慢，周期越接近于諧振動。周期越接近于諧振動。0 )tcos(eAxt00 220 0220222 T阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的振幅按指數衰減阻尼振動的準周期阻尼振動的準周期臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地系統(tǒng)不作往復運動，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位置并停下來0 te )tcc(x 21過阻尼過阻尼t(yī))(tx過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復運動，而是非

24、常緩系統(tǒng)不作往復運動，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 二、二、 受迫振動受迫振動受迫振動受迫振動 振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 mFf,m,002 周期性外力周期性外力策動力策動力ptcosFF0 穩(wěn)定解穩(wěn)定解)ptcos(Ax (1)頻率頻率: : 等于策動力的頻率等于策動力的頻率 (2)振幅振幅: :2122222004/p)p(fA (3)初相初相: :2202pptg 特點特點: :穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化)ptcos(A)t(co