中考數(shù)學(xué)專題：線段角的計算證明問題

1、中考數(shù)學(xué)專題：線段角的計算證明問題中考數(shù)學(xué)專題1線段角的計算證明問題第一部分真題精講【例1】如圖，梯形中，求的長【思路分析】線段，角的計算證明基本都是放在梯形中，利用三角形全等相似,直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等知識點進行考察的。所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的理解，并且熟知梯形的輔助線做法。這道題中未知的是AB,已知的是AD,BC以及BDC是等腰直角三角形，所以要把未知的AB也放在已知條件當(dāng)中去考察.做AE,DF垂直于BC,則很輕易發(fā)現(xiàn)我們將AB帶入到了一個有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中.于是有解如下.【解析】作于于四邊形是矩形是的邊上的中線在中，【例2】已知：如圖，在直角梯形中，/,，于

2、點O，求的長.【思路分析】這道題給出了梯形兩對角線的關(guān)系.求梯形上底.對于這種對角線之間或者和其他線段角有特殊關(guān)系（例如對角線平分某角）的題,一般思路是將對角線提出來構(gòu)造一個三角形.對于此題來說，直接將AC向右平移，構(gòu)造一個以D為直角頂點的直角三角形.這樣就將AD轉(zhuǎn)化成了直角三角形中斜邊被高分成的兩條線段之一,而另一條線段BC是已知的.于是問題迎刃而解.【解析】過點作交的延長線于點.于點二四邊形為平行四邊形.此題還有許多別的解法，例如直接利用直角三角形的兩個銳角互余關(guān)系，證明ACD和DBC相似，從而利用比例關(guān)系直接求出CD有興趣的考生可以多發(fā)散思維去研究?！纠?】如圖，在梯形中，為中點，求的長

3、度【思路分析】這道題是東城的解答題第二部分第一道，就是我們所謂提難度的門檻題。乍看之下好象直接過D做垂線之類的方法不行.那該怎樣做輔助線呢？答案就隱藏在E是中點這個條件中.在梯形中,一腰中點是很特殊的.一方面中點本身是多對全等三角形的公共點,另一方面中點和其他底,腰的中點連線就是一些三角形的中線,利用中點的比例關(guān)系就可以將已知條件代入.比如這道題，過中點E做BC的垂線，那么這條垂線與AD延長線,BC就構(gòu)成了兩個全等的直角三角形.并且這兩個直角三角形的一個銳角的正切值是已經(jīng)給出的.于是得解.【解析】過點作的垂線交于點，交的延長線于點在梯形中，是的中點，在中，在中，【總結(jié)】以上三道真題,都是在梯形

4、中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類:1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+一矩形2 、平移一腰，分梯形為平行四邊形+三角形3 、延長梯形兩腰交于一點構(gòu)造三角形4 、平移對角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形5 、連接頂點與中點延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個全等三角形或者過中點做底邊垂線構(gòu)筑兩個全等的直角三角形以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對于角度問題，其實思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式

5、轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關(guān)的計算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計算與證明問題?！纠?】如圖，在梯形中，平分，過點作，交的延長線于點，且，求的長【思路分析】此題相對比較簡單，不需要做輔助線就可以得出結(jié)果。但是題目中給的條件都是此類角度問題的基本條件。例如對角線平分某角，然后有角度之間的關(guān)系。面對這種題目還是需要將已知的角度關(guān)系理順。首先根據(jù)題目中條件，尤其是利用平行線這一條件，可以得出（見下圖）角C與角1,2,3以及角E的關(guān)系。于是一系列轉(zhuǎn)化過后，發(fā)現(xiàn)角C=60度，即三角形DBC為RT三角形。于是得解?！窘馕觥浚禾菪问堑妊菪巍纠?】已知：，以AB為一邊作正方形ABCD使P、D

6、兩點落在直線AB的兩側(cè).如圖，當(dāng)/APB=45時，求AB及PD的長；【思路分析】這是去年西城一模的壓軸題的第一小問。如果線段角的計算出現(xiàn)在中間部分，往往意味著難度并不會太高。但是一旦出現(xiàn)在壓軸題，那么有的時候往往比函數(shù)題，方程題更為棘手。這題求AB比較容易，過A做BP垂線，利用等腰直角三角形的性質(zhì)，將APB分成兩個有很多已知量的RT。但是求PD時候就很麻煩了。PD所在的三角形PAD是個鈍角三角形，所以就需要我們將PD放在一個直角三角形中試試看。構(gòu)筑包含PD的直角三角形，最簡單的就是過P做DA延長線的垂線交DA于F，DF交PB于G這樣一來，得到了厶PFAAGE等多個RTO于是與已求出的AB等量產(chǎn)

7、生了關(guān)系，得解?！窘馕觥浚喝鐖D，作AELPB于點E.在RtABE中，/AEB=90,如圖，過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,設(shè)DA的延長線交PB于G.在RtAEG中，可得（這一步最難想到，利用直角三角形斜邊高分成的兩個小直角三角形的角度關(guān)系）?在RtPFG中，可得,.【總結(jié)】由此我們可以看出，在涉及到角度的計算證明問題時，一般情況下都是要將已知角度通過平行，垂直等關(guān)系過度給未知角度。所以，構(gòu)建輔助線一般也是從這個思路出發(fā)，利用一些特殊圖形中的特殊角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特殊角的三角函數(shù)來達到求解的目的。第二部分發(fā)散思考通過以上的一模真題，我們對

8、線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認識。接下來我們自己動手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再沒思路了再看答案。【思考1】如圖，在梯形ABCD中,AD/BC,.若ACLBDAD+BC=且,求CD的長.【思路分析】前面我已經(jīng)分析過，梯形問題無非也就那么幾種輔助線的做法。此題求腰，所以自然是先將腰放在某個RT三角形中。另外遇到對角線垂直這類問題，一般都是平移某一條對角線以構(gòu)造更大的一個RT三角形，所以此題需要兩條輔助線。在這類問題中，輔助線的方式往往需要交叉運用，如果思想放不開，不敢多做，巧做，就不容易得出答案。解法見后文【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD/BC,/B=30°

9、,/C=60,E,MF,N分別是AB,BC,CD,DA的中點，已知BC=7MN=3求EF【思路分析】此題有一定難度，要求考生不僅掌握中位線的相關(guān)計算方法，也對三點共線提出了要求。若求EF，因為BC已知，所以只需求出AD即可。由題目所給角B,角C的度數(shù)，應(yīng)該自然聯(lián)想到直角三角形中求解。（解法見后）【思考3】已知，延長到，使取的中點，連結(jié)交于點求的值；若，求的長思路分析】求比例關(guān)系，一般都是要利用相似三角形來求解。此題中有一個等量關(guān)系BC=CD又有F中點，所以需要做輔助線，利用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個相似三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵。（解法見后）【思考4】如圖3,ABC中，/A=90°,D為

10、斜邊BC的中點，E，F(xiàn)分別為ABAC上的點，且DELDE若BE=3CF=4,試求EF的長.【思路分析】中點問題是中考幾何中的大熱點，幾乎年年考。有中點自然有中線，而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵。將三角形的中線延長一倍，剛好可以構(gòu)造出兩個全等三角形，很多問題就可以輕松求解。本題中，D為中點，所以大家可以看看如何在這個里面構(gòu)造倍長中線。（解法見后）【思考5】如圖，在四邊形中，為上一點，和都是等邊三角形，、的中點分別為、，試判斷四邊形為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論【思路分析】此題也是中點題，不同的是上題考察中線，此題考察中位線。本題需要考生對各個特殊四邊形的性質(zhì)了如指掌，判定，證明上都需要很好的感覺

11、。尤其注意梯形，菱形，正方形，矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件。（解法見后）第三部分思考題答案思考1【解析】：作DELBC于E,過D作DF/AC交BC延長線于F則四邊形ADFC是平行四邊形，,DF=AC四邊形ABCD是等腰梯形，.AC=BD又ACLBD,DF/ACBDLDF.BDF是等腰直角三角形在中，思考2【解析】：延長BACD交于點H,連接HN因為/B=30°,ZC=60，所以/BHC=90所以HN=DN（直角三角形斜邊中線性質(zhì)）/NHDhNDH=60連接MH同理可知/MHDHC=60。所以/NHDhMHD即HNM三點共線（這一點容易被遺漏，很多考生會想當(dāng)然認為他們共線，其實還是要證明一下）所以HM=3.5，NH=0.5AN=0.5所以AD=1EF=（1+7）/2=4思考3【解析】過點作，交于點為的中點為的中點，由，得，又，二?思考4【解析】：延長ED至點G,使DG=ED連接CGFG貝仏CD3ABDE所以C