第七章第3講空間點、直線、平面之間的位置關系

1、第 3 講空間點、直線、平面之間的位置關系,學生用書 P127P128)1四個公理公理 1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)公理 2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面公理 3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行2空間直線的位置關系(1)位置關系的分類：共面直線平行相交異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)(2)異面直線所成的角：定義：設 a，b 是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點 O 作直線 aa，bb，把 a與 b所成的銳角(或直角)叫做異面直線 a 與 b 所成的角(或夾角)范圍：0，2

2、(3)定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補3空間直線與平面，平面與平面之間的位置關系圖形語言符號語言公共點直線與平面相交aA1 個平行a0 個在平面內(nèi)a無數(shù)個平面與平面平行0 個相交l無數(shù)個做一做1已知 A，B，C 表示不同的點，l 表示直線，表示不同的平面，則下列推理錯誤的是()AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，Al，llA答案：C2若直線 ab，bcA，則直線 a 與 c 的位置關系是()A異面B相交C平行D異面或相交答案：D1辨明三個易誤點(1)正確理解異面直線“不同在任何一個平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個平面內(nèi)”(2)不共線

3、的三點確定一個平面，一定不能丟掉“不共線”的條件(3)兩條異面直線所成角的范圍是(0，902證明共面問題的兩種途徑(1)首先由條件中的部分線(或點)確定一個平面，再證其他線(或點)在此平面內(nèi)；(2)將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證明這兩個平面重合3證明共線問題的兩種途徑(1)先由兩點確定一條直線，再證其他點都在這條直線上；(2)直接證明這些點都在同一條特定直線上做一做3下列命題正確的個數(shù)為()經(jīng)過三點確定一個平面梯形可以確定一個平面兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合A0B1C2D3解析：選 C經(jīng)過不共線的三點可以確定一個平面，不正確；兩

4、條平行線可以確定一個平面，正確；兩兩相交的三條直線可以確定一個或三個平面，正確；命題中沒有說清三個點是否共線，不正確4如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()解析：選 DA，B，C 圖中四點一定共面，D 中四點不共面,學生用書 P128P129)考點一_平面的基本性質(zhì)_如圖所示，正方體 ABCDA1B1C1D1中，E、F 分別是 AB 和 AA1的中點求證：(1)E、C、D1、F 四點共面；(2)CE、D1F、DA 三線共點證明(1)連接 EF，CD1，A1BE、F 分別是 AB、AA1的中點，EFBA1，又 A1BD1C，EFCD1，E、C、D

5、1、F 四點共面(2)EFCD1，EFCD1，CE 與 D1F 必相交，設交點為 P，則由 PCE，CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD同理 P平面 ADD1A1又平面 ABCD平面 ADD1A1DA，P直線 DACE、D1F、DA 三線共點規(guī)律方法(1)證明四點共面的基本思路：一是直接證明，即利用公理或推論來直接證明；二是先由其中不共線的三點確定一個平面，再證第四個點也在這個平面內(nèi)即可(2)要證明點共線或線共點的問題，關鍵是轉(zhuǎn)化為證明點在直線上，也就是利用公理 3，即證點在兩個平面的交線上或者選擇其中兩點確定一直線，然后證明另一點也在直線上1 如圖，空間四邊形 ABCD 中，E，F(xiàn) 分別

6、是 AB，AD 的中點，G，H 分別在 BC，CD 上，且 BGGCDHHC12(1)求證：E，F(xiàn)，G，H 四點共面；(2)設 EG 與 FH 交于點 P，求證：P，A，C 三點共線證明：(1)E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點，EFBD在BCD 中，BGGCDHHC12，GHBD，EFGHE，F(xiàn)，G，H 四點共面(2)EGFHP，PEG，EG平面 ABC，P平面 ABC同理 P平面 ADCP 為平面 ABC 與平面 ADC 的公共點又平面 ABC平面 ADCAC，PAC，P，A，C 三點共線考點二_空間兩直線的位置關系_如圖所示，正方體 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分別是 A1B1，

7、B1C1的中點問：(1)AM 和 CN 是否是異面直線？說明理由；(2)D1B 和 CC1是否是異面直線？說明理由解(1)不是異面直線理由：連接 MN，A1C1，AC因為 M，N 分別是 A1B1，B1C1的中點，所以 MNA1C1又因為 A1A 綊 C1C，所以 A1ACC1為平行四邊形，所以 A1C1AC，所以MNAC，所以 A，M，N，C 在同一平面內(nèi)，故 AM 和 CN 不是異面直線(2)是異面直線理由如下：因為 ABCDA1B1C1D1是正方體，所以 B，C，C1，D1不共面假設 D1B 與 CC1不是異面直線，則存在平面，使 D1B平面，CC1平面，所以 D1，B，C，C1，這與

8、B，C，C1，D1不共面矛盾所以假設不成立，即 D1B 和 CC1是異面直線規(guī)律方法異面直線的判定方法：(1)定義法：依據(jù)定義判斷(較為困難)(2)定理法：過平面內(nèi)一點與平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結(jié)論可作為定理使用)(3)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴密的推理，導出矛盾，從而否定假設，肯定兩條直線異面2 如圖，正方體 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分別為棱 C1D1，C1C 的中點，有以下四個結(jié)論：直線 AM 與 CC1是相交直線；直線 AM 與 BN 是平行直線；直線 BN 與 MB1是異面直線；直線 AM

9、與 DD1是異面直線其中正確的結(jié)論為_(注：把你認為正確的結(jié)論的序號都填上)解析：直線 AM 與 CC1是異面直線，直線 AM 與 BN 也是異面直線，故錯誤答案：考點三_異面直線所成的角(高頻考點)_從近幾年的高考試題來看， 異面直線所成的角是高考的熱點， 題型既有選擇題又有填空題，也有解答題，難度為中低檔題；高考對異面直線所成的角的考查主要有以下兩個命題角度：(1)求異面直線所成角；(2)由異面直線所成角求其他量在正方體 ABCDA1B1C1D1中，(1)求 AC 與 A1D 所成角的大?。?2)若 E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點，求 A1C1與 EF 所成角的大小解(1)如圖所示，連

10、接 B1C，AB1，由 ABCDA1B1C1D1是正方體，易知 A1DB1C，從而 B1C 與 AC 所成的角就是 AC 與 A1D 所成的角AB1ACB1C，B1CA60即 A1D 與 AC 所成的角為 60(2)連接 BD，在正方體 ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1E，F(xiàn) 分別為 AB，AD 的中點，EFBD，EFACEFA1C1即 A1C1與 EF 所成的角為 90若本例中“正方體”改為“正四棱柱”且異面直線 A1B 與 AD1所成角的余弦值為910，試求：AA1AB的值解：設 AB1，AA1t，由題意知A1BC1為所求，又 A1C1 2，A1B t21BC1，cosA

11、1BC1t21t2122 t21 t21910，t3，即AA1AB3規(guī)律方法用平移法求異面直線所成的角的三步法(1)一作：即據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角；(2)二證：即證明作出的角是異面直線所成的角；(3)三求：解三角形，求出作出的角，如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角3(1)(2015安徽省江南十校聯(lián)考)已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為 1 的正方形， 若平面 ABCD 內(nèi)有且僅有 1 個點到頂點 A1的距離為 1， 則異面直線 AA1，BC1所成的角為()A6B4C3D512(2)(2015廣州調(diào)研)在正四棱錐

12、 VABCD 中， 底面正方形 ABCD 的邊長為 1， 側(cè)棱長為 2，則異面直線 VA 與 BD 所成角的大小為()A6B4C3D2(3) 如圖所示，點 A 是平面 BCD 外一點，ADBC2，E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，且 EF 2，則異面直線 AD 和 BC 所成的角為_解析：(1)由題意可知，只有點 A 到 A1距離為 1，即高為 1，所以該幾何體是個正方體，異面直線 AA1，BC1所成的角是4(2)設 ACBDO，連接 VO(圖略)，因為四棱錐 VABCD 是正四棱錐，所以 VO平面ABCD，故 BDVO，又四邊形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，

13、所以 BDVA，即異面直線 VA 與 BD 所成角的大小為2，故選 D(3)如圖，設 G 是 AC 的中點，連接 EG，F(xiàn)G因為 E，F(xiàn) 分別是 AB，CD 的中點，故 EGBC 且 EG12BC1，F(xiàn)GAD，且 FG12AD1 則EGF 即為所求， 又 EF 2， 由勾股定理逆定理可得EGF90答案：(1)B(2)D(3)90,學生用書 P130)方法思想判斷空間線面位置關系(構(gòu)造法)在正方體 ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn) 分別為棱 AA1、CC1的中點，則在空間中與三條直線 A1D1，EF，CD 都相交的直線有_條解析法一：如圖，在 EF 上任意取一點 M，直線 A1D1與 M 確定

14、一個平面，這個平面與 CD 有且僅有一個交點 N，當 M 取不同的位置時就確定不同的平面， 從而與 CD 有不同的交點 N， 而直線 MN 與這三條異面直線都有交點，所以在空間中與這三條直線都相交的直線有無數(shù)條法二：在 A1D1上任取一點 P，過點 P 與直線 EF 作一個平面，因 CD與平面不平行，所以它們相交，設它們交于點 Q，連接 PQ(圖略)，則 PQ 與 EF 必然相交，即 PQ 為所求直線由點 P 的任意性，知有無數(shù)條直線與三條直線 A1D1，EF，CD 都相交答案無數(shù)名師點評1本題難度不大，但比較靈活對平面的基本性質(zhì)、空間兩條直線的位置關系的考查難度一般都不會太大2注意本題解法較

15、多，但關鍵在于構(gòu)造平面，但不少學生不會構(gòu)造平面，因此不能解決3點、線、面之間的位置關系可借助正方體為模型，以正方體為主線，直觀感知并認識空間點、線、面的位置關系，準確判定線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直已知空間三條直線 l，m，n，若 l 與 m 異面，且 l 與 n 異面，則()Am 與 n 異面Bm 與 n 相交Cm 與 n 平行Dm 與 n 異面、相交、平行均有可能解析：選 D在如圖所示的長方體中，m，n1與 l 都異面，但是 mn1，所以 A，B 錯誤；m，n2與 l都異面，且 m，n2也異面，所以 C 錯誤1已知直線 l平面，P，那么過點 P 且平行于直線

16、l 的直線()A只有一條，不在平面內(nèi)B有無數(shù)條，不一定在平面內(nèi)C只有一條，且在平面內(nèi)D有無數(shù)條，一定在平面內(nèi)解析：選 C由直線 l 與點 P 可確定一個平面，則平面，有公共點，因此它們有一條公共直線，設該公共直線為 m，因為 l，所以 lm，故過點 P 且平行于直線 l 的直線只有一條，且在平面內(nèi)2已知 A、B、C、D 是空間四個點，甲：A、B、C、D 四點不共面，乙：直線 AB 和直線 CD 不相交，則甲是乙成立的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選 A因為 A、B、C、D 四點不共面，則直線 AB 和直線 CD 不相交，反之，直線 AB 和直線 CD

17、 不相交，A、B、C、D 四點不一定不共面故甲是乙成立的充分不必要條件3如圖，l，A，B，C，且 Cl，直線 ABlM，過 A，B，C 三點的平面記作，則與的交線必通過()A點 AB點 BC點 C 但不過點 MD點 C 和點 M解析：選 DAB，MAB，M又l，Ml，M根據(jù)公理 3 可知，M 在與的交線上同理可知，點 C 也在與的交線上4如圖所示，ABCDA1B1C1D1是正方體，O 是 B1D1的中點，直線 A1C 交平面 AB1D1于點 M，則下列結(jié)論正確的是()AA，M，O 三點共線BA，M，O，A1不共面CA，M，C，O 不共面DB，B1，O，M 共面解析：選 A連接 A1C1，AC(

18、圖略)，則 A1C1AC，A1，C1，A，C 四點共面，A1C平面 ACC1A1MA1C，M平面 ACC1A1又 M平面 AB1D1，M 在平面 ACC1A1與平面 AB1D1的交線上，同理 A，O 在平面 ACC1A1與平面 AB1D1的交線上A，M，O 三點共線5 如圖， 正方形 ACDE 與等腰直角三角形 ACB 所在的平面互相垂直， 且 ACBC2，ACB90，F(xiàn)，G 分別是線段 AE，BC 的中點，則 AD 與 GF 所成的角的余弦值為()A36B36C33D33解析：選 A延長 CD 至 H使 DH1，連接 HG、HF，則 HFADHFDA2 2，GF 6，HG 10cosHFG8

19、6102 62 2366 平面，相交， 在，內(nèi)各取兩點， 這四點都不在交線上， 這四點能確定_個平面解析：如果這四點在同一平面內(nèi)，那么確定一個平面；如果這四點不共面，則任意三點可確定一個平面，所以可確定四個答案：1 或 47 如圖所示，在三棱錐 ABCD 中，E，F(xiàn)，G，H 分別是棱 AB，BC，CD，DA 的中點， 則當 AC， BD 滿足條件_時， 四邊形 EFGH 為菱形， 當 AC， BD 滿足條件_時，四邊形 EFGH 是正方形解析：易知 EHBDFG，且 EH12BDFG， 同理 EFACHG， 且 EF12ACHG，顯然四邊形 EFGH 為平行四邊形要使平行四邊形 EFGH 為菱形需滿足 EFEH，即 ACBD；要使四邊形 EFGH 為正方形需滿足 EFEH 且 EFEH，即 ACBD 且 ACBD答案：ACBDACBD 且 ACBD8 如圖所示，正方體的棱長為 1，BCBCO，則 AO 與 AC所成角的度數(shù)為_解析：ACAC，AO 與 AC所成的角就是OACOCOB，AB平面 BBCC，OCAB又 ABBOB，OC平面 ABO又 OA平面 ABO，OCOA在 RtAOC 中，OC22，AC 2，sinOACOCAC12，OAC30即 AO 與 AC所成角的度數(shù)為 30