消元法矩陣的初等變換

1、Gauss 消元法&矩陣的初等變換歐陽順湘北京師范大學(xué)珠海分校2005.3.27Gauss 消元法線性方程組mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111111njjja xb221njjja xb1nmjjmja xb1 , nijjija xb1,2,.,im如果線性方程組如果線性方程組11112211211222221122.nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb的的系數(shù)行列式系數(shù)行列式D不等于零不等于零， 則方程組有唯一解則方程組有唯一解 11,DxD22,DxDnnDxD,行列式

2、的應(yīng)用行列式的應(yīng)用Crammer法則法則 （1）Crammer法則的使用有極大的局限性法則的使用有極大的局限性（1） Crammer法則只能用于求解法則只能用于求解方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù) 個(gè)數(shù)相等個(gè)數(shù)相等的線性方程組；的線性方程組；（2） Crammer法則只能求得法則只能求得系數(shù)行列式不為零系數(shù)行列式不為零時(shí)的時(shí)的 線性方程組的唯一解；線性方程組的唯一解； 即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù)即如果方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不相等，或系數(shù) 行列式等于零，則行列式等于零，則Crammer法則失效。法則失效。（3）計(jì)算量大計(jì)算量大，要計(jì)算，要計(jì)算 n+1 個(gè)個(gè) n 階行列式的值。階行列式

3、的值。 如何解決這些問題呢？如何解決這些問題呢？Gauss 消元法 先看階梯形線性方程組1232331823153xxxxxx易算出易算出123916xxx Gauss 消元法求解線性方程組基本思想mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111轉(zhuǎn)化為階梯形線性方程組（m=n的情形）將22222dxcxcnnnnnndxc11212111dxcxcxcnn222222dxcxaxcnnrrrnrnrrrdxcxc111212111dxcxcxcxcnnrr000001 rd123123132314254226xxxxxxxx12323318

4、23153xxxxxx【例例1】解方程組解方程組) 1 (622452413231321321 xxxxxxxx【解】【解】方程組方程組(1)中第中第2個(gè)方程減去第個(gè)方程減去第1個(gè)方程的個(gè)方程的2倍，倍，第第3個(gè)方程減去第個(gè)方程減去第1個(gè)方程，得個(gè)方程，得)2(132321 xxx2432 xx532 xx再將方程組再將方程組(2)中第中第2個(gè)方程減去第個(gè)方程減去第3個(gè)方程的個(gè)方程的4倍，得倍，得)3(132321 xxx1833x532 xx將方程組將方程組(3)中第中第2，3方程交換，得方程交換，得1232332315(4)318xxxxxx 易算出易算出)5(619321 xxx它是原方

5、程組的解它是原方程組的解. .階梯形方程組階梯形方程組（一）線性方程組的初等變換：（一）線性方程組的初等變換：2、用一個(gè)非零的數(shù)乘某一方程；、用一個(gè)非零的數(shù)乘某一方程；3、把一個(gè)方程的、把一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上倍加到另一個(gè)方程上.1、互換兩個(gè)方程的位置；、互換兩個(gè)方程的位置； 消元過程實(shí)際上是方程組消元過程實(shí)際上是方程組 (1)經(jīng)過一系列初等變經(jīng)過一系列初等變換化成階梯形方程組換化成階梯形方程組,再經(jīng)一系列初等變換求出解；再經(jīng)一系列初等變換求出解；是否是否同解同解?定理定理初等變換總是把方程組變成同解方程組初等變換總是把方程組變成同解方程組. .123123132314254226xx

6、xxxxxx213425202146123231xxx2432 xx532 xx213041011125123231xxx1833x532 xx2130030111185123231xxx1833x532 xx21300301111851232332315318xxxxxx 2130111815003123916xxx 123 9 1 6xxx 10001091600121301118150031000109160012130110011562100100011916200010001181611121121222212.nnmmmnna aabaaabaaab稱為方程組的稱為方程組的增廣矩陣

7、增廣矩陣111212122212.nnmmmna aaaaaaaa稱為方程組的稱為方程組的系數(shù)矩陣系數(shù)矩陣11 11221121 1222221 122.nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb設(shè)有線性方程組設(shè)有線性方程組線性方程組與矩陣之間可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系線性方程組與矩陣之間可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 消元過程實(shí)際上是方程組消元過程實(shí)際上是方程組 (1)經(jīng)過一系列初等變經(jīng)過一系列初等變換化成階梯形方程組換化成階梯形方程組,再經(jīng)一系列初等變換求出解；再經(jīng)一系列初等變換求出解；（一）線性方程組的初等變換：（一）線性方程組的初等變換：2、用一個(gè)非零的數(shù)乘某一方程；、用一個(gè)非零的數(shù)乘某一方程；3、把一個(gè)方程的、把一個(gè)方程的k倍加到另一個(gè)方程上倍加到另一個(gè)方程上.1、互換兩個(gè)方程的位置；、互換兩個(gè)方程的位置；矩陣的初等變換初等行變換（1） 互換任意兩行的位置：（2） 用非零數(shù)乘某行：（3） 用一個(gè)常數(shù)乘矩陣的某一行，再加到另一行上去： 消元過程消元過程相當(dāng)于對(duì)該方程組的增廣矩陣反復(fù)施以相當(dāng)于對(duì)該方程組的增廣矩陣反復(fù)施以初等初等行行變換化成階梯形矩陣變換化成階