高等數(shù)學(xué)(高教版)第七章線性變換第三節(jié)課件

1、設(shè)設(shè) V 是數(shù)域是數(shù)域 P 上上 n 維線性空間，維線性空間， 1 , 2 , , n 是是 V 的一組基，這一節(jié)我們來建立線性變換與矩的一組基，這一節(jié)我們來建立線性變換與矩陣的關(guān)系陣的關(guān)系.首先來討論線性變換、基與基的像之間首先來討論線性變換、基與基的像之間的關(guān)系的關(guān)系.空間空間 V 中任一向量中任一向量 可以被基可以被基 1 , 2 , , n 線線性表出，即有性表出，即有 = x1 1 + x2 2 + + xn n (1) = x1 1 + x2 2 + + xn n (1)其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是其中系數(shù)是唯一確定的，它們就是 在這組基下的在這組基下的坐標(biāo)坐標(biāo).由于線性變換保持

2、線性關(guān)系不變，因而在由于線性變換保持線性關(guān)系不變，因而在 的像的像 A 與基的像與基的像 A 1 , A 2 , , A n 之間也必然之間也必然有相同的關(guān)系：有相同的關(guān)系：A = A (x1 1 + x2 2 + + xn n ) = x1 A ( 1 ) + x2 A ( 2 ) + + xn A ( n ) (2)上式表明，如果我們知道了基上式表明，如果我們知道了基 1 , 2 , , n 的像，的像，那么線性空間中任意一個向量那么線性空間中任意一個向量 的像也就知道了，的像也就知道了，或者說或者說 結(jié)論結(jié)論 1 的意義就是，一個線性變換完全被它在的意義就是，一個線性變換完全被它在一組基

3、上的作用所決定一組基上的作用所決定.下面我們進(jìn)一步指出，基下面我們進(jìn)一步指出，基向量的像卻完全可以是任意的，也就是說向量的像卻完全可以是任意的，也就是說綜合以上兩點，得綜合以上兩點，得 有了以上的討論，我們就可以來建立線性變換有了以上的討論，我們就可以來建立線性變換與矩陣的聯(lián)系與矩陣的聯(lián)系. .,22112222112212211111nnnnnnnnnnaaaaaaaaaAAA.212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA 設(shè)設(shè) 1 , 2 , , m 是是 n ( n m ) 維線性空維線性空間間 V 的子空間的子空間 W 的一組基，把它擴(kuò)充為的一組基，把它擴(kuò)充為 V 的一組的

4、一組基基 1 , 2 , , n .指定線性變換指定線性變換 A 如下：如下：A i = i ，當(dāng)，當(dāng) i =1 , 2 , , m ,A i = 0 ，當(dāng)，當(dāng) i = m + 1 , , n .如此確定的線性變換如此確定的線性變換 A 稱為對子空間稱為對子空間 W 的一個的一個.不難證明投影不難證明投影 A 在基在基 1 , 2 , , n 下的矩下的矩陣是陣是00111m 行行m 列列這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù)這樣，在取定一組基之后，我們就建立了由數(shù)域域 P 上的上的 n 維線性空間維線性空間 V 的線性變換到數(shù)域的線性變換到數(shù)域 P 上上的的 n n 矩陣的一個映射矩陣的一

5、個映射.前面的前面的說明這說明這個映射是單射，個映射是單射，說明這個映射是滿射說明這個映射是滿射.換換句話說，我們在這二者之間建立了一個雙射句話說，我們在這二者之間建立了一個雙射.這個這個對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它保持運算，即有對應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它保持運算，即有 設(shè)設(shè) A ，B 是兩個線性變換，它們在是兩個線性變換，它們在基基 1 , 2 , , n 下的矩陣分別是下的矩陣分別是 A，B，即，即A ( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n )A ， B( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n )B . 由由(A + B ) ( 1 , 2 , , n )=

6、 A ( 1 , 2 , , n ) + B( 1 , 2 , , n )= ( 1 , 2 , , n ) A + ( 1 , 2 , , n ) B= ( 1 , 2 , , n )( A + B ) .可知，在可知，在 1 , 2 , , n 基下，線性變換基下，線性變換 A + B 的的矩陣是矩陣是A + B. 相仿地，相仿地，(A B ) ( 1 , 2 , , n )=A ( B ( 1 , 2 , , n ) )=(A ( 1 , 2 , , n ) B )=(A ( 1 , 2 , , n ) ) B= ( 1 , 2 , , n )AB . 因此，在因此，在 1 , 2 ,

7、, n 基下，線性變換基下，線性變換 A B 的矩的矩是是 AB . 因為因為( k 1 , k 2 , , k n ) = ( 1 , 2 , , n )kE . 所以數(shù)乘變換所以數(shù)乘變換 K 在任何一組基下都對應(yīng)于數(shù)量矩在任何一組基下都對應(yīng)于數(shù)量矩陣陣kE .由此可知，數(shù)量乘積由此可知，數(shù)量乘積 kA 對應(yīng)于矩陣的數(shù)對應(yīng)于矩陣的數(shù)量乘積量乘積 kA . 單位變換單位變換 E 對應(yīng)于單位矩陣，因之等式對應(yīng)于單位矩陣，因之等式A B = BA = E 與等式與等式AB = BA = E相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，而且相對應(yīng)，從而可逆線性變換與可逆矩陣對應(yīng)，而且逆變換與逆矩陣相應(yīng)逆變

8、換與逆矩陣相應(yīng).定理定理 2 說明數(shù)域說明數(shù)域 P 上上 n 維線性空間維線性空間 V 的全部的全部線性變換組成的集合線性變換組成的集合 L( V ) 對于線性變換的加法與對于線性變換的加法與數(shù)量乘法構(gòu)成數(shù)量乘法構(gòu)成 P 上一個線性空間，與數(shù)域上一個線性空間，與數(shù)域 P 上上 n級方陣構(gòu)成的線性空間級方陣構(gòu)成的線性空間 P n n 同構(gòu)同構(gòu) .利用線性變換的矩陣可以直接計算一個向量的利用線性變換的矩陣可以直接計算一個向量的像像. nnxxxAyyy2121由假設(shè)由假設(shè).),(2121nnxxx于是于是nnxxx2121),(AAAAnnxxx2121),(AAAA.),(2121nnxxxA另

9、一方面，由假設(shè)另一方面，由假設(shè).),(2121nnyyyA由于由于 1 , 2 , , n 線性無關(guān)，所以線性無關(guān)，所以.2121nnxxxAyyy線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起線性變換的矩陣是與空間中一組基聯(lián)系在一起一般來說，隨著基的改變，同一個線性變換就一般來說，隨著基的改變，同一個線性變換就有不同的矩陣有不同的矩陣.為了利用矩陣來研究線性變換，我為了利用矩陣來研究線性變換，我們有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改們有必要弄清楚線性變換的矩陣是如何隨著基的改變而改變的變而改變的.的，的， 已知已知(A 1 , A 2 , , A n ) = ( 1 , 2 , , n )A

10、，(A 1 , A 2 , , A n ) =( 1 , 2 , , n )B，( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n )X .于是于是(A 1 , A 2 , , A n ) = A ( 1 , 2 , , n )= A ( 1 , 2 , , n )X = A ( 1 , 2 , , n )X= (A 1 , A 2 , , A n )X = ( 1 , 2 , , n )AX= ( 1 , 2 , , n )X-1AX .= ( 1 , 2 , , n )X-1AX .由此即得由此即得B = X-1AX .定理定理 4 告訴我們，同一個線性變換告訴我們，同一個線性

11、變換 A 在不同在不同基下的矩陣之間的關(guān)系基下的矩陣之間的關(guān)系.這個基本關(guān)系在以后的討這個基本關(guān)系在以后的討論中是重要的論中是重要的.現(xiàn)在，我們對于矩陣引進(jìn)相應(yīng)的定現(xiàn)在，我們對于矩陣引進(jìn)相應(yīng)的定義義. 相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì)：面三個性質(zhì)：這是因為這是因為 A = E-1AE .如果如果 A B，那么有，那么有 X 使使 B = X-1AX .令令 Y=X-1 就有就有 A = XBX-1 = Y-1BY，所以，所以 B A .已知有已知有 X，Y 使使 B = X-1AX ， C = Y-1BY . 令令Z = XY，就有，就

12、有 C = Y-1X-1AXY = Z-1AZ，因此因此 A C .矩陣的相似對于運算有下面的性質(zhì)矩陣的相似對于運算有下面的性質(zhì). = = 有了矩陣相似的概念之后，有了矩陣相似的概念之后，可以補(bǔ)充可以補(bǔ)充成：成： 設(shè)設(shè) V 是數(shù)域是數(shù)域 P 上一個二維線性空間，線上一個二維線性空間，線性變換性變換 A 在基在基 1 = (1 , 0) , 2 = (0 , 1) 下的矩陣是下的矩陣是.3432A 求線性變換求線性變換 A 在基在基 1 , 2 下的矩陣下的矩陣 B, 其中其中 1 = 1 - 2 , 2 = 3 1 + 4 2 ; 求求 An ( n 為正整數(shù)為正整數(shù)) .由已知條件由已知條件,3432),(),(2121A及及,4131),(),(212141313432