高中常見數(shù)學(xué)模型案例

1、高中常見數(shù)學(xué)模型案例中華人民共和國教育部 2003年4月制定的普通高中 ?數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)? 中明確指出： 數(shù) 學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)文化是貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種新的方式，它為學(xué)生提供了自主學(xué)習(xí)的空間，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問題中的價值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系， 體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識和方法解決實(shí)際問 題的過程，增強(qiáng)應(yīng)用意識；有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，開展學(xué)生的創(chuàng)新意識和實(shí)踐能力。教材中常見模型有如下幾種 ：一、函數(shù)模型用函數(shù)的觀點(diǎn)解決實(shí)際問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的、最常用的方法。函數(shù)模型與方法在處理實(shí)際問題中的廣泛運(yùn)用，兩個變量或幾個變量，凡能

2、找到它們之間的聯(lián)系，并用數(shù)學(xué)形式表示出來，建立起一個函數(shù)關(guān)系(數(shù)學(xué)模型)，然后運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)知識去解決實(shí)際問題， 這些都屬于函數(shù)模型的范疇。1、正比例、反比例函數(shù)問題例1:某商人購貨，進(jìn)價已按原價 a扣去25%，他希望對貨物訂一新價，以便按新價讓利銷售后仍可獲得售價25%的純利，那么此商人經(jīng)營者中貨物的件數(shù) x與按新價讓利總額 y之間的函數(shù)關(guān)系是 。分析：欲求貨物數(shù)x與按新價讓利總額 y之間的函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是要弄清原價、進(jìn)價、 新價之間的關(guān)系。假設(shè)設(shè)新價為b,那么售價為b( 1 -20%),因?yàn)樵瓋r為a,所以進(jìn)價為a (1 - 25%)5解：依題意，有 b(1-0.2)-a(1-0.25)=

3、 b(1 -0.2)025 化簡得 b = 5a ,所以45a+y = 0.2bxa 0.2 x，即 y x, x N442、一次函數(shù)問題例2:某人開汽車以60km/h的速度從A地到150km遠(yuǎn)處的B地，在B地停留1h后， 再以50km/h的速度返回 A地，把汽車離開 A地的路x ( km)表示為時間t ( h)的函數(shù)， 并畫出函數(shù)的圖像。分析：根據(jù)路程=速度X時間，可得出路程x和時間t得函數(shù)關(guān)系式x (t);同樣，可列出v(t)的關(guān)系式。要注意 v(t)是一個矢量，從 B地返回時速度為負(fù)值，重點(diǎn)應(yīng)注意如何畫 這兩個函數(shù)的圖像，要知道這兩個函數(shù)所反映的變化關(guān)系是不一樣的。解：汽車離開 A 地的

4、距離 x km 與時間t h之間的關(guān)系式是：601, t 0,2.5x = <150, t (2.5,3.5，圖略。150 -50(t -3.5), t (3.5,6.560, t 0,2.5)速度vkm/h與時間t h的函數(shù)關(guān)系式是： v = <0,t 2.5,3.5)，圖略。廠50,t 3.5,6.5)3、二次函數(shù)問題例3 :有L米長的鋼材，要做成如下圖的窗架，上半局部為半圓，下半局部為六個全 等小矩形組成的矩形，試問小矩形的長、寬比為多少時，窗所通過的光線最多，并具體標(biāo)出窗框面積的最大值。解：設(shè)小矩形長為 x，寬為y，那么由圖形條件可得：11 x x 9y = I 9 y =

5、 I -11 亠 x要使窗所通過的光線最多，即要窗框面積最大，那么:2xs = 2兀 26 xyx2?lx 一11 二x2344亠二6x J244 +兀340 n 當(dāng) x2時，y44 +兀I -11 二x 22 _ 二19 一 944 + 兀即:-y1822 -：此時窗框面積S有最大值smax2I344 二可見，一般的設(shè)自變量為x,函數(shù)為y,并用x表示各相關(guān)量，然后根據(jù)問題條件， 運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識、物理知識及其它相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系式，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，實(shí)現(xiàn)問題的數(shù)學(xué)化，也就是建立數(shù)學(xué)模型。二、數(shù)列模型數(shù)列模型有增長率問題和銀行中的儲蓄與貸款問題。在高一年級教材中就有這類數(shù)學(xué)問題，

6、下面以一個例題來分析銀行中的數(shù)學(xué)建模問題。例4:某銀行設(shè)立了教育助學(xué)貸款，其中規(guī)定一年期以上貸款月均等額還本付息，如果 貸款10000元，兩年還清，月利率為 0.4575%，那么每月應(yīng)還多少錢呢？分析與假設(shè)：按照規(guī)定，歸還貸款既要?dú)w還本金，還要支付利息。在上述問題中，到貸 款兩年即24個月付清時，10000元貸款的本金與它的利息之和是多少呢？引導(dǎo)學(xué)生通 過填表來答復(fù)：10000元貸款的本金元與它的利 息之和1個月后2個月后3個月后23個月后24個月后通過對例子的分析，與學(xué)生交流使學(xué)生認(rèn)識到：到期歸還貸款的含義即各月所付款連同到貸款付清時所生利息之和， 等于貸款本金及到貸款付清時的利息之和，計算

7、每月應(yīng)付款額。2324x 1.004575 x .004575 x =10000 1.004575可以發(fā)現(xiàn)，上述等式是一個關(guān)于x的一次方程，且等號左邊括號內(nèi)是一個首項(xiàng)為1,公比為1.004575的等比數(shù)列的前 24項(xiàng)的和，于是：2424=10000 1.0045751-1.0045751 -1.004575x -10000 1.00457524(1 -1.004575)1 -1.00457524解之得x :- 440.91提出問題：如果采用上述分期付款方式貸款a元，m個月將款全部付清，月利率為r，那么每月付款款額的計算公式是什么？顯然問題轉(zhuǎn)化為建立關(guān)于 x的方程。設(shè)采用分期付款方式貸 a元，m

8、個月將款全部付清， 月利率為r，每月付款x元,m那么：m/2a1+rm = x1 + rx + 1 + r+ .1 x + r + x1 + r +x把右邊求和，得a 1亠rm x(1r)m -1r所以：x(1 :)m萬元。(1 r)m -1三、初等概率模型古典概率不僅要求根本實(shí)踐的出現(xiàn)具有等可能性，而且要求樣本空間為有限集，但實(shí)際問題中卻經(jīng)常會碰到無限樣本空間的情形，對于無限樣本空間的情形，常可轉(zhuǎn)化為幾何概率來解決。例5:將n個球隨機(jī)地放入 n個盒子中去，求每個盒子恰有一個球的概率。分析與求解：因?yàn)槊恳粋€球都可以放進(jìn) n個盒子中的任一個盒子，共有n種不同的放法， n個球放進(jìn)n個盒子就有nx

9、nx - x n= nn種不同的放法，而每種放法就是樣本空間中的一個元素，所以樣本空間中元素的總數(shù)為nn個。現(xiàn)在來求每個盒子恰有一個球時，球的不同放法的種數(shù)。第一個球可以放進(jìn) n個盒子之一，有 n種放法；第二個球只能放進(jìn)余下的 n-1個盒 子之一，有n-1 種放法，最后一個球只可以放進(jìn)唯一余下的盒子，所以n個球放進(jìn)n個盒子中要使每個盒子中都恰有一個球，共有n!種不同的放法，因而所求得概率為：AnP A孑。n幾何概率所描述的隨機(jī)試驗(yàn)滿足：試驗(yàn)的樣本空間是一個可度量的幾何區(qū)域這個區(qū)域可以是一維、二維甚至 n維；試驗(yàn)中每個根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性都一樣，即樣本點(diǎn)落入某 一個可度量的子集 A的可能性與A的

10、幾何測度成正比，而與 A的形狀及位置無關(guān)。如下面 的例子會面問題是幾何概率的典型例子。例7:兩位網(wǎng)友相約見面，約定在下午4:00到5:00之間在某一街角相會，他們約好當(dāng)其中一人先到后，一定要等另一人20分鐘，假設(shè)另一人仍不到那么離去，試問這兩位朋友能相遇的概率為多少？假定他們到達(dá)約定地點(diǎn)的時間是隨機(jī)的，且都在約定的一小時內(nèi) 解：以x、y分別表示兩人到達(dá)的時刻，那么兩人相遇必須滿足以下條件：lX y I < 20,兩人到達(dá)時刻的所有可能結(jié)果可用邊長為60的正方形區(qū)域上的任意點(diǎn)x, y表示，該正方形上的所有點(diǎn)的集合構(gòu)成了樣本空間。如以下圖的陰影局部(滿足不等式I x y K 20的點(diǎn)的集合)表示 兩人能相遇這一事 件的概率應(yīng)等于圖中陰影局部的面積與正方形的面積之比。S