第3章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅里葉分析上課

1、信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)與系統(tǒng)信號(hào)與系統(tǒng) Signals and systems第三章第三章 連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅立葉分析Fourier analysis of continuous time signals信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？引言引言 )(*)()()()(ttfdtftf解為：任一連續(xù)時(shí)間信號(hào)可分時(shí)域分析的要點(diǎn)是，以沖激函數(shù)為基本信號(hào)，任意輸入信號(hào)可分解為一系列沖激函數(shù)；)(*)()()()(thtfdthftyCTLTI的響應(yīng)：該信號(hào)通過一LTI系統(tǒng)( ) t( )h t信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？n但有時(shí)卷積的計(jì)算較麻煩，并且有時(shí)很難計(jì)算。?)(求系統(tǒng)的沖

2、激響應(yīng)),()(系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng),時(shí))()(系統(tǒng)的輸入信號(hào)已知一3thtuetytuetfLTICTtt)(2)()(h3tuettt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？f (t) ?nf (t)能否分解為其他簡單信號(hào)的加權(quán)和?信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)：傅立葉級(jí)數(shù)：將周期信號(hào)展成三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的形式。為何要這樣展開？為何要這樣展開？ 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？復(fù)指數(shù)信號(hào)通過復(fù)指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)( )(3.1.7)LTIststeH s e特征值特征值特征函數(shù)特征函數(shù)常數(shù)常數(shù)= H (s) est3.1 LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號(hào)的響應(yīng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信

3、號(hào)的響應(yīng)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？復(fù)指數(shù)信號(hào)通過復(fù)指數(shù)信號(hào)通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng)( )f t( )kkks tf ta e思考思考：如果信號(hào)能表示為()( )kksH shed( )( )()(3.1.10)LTIkkkks tf ty ta H s e 由系統(tǒng)的線性，“和的響應(yīng)等于響應(yīng)的和”，信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)為信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.2 連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解傅立葉級(jí)數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)n周期為 T 的連續(xù)時(shí)間周期信號(hào) f (t) 可分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合02T信號(hào) f (t)的基波角頻率傅立葉級(jí)數(shù)表示傅立葉級(jí)數(shù)表示Fourier Series rep

4、resentation傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)Fourier Series coefficient01( )kTjktaf t edtT0( )kkjktf ta e(3.2.1)(3.2.3)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏級(jí)數(shù)的物理意義傅氏級(jí)數(shù)的物理意義01( )kTjktaf t edtT0( )kkjktf ta e000001212( )kkjjtjtjktta ea ea ef ta ean展開傅立葉級(jí)數(shù)01( )TfdattT0011jtjta ea e002222jtjta ea e00kkjktjkta ea e直流分量 一次諧波二次諧波 k 次諧波 f (t) (3.2.

5、4)(3.2.5)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？ 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題0002()1cos(2 )2sin(36 )( )f tttf t 0001cos()2jtjttee000331sin3()2jtjtteej歐拉公式0000331( )1()()2jtjtjtjtf teej ee 3aj112a01a 112a 0ka k 其他000003101333( )kkjtjtjtjtjktf ta ea eaa ea ea eja3n例例3.2.1 已知連續(xù)時(shí)間信號(hào) n 求其傅立葉級(jí)數(shù)表示式及傅氏系數(shù) n解解： 00( )1 cos2sin 3f ttt ka信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅

6、氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題例例3.2.2 連續(xù)時(shí)間周期脈沖信號(hào) f (t)如圖，求其傅立葉級(jí) 數(shù)表示式解：解： f (t) 周期為T 基波角頻率02/T000 10 110 11002sin()111( )( )TkTTjktjktjkTjkTkTaf t edtf t edteeTTjkTkTsin( )xSa xx抽樣函數(shù)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題000 10 110 11002sin()111( )( )TkTTjktjktjkTjkTkTaf t edtf t edteeTTjkTkTsin( )xSa xx抽樣函數(shù)0 10 1110 100 12sin()si

7、n()22()kkTkTTTaSa kTkTTkTT信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？ 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題(2)n取T = 8 T 111()sinc( )4444kkaSak0 10 1110 100 12sin()sin()22()kkTkTTTaSa kTkTTkTT(3.2.9)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？n為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包為了能既方便又明白地表示一個(gè)信號(hào)中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎含有哪些頻率分量，各分量所占的比重怎樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。樣，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。n如果以頻率為橫軸，以幅度或相位為縱軸，繪出ak及的變化關(guān)系，便可直觀地

8、看出各頻率分量的相對大小和相位情況，這樣的圖就稱為信號(hào)的幅度頻譜和相位頻譜。周期信號(hào)的頻譜周期信號(hào)的頻譜相位頻譜的關(guān)系圖（線圖）與幅度頻譜的關(guān)系圖（線圖）與00kkakk信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？ 傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題(2)n取T = 4 T 111()sinc( )2222kkaSak0 10 1110 100 12sin()sin()22()kkTkTTTaSa kTkTTkTT(3.2.9)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏級(jí)數(shù)傅氏級(jí)數(shù) 例題例題n取T = 4 T 1n取T = 8 T 1信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)：周期信號(hào)的頻譜特點(diǎn)： (1)(1)離散性離散性譜線是

9、離散的而不是連續(xù)的，譜線之間譜線是離散的而不是連續(xù)的，譜線之間 的間隔為的間隔為 。這種頻譜常稱為離散頻譜。這種頻譜常稱為離散頻譜。(2)(2)諧波性諧波性譜線在頻譜軸上的位置是基頻譜線在頻譜軸上的位置是基頻 的整的整 數(shù)倍。數(shù)倍。(3)(3)收斂性收斂性各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸各頻譜的高度隨著諧波次數(shù)增高而逐漸 減小，當(dāng)諧波次數(shù)無限增高時(shí)，譜線的高度也無限減小，當(dāng)諧波次數(shù)無限增高時(shí)，譜線的高度也無限 減小減小T200信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏級(jí)數(shù)的收斂傅氏級(jí)數(shù)的收斂傅氏級(jí)數(shù)的收斂條件狄里赫利條件狄里赫利條件（Dirichlet condition）1信號(hào) f (t) 在任意一個(gè)

10、周期 T 內(nèi)絕對可積( )Tf t dt 23信號(hào) f (t) 在任意一個(gè)周期 T 內(nèi)，只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn)信號(hào) f (t) 在任意一個(gè)周期 T 內(nèi)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，而且在這些間斷點(diǎn)處 f (t)必須是有限值 (3.2.21)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？TtjkkktjkkdtetfTakTeatf0000)(1,2,)(為整數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？不滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)不滿足狄里赫利條件的周期信號(hào) 21( ), 01f ttt 22( )cos(), 02f ttt 狄里赫利條件狄里赫利條件信號(hào)信號(hào) f (t) 在任意一個(gè)在任意一個(gè)周期周

11、期 T 內(nèi)絕對可積內(nèi)絕對可積信信號(hào)號(hào) f (t) 在任意一個(gè)在任意一個(gè)周周期期 T 內(nèi)，只有有限內(nèi)，只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn)個(gè)極大和極小值點(diǎn)信號(hào)信號(hào) f (t) 在任意一個(gè)在任意一個(gè)周期周期 T 內(nèi)，只有有限內(nèi)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，而且在這個(gè)間斷點(diǎn)，而且在這些間斷點(diǎn)處些間斷點(diǎn)處 f (t)必須必須是有限值是有限值 123不滿足條件1不滿足條件2信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象 n滿足狄里赫利條件的周期信號(hào)可以用傅立葉級(jí)數(shù)表示0( )jktkkNNf ta en在實(shí)際應(yīng)用中，通常只能取有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)來近似 N 越大，近似誤差越小；項(xiàng)數(shù)趨于無窮時(shí)的極限就是理想的傅立葉級(jí)數(shù)表示 (共 2

12、N+1 項(xiàng) )( )lim( )Nf tf t01( )kTjktaf t edtT0( )kkjktf ta e(3.2.22)(3.2.23)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象取 N =1, 5, 21, 81,用有限項(xiàng)傅氏級(jí)數(shù)逼近連續(xù)時(shí)間周期脈沖信號(hào) f (t) 吉布斯（吉布斯（Gibbs）現(xiàn)象）現(xiàn)象信號(hào)的跳變點(diǎn)附近出現(xiàn)紋波信號(hào)的跳變點(diǎn)附近出現(xiàn)紋波隨項(xiàng)數(shù)增加，波紋峰值大小不變，隨項(xiàng)數(shù)增加，波紋峰值大小不變，但被擠向信號(hào)的間斷點(diǎn)處但被擠向信號(hào)的間斷點(diǎn)處信號(hào)連續(xù)點(diǎn)處傅氏級(jí)數(shù)收斂于信信號(hào)連續(xù)點(diǎn)處傅氏級(jí)數(shù)收斂于信號(hào)本身號(hào)本身 信號(hào)跳變點(diǎn)處，傅氏級(jí)數(shù)收斂于信號(hào)跳變點(diǎn)處，傅氏級(jí)數(shù)收斂于該

13、處左極限和右極限的平均值該處左極限和右極限的平均值 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)通過周期信號(hào)通過LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng) LTI系統(tǒng)ks te()kks tH s e00()( )kkjkty tHeajk()( )kksH shed( )f t( )y tLTI系統(tǒng)( )H sLTI特性0( )kkjktf ta e00()( )jkH jkhed 周期信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)，仍是一個(gè)由原諧波分量線性組合而成的周期信號(hào) 特征值信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)通過周期信號(hào)通過LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)周期信號(hào)通過LTI系統(tǒng)的響應(yīng)的求解步驟:1計(jì)算傅氏級(jí)數(shù)系數(shù)，得到傅氏級(jí)數(shù)表

14、達(dá)式2計(jì)算特征值，得到系統(tǒng)響應(yīng) 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？n1768年3月21日生于歐塞爾，1830年5月16日卒于巴黎。n9歲父母雙亡， 被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。n12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。n17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，n26歲(1794)到巴 黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。n30(1798)年隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及時(shí)任軍中文書和埃及研究院秘書，n33歲(1801)年回國后任伊澤爾省地方長官。1817年當(dāng)選為科學(xué)院院士，1822年任該院終身秘書，后又任法蘭西學(xué)院終身秘書和理工科大學(xué)校務(wù)委員會(huì)主席。傅里葉生平傅里葉生平信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅里葉傅里葉(法國數(shù)學(xué)

15、家、物理學(xué)家法國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家)n1807年提出年提出“任何周期任何周期信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)信號(hào)都可用正弦函數(shù)級(jí)數(shù)表示數(shù)表示”n1829年狄里赫利第一個(gè)年狄里赫利第一個(gè)給出收斂條件給出收斂條件n拉格朗日反對發(fā)表拉格朗日反對發(fā)表n1822年首次發(fā)表在年首次發(fā)表在“熱熱的分析理論的分析理論” 一書中一書中信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)傅立葉的兩個(gè)最主要的貢獻(xiàn)n“周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信周期信號(hào)都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號(hào)的加權(quán)和號(hào)的加權(quán)和”傅里葉的第一個(gè)主要論傅里葉的第一個(gè)主要論點(diǎn)點(diǎn)n“非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積非周期信號(hào)都可用正弦信號(hào)的加權(quán)積分表示分表示”傅

16、里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)傅里葉的第二個(gè)主要論點(diǎn)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)通過周期信號(hào)通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 例題例題例例3.2.4 LTI系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為 求如圖周期信號(hào) f (t) 通過該系統(tǒng)的響應(yīng) y (t) 解解： ( )( )th te u t1 求傅氏級(jí)數(shù)系數(shù)00002021( )11( 1)11(1)cos() 1TjktkTTjktjktTjkaf t edtTedtedtTTejkjkk f (t) 的傅氏級(jí)數(shù)表示0( )kkjktf ta e02T信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)通過周期信號(hào)通過LTI系統(tǒng)系統(tǒng) 例題例題2求 f (t) 通過LTI系統(tǒng)后各諧波分量的特征值 0

17、00001()( )1jkjkH jkhede edjk 系統(tǒng)響應(yīng) 0000( )()1kkkjktjktkay ta H jkeejk0( )kkjktf ta e02T信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.3 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解傅立葉變換傅立葉變換 n周期信號(hào)可分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)之和傅立葉級(jí)數(shù)n非周期信號(hào)能否分解為復(fù)指數(shù)信號(hào)之和周期信號(hào)周期信號(hào) fT (t) 非周期信號(hào)非周期信號(hào) f (t) ?0( )Tkkjktfta e01( )kTTjktaft edtT 周期 T 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期方波信號(hào)的非周期演變周期方波信號(hào)的非周期演變周期方波信號(hào)

18、 fT (t) 10 12()kTaSa kTT非周期信號(hào) f (t) 周期T 11( )lim2()kTFa TTSaT(3.3.1)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.3 連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)的復(fù)指數(shù)分解傅立葉變換傅立葉變換 TtjkkktjkkdtetfTanTeatf00)(1,2,)(0為整數(shù)假設(shè)f(t)是周期為T的周期信號(hào)，則f(t)一定可以寫成: 無窮?。环侵芷跁r(shí)，周期當(dāng) kTatftfT)()(信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？變換，非周期信號(hào)的傅立葉；非周期時(shí)，周期當(dāng) dtetfFdtetfTaFktftfTdtetfTatjtjkTTTtjkkTT)()()(

19、)()()()(lim0220信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅立葉反變換傅立葉反變換? 傅立葉反變換；時(shí)，當(dāng),)(21)()(21)()(1)(,)(1)(202220002200deFtfdeFedtetftfkTdTedtetfTeatftjtjtjtjdkTTdTTTkktjktjktjkkTT 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅立葉變換傅立葉變換 傅立葉變換傅立葉變換Fourier Transform1( )( )2j tf tFed傅立葉逆變換傅立葉逆變換Inverse Fourier Transform( )( )j tFf t edt( )( )f tFF( ) ( )Ff tF1( )

20、( )f tFFf (t) 稱為信號(hào)的時(shí)域表示, F () 稱為信號(hào)的頻域表示信號(hào) f (t) 與其傅氏變換 F () 一一對應(yīng)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的物理意義傅氏變換的物理意義n傅氏逆變換式可寫為 ( )( )2j tFdf te非周期信號(hào)可以分解為無窮多個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào) 之和j te傅氏變換 稱為信號(hào)的頻譜密度函數(shù)( )2Fdj te復(fù)指數(shù)信號(hào) 的幅度為( )F( )( )( )jFFe ( )F( ) 幅度譜 相位譜(3.3.9)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？( (1)F()1)F()是一個(gè)密度函數(shù)的概念是一個(gè)密度函數(shù)的概念(2)F()(2)F()是一個(gè)連續(xù)譜是一個(gè)連續(xù)譜(3)F()

21、(3)F()包含了從零到無限高頻所有頻率分量包含了從零到無限高頻所有頻率分量(4)(4)各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系各頻率分量的頻率不成諧波關(guān)系信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？常用信號(hào)的傅立葉變換常用信號(hào)的傅立葉變換 n單邊指數(shù)信號(hào)單邊指數(shù)信號(hào)( )( ),0atf teu ta000( )( )( )( )1j tj tj tatj tFf t edtf t edtf t edteedtja221( )Fa1( )tan ()a 1( ),0ateu tajaF(3.3.11)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？常用信號(hào)的傅立葉變換常用信號(hào)的傅立葉變換 ( ),0atf tea0022( )( )2j ta

22、tj tatj tFf t edte edteedtaa222,0ataeaa Fn雙邊指數(shù)信號(hào)雙邊指數(shù)信號(hào)(3.3.13)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？常用信號(hào)的傅立葉變換常用信號(hào)的傅立葉變換 1,( )20,tg t其它2222( )( )12sin()()22j tj tjjGg t edtedteeSaj( )( )()2g tGSa Fn矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）矩形脈沖信號(hào)（門函數(shù)）(3.3.14)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？常用信號(hào)的傅立葉變換常用信號(hào)的傅立葉變換 ( ) t( )( )1j tFt edt( )1t Fn單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)單位沖激信號(hào)的傅立葉變換的幅度恒為 1單位沖

23、激信號(hào)等幅地包含所有頻率成份常用系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)來描述LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(3.3.15)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？t)(t01)(t10FT物理意義：在時(shí)域中變化異常劇烈的沖激函數(shù)包含幅度相等的所有頻率分量。因此，這種頻譜常稱為“均勻譜“或”白色譜“。信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？常用信號(hào)的傅立葉變換常用信號(hào)的傅立葉變換 ( )1f t12( ) Fn信號(hào)信號(hào)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的收斂傅氏變換的收斂傅氏變換的存在條件狄里赫利條件狄里赫利條件1信號(hào) f (t) 絕對可積( )f t dt 23信號(hào) f (t) 在任意有限區(qū)間內(nèi)，只有有限個(gè)極大和極小值點(diǎn)信號(hào) f (t) 在任意有限區(qū)間

24、內(nèi)，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，而且在這些間斷點(diǎn)處 f (t)必須是有限值 (3.3.18)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？吉布斯現(xiàn)象吉布斯現(xiàn)象 n滿足狄里赫利條件的連續(xù)時(shí)間信號(hào)存在傅氏變換，可以用傅氏逆變換表示1( )( )2MMj tf tFedn然而當(dāng)積分區(qū)間只取有限頻段近似時(shí)( )lim( )Nf tf t 和周期信號(hào)的情況一樣，在 f (t) 的跳變點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象(3.3.19)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？IFTdeFtftj,)(21)(傅立葉反變換傅立葉變換對：FTdtetfFtj，傅立葉變換，)()(信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.4 傅立葉變換的性質(zhì)傅立葉變換的性質(zhì)n傅立葉變換的性質(zhì)從不

25、同側(cè)面反映了一個(gè)信號(hào)的時(shí)域特性和頻域描述間的對應(yīng)關(guān)系n掌握這些性質(zhì)對理解和認(rèn)識(shí)傅氏變換的實(shí)質(zhì)及熟練應(yīng)用傅氏變換解決信號(hào)處理中的具體問題十分重要 信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？線性線性11( )( )f tF F若 ， 則22( )( )f tF F其中 、 為任意常數(shù)1a2a1 1221122( )( )( )( )a f ta f ta Fa F F兩個(gè)信號(hào)加權(quán)求和的傅氏變換等于各個(gè)信號(hào)傅氏變換的加權(quán)求和線性同樣適用于多個(gè)信號(hào)加權(quán)求和的情況 (3.4.1)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？1.線性線性n已知信號(hào)( )23 ( )f tt根據(jù)線性，其傅氏變換為( )4( )3F n已知信號(hào) f (t) 的

26、傅氏變換( )1jaFjaja 根據(jù)線性，該信號(hào)為( )( )( )atf ttaeu t信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？2.時(shí)移特性時(shí)移特性( )( )f tF F00()()jtf tteF F信號(hào)的時(shí)移不改變其傅立葉變換的幅度譜，僅在其相位譜上增加 的相移0t若 則(3.4.2)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？2.時(shí)移特性時(shí)移特性( )1t F0()tt Fn已知 ，根據(jù)時(shí)移特性0()tt F21,sin()( )0,ccctgt其它Fn已知 ，根據(jù)時(shí)移特性00sin()()cttttF002,( )0,cj tj tceeg其它0j te0j te信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.頻移特性頻移特性(

27、)( )f tF F若 ，則信號(hào)在時(shí)域乘以一個(gè)復(fù)指數(shù)信號(hào) ，其傅氏變換在頻域被頻移 0jte000( )()jtef tF F(3.4.6)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例3.4.1 利用傅氏變換的性質(zhì)，求下列信號(hào)的傅氏變換歐拉公式（1） 復(fù)指數(shù)信號(hào)0jte（2） 余弦信號(hào)0cos() t（3） 正弦信號(hào)0sin() t解：解： （1）12( ) F002()jte F（2）頻移特性0001cos()()2jtjttee002()jte F00,2()jte F線性000cos() ()()t F信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？歐拉公式（3）0001sin()()2jtjtteej002()jte F

28、00,2()jte F線性000sin() ()()tj F信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(21cos000tjtjeet)(21sin000tjtjeejt例：例：的傅氏變換求已知：ttfttfFtf00sin)(,cos)(),()()()(sin)()()(cos)(002000210FFttfFFttfjFTFT信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？t0)(tf122ttf0cos)(2t2)(jF)()(2100FF調(diào)幅信號(hào)的頻譜（載波技術(shù)）調(diào)幅信號(hào)的頻譜（載波技術(shù)）信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？n通常發(fā)射與接收天線尺寸是電磁波波長的1/2，稱為“半波振子”。 假設(shè)直接發(fā)射300Hz的音頻信號(hào)，波長n

29、=C/f=3x108m/s300Hz=106m=1000Km，需要500公里大的天線。調(diào)幅信號(hào)的頻譜（載波技術(shù)）調(diào)幅信號(hào)的頻譜（載波技術(shù)）信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？4.時(shí)間和頻率標(biāo)度時(shí)間和頻率標(biāo)度( )( )f tF F若 ，則如果信號(hào)在時(shí)域上壓縮（或擴(kuò)展） 倍，相應(yīng)的傅立葉變換就在頻域上擴(kuò)展（或壓縮） 倍，該性質(zhì)又稱為傅氏變換的尺度變換特性aa1()() ,0f atFaaa Fn已知 ，根據(jù)尺度變換特性( )1t F1(),0ataa F演示信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？4.時(shí)間和頻率標(biāo)度時(shí)間和頻率標(biāo)度時(shí)寬為 的門函數(shù)( )g t2(2 )gt時(shí)寬為 的門函數(shù)沿時(shí)間軸壓縮兩倍信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系

30、統(tǒng)系統(tǒng)？時(shí)域反轉(zhuǎn)特性時(shí)域反轉(zhuǎn)特性在尺度變換特性中，令 則信號(hào)在時(shí)域上關(guān)于縱坐標(biāo)反轉(zhuǎn)，則其傅氏變換在頻域上也反轉(zhuǎn)n已知1(),0ate utajaF1a 1(),0ateutajaFa -a()()ftF F時(shí)域反時(shí)域反轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)頻域頻域反轉(zhuǎn)反轉(zhuǎn)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？。的關(guān)系。生活中有實(shí)例說明時(shí)寬與頻寬是相反壓縮在頻域中展寬展寬在時(shí)域中壓縮理意義：尺度變換特性有它的物)()()()(Ftf倍倍。分分量量大大小小必必然然減減小小能能量量守守恒恒定定理理，各各頻頻率率倍倍。根根據(jù)據(jù)倍倍，也也即即頻頻譜譜展展寬寬增增加加所所以以它它所所含含的的頻頻率率分分量量倍倍，快快倍倍，信信號(hào)號(hào)隨隨時(shí)時(shí)間間變變化化

31、加加壓壓縮縮物物理理意意義義：信信號(hào)號(hào)的的波波形形aaaaa信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(2tf01t)(1tf12t20)(1jF2424)(2jF222時(shí)域壓縮時(shí)域壓縮時(shí)域展寬時(shí)域展寬 時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）時(shí)域中的壓縮（擴(kuò)展）等于頻域中的擴(kuò)展（壓縮）信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例題例題例例3.4.2 已知 ，求信號(hào) 的傅氏 變換解：解：1( )()f tf tb1( )( )jbFeF令時(shí)移特性( )( )f tF F()f atb21( )()()f tf atf atb( / )2111( )()()jb aFFeFaaaa令尺度變換( / )1()() ,0jb

32、 af atbeFaaa F(3.4.18)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5.共軛對稱性共軛對稱性( )( )f tF F若 ，則( )()ftF F時(shí)域共軛時(shí)域共軛頻域共軛頻域共軛并且反轉(zhuǎn)并且反轉(zhuǎn)n f (t)為實(shí)信號(hào)為實(shí)信號(hào)( )( )( )ftf tF F()( )FF信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)()()()()()()()()1(FtfttdtetfdtetfFdtetfFFTtjtjtj令證明：)()()()()()()()(21)()(21)()(21)()2(FtfFtfFtfdeFtfdeFtfdeFtfFTFTFTtjtjtj令信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？6.對偶性對偶性( )(

33、)f tF F若 ，則( )2()F tf F對某些信號(hào)，直接由定義式計(jì)算傅氏變換可能非常困難，但利用對偶性可使問題變得十分簡單 (3.4.29)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(2)()()(2)(21)()(21)()(21)(),(2)(),()(ftFdtetFfdtetFfdeFtfdeFtfftFFtfFTtjtjtjtjFTFT證明：則若信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.4 求信號(hào) 的傅氏變換解：解：( )F對偶性22()2()Sa tg Fsin( )ctf ttsin( )()cj ttFedtt直接計(jì)算積分困難！脈寬 的矩形脈沖222(

34、 )( )2()gtGSa F矩形脈沖是實(shí)偶信號(hào)22()2( )Sa tg F令c2sin( )cctgt F21,( )( )0,cccFg(3.4.31)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題若信號(hào)在時(shí)域?yàn)殚T函數(shù)，則其頻譜為抽樣函數(shù)若信號(hào)的頻譜為門函數(shù)，則其時(shí)域?yàn)槌闃雍瘮?shù)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.5 求信號(hào) 的傅氏變換解：解：( )F對偶性2222aaeta F221( ),0f tata按傅氏變換定義式直接計(jì)算積分困難！雙邊指數(shù)信號(hào)222,0ataeaa F線性221,0aeataa F(3.4.32)信號(hào)信號(hào)響

35、應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)(2)(21, 1)( FTFTt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？7.時(shí)域卷積特性時(shí)域卷積特性若 ， 則( )( )h tH F( )( )( )( )f th tFH F兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域上的卷積，對應(yīng)于兩信號(hào)在頻域上頻譜的乘積( )( )f tF Fn 利用時(shí)域卷積特性可簡化對 LTI 系統(tǒng)的響應(yīng)的求解信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.6 已知一LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)沖激響應(yīng)為解：解：直接計(jì)算沖激響應(yīng)與輸入信號(hào)的卷積較困難！下面采用傅氏變換的時(shí)域卷積特性求解：2 ,/2( )()( )2( )20,WWWth tWSaHg 其它F時(shí)域卷積特性

36、( )( )( )YFH( )()2Wth tWSa求輸入信號(hào) 的響應(yīng)0( )cos()f tt( )y t000( )cos()( ) ()()f ttF F信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題(2)2200002()2(), /2( )0, /2 WYW 0002 cos(), /2( )0, /2tWy tW2 ,/2( )2( )0,WWHg其它00( ) ()()F ( )( )( )YFH信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？8.時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性( )( )f tF Fn若 ，則( )( )df tj Fdt F信號(hào) f (t) 在時(shí)域求導(dǎo)，則對應(yīng)其頻譜在頻

37、域乘以 jn 連續(xù)對 f (t) 求導(dǎo)n 次，則( )()( )nnnd f tjFdt F(3.4.35)(3.4.36)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？8.時(shí)域微分特性時(shí)域微分特性( )1t Fn ，利用時(shí)域微分特性：( )( )()nntj F000cos() ()()dtjdt Fn對余弦信號(hào)的傅氏變換對利用時(shí)域微分特性 000000sin() () ()()tj F線性、整理000sin() ()()tj F(3.4.37)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題(1)例例3.4.8 求下列信號(hào)的傅立葉變換(1) 符號(hào)函數(shù)(2) 階躍信號(hào)1,0sgn( )1,0tt

38、t1,0( )0,0tu tt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？jtsignjSSjtSjtdttdStFTFTFTFT2)(,2)(,2)(:2)(2)()(2)sgn()()sgn()1( 所以而：則：解：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？jtujjUtsigntuFTtuUtuFTFT1)()(,1)(221)(221)()(2121)()(?)()()2(不一定不存在。，但不滿足絕對可積的條件解：信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？9.時(shí)域積分特性時(shí)域積分特性( )( )f tF Fn若 ，則( )( )(0) ( )tFfdFj F(3.4.41)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)()( :tfdft驗(yàn)證)()0(

39、)()( :)()0()()(:FjFjdfFjFdfFTtFTt則而信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.8 求下列信號(hào)的傅立葉變換(1) 階躍信號(hào)1,0( )0,0tu tt(2) 符號(hào)函數(shù)1,0sgn( )1,0ttt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)()(:Yty如圖所示，求例11)()()0()()(11)(:)()(1)( :00012210200tjtjetjYYjYYetYttttty則則解信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？)()(:Yty如圖所示，求例)(1)()00(111lim)0(0200100teYetjYtjtj型羅必塔法則)()0()()(

40、11YjYY11)(001tjetjY信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？10.能量定理能量定理帕斯瓦爾關(guān)系帕斯瓦爾關(guān)系( )( )f tF F若 ，則221( )( )2f tdtFd對信號(hào)功率的積分對能量譜密度的積分總能量2( )f t：信號(hào)功率，單位時(shí)間內(nèi)的能量2( )F：能量譜密度，單位頻率內(nèi)的能量帕斯瓦爾關(guān)系帕斯瓦爾關(guān)系Parsevals relation帕斯瓦關(guān)系又稱 能量定理能量定理(3.4.43)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？2( )( )p tf t2( ) p nf n連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t) :信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào)信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào)(1)信號(hào)的瞬時(shí)功率信號(hào)的瞬時(shí)功率離散時(shí)

41、間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)fn : 2 lim( )TTTEf tdt2lim NNnNEf n連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t) :(2)信號(hào)的能量信號(hào)的能量離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)fn :信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？5 5 能量信號(hào)和功率信號(hào)能量信號(hào)和功率信號(hào) 2 1lim( )2TTTPf tdtT21lim 21NNnNPf nN連續(xù)時(shí)間信號(hào)連續(xù)時(shí)間信號(hào)f(t) :(3)信號(hào)的平均功率信號(hào)的平均功率離散時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)fn :信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？能量譜帕斯瓦爾定理帕斯瓦爾定理dttf2)(0tdjF2)(2102)(tf2)(jF兩塊陰影的面積 相等能量密度譜能量有限信號(hào)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)

42、系統(tǒng)系統(tǒng)？11.幅度調(diào)制（時(shí)域相乘）特性幅度調(diào)制（時(shí)域相乘）特性若 ， 則( )( )g tG F1( ) ( )( )( )2f t g tFG F兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，對應(yīng)它們在頻域的卷積兩個(gè)信號(hào)在時(shí)域相乘，可以看成是用一個(gè)信號(hào)的幅度去改變（調(diào)制）另一個(gè)信號(hào)的幅度，所以稱為幅度調(diào)制特性 ( )( )f tF F(3.4.45)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.10 已知信號(hào) f(t) 的頻譜 如圖，( )F0M。求信號(hào) 的傅立葉變換 ( )Y0( )( )cos()y tf tt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？00001( )( )( )21( )()()

43、211()()22YFGFFF ( )F( )Y頻譜搬移形狀不變幅度減半 0( )( )cos()y tf tt信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.11 求信號(hào) 的頻譜解：解：121,1sin( )( )( )0,tf tgt其它F( )F幅度調(diào)制特性22sin ( )( )tf tt2222sin ( )1( )( )()2tggtF221( )( )( )2Fgg卷積的微分積分特性( 1)221( )( )( )2Fgg信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題(2)( 1)221( )( )( )2Fgg21,1( )0,g其

44、它( 1)( 1)221( )(1)(1)2Fgg信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？12.頻域微分和積分特性頻域微分和積分特性( )( )f tF F若 ，則( )() ( )dFjt f td F( )(0) ( )( )f tftFdjt Fn頻域積分特性為n頻域微分特性為對 求 n 階導(dǎo)數(shù)( )()( )nnnd Fjtf td F信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？傅氏變換的性質(zhì)傅氏變換的性質(zhì) 例題例題例例3.4.12 求信號(hào) 的傅氏變換解：解：1( )ateu tja F( )F( )( ),0atf tteu ta頻域微分特性21()( )()()atjjt eu tjaja F21( )()att

45、eu tja F111( )!()natnt eu tnja F(3.4.51)(3.4.49)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？例例: 一升余弦脈沖，波形如圖所示，表示一升余弦脈沖，波形如圖所示，表示 為為:試求試求f (t)的傅里葉變換。的傅里葉變換。tttf,)cos1 ()(21ttf,0)(信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？求升余弦的FT信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？3.5 周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換n周期信號(hào) f (t) 傅立葉級(jí)數(shù)表示 002( ),kkjktf ta eTn復(fù)指數(shù)信號(hào)的傅立葉變換 002()jktek Fn周期信號(hào) f (t) 的傅立葉變換 0( )2()kkFak (3.5.1)信號(hào)信號(hào)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)系統(tǒng)？周期信號(hào)的傅立葉變換周期信號(hào)的傅立葉變換