垂徑定理的教學設計

1、一、教學內容分析垂徑定理的教學設計本節(jié)課要研究的是圓的軸對稱性與垂徑定理及簡單應用,垂徑定理既是前面圓的性質的重要體現，是圓的軸對稱性的具體化，也 是今后證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關系的重要依據，同時也是為進行圓的計算和作圖提供了方法和依據，所以它在教材 中處于非常重要的位置。二、教學目標知識和技能: 通過觀察實驗，使學生理解圓的軸對稱性； 掌握垂徑定理，理解其證明，并會用它解決有關的證明與計算問題;掌握輔助線的作法一一過圓心作一條與弦垂直的線段。過程和方法:通過定理探究，培養(yǎng)學生觀察、分析、邏輯思維和歸納概括能力;向學生滲透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法。 情感態(tài)度和

2、價值觀：激發(fā)學生探究、發(fā)現數學問題的興趣和欲望，以及對學生進行數學美的教育學習者特征分析1、一般特征：學生是農村校的九年級學生，班級學生在學習方面之間存在一定的差異；但學生對生活中隱含的數學問題興趣 濃厚。2、初始能力：學生在小學學習“圓的認識”和“軸對稱圖形”時，已經對圓的軸對稱性有了基本的認識與了解。但對對稱軸及軸 對稱的性質應用理解不足。3、信息素養(yǎng)：大部分學生的信息素養(yǎng)一般。四、知識點學習目標描述知識點編號感知讓學生從一些簡單實例中不斷體會從現實世界中尋找數學模型,建立數學關系的方法.理解學生通過線段ab的運動變換很自然地渡到垂直于弦的直徑，經歷了由特殊到一般的探索過程，并通過實驗-觀

3、察-分析-猜想，主動地探索垂徑定理的知識理解能通過教師的引導對上述的猜想進行證明，并通過觀察定理的變式圖形加深對定理的 理解和掌握應用通過題組訓練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面 的簡單應用應用引導學生運用所學知識加以解決，注重培養(yǎng)學生解決實際問題的能力理解師生共同回顧學習內容，有助于學生將知識系統(tǒng)化，條理化，幫助學生全面理解、掌 握所學知識（一）教學重點和難點教學重點教學難點（二）教學環(huán)境要求垂徑定理及其應用通過動手操作，對比已有的知識，從一般到特殊的方法讓學生經歷了動手操作、觀察、猜想、歸納等方法垂徑定理的證明與垂徑定理的理解及靈活應用.通過學生動手做“找圓心

4、”的游戲再利用多媒體播放整個折疊過程1 .每個學生準備若干張圓形紙片;2 .教師自制的多媒體課件；3.上課環(huán)境為多媒體大屏幕環(huán)境。（三）教學媒體（資源）選擇知識點編號學習目標媒體類型媒體內容要點教學作用使用方式所得結論占用媒體來時間源1感知圖片欣賞圖片ig感知趙州橋1分鐘下載2理解圓形紙片動手折疊紙片及教師提 出的問題af圓是軸對 稱圖形，過 圓心的任 意一條直 線（或直徑 所在的直 線）都是它 的對稱軸3分鐘自制3理解圖片文本圖片的折疊演示得出定c理的猜想f得出定理3分鐘自制媒體在教學中的作用分為：a.提供事實，建立經驗；b.創(chuàng)設情境，引發(fā)動機；c.舉例驗證，建立概念；d.提供示范，正確 操

5、作；e.呈現過程，形成表象；f.演繹原理，啟發(fā)思維；g.設難置疑，引起思辨；h.展示事例，開闊視野；i.欣賞審美，陶冶情操； j.歸納總結，復習鞏固；k.自定義。媒體的使用方式包括：a.設疑一播放一講解；b.設疑一播放一討論；c.講解一播放一概括；d.講解一播放一舉例；e.播放一提問 講解；f.播放一討論一總結；g.邊播放、邊講解；h.邊播放、邊議論；i.學習者自己操作媒體進行學習；j.自定義。（四）板書設計一、課題：垂徑定理1、垂徑定理：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（1） cd過圓心（2） cd丄ab于e貝m a） ae=be（b） ad=bd（ c） ac=

6、bc2、垂徑定理推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。已知（1） cd 過圓心（2） ae=be （ab 不是直徑）則（a） cd 丄ab 于 e （b ） ad=bd （c） ac=bc二、垂徑定理的應用：解決有關弦、弧、半徑等問題的計算、證明（和作圖）解決某些實際問題（如拱橋等）一一強化應用意識。常用的輔助線：（1）作半徑；（2 ）過圓心作弦的垂線段。常用解法：（1 ）勾股定理；（2）解直角三角形(2)(3)(4)（1）（五）教學策略闡述1.情景創(chuàng)設策略：通過生活中的圖片，有效激發(fā)學生學習的興趣和求知欲，創(chuàng)設寬松活潑的課堂教學氣氛，維持學生學習的 動機。2 .類比

7、啟發(fā)策略：在完成教學要求的基礎上，通過設置與生活實際緊密聯系的問題情境，鞏固提高學生運用知識解決生活問題的 能力。3.引導探究策略：學生通過小組合作，探索出垂徑定理，充分發(fā)揮學生的主體作用。（六）課堂教學過程結構設計（本欄為課堂教學設計的重點，應詳細闡述并繪出流程圖）教學環(huán)節(jié)教師的活動學生的活動教學媒體（資源）設計意圖、依據一、情景導入，激疑引趣1介紹和展示中國石拱橋中由隋代 工匠李春建造的趙州橋（如掛圖）。2該實例中建立與本課題密切有關的 數學問題聆聽背景介 紹和欣賞石拱 橋的圖形，并思 考教師提出的 問題掛圖以同學們所熟知的趙州橋入手，并從 該實例中建立與本課題密切有關的數 學問題.這樣既

8、能激發(fā)學生的興趣，又 能引發(fā)學生更深層次的思考.使學生認 識到數學總是與現實問題密不可分，將 實際問題數學化，可讓學生從一些簡單實例中不斷體會從現實世界中尋找數 學模型，建立數學關系的方法.學生通過''教學內容重新整合，將圓的軸找圓心的游戲對稱性的學習變成了操作性強，又具有復習了圓的軸趣味性的“找圓心”問題，激發(fā)了學生對稱性的求知欲望，調動了學生學習的積極學生通過線段性，通過線段ab的運動變換很自然地1、活動1:讓學生拿出事先準備好ab的運動變換渡到垂直于弦的直徑，讓學生經歷了由的圓形紙片，想想能否通過折疊的方很自然地渡到利用多媒體播特殊到一般的探索過程，這符合學生的法找到該圓

9、的圓心？為什么？垂直于弦的直放折疊過程和線段ab認知規(guī)律，引導學生通過實驗-觀察-2、教師演示線段ab的運動變換。徑，經歷了由特 的運動變換過程分析-猜想，主動地探索垂徑定理的知3、讓學生大膽提出猜想。殊到一般的探識。這一過程突出知識地產生過程，教索過程，并通過會學生動眼看、動手做、動腦想、動口實驗-觀察-說，主動參與到教學活動中，這樣做有分析-猜想，主利于發(fā)揮學生的主動性，發(fā)展他們的創(chuàng)動地探索垂徑造性，為達到本課的教學目標奠定了堅定理的知識實的基礎1、在學生動手操作一折紙和課件演示學生在教師的基礎上，利用圓的軸對稱性，采用疊教師板書出已知、求證并引導學生的引導下進行合法證明垂徑定理是學生容易

10、接受的，從以下兩方面尋找證明思路，然后利定理的證明目的是既使學生重視證明表述，又加深用疊合法即可證出。根據上面的證對它的發(fā)現與理解。根據上面的證明，請學生自己用文字明，學生自己用2、讓學生經歷了實驗一觀察一猜想一語言和符號語言進行歸納，并將其命文字語言和符證明，學生的思維逐步被展開，現在可名為“垂徑定理”。號語言進行定以引導學生證明并歸納定理，歸納定理理歸納時采用了文字語言和符號語言兩種形讓學生觀察圖形(如圖4(a)(d)中，學生觀察教師式ab是Q 0的弦，cd是Q o的弦，它們給出的定理的3、強化對基本圖形的理解，從特殊到是否適用于“垂徑定理” ？若不適用，變式圖形，以強一般，培養(yǎng)學對幾何圖

11、形的化歸思維能說明理由；若適用，能得到什么結論?；瘜Χɡ砘玖?。幾何定理中文字語言、符號語言，圖形的理解圖形語言的相互聯系與轉換也是學生1應具備的能力。三、引導探究, 證明定理二、嘗試誘導,發(fā)現定理四、例題示范, 變式練習1、教師出示例題：例1、如圖，已知在Q 0中，弦ab的長8cm,圓心 0到ab的距離為3cm,求Q o的半徑. 講完例1后，教師總結：半徑、圓心 到弦的距離及弦長三者有何關系？2、例2 、在例1圖形的基礎上，以Q 0的圓心再畫一個圓交弦 ab于C、在教師的 分析引導下學 會利用垂徑定理解決相關的d則ab與cd可能存在的關系？試證 明教師總結：在圓中，解弦的有關問題 時，常常需

12、要作“垂直于弦的直徑” 作為輔助線，實際上，往往只須從圓 心作一條與弦垂直的線段。數學問題把握解決此類問題的關鍵點將例2作為例1的延伸，滲透了 從“特殊”到“一般”解題思想方法， 使學生體會到由淺到深，由表及里的學 習過程，符合學生的認知規(guī)律，引導 學生的解法要突出“七字口訣”的重要性及垂徑定理的優(yōu)越性，.通過題組訓 練使學生對垂徑定理有了更進一步認識，并掌握了有關計算、證明等方面的 簡單應用，教師教學時應突出作圓心到 弦的垂線段，是應用垂徑定理時常用的 添加輔助線方法。教師出示課前所留的有關趙州數學來源于實踐，又應用于實五、鞏固練橋橋拱半徑的問題。學生獨立思考，踐。在例題中，老師把新課引入的

13、實際習化疑解難趙州橋的橋拱呈圓弧形當堂練習問題，在結束前引導學生運用所學知識六、課堂回顧畫龍點睛的（如圖1），它的跨度（弧所對的 弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到 弦ab的距離，也叫弓高）為 7.2米。 請問：橋拱的半徑（即ab所在圓的半 徑）是多少？通過本節(jié)課的學習你有哪些想法和小組討論后師 收獲？生共同小結加以解決，注重培養(yǎng)學生解決實際問題 的能力。首尾呼應，形成一個課堂教學 的整體。師生共同回顧學習內容，有助于 學生將知識系統(tǒng)化，條理化，幫助學生 全面理解、掌握所學知識，同時可說明 弦的中點、弧的中點都集中在垂直于弦的直徑上，對學生進行數學美育教育。七、課后作業(yè)結合學生的實際情況，為

14、了更好地因材施教，我的作業(yè)題分為必做 題與選做題，及時鞏固知識，達到課堂內容 的延伸，調動學生學習積極性， 提高學 生思維的廣度，培養(yǎng)學生良好的學習習 慣及思維品質。（七）個性化教學為學有余力的學生所做的調整：為了更好地因材施教，我的作業(yè)題分為必做題與選做題，選做題：有一石拱橋是圓弧形，如圖所示，正常水位下水面寬ab=60m水面到拱頂距離 cd=18m當洪水泛濫時，水面寬 mn=32m是否需要采取緊急措施？請說明問題為需要幫助的學生所做的調整：教師參與到討論當中，做弱勢小組的組織者和指導者（八）形成性檢測知識點編 號學習目標檢測題的內容1理解讓學生拿出事先準備好的圓形紙片，想想能否通過折疊的方

15、法找到該圓的圓心？為什么？2應用根據上面的證明，請學生自己用文字語言和符號語言進行歸納，并將其命名為“垂徑定理”.與同伴交流。3遷移思考、探究：趙州橋的橋拱呈圓弧形的（如圖1），它的跨度（弧所對的弦長）為37.4米，拱高（弧的中點到弦ab的距離，也叫弓高）為 7.2米。請問：橋拱的半徑（即 ab所在圓的半徑）是多少？（九）形成性評價形成性練習題中的基礎題完成得很好，但對于知識遷移的思考題，部分學生解答得不是特別好。通過課堂教學發(fā)現學生的知識點掌握較好，學習中投入性與主動性非常高，也樂于發(fā)表自己的見解，取得了很好的教學效果。多媒體課件能較好的解決教學的重難點，既提高了教學效率，學生又非常感興趣。

16、（十）教學預測、反思數學源于生活，而又服務于生活。本節(jié)課的內容與生活是息息相關的，因此學生反映很熱烈，學起來也不困難。因此這節(jié)課我采 用了多媒體教學，使抽象的圖形直觀化，生活化；通過圖片的折疊和旋轉使復雜的問題簡單化，學生也比較容易接受，從而突破了 難點，達到了本節(jié)課的教學目標。因此在今后的教學中應注重貼近學生的實際生活，從學生的角度去挖掘素材，找準突破點，盡可 能地使數學生活化，趣味化，使學生自愿地去親身經歷數學，體驗數學，從而達到我們教學的目的數學課堂如何體現新理念呢？我從課堂教學的時間、地點、人物三個方面進行了反思。一、時間：是否一定要按固定的程序進行數學課我們經常沿襲的時間結構是預習（

17、5分鐘）、小組合作（教研活動時，在上課前要有經驗要“卡”好節(jié)奏，千萬別拖堂。分析與反思：現行的教材都是分課時編寫，通常每課時的任務必須在一節(jié)課內完成。15分鐘）、學生展示（20分鐘）、教師小結（5分鐘）、作業(yè)。舉行多數教師對每節(jié)課的內容、任務、進程都具體以時間順序來分解，有時怕完不成任務，學生在關鍵處及易混易錯處發(fā)生分歧時，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕“節(jié)外生枝”，過分講究課堂教學環(huán)節(jié)的絲絲入扣，教師往往在一節(jié)課的各個階段，按“套路”引領學生一步一步去“走教案”就行了。這種課看上去緊湊， 但缺少一種動態(tài)生成，往往以犧牲學生學習的積極主動性為代價，弊病很多。我們認為教學任務是否完成不在于

18、課上講了多少，而要 看學生學得如何。只要有利于學生學習積極性的調動和學生發(fā)展，固定的課堂教學時間結構可以打破，無需每個環(huán)節(jié)都要安排。只要 課堂上學生學得活潑、主動，重點思路掌握了，不會的問題解決了，即使設計的教學內容或書上的練習沒完成，或由于學生對某個內 容探究的欲望很強，教師打破教材課時的限制，根據學生的需要靈活地處理教學結構而拖堂了，都不能以時間把握不準而一律認為不 是一節(jié)好課。二、地點：學生學習數學的空間難道僅在教室？ 九年級上第四章一視圖與投影的教學中，對投影這部分內容，教師往往也只在教室中，畫出基本圖形后，利用光學的基本知識，傳授 學生如何得到影子，或者根據影子得到實物及尋找光源等。例：一個正方形的紙片在陽光下的影子是什么形狀？教師往往怕麻煩，只 在教室作講解，最多提醒學生課后自己試驗。實際上，這樣的問題實際操作一下，可能能夠起到更多更好的效果說的小一點，可能 對這個問題的答案