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1、 點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)估計(jì)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)于同一個(gè)未知參數(shù),不同的方法得到的估計(jì)量可能不同,于是提出問(wèn)題應(yīng)該選用哪一種估計(jì)量應(yīng)該選用哪一種估計(jì)量? ?用何標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞用何標(biāo)準(zhǔn)來(lái)評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的好壞? ?常用常用標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)(1) 無(wú)偏性(3) 一致性(相合性)(2) 有效性(優(yōu)效估計(jì))( )E若 則稱(chēng)是 的無(wú)偏估計(jì)量. 無(wú)偏性無(wú)偏性定義定義我們不可能要求每一次由樣本得到的估計(jì)值與真值都相等,但可以要求這些估計(jì)值的期望與真值相等.定義的合理性( )E若 則稱(chēng)是 的漸近無(wú)偏估計(jì)量. 定義定義( )E稱(chēng)為估計(jì)量 的偏差。 lim( )nE若 12(,)nXXX是總體X 的樣本,證明: 不論 X
2、 服從什么分布(但期望存在),是k的無(wú)偏估計(jì)量.證證1111()()()nnkkkiiiiE AEXE Xnn例例1 1 設(shè)總體X 的 k 階矩()kkE X存在因而()1,2,kikE Xin由于1kknn 11nkkiiAXn則特別地 樣本二階原點(diǎn)矩2211niiAXn 是總體是總體期望 E( X ) 的X樣本均值無(wú)偏估計(jì)量的無(wú)偏22()E X二階原點(diǎn)矩估計(jì)量例例2 2 設(shè)總體 X 的期望 與方差存在, X 的12(,)nX XX樣本為 (n 1) . (1) 不是 D( X )的無(wú)偏估計(jì)量; 2211()nniiSXXn(2) 是 D( X ) 的無(wú)偏估計(jì)量. 2211()1niiSXX
3、n證證2221111()nniiiiXXXXnn前已證證明2()( ),()( )iiE XE XD XD X2()(),()E XE XD Xn2221111()()()nniiiiEXXE XE Xnn因而222222() ()(D(X)=E(X )-E(X) )n由221nn212)(11niiXXnE故 證畢.例例3 3 設(shè)),(21mXXX是總體 X 的一個(gè)樣本 ,XB(n , p) n 1 , 求 p 2 的無(wú)偏估計(jì)量. 解解 由于樣本矩是總體矩的無(wú)偏估計(jì)量以及數(shù)學(xué)期望的線(xiàn)性性質(zhì), 只要將未知參數(shù)表示成總體矩的線(xiàn)性函數(shù), 然后用樣本矩作為總體矩的估計(jì)量, 這樣得到的未知參數(shù)的估計(jì)量
4、即為無(wú)偏估計(jì)量. npXEX)(令)1 ()()(12212pnpnpXEXmmiiXXmnnpmii122211因此, p 2 的無(wú)偏估計(jì)量為) 1() 1(11nnXXmmiii故XXmpnnmii12221)(例例4 4 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為(負(fù)指數(shù)分布)00, 01);(xxexfx0為常數(shù)),(21nXXX為 X 的一個(gè)樣本證明X與,min21nXXXn都是的無(wú)偏估計(jì)量證證 )(1XEEX故)()(XEXE是 的無(wú)偏估計(jì)量.X,min21nXXXZ令000)(zenzzfnzZ即nZEnEZ)(0100zeznz)(nZE故 n Z 是 的無(wú)偏估計(jì)量.)()()(121zXPzX
5、PzXPnniizXP1)(1 (1),(1)(21zXzXzXPzFnZ),(2111nXXX都是總體參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量, 且)()(21DD則稱(chēng) 比 更有效.12定義定義 設(shè)有效性有效性),(2122nXXX所以,X比,min21nXXXn更有效.是 的無(wú)偏估計(jì)量,問(wèn)哪個(gè)估計(jì)量更有效? X,min21nXXXn由例4可知, 與 都00, 01);(xxexfx0為常數(shù)例例5 5 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為221),min(nXXXnDnXD2)(解解 ,例例6 6 設(shè)總體 X,且 E( X )= , D( X )= 2 ),(21nXXX為總體 X 的一個(gè)樣本證明iniiXc11是 的無(wú)偏估
6、計(jì)量(2) 證明X比iniiXc11更有效證證 (1) niiiniicXEcE111)()(. 11niic., 2 , 11ninci(1) 設(shè)常數(shù)(2) niiiniicXDcD122121)()(ncnii112)(1) (12DnDniinjijiniicnccc1212212)(2211112nniiijiiij ncccc 結(jié)論結(jié)論算術(shù)均值比加權(quán)均值更有效. .而例如 X N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一樣本.213212211212143413132XXXXXX都是 的無(wú)偏估計(jì)量由例6(2) 知3最有效.羅羅克拉美克拉美(Rao Cramer)不等式不等式若
7、是參數(shù) 的無(wú)偏估計(jì)量, 則)(),(ln1)(02DXpnED其中 p ( x , ) 是 總體 X 的概率分布或密度函數(shù),稱(chēng) 為方差的下界.)(0D)()(0DD當(dāng) 時(shí), 稱(chēng) 為達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量, 此時(shí)稱(chēng) 為最有效的估計(jì)量, 簡(jiǎn)稱(chēng)有效估計(jì)量.例例7 7 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為00, 01);(xxexfx),(21nxxx為 X 的一個(gè)樣本值.求 的極大似然估計(jì)量, 并判斷它是否達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.0為常數(shù)解解 由似然函數(shù)niixneL11)(niixnL1ln)(ln21)(lnddniixnL0令xxnnii11 的極大似然估計(jì)量為XXnnii11它是 的無(wú)偏估計(jì)量.nX
8、nDDnii21)1()(而xxfln),(ln故 是達(dá)到方差下界的無(wú)偏估計(jì)量.X2221),(lnxxf2221),(lnXEXfE21nXfnE22),(ln1)(XD0)(limPn定義定義 設(shè) 是總體參數(shù) ),(21nXXX則稱(chēng)是總體參數(shù) 的一致(或相合)估計(jì)量.的估計(jì)量. 若對(duì)于任意的 , 當(dāng)n 時(shí), 一致性一致性依概率收斂于 , 即,0一致性估計(jì)量?jī)H在樣本容量 n 足夠大時(shí),才顯示其優(yōu)越性.關(guān)于一致性的兩個(gè)常用結(jié)論關(guān)于一致性的兩個(gè)常用結(jié)論 1. 樣本 k 階矩是總體 k 階矩的一致性估計(jì)量. 是 的一致估計(jì)量.由大數(shù)定律證明由大數(shù)定律證明用切貝雪夫不用切貝雪夫不 等式證明等式證明矩
9、法得到的估計(jì)量一般為一致估計(jì)量在一定條件下, 極大似然估計(jì)具有一致性2. 設(shè) 是 的無(wú)偏估計(jì) 量, 且 , 則0)(limDn例例8 800, 01);(xxexfXx0為常數(shù)則 是 的無(wú)偏、有效、一致估計(jì)量.X證證 由例7 知 是 的無(wú)偏、有效估計(jì)量.X)(limXDn0lim2nn所以 是 的一致估計(jì)量, 證畢.X 問(wèn)問(wèn) 題題母親嗜酒是否影響下一代的健康母親嗜酒是否影響下一代的健康 美國(guó)的美國(guó)的Jones醫(yī)生于醫(yī)生于1974年觀(guān)察了母年觀(guān)察了母親在妊娠時(shí)曾患慢性酒精中毒的親在妊娠時(shí)曾患慢性酒精中毒的6名七名七歲兒童(稱(chēng)為甲組)歲兒童(稱(chēng)為甲組).以母親的年齡,文以母親的年齡,文化程度及婚姻
10、狀況與前化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親名兒童的母親相同或相近,但不飲酒的相同或相近,但不飲酒的46名七歲兒童名七歲兒童為對(duì)照租為對(duì)照租(稱(chēng)為乙組稱(chēng)為乙組). 測(cè)定兩組兒童的智測(cè)定兩組兒童的智商,結(jié)果如下:商,結(jié)果如下:甲 組 6 78 19乙 組 46 99 16人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差nxs智商組別 由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力?若有影響,推斷其影響程度有多大?提示提示 前一問(wèn)題屬假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 后一問(wèn)題屬區(qū)間估計(jì)問(wèn)題 智商一般受諸多因素的影響.從而可以),(),(222211uNuN和 本問(wèn)題實(shí)際是檢驗(yàn)甲組總體的均值是否比乙組總體的均值偏小? 若是,這個(gè)差異范圍有多大? 前一
11、問(wèn)題屬假設(shè)檢驗(yàn),后一問(wèn)題屬區(qū)間估計(jì).解解假定兩組兒童的智商服從正態(tài)分布. 由于兩個(gè)總體的方差未知,而甲組的樣本容量較小,因此采用大樣本下兩總體均值比較的U檢驗(yàn)法似乎不妥. 故2221122210:;:HH當(dāng) 為真時(shí),統(tǒng)計(jì)量 0H)45, 5 (2221FSSF 采用方差相等 (但未知) 時(shí),兩正態(tài)總體均值比較的t檢驗(yàn)法對(duì)第一個(gè)問(wèn)題作出回答. 為此 , 利用樣本先檢驗(yàn)兩總體方差是否相等,即檢驗(yàn)假設(shè)拒絕域?yàn)?1 . 0取)45, 5()45, 5(2/2/1FFFF或)45, 5 ()45, 5 (95. 02/1FF43. 2)45, 5()45, 5(05. 02/ FF22. 0) 5 ,4
12、5(/ 105. 0F)45, 5()45, 5(,41. 1161905. 0095. 0220FFFFF得的觀(guān)察值未落在拒絕域內(nèi),故接受 . 即可認(rèn)為0H兩總體方差相等. 下面用 t 檢驗(yàn)法檢12驗(yàn) 是否比 顯著偏??? 即檢驗(yàn)假設(shè)211210:;:uuHuuH當(dāng) 為真時(shí),檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 0H)2(11212121nntnnSXXTw01. 0,2) 1() 1(212222112取nnSnSnSw其中 的觀(guān)察值T,46, 6,16,19212221nnSS將)50(54. 296. 201. 00tT代入得99,7821xx嗜酒會(huì)對(duì)兒童智力發(fā)育產(chǎn)生不良影響.落在拒絕域內(nèi),故拒絕 . 即認(rèn)為母親
13、0H 下面繼續(xù)考察這種不良影響的程度. 為此要對(duì)兩總體均值差進(jìn)行區(qū)間估計(jì).)2(112122112nntnnSXXw的置信區(qū)間為的置信度為112uu取 并代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得,01. 032.16,67. 2)50(005. 0wSt于是置信度為 99% 的置信區(qū)間為 4616167. 232.167899)91.39,09. 2(91.1821由此可斷言:在99%的置信度下,嗜酒母親所生孩子在七歲時(shí)的智商比不飲酒的母親所生孩子在七歲時(shí)的智商平均要低 2.09 到 39.91. 故限制顯著性水平的原則體現(xiàn)了“保護(hù)零假設(shè)”的原則.注注 大家是否注意到,在解決問(wèn)題時(shí),兩次假設(shè)檢驗(yàn)所取的顯著性水平不同.
14、前者遠(yuǎn)1 . 0在檢驗(yàn)方差相等時(shí),取 ; 在01. 0檢驗(yàn)均值是否相等時(shí)取 .比后者大. 為何這樣取呢?因?yàn)闄z驗(yàn)的結(jié)果與檢驗(yàn)的顯著性水平 有關(guān). 小,則拒絕域也會(huì)小,產(chǎn)生的后果使零假設(shè)難以被拒絕.0H0H 在 較大時(shí),若能接受 , 說(shuō)明為真的依據(jù)很充足; 同樣,在 很小時(shí),我們?nèi)匀痪芙^ . 說(shuō)明 不真的理由就更充足.0H0H 說(shuō)明在所給數(shù)據(jù)下,得出相應(yīng)的1 . 02221本例中, 對(duì) , 仍得出 可被接受,01. 0及對(duì) , 21uu 可被拒絕的結(jié)論.結(jié)論有很充足的理由. 另外在區(qū)間估計(jì)中,取較小的置信 若反之 , 取較大的置信水平,則可01. 0水平 (即較大的置信度), 從而使得區(qū)間估計(jì)的范圍較大. 減少估計(jì)區(qū)間的長(zhǎng)度,使區(qū)間估計(jì)精確提高,但相應(yīng)地區(qū)間估計(jì)的可靠度降低了,即要冒更大的風(fēng)險(xiǎn).niiniiXXEkXXkE11
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