數(shù)學(xué)中的邏輯與表達(dá)

1、第二章數(shù)學(xué)中的邏輯與表達(dá)邏輯把數(shù)學(xué)材料組織成一個(gè)科學(xué)的系統(tǒng)，使數(shù)學(xué)成為刻畫自然規(guī)律和社會(huì)規(guī)律的科學(xué)語言和有效工具。事實(shí)上，任何一部數(shù)學(xué)理論都是由一套概念、命題和命題的推理證明所組成，數(shù)學(xué)是建立在邏輯基礎(chǔ)上，借助于邏輯的基本形式、推理規(guī)則和推理方法使數(shù)學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科。義務(wù)教育和普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）都強(qiáng)調(diào)中學(xué)數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的編排和呈現(xiàn)要突出知識的形成（發(fā)生發(fā)展）過程。因此，中學(xué)數(shù)學(xué)離不開概念、命題、推理和證明。在數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）中明確規(guī)定了與邏輯思維、表達(dá)的有關(guān)培養(yǎng)目標(biāo)，本章主要論述中學(xué)數(shù)學(xué)中的邏輯基礎(chǔ)知識、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)文化等。第一節(jié)邏輯學(xué)簡析邏輯學(xué)是研究人類思維形式、思維規(guī)

2、律、思維方法的科學(xué)。邏輯學(xué)的歷史十分悠久，發(fā)展至今已有越來越多的學(xué)科分支，一般認(rèn)為其主要學(xué)科包括形式邏輯、數(shù)理邏輯和辯證邏輯，它們分別從不同的角度研究思維問題。形式邏輯是研究思維的形式結(jié)構(gòu)及其內(nèi)在規(guī)律和基本方法，這是人類思維的初步規(guī)律。數(shù)理邏輯是應(yīng)用數(shù)學(xué)方法研究邏輯問題，從各種演算和基本概念出發(fā)，可推出定理、性質(zhì)，再由此推出新的定理、性質(zhì)，使得邏輯的表達(dá)精確化、形式化。辯證邏輯是用辯證觀點(diǎn)研究思維的形式結(jié)構(gòu)及其規(guī)律，這是人類高級的思維規(guī)律。形式邏輯的知識對于教育工作者理解數(shù)學(xué)教材的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容有重要的意思，因此在此對形式邏輯的知識作初步介紹。形式邏輯的基本內(nèi)容是思維的形式、思維的規(guī)則和思維的方法

3、。一.思維所謂思維，是人類所特有的一種高級心理活動(dòng)，是人腦反映客觀事物及其相互關(guān)系的一種過程，是認(rèn)識發(fā)展的一個(gè)新階段。例如，某人清晨起來，看見外面屋頂濕了，道路也濕了，樹木的葉子也都濕了（這是人腦對客觀事物的感性認(rèn)識），他馬上會(huì)想到：昨天夜里又下過雨了（這是理性認(rèn)識的過程）！盡管這個(gè)人不是直接知覺到雨，但他知道“雨”和“屋頂?shù)缆返鹊淖儩瘛庇兄蚬P(guān)系，所以作出“昨晚下雨”這個(gè)論斷，這一思考過程就是思維。也就是說，人們在實(shí)踐中得到的感性認(rèn)識，積累多了，就要用腦子來想一想，整理一下所得的材料（注：喻平等編著數(shù)學(xué)教育學(xué)導(dǎo)引，廣西師范大學(xué)出版社，1998年3月第1版，第46頁）。這里的想一想，就是運(yùn)用

4、思維，即通過分析、綜合、比較、抽象概括等方法抽象出概念、判斷、進(jìn)而由一些概念作出推理，再得出新的判斷，這就是人腦對客觀事物的理性認(rèn)識階段。二.思維形式所謂思維形式就是概念、判斷、推理等形式，思維就是借助于概念、判斷、推理來進(jìn)行的。對思維形式的研究是形式邏輯的主要內(nèi)容。例如，研究概念時(shí)，是研究反映客觀事物及其本質(zhì)屬性的思維形式，主要研究它的內(nèi)涵、外延、同一、屬種等等，使概念繼續(xù)深入，而不研究這些概念的具體內(nèi)容。又例如，判斷：（1）有些畫家是詩人；（2）有些分段函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，這是內(nèi)容不同的兩個(gè)判斷，它們有如下的共同形式：有些xXX是XXX。要研究各種重要的判斷形式及其性質(zhì)。再例如，推理：（1）凡

5、金屬都是能熔解的；鐵是金屬，所以鐵是能夠熔解的；（2）凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的，這兩個(gè)正多邊形的邊數(shù)是相同，所以，這兩個(gè)正多邊形也是相似的，這兩個(gè)推理的內(nèi)容也不相同，但也都具有如下的共同形式：凡M是PS是M,所以，S是P。要研究各種的推理形式及其規(guī)則。三、思維規(guī)律所謂思維規(guī)律是指形式邏輯四條基本規(guī)律（同一律、排中律、矛盾律和充足理由律）及它們之間的關(guān)系。1 .同一律同一律的基本內(nèi)容是：在同一思維過程中，使用的概念和判斷必須保持同一性，亦即確定性。它的公式是：A是A,即A三A?？杀硎境擅}形式AtA,顯然AtA三1。同一律是任何判斷的邏輯基礎(chǔ)，其作用是保證思維的確定性。同一律的具體要求有兩點(diǎn)

6、：一是思維對象應(yīng)保持同一。在思維過程中，所考察的對象必須確定，要始終如一，不能中途變更。例如，要判定多項(xiàng)式a2-2能否再進(jìn)行因式分解，就要看在哪個(gè)數(shù)集上討論，事先必須確定而且在分解過程中保持不變。二是表示同一事物的概念應(yīng)保持同一。在思維過程中，要以同一概念表示同一思維對象。不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起來用同一個(gè)概念表示。違反同一律要求的常見錯(cuò)誤是思維混亂，前后不一。在推理、證明等思維過程中，具體表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題等錯(cuò)誤。例如，有人說：“因?yàn)閿?shù)是可以比較大小的，而虛數(shù)是數(shù)，所以虛數(shù)可以比較大小”。這里兩次使用了“數(shù)”這個(gè)概念，前者指的是“實(shí)數(shù)”，后者指的是“虛數(shù)”

7、，即用同一概念表達(dá)了兩個(gè)不同的對象，這樣，在論證過程中，就犯了偷換概念的邏輯錯(cuò)誤。在不同的思維過程中，對同一概念或判斷允許有不同的認(rèn)識。例如，“兩條直線不相交則平行”這個(gè)命題在平面幾何中為真，在立體幾何中則為假。2 .矛盾律矛盾律的基本內(nèi)容是：在同一思維過程中，對同一對象的兩個(gè)相互矛盾或反對的判斷，其中至少有一個(gè)是假的，不可能全是真的，可以兩個(gè)都是假的。它的公式是：A不是又，即AaAo顯然，aaA三i。矛盾律是否定判斷的邏輯基礎(chǔ)，它的作用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性。矛盾律要求在同一時(shí)間內(nèi)和同一關(guān)系下，不能容許有相互矛盾或反對的兩種判斷存在。違反這個(gè)要求的邏輯錯(cuò)誤叫做自相矛盾。例

8、如，對實(shí)數(shù)短，“J2是有理數(shù)”和“J2是無理數(shù)”是兩個(gè)矛盾的判斷，它們不能同真，其中必有一個(gè)是假的。又如，對實(shí)數(shù)a,“a是正數(shù)”和“a是負(fù)數(shù)”是兩個(gè)反對的判斷，這兩個(gè)判斷可能都假。因?yàn)槿鬭=0,則a既不是正數(shù)也非負(fù)數(shù)。矛盾律是同一律的延伸，它是用否定的形式“A不是入”表現(xiàn)同一律以肯定的形式“A是A”所表現(xiàn)的同一種思想。因此，矛盾律是從否定方面肯定同一律。3 .排中律排中律的基本內(nèi)容是：在同一思維過程中，對同一對象的肯定判斷與否定判斷，這兩個(gè)相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。它的公式是：或者是A或者是A,即AA。顯然，AvA=1o在同一條件下，某思維對象的肯定判斷A和否定判斷入，概括了該對象的某

9、種屬性的所有情況，不可能存在既不是A又不是A的第三種情況。排中律要求我們必須在A與A之間，作出明確的選擇，或者肯定A,或者肯定A,不能模棱兩可，含糊其詞。例如，平面內(nèi)不重合的兩直線平行與相交；兩個(gè)實(shí)數(shù)相等與不相等；實(shí)數(shù)a是有理數(shù)或是無理數(shù)；自然數(shù)n是偶數(shù)或是奇數(shù)等等，都必須作出非此即彼的選擇。如判斷實(shí)數(shù)a不是有理數(shù)就是肯定它是無理數(shù)。排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾，違反了排中律，同時(shí)也就違反了矛盾律，所以兩者是互相聯(lián)系的。它們的區(qū)別在于：矛盾律指出兩個(gè)互相矛盾或反對的判斷不同真，并沒有排除“同假”的可能；而排中律則進(jìn)一步要求，兩個(gè)互相矛盾的判斷必有一真，完全

10、排除了“同假”的可能。從這個(gè)意義上講，排中律是矛盾律的繼續(xù)和發(fā)展。排中律的作用與矛盾律基本相同，都用于排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性。矛盾律用于排除對照性或?qū)Ρ刃悦?，排中律則用于排除對立性或?qū)剐悦?。?quot;a>b”和“avb”是對照性或?qū)Ρ刃悦?，要用矛盾律來處理。根?jù)矛盾律，“a>b”與“avb”必有一假，也可能兩個(gè)都是假的，即不排除第三種情況“a=b”。又如，“a>b”和“awb”是對立性或?qū)剐悦?，要用排中律來處理。根?jù)排中律，“a>b”與“awb”不能都假，非此即彼，必有一真，沒有第三種情況。因此，排中律是反證法的邏輯基礎(chǔ)。當(dāng)直接證明某一

11、判斷為真有困難時(shí)，根據(jù)排中律，只要證明與其相矛盾的判斷為假即可。4 .充足理由律充足理由律的基本內(nèi)容是：在思維過程中，任何一個(gè)真實(shí)的判斷必須有充足的理由。它的公式是：因?yàn)锳真，且A能推出B,所以B真。也可以說，A是B成立的充足理由。充足理由律是進(jìn)行推理和證明的邏輯基礎(chǔ)。其作用是保持判斷A、B之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和有論證性。充足理由律要求在思維過程中，必須有充分的根據(jù)。任何判斷或論證，只有當(dāng)它具有充分的根據(jù)，也就是具有充足的理由時(shí)，才能是正確的、合乎邏輯的，才能具有論證和說服的力量。數(shù)學(xué)中，用作判斷與論證的充足理由有原始概念、公理以及由此推演出來的定義、定理、法則與公式等。違反充足理由律要求的邏

12、輯錯(cuò)誤，常見的有理由虛假、不能推出等。例如，因?yàn)?A=/B,所以/A和/B是對頂角。顯然，"/A=ZB”不能成為“/A和/B是對頂角”成立的充足理由，因?yàn)橄嗟鹊膬蓚€(gè)角也可能是等腰三角形的兩個(gè)底角，或者是相似三角形的對應(yīng)角等。形式邏輯的四條基本規(guī)律從不同的方面表現(xiàn)著同一思維過程的各個(gè)特性，它們之間有著內(nèi)在的不可分割的聯(lián)系。同一律是從正面，即從肯定方面來鞏固概念和判斷，它要求思維過程必須有規(guī)定性。作為它的反證的矛盾律是從反面，即從否定方面來鞏固判斷，矛盾律要求在思維中不能有矛盾的思想存在。至于排中律，則是從肯定和否定兩方面來鞏固判斷，或肯定，或否定，非此即彼，二者必居其一。作為終結(jié)定論的

13、充足理由律，則要求對這個(gè)有規(guī)定性的、沒有矛盾的論斷提出證明，指出它之所以正確的充足的理由。形式邏輯的四條基本規(guī)律也是數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)證明必須遵循的基本規(guī)律。在數(shù)學(xué)推理證明中，必須要求思考的對象和認(rèn)識是確定的（同一律），判斷不自相矛盾（矛盾律），不是模棱兩可（排中律），有充分根據(jù)（充足理由律），根據(jù)這些正確的思維規(guī)律才能得到正確的結(jié)論。試舉“等腰三角形的兩底角相等”為例。認(rèn)定等腰三角形的底角必相等（同一律），就不能同時(shí)又說兩底角不相等（矛盾律）；若懷疑上述說法，則必須在“兩底角相等”與“兩底角不相等”兩種說法中選擇其一（排中律）；最后，若堅(jiān)持原來結(jié)論一一等腰三角形的兩底角必定相等，那末，就需舉出充

14、分的理由，或引證必要的事實(shí)作根據(jù)，來證明結(jié)論的正確性（充足理由律）。四、思維方法所謂思維方法，這里是指在形式邏輯中通用的基本的思維方法，主要是歸納法、類比法、分析與綜合、特殊與一般化等等。歸納是通過對某類數(shù)學(xué)對象中若干特殊情形的分析得出一般性結(jié)論的思維方法。歸納分為不完全歸納和完全歸納兩種類型。類比是根據(jù)兩個(gè)數(shù)學(xué)對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比分為簡單類比和復(fù)雜類比兩類。分析是對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行分解、剖析，以達(dá)到認(rèn)識對象的各個(gè)部分在整體中的性質(zhì)、作用的思維方法。綜合則是將研究對象的各個(gè)部分有機(jī)地結(jié)合，以達(dá)到認(rèn)識對象整體性質(zhì)的思維方法。分析和綜合是彼此相反又緊

15、密聯(lián)系的思維過程。特殊化是把所研究的數(shù)學(xué)問題從原來的范圍縮小到一個(gè)比較小的范圍或個(gè)別情形進(jìn)行考察研究的思維方法。一般化則是與特殊化相反的思維方法，即將研究對象從原來范圍擴(kuò)展到更大范圍進(jìn)行考察和研究。第二節(jié)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)概念的意義及關(guān)系（一）數(shù)學(xué)概念數(shù)學(xué)概念是反映客觀事物空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性的思維形式，它反映的是一類具有共同屬性的事物（能區(qū)別于其他事物）的全體。例如，“圓”這一數(shù)學(xué)概念，它反映的是這樣一類事物（也稱對象），它是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，這是圓的本質(zhì)屬性，而圓的半徑的大小不是圓的本質(zhì)屬性。數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展有多種途徑。一方面，人們在實(shí)踐的基礎(chǔ)上得到豐富的感性材

16、料，在舍棄了一些次要的、表面的性質(zhì)，將本質(zhì)屬性抽象出來，便形成了數(shù)學(xué)概念，如自然數(shù)、多邊形、圓、等差數(shù)列等概念。另一方面，由于事物的發(fā)展和數(shù)學(xué)自身的矛盾運(yùn)動(dòng)，有許多數(shù)學(xué)概念，在已有概念基礎(chǔ)上逐級抽象得到的，如無理數(shù)、復(fù)數(shù)、群環(huán)、域、算子等等。還有一方面，有的數(shù)學(xué)概念是發(fā)展，變化的，而且隨著人們對事物的認(rèn)識的深化，對數(shù)學(xué)概念也發(fā)生變化，如“函數(shù)”這一數(shù)學(xué)概念在中學(xué)不同階段的課程中有變量函數(shù)與集合函數(shù)兩個(gè)不同層次的認(rèn)識，又如切線的概念在學(xué)習(xí)圓時(shí)從直線和圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來定義的，而在學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)切線的定義是用極限理論來描述的。數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)屬性在人的思維中的反映，需要用數(shù)學(xué)

17、語言表達(dá)出來，才能便于研究和交流。數(shù)學(xué)概念主要是用詞語和符號來表達(dá)，如“直角三角形”這一數(shù)學(xué)概念，用詞語表達(dá)是“有一個(gè)內(nèi)角是直角的三角形叫做直角三角形”，又如“實(shí)數(shù)集”這個(gè)數(shù)學(xué)概念是“一切實(shí)數(shù)組成的集合叫實(shí)數(shù)集”，“實(shí)數(shù)集”用符號“R”來表示。同一個(gè)數(shù)學(xué)概念可以用不同語言表達(dá)，如“矩形”與“長方形”表示同一個(gè)概念。數(shù)學(xué)概念的詞語表達(dá)一般形式是“（事物的本質(zhì)屬性）叫做（概念）數(shù)學(xué)概念的作用是在于它的基礎(chǔ)性和開拓性。一方面，有些數(shù)學(xué)概念的形成，標(biāo)志著數(shù)學(xué)理論體系的誕生，如“點(diǎn)”、“線”、“面”等數(shù)學(xué)概念，為歐幾里得幾何學(xué)創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)，“集合”概念成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，“群”概念的誕生標(biāo)志著代數(shù)學(xué)由

18、傳統(tǒng)代數(shù)邁向近世代數(shù)。另一方面，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的基本形式，判斷由概念構(gòu)成的，而推理和證明又由判斷構(gòu)成的，可以說數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，要掌握數(shù)學(xué)理論，首先掌握數(shù)學(xué)概念是非常重要的。（二）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有它確定的含義以及所確定的對象范圍，這就是說數(shù)學(xué)概念是由它的內(nèi)涵和外延組成。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是指數(shù)學(xué)概念所反映對象的本質(zhì)屬性的總和，是概念在質(zhì)的方面的反映，說明概念所反映的事物是什么。如“平行四邊形”這個(gè)概念的內(nèi)涵就是平行四邊形的所有對象的本質(zhì)屬性總和：兩組對邊分別平行，兩組對邊對應(yīng)相等，一組對邊平行且相等等等；在整數(shù)集合中“偶數(shù)”這個(gè)概念的內(nèi)涵是“能被2整除的整數(shù)。數(shù)學(xué)概

19、念的外延是這個(gè)概念所反映的全部對象，是概念在量方面的反映，說明概念所反映事物的范圍。如“平行四邊形”這個(gè)概念的外延是一切由“平行四邊形”組成的圖形；“復(fù)數(shù)”這個(gè)概念的外延是實(shí)數(shù)和虛數(shù)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確的思維要求概念明確，就是要明確概念的內(nèi)涵和外延。（三）數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延的關(guān)系數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延相互聯(lián)系、互相依賴，給定一個(gè)概念，意味著就確定了它的內(nèi)涵和外延。也就是說，概念的內(nèi)涵嚴(yán)格地確定概念的外延，反之概念的外延也完全確定著概念的內(nèi)涵。特別地，概念的內(nèi)涵和外延之間遵循著反變關(guān)系，即當(dāng)概念的外延集合縮小，就會(huì)得到概念內(nèi)涵增多的新概念，反之，當(dāng)概念的外延集合擴(kuò)大就會(huì)得到概念內(nèi)涵減小的新概念。

20、例如：外延縮小的變化：四邊形外延二平行四邊形外延二1矩形外延；內(nèi)涵增大的變化：四邊形內(nèi)涵匚平行四邊形內(nèi)涵匚矩形內(nèi)涵。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，根據(jù)概念的內(nèi)涵和外延的反變關(guān)系，我們可以通過增加概念的內(nèi)涵來縮小概念的外延的辦法實(shí)現(xiàn)對新概念的認(rèn)識。如果“平行四邊形”概念的內(nèi)涵增加“有一個(gè)角是直角”這個(gè)屬性，就得到外延縮小的“矩形”概念，這種認(rèn)識概念的邏輯方法稱為“概念的限制”；反之可以通過減少概念內(nèi)涵來擴(kuò)大概念的外延，這種邏輯方法稱為概念的概括。運(yùn)用概念的限制和概括的邏輯方法可以給新概念下定義，使概念系列化、系統(tǒng)化，便于比較同類概念的異同，更好地掌握概念的本質(zhì)屬性，也常用對某知識系統(tǒng)進(jìn)行整理和復(fù)習(xí)，加深對概

21、念的認(rèn)識。（四）數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系常常發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間是相互聯(lián)系的，運(yùn)用邏輯方法可以研究概念外延之間的關(guān)系，根據(jù)概念的外延集合是否有公共元素，將概念間的關(guān)系分為相容關(guān)系和不相容關(guān)系。為了敘述方便，概念甲、乙、丙的外延集合分別用A、B、C來表示。1、相容關(guān)系。如果AABW（）,則稱概念甲與概念乙之間的關(guān)系是相客關(guān)系。在相客關(guān)系中又分為以下三種關(guān)系。（1）同一關(guān)系。如果A=B,即概念甲會(huì)與概念乙的外延完全相同，稱這兩個(gè)概念之間的關(guān)系為同一關(guān)系。如圖3-1所示。例如等邊三角形和正三角形，無理數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)等都是具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念，具有同一關(guān)系的兩個(gè)概念常常用“就是”或“即”來表示，在推理、證明過

22、程中可以互相代替，使我們多角度理解同一類事物的概念的內(nèi)涵，進(jìn)一步明確概念，有利于溝通解題思路。圖3-1（2）交叉關(guān)系。如果AABUA且AABB,即兩個(gè)概念的外延有且只有一部分相同，稱這兩個(gè)概念的關(guān)系為交叉關(guān)系。如圖3-2所示。例如，矩形和菱形這兩個(gè)概念的關(guān)系是交叉關(guān)系，利用它們的公共屬性概括出新的概念“正方形”（是它們的公共元素）。（3）屬種關(guān)系，如果B匚A,即概念乙的外延完全包含在另一概念甲的外延之中，稱這兩個(gè)概念的關(guān)系為屬種關(guān)系。如圖3-3所示。一圖33外延大的概念稱為屬概念或概念甲是概念乙的屬概念。外延小的概念稱為種概念或概念乙是概念甲的種概念，需要注意的是，具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念之間的

23、，稱謂是相對而言的。例如，增函數(shù)是與函數(shù)具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念，增函數(shù)是函數(shù)的種概念，函數(shù)是增函數(shù)的屬概念。事實(shí)上，具有屬種關(guān)系的兩個(gè)概念，它們的外延和內(nèi)涵之間存在“反變關(guān)系”.我們可以利用兩個(gè)概念的屬種關(guān)系給概念下定義（詳細(xì)內(nèi)容見“概念的定義”）。2.不相容關(guān)系。如果AnB=4,且B匚C,ACC,則稱這兩個(gè)概念之間的關(guān)系為不相容關(guān)系，這時(shí)概念甲和概念乙是屬于同一屬概念丙下的種概念。在不相容關(guān)系中，又分為下面兩種關(guān)系。（1）對立關(guān)系（反對關(guān)系）。如果AUBUC,即概念甲和概念乙的外延之和小于它們的屬概念丙的外延，則稱這兩個(gè)概念甲和乙之間的關(guān)系為對立關(guān)系（或反對關(guān)系）。如圖3-4所示。例如，相對

24、于屬概念“函數(shù)”而言，其種概念奇函數(shù)與偶函數(shù)之間是反對關(guān)”之間的關(guān)系是矛盾“發(fā)散數(shù)列”之間就是矛盾關(guān)系。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，研究同一知識體系時(shí)，弄清概念之間的關(guān)系是十分重的。如在同一個(gè)等腰三角形中底邊上的中線“和”底邊上的“高”是同一關(guān)系，由其中任何一個(gè)概念的性質(zhì)，都可推出另一概念的性質(zhì)，因此，同一關(guān)系是實(shí)現(xiàn)這兩個(gè)概念的性質(zhì)之間的相互轉(zhuǎn)化的理論根據(jù)。綜上所述，數(shù)學(xué)概念之間依據(jù)其外延集合之間的關(guān)系為/同一先叁相容關(guān)系交叉英系【屬種關(guān)系數(shù)學(xué)概念間的關(guān)系不相容關(guān)系反時(shí)關(guān)系矛盾關(guān)系二、數(shù)學(xué)概念的定義1、給數(shù)學(xué)概念下定義的意義數(shù)學(xué)概念是思維的基本形式，如何將思維的結(jié)果（內(nèi)涵或外延）進(jìn)行交流、傳遞，必須運(yùn)用恰當(dāng)

25、精練的詞語和符號表述出來，這就是給數(shù)學(xué)概念下定義。數(shù)學(xué)概念的定義是揭示數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵或外延的邏輯方法，使人們明確數(shù)學(xué)概念，即明確它的內(nèi)涵或外延。在數(shù)學(xué)教材中，揭示數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵的定義稱為內(nèi)涵定義，這樣的定義在教材中占大部分。而揭示數(shù)學(xué)概念外延的定義稱為外延定義。2、定義的結(jié)構(gòu)任何的定義都是由三部分組成：被定義項(xiàng)、定義項(xiàng)和聯(lián)項(xiàng)。被定義項(xiàng)是要求給予明確的概念，定義項(xiàng)是用來明確被定義的概念，定義聯(lián)項(xiàng)是用來聯(lián)結(jié)被定義項(xiàng)與定義項(xiàng)的詞語。如果用Ds、Dp分別表示被定義項(xiàng)和定義項(xiàng)，那么概念的定義的表達(dá)形式主要有：Ds等于Dp、Ds是Dp、Ds就是Dp、Dp叫做Ds、Dp稱為Ds等等，但是，定義的含義都是“D

26、s等價(jià)于Dp”,如：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。Dp聯(lián)項(xiàng)Ds交集就是兩個(gè)集合公共元素的集合。Ds聯(lián)項(xiàng)Dp3、下定義的方式。下面介紹數(shù)學(xué)概念下定義的幾種主要方式。(1)屬加種差的定義。這是數(shù)學(xué)教材中最常用的定義方式。這種定義方式可用下面的公種差+鄰近的屬=被定義項(xiàng)Dp聯(lián)項(xiàng)Ds這里：被定義項(xiàng)最鄰近的屬概念(內(nèi)涵最多的屬概念)稱為鄰近的屬，種差是指被定義項(xiàng)具有而它的屬概念的其他種概念不具有的本質(zhì)屬性。例如：含有未知數(shù)的等式叫做方程。(種差)(鄰近的囑)聯(lián)項(xiàng)DsDp三邊相等的三角形叫做等邊三角形。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項(xiàng)DsDp(2)發(fā)生式定義。這是屬加種差式定義的一種特殊情形。種差是由被

27、定義項(xiàng)所反映的對象產(chǎn)生或形成過程的特征。例如：平面上定長線段繞一固定端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的業(yè)啞JE。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項(xiàng)DsDp(3)關(guān)系性定義。這也是屬加種差定義的一種特殊情形。種差是被定義項(xiàng)所在屬概念中與其他對象之間的關(guān)系性質(zhì)。例如：能被2整除的整婺是偶數(shù)。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項(xiàng)DsDp(4)外延式定義。這是明確被定義項(xiàng)概念所反映對象的全體的定義方式。例如：實(shí)數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)被定義項(xiàng)外延聯(lián)項(xiàng)Ds還有一種約定式定義。這是屬于外延式定義。如：規(guī)定：a0=1(aw0);Cn°=1等等。(5)遞歸式定義，當(dāng)被定義項(xiàng)的性質(zhì)與自然數(shù)有關(guān)時(shí)，常采用遞歸式定義，進(jìn)一步明確

28、所表達(dá)的意義。例如：哥的定義an=a-aa(nCN+)用遞歸定義為：(i)a1=a；(ii)ak+1=ak,a(kCN)o(6)公理式定義。這是用公理化的形式給出的定義形式，在數(shù)學(xué)中也常見。例如：自然數(shù)的皮亞諾公理定義，群的定義(可看作滿足“四條公理”的就是一個(gè)群)。(7)不加定義的原始概念。數(shù)學(xué)是嚴(yán)密的邏輯體系，任何一部數(shù)學(xué)理論都必須建立在一些基礎(chǔ)性的概念之上，這些概念是不能直接定義的，但卻是定義其他概念的基礎(chǔ)，我們稱之原始概念。原始概念的本質(zhì)屬性是通過公理化、合情合理的默認(rèn)，例如：點(diǎn)、線、面、空間、集合、元素、對應(yīng)等等都是原始概念，在數(shù)學(xué)教材中對它們都作了一定描述和解釋，但都不是定義。值得

29、指出的是，一個(gè)概念，從不同角度去揭示它的本質(zhì)屬性會(huì)產(chǎn)生不同的定義，例如，實(shí)數(shù)的絕對值這一概念的兩個(gè)不同定義分別為aa>00二100=0-a實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做實(shí)數(shù)的絕對值。另外，在嚴(yán)密的數(shù)學(xué)體系中，一個(gè)概念只能有一個(gè)定義，如果給分兩個(gè)定義，必須證明它們是等價(jià)的。但作為中學(xué)數(shù)學(xué)，由于要考慮學(xué)生的認(rèn)識水平和年齡生理的特點(diǎn)，在某一個(gè)系統(tǒng)中，同一個(gè)概念可以是兩個(gè)不同定義，如在初中教材和高中教材分別給出的函數(shù)的定義，表達(dá)形式不一樣，但兩者本質(zhì)是等價(jià)的。4、下定義的規(guī)則為了使數(shù)學(xué)概念的定義合理、正確，除了正確理解有關(guān)的數(shù)學(xué)知識外，還必須遵循以下的幾條規(guī)則，這些規(guī)則也是分析一個(gè)定義是否

30、正確的方法。（1）定義必須相稱。要求定義項(xiàng)與被定義項(xiàng)的外延必須相同。例如：定義“無理數(shù)是無限小數(shù)”，定義項(xiàng)的延外延大于被定義項(xiàng)的外延，無理數(shù)的外延被擴(kuò)大，包括了循環(huán)小數(shù)，犯了定義過寬的邏輯錯(cuò)誤；定義“有理數(shù)的開不盡的根叫做無理數(shù)”，定義項(xiàng)的外延小于被定義項(xiàng)的外延，無理數(shù)的外延被縮小，排除兀等無理數(shù)，犯了定義過窄的邏輯錯(cuò)誤。（2）定義不能循環(huán)。要求定義項(xiàng)中不能直接或間接地包含被定義項(xiàng)。例如：定義“互相垂直的兩條直線所成的角叫做直角”，犯了循環(huán)定義的邏輯錯(cuò)誤，因?yàn)?，用已?jīng)“直角”定義“垂直”，現(xiàn)在又用“垂直”定義“直角”。（3）定義必須簡明。要求下定義的詞語必須簡明準(zhǔn)確，也就是說定義中不應(yīng)列舉非本

31、質(zhì)屬性或多余的條件。例如：定義“兩組對邊分別平行且相等的四邊形叫做平行四邊形”，是不簡明的，因?yàn)椤皟山M對邊分別平行”與“兩組對邊分別相等”是可以互相推出的。（4）定義一般不用否定形式。例如：定義“不是有理數(shù)的實(shí)數(shù)叫做無理數(shù)”，既不揭示無理數(shù)的內(nèi)涵，也不易確定它的外延，達(dá)不到下定義的目的，所以這樣否定形式的定義不恰當(dāng)?shù)模彩菦]有意義的。當(dāng)然，有的概念的本質(zhì)屬性正好應(yīng)該缺少某個(gè)屬性，此時(shí)定義這樣的概念可以用否定的形式。例如：定義“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線”c5、數(shù)學(xué)概念的分類（1）分類。分類是根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，把一個(gè)外延較大的種概念，分為若干個(gè)外延較小的不相容的屬概念。這是明確概念外延

32、的邏輯方法。通過對概念的分類，一方面可以使有關(guān)概念的知識系統(tǒng)化、完整化；另一方面對該概念的外延得到更深刻的認(rèn)識。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，常用分類的方法對有關(guān)概念進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，以便更好把握概念之間的聯(lián)系。邏輯方法的分類必須按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，任何分類包括三部分：月殍角角角三三三邊邊暖等*不春角母一一一<母項(xiàng)（屬概念）、子項(xiàng)（各個(gè)種概念）和標(biāo)準(zhǔn)。例如：概念“三角形”可以按邊的大小和角的大小這兩種標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類：子項(xiàng)3形（子項(xiàng)）（標(biāo)準(zhǔn)：邊的大?。┬涡涡谓墙墙?邊腰角毒純，多項(xiàng)？形項(xiàng)角母三£.子項(xiàng)5（子項(xiàng)）（標(biāo)準(zhǔn)：角的大?。?）分類的規(guī)則。正確的分類必須遵守以下幾條規(guī)則：分類要相稱：即要求各子項(xiàng)的

33、外延之和正好等于母項(xiàng)的外延（不漏）而且這些子項(xiàng)的外延集合互不相交（不重）。這樣才能保證分類不遺漏、不重復(fù)，這是基本規(guī)則。例如，;平行四邊形簡單四邊形I矩形，這一分類是不相稱的，因?yàn)槠叫兴倪呅伟司匦?，即平行四邊形與矩形有重復(fù)部分，而且遺漏了非平行四邊形。分類必須按同一標(biāo)準(zhǔn)。例如，函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)函數(shù)I可微函數(shù)這一分類是按多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行，使分類混亂；且分類也不相稱。分類不能越級。即被分類的屬相概念必須是分類的各個(gè)種概念的最鄰近的屬概念。例如:整數(shù)次數(shù)，分?jǐn)?shù)I無理數(shù)這是越級分類，因?yàn)闊o理數(shù)與整數(shù)、分?jǐn)?shù)不同在同一層次上，越級分類使概念的系統(tǒng)產(chǎn)生混亂，這種分類也不相稱。(3)分類的方法。二分法。就是把被

34、分類的屬概念逐次地分為兩個(gè)相互矛盾的種概念，直到不能再分為止，這種分類方法叫做二分法。這種分類方法特點(diǎn)：每一次都是分為兩類，簡單易行，符合分類規(guī)則，便于掌握概念之間的關(guān)系，是學(xué)習(xí)和研究中常用的重要分類方法。例如，單項(xiàng)式I有理式I整式1多項(xiàng)式心才廣至人分式代數(shù)式1、無理式正棱柱菱形!直接柱底面非正多邊形的直棱柱l斜棱柱一般分類方法。有時(shí)，為了便于研究問題，需要把概念分為三類或更多的類。例如：負(fù)判斷復(fù)合歲叫聯(lián)G判斷'選言判斷假言判斷第三節(jié)判斷與數(shù)學(xué)命題一、判斷L判斷的意義判斷是對思維對象有所斷定的思維形式。這里所說的“斷定”，就是肯定或否定。例如，“J2不是有理數(shù)”；“1是質(zhì)數(shù)”；“零既不

35、是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)”等都是判斷。判斷有兩個(gè)基本特征：第一，有所斷定。無斷定的思維形式則不是判斷。例如，“后是什么數(shù)”；"ABC是直角三角形嗎”等都不是判斷。第二，有真假之分。如果斷定的內(nèi)容符合思維對象的實(shí)際情況，那么這個(gè)判斷就是真的，否則就是假的。例如，“«2不是有理數(shù)”這個(gè)判斷是真的；而“1是質(zhì)數(shù)”這個(gè)判斷是假的。2.判斷的種類數(shù)學(xué)中常用的判斷可按其本身是否還包含有其他判斷分為簡單判斷和復(fù)合判斷。簡單判斷。簡單判斷是不包含有其他判斷的判斷。簡單判斷可按所斷定的是對象的性質(zhì)還是關(guān)系分為性質(zhì)判斷和關(guān)系判斷。性質(zhì)判斷是斷定某事物具有（或不具有）某種性質(zhì)的判斷。性質(zhì)判斷由主項(xiàng)、謂

36、項(xiàng)、量項(xiàng)、聯(lián)項(xiàng)四部分組成。主項(xiàng)表示判斷的對象，通常用字母S表示。謂項(xiàng)表示主項(xiàng)具有（或不具有）的性質(zhì)，通常用字母P表示。量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量，反映判斷的量的差別，有全稱與特稱之分：全稱量項(xiàng)常用“所有”、“一切”、“每一個(gè)”等全稱量詞表述，在判斷的語言表達(dá)中可以省略，如“（所有）菱形是平行四邊形”；特稱量項(xiàng)常用“有些”、“至少有一個(gè)”、“存在”等存在量詞表述，在判斷的語言表達(dá)中決不能省略，如“有些直角三角形不是等腰三角形”。聯(lián)項(xiàng)表示主項(xiàng)與謂項(xiàng)之間的肯定或否定關(guān)系，反映判斷的質(zhì)的差異，通常用“是"、“有”或“不是”、“沒有”等表述。根據(jù)量項(xiàng)的“全稱”或“特稱”的量，以及聯(lián)項(xiàng)的“肯定”或“否定

37、”的質(zhì)，性質(zhì)判斷可以分為四種基本形式：全稱肯定判斷，記作Ao其邏輯形式是：“所有S都是P"，簡記為SAP;全稱否定判斷，記作E。其邏輯形式是：“所有S都不是P"，簡記為SEP;特稱肯定判斷，記作I。其邏輯形式是：“有些S是P"，簡記為SIP;特稱否定判斷，記作0。其邏輯形式是：“有些S不是P"，簡記為SOP。此外，還有單稱肯定判斷，如“兀是無理數(shù)”；單稱否定判斷，如“3.1416不是無理數(shù)”。A、E、I、0這四種判斷之間有以下四種真假關(guān)系：SAP和SEP不能同真，可以同假。這種關(guān)系稱為反對關(guān)系。SIP和SOP不能同假，可以同真。這種關(guān)系稱為下反對關(guān)系。S

38、AP和SOP、SEP和SIP不能同真，也不能同假。這種關(guān)系稱為矛盾關(guān)系。SAP和SIP、SEP和SOP之間，若全稱判斷為真，則特稱判斷必真；若全稱斷為假，則特稱判斷真假不定；若特稱判斷為假，則全稱判斷必假；若判特稱判斷為真,則全稱判斷真假不定。這種關(guān)系稱為等差關(guān)系。上述四種關(guān)系可用邏輯方陣表示，如圖3-1。利用邏輯方陣，在一定情況下可由一種判斷的真假，判定其他判斷的真假。EPS等差關(guān)系矛矛等差關(guān)系SIP圖3-6SOP關(guān)系判斷是斷定事物與事物之和耍麻闌斷。關(guān)系判斷由主項(xiàng)、謂項(xiàng)和量項(xiàng)三部分組成。主項(xiàng)又稱關(guān)系項(xiàng)，是指存在某種關(guān)系的對象；謂項(xiàng)又稱關(guān)系，是指各個(gè)對象之間的某種關(guān)系；量項(xiàng)表示主項(xiàng)的數(shù)量，與

39、性質(zhì)判斷一樣,特稱和單稱三種。關(guān)系判斷的量項(xiàng)也有全稱、例如，“一切正數(shù)大于零項(xiàng)，“大于”是謂項(xiàng)，“一切間”是一個(gè)單稱的關(guān)系判斷，與之間”。是一個(gè)全稱的關(guān)系判斷，其中,是主項(xiàng)“正數(shù)”的量項(xiàng)。又如,“正數(shù)”和“零”是主“點(diǎn)A在點(diǎn)B與點(diǎn)C之其主項(xiàng)是“點(diǎn)A”、“點(diǎn)B”和“點(diǎn)C”，謂項(xiàng)是“復(fù)合判斷。復(fù)合判斷是包含有至少一個(gè)其他判斷的判斷。復(fù)合判斷可按組成它的各個(gè)簡單判斷的組合形式和性質(zhì)分為：負(fù)判斷。其邏輯形式是“并非p”。例如“并非所有實(shí)數(shù)都是有理數(shù)”10聯(lián)言判斷。其邏輯形式是“p且q”。例如“3是質(zhì)數(shù)且是奇數(shù)”。選言判斷。其邏輯形式是“或者p或者q"。例如“ABC是直角三角形或4ABC是等腰

40、三角形”。假言判斷。其邏輯形式是“如果p,那么q”、“p當(dāng)且僅當(dāng)q"。例如“如果兩個(gè)角是對頂角，那么這兩個(gè)角相等”；“一個(gè)整數(shù)是偶數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它能被2整除”。判斷是概念的發(fā)展，是由概念組成的，它有形式與內(nèi)容兩方面的問題。形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的具體內(nèi)容。在數(shù)學(xué)中既要研究判斷的形式也要研究判斷的內(nèi)容，把判斷的形式和內(nèi)容統(tǒng)一起來，成為數(shù)學(xué)判斷。數(shù)學(xué)判斷的形式取真值，內(nèi)容也符合實(shí)際，才是真實(shí)的數(shù)學(xué)判斷。如果它的形式與內(nèi)容中有所不真，都不是真實(shí)的數(shù)學(xué)判斷。二、數(shù)學(xué)命題L數(shù)學(xué)命題的意義判斷是用語句表達(dá)的，表達(dá)判斷的陳述語句稱為命題。表示數(shù)學(xué)判斷的陳述語句或符號的組合稱為數(shù)學(xué)命題

41、。例如：2和3都是質(zhì)數(shù)；3>2；（a+b）2=a2+2ab+b2；ABCs'A'B'C'等都是數(shù)學(xué)命題。但在數(shù)學(xué)中有一類語句的表達(dá)是沒有真假可言的。例如，含有變量的“x2=7D“x5”，就是無法判斷真假的句子。只有變量取定值以后，這兩個(gè)句子才成為可分真假的判斷，才成為命題。判斷有真假之分，命題也相應(yīng)地有真假之分。一個(gè)數(shù)學(xué)命題，非真即假，不能既真又假。在命題邏輯中，通常用字母A、B、C或p、q、r等表示命題，如果p是真命題，就說p的真值等于1,記作p=1;如果p是假命題，就說p的真值等于0,記作p=0。與判斷的分類相對應(yīng)，命題也有簡單命題和復(fù)合命題之分。簡單

42、命題是本身不再包含其他命題的命題，簡單命題又可以分為性質(zhì)命題和關(guān)系命題；復(fù)合命題是本身還包含有其他命題的命題，復(fù)合命題又可以分成負(fù)命題、聯(lián)言命題、選言命題和假言命題。數(shù)學(xué)中研究的大部分是復(fù)合命題。為此，下面介紹有關(guān)命題運(yùn)算的基本知識。2.命題的基本運(yùn)算命題的運(yùn)算，就是通過命題的符號化、形式化，由若干命題構(gòu)成新的命題。其關(guān)鍵是邏輯聯(lián)結(jié)詞的運(yùn)用。因而，命題運(yùn)算實(shí)際上是命題的邏輯聯(lián)結(jié)。命題的基本運(yùn)算有：否定、合取、析取、蘊(yùn)涵、等價(jià)等，與之對應(yīng)的邏輯聯(lián)結(jié)詞分別是：非（）、與（八）、或（V）、若則（T）、當(dāng)且僅當(dāng)（修）等。否定。一個(gè)命題p,它與邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”構(gòu)成新命題“非p”，記作p。p稱為p的否定式

43、或負(fù)命題。顯然，p與p的真值恰好相反，其真值表如表3-1所示。例如，“5是無理數(shù)”是一個(gè)真命題，它的否定式“（并）非是無理數(shù)”，即“J2不是無理數(shù)”是一個(gè)假命題。合取。兩個(gè)命題p、q用邏輯聯(lián)結(jié)詞“與”聯(lián)結(jié)起來得到的新命題“p與q”,記作“pnqpnq稱為p、q的合取式或聯(lián)言命題，p、q稱為合取項(xiàng)或聯(lián)言支。當(dāng)且僅當(dāng)p、q都為真時(shí)，pAq為真，其他情況都為假，其真值表如表3-2所示。例如，“15是3的倍數(shù)”、“15是5的倍數(shù)”都是真命題，其合取式“15是3與5的倍數(shù)”也是真命題。析取。兩個(gè)命題p、q用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)起來得到的新命題“p或q”,記作“p"qpVq稱為p、q的析取式或選

44、言命題，p、q稱為析取項(xiàng)或選言支。只有當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真時(shí)，pvq才為真，否則為假，其真值表如表3-2所示。例如，假命題“2>2”與真命題“2=2”的析取式“2>2”是一個(gè)真命題。蘊(yùn)涵。把兩個(gè)命題p、q用邏輯聯(lián)結(jié)詞“若則”聯(lián)結(jié)起來得到的新命題“若p則q”，記作“ptq”。ptq稱為p、q的蘊(yùn)涵式或充分條件假言命11題，p稱為前件或前提，q稱為后件或結(jié)論。只有當(dāng)p為真而q為假時(shí)，PTq才為假，其他情況都為真，其真值表如表3-2所示。在邏輯學(xué)中，蘊(yùn)涵式的真值表只考慮前件、后件真假值在形式上的意義，而不管它們在內(nèi)容上的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)中，蘊(yùn)涵式命題“若p則q”不僅要考慮思維形式的真假、前

45、件與后件內(nèi)容的真假，而且更要考慮前件與后件之間是否有實(shí)質(zhì)性的內(nèi)在聯(lián)系。只有蘊(yùn)涵式命題“pTq”既符合邏輯上的要求，又符合前、后件具有實(shí)質(zhì)意義上的內(nèi)在聯(lián)系，才是數(shù)學(xué)的真命題。例如，“若5V6,則J2是無理數(shù)”符合思維形式正確、前件與后件內(nèi)容都是真的，因而它是邏輯學(xué)中的真命題；但由于它的前、后件內(nèi)容沒有實(shí)質(zhì)意義上的聯(lián)系，不能作為數(shù)學(xué)的真命題。當(dāng)然，在思維形式上不符合邏輯學(xué)要求的數(shù)學(xué)命題絕對不會(huì)是數(shù)學(xué)真命題，正因?yàn)檫@樣，在本節(jié)中僅就命題形式詳細(xì)討論，還是很有必要的。等價(jià)。把兩個(gè)命題p、q用邏輯聯(lián)結(jié)詞“當(dāng)且僅當(dāng)”聯(lián)結(jié)起來得到的新命題“p當(dāng)且僅當(dāng)q”，記作“p修q”。p修q稱為p、q的等價(jià)式或充要蘊(yùn)涵式

46、或充要假言命題。只有p、q同真或同假時(shí)，pHq才為真，否則為假，其真值表如表3-2所示。例如，“2+3=6”、“4X7=30”都是假命題，其等價(jià)式“2+3=6當(dāng)且僅當(dāng)4X7=30”是一個(gè)真命題。pqp八qpuqp-*qpiq000011010110100100111111表3-1表3-23.復(fù)合命題的真值復(fù)合命題的真值取決于構(gòu)成它的簡單命題的值，可以利用真值表來計(jì)算一個(gè)復(fù)合命題在各種條件下的真值。為了省略括號，我們約定，邏輯聯(lián)結(jié)詞“、八、V、T、H”的結(jié)合力依次減弱。例如，可以將（pAq）Tr記作pAqT。反過來，為了改變運(yùn)算順序，可增加括號。例1求下列復(fù)合命題的真值：pq>r-q>

47、;(p>r)解（1）(2)pqpTqprqq0011010111010010000012pqrPAqp/vqtrptrq->(ptr)p八qTr。qT(pTr)0000111100101111010011110110111110001011101011111101000111111111個(gè)命題A在任何情況下都為真，則稱為恒真命題，記作A=1;6,個(gè)命題A在任何情況下都為假，則稱為恒假命題，記作0。如例1中，為恒假命題，記作P->qAq三0；為恒真命題，記作PAq-*riqT(pTr)三1。如果兩個(gè)復(fù)合命題AB的真值表完全相同，則稱AB邏輯等價(jià)(或稱AB為等價(jià)命題)，記作A三B

48、,式子“A三B”稱為等值式,讀作“A等值于B"。如例1(2),PAqT三qT(PTr)o注意，邏輯等價(jià)與等價(jià)式不一樣，前者是指兩個(gè)命題AB之間的關(guān)系A(chǔ)三B,后者是由兩個(gè)命題A、B構(gòu)成的新命題AlB,當(dāng)且僅當(dāng)AlB是恒真命題時(shí)，才有A三B。4.命題運(yùn)算律把復(fù)合命題變?yōu)榈戎得}的過程叫做命題運(yùn)算。命題運(yùn)算中常用的定律有：雙重否定律：p三p。哥等律：PP三P；PAP三P。交換律：Pq三qP；P/vq三qP。結(jié)合律：(P¥q)"r三pv(qvr)；(PAq)Ar三pA(qAr)o分配律：P”(qr)三(pvq)A(p"r)；PA(qvr)三(pAq)v(pAr)

49、o吸收律：P(pAq)三p；pA(pvq)=po德摩根律：Pq=Pq；pq=Pqo同一律：PO三p；PA1po0-1律：PW三1；P八0三0。(10)否定律：PVP1；P'P三0。(idp'qpq。p、q=(p，q)(q>p)=(pq)(pq)o以上定律，利用真值表都可以證明，這里從略。在命題運(yùn)算中，還要用到代換原則：命題的任何一部分能用與其真值相同的命題去代換，所得到的新命題與原命題同值。例2證明PT(qTr)三pAqTr證明：P*(q*r)=p>(qr)=p(qr)=(pq)r=pqr13三pAqTro三、數(shù)學(xué)命題的四種形式及其關(guān)系數(shù)學(xué)命題通常都可用蘊(yùn)涵式“pT

50、q”給出。對于同一素材，一般可以作出四種形式的命題：原命題Ptq；逆命題qtp；否命題ptq；逆否命題qtp。這四種命題之間存在著互逆、互否、互為逆否三種關(guān)系。如圖3-2。可以看出：ptq三qTp；qTp三ptq。這就是說，具有互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題等價(jià)。上面的兩個(gè)等值式也可以用命題的運(yùn)算律證明：pTq三pq三qvp三qVp三qTp.qTp=qvp=pvq=pvq=pq。如果一個(gè)命題的前提和結(jié)論都是簡單命題，則其逆命題、否命題和逆否命題都是容易確定的。如果原命題的前提或結(jié)論是復(fù)合命題，那么在制作與它相關(guān)的三種命題時(shí)，必須把前提和結(jié)論看成一個(gè)整體，利用命題運(yùn)算律確定其具體內(nèi)容。例3試作出命題“若

51、a+b是奇數(shù)，則a、b之中的一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)”的逆命題、否命題和逆否命題。解設(shè)p：a是奇數(shù)；p：a是偶數(shù)；q:b是奇數(shù)；q:b是偶數(shù)；r：a+b是奇數(shù)；r：a+b是偶數(shù)。則原命題為r-*(pAq)v(pAq)o逆命題為(p八q)"pAqLro14即“a、b之中的一個(gè)是奇數(shù)，另一個(gè)是偶數(shù)，則a+b是奇數(shù)”。否命題為r>(pq)(pq)三F>pqpq三rT(pVq)A(pVq)三rTpA(pVq)VqA(pVq)三rT(pAp)V(pAq)V(qAp)V(qAq)三rt0V(pAq)V(qAp)V0=rt(paq)V(pAq)o即“若a+b是偶數(shù)，則a與b都是偶數(shù)或a

52、與b都是奇數(shù)”。逆否命題為(p八q)(pAq)Tr三(p八q)v(pAq)T：。即“若a與b都是偶數(shù)或a與b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”。數(shù)學(xué)中大多數(shù)命題的前提或結(jié)論含有量詞。命題中的量詞有兩個(gè)，一個(gè)是表示思維對象的全體的全稱量詞：“對所有的x"，記為Vx；另一個(gè)是表示思維對象的部分的、或存在的特稱量詞：“存在x”，記為Hxo對含有量詞的命題作否定，有下述關(guān)系成立：X/x(p(x)三三x(p(x)；x(p(x)=x(p(x)。事實(shí)上，這兩個(gè)等值式的意義是明顯的，合乎情理的。它們分別說明了：對所有對象都不真的p(x),等價(jià)于對有些對象p(x)不真；而對有些對象不真的p(x),也等價(jià)于對所

53、有對象p(x)不真。2.一一一一例4求命題對任一實(shí)數(shù)x,x+1>0”的否命題。22解命題“對任一實(shí)數(shù)x,x+1>0”可用符號表不為x=R(x+1>0),其否命題是Vx£R(x2+1>0)三三xWR(x2+1>0)三版乏R(x2+1W0)一2即“存在實(shí)數(shù)x,使x+1W0”。顯然，這個(gè)命題是假的。第四節(jié)數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)證明一、數(shù)學(xué)推理1、推理定義1：從一些已知的命題A1,A2,，An出發(fā)，按一定規(guī)則推得一個(gè)新命題B的過程，稱為為推理。記為：A1,A2,AnkBA1,A2,An稱為推理的前提，新命題B稱為推理的結(jié)論。例如，等腰三角形的兩底角相等，ABC是等腰三角

54、形，所以ABC是兩底角相等。就是一個(gè)推理，前面的兩個(gè)判斷為是前提，后一個(gè)所得的新判斷為結(jié)論。推理A1,A2,An|-B可以通過運(yùn)算A,一還原成一個(gè)命題：A1AA2AAAn一B。定義2:若A1AA2/V/An'B=1即為恒真命題，而不論A1，A2,，An是真還是假，則稱稱推理A1，A2,AnkB為正確推理。2、推理規(guī)則推理規(guī)則就是正確的推理形式，遵守這些形式就能保證合乎邏輯，中學(xué)數(shù)學(xué)中常用的推理規(guī)則有：15PTppTp(p>q)p>q(p，q)(q>r)>(p>r)(4)(p，q)(q,r)，(p,r)(p，q)p>q(6) (p>q)(q>p)>(pq)(p>q)>(q>p)(8) (p>q)q>p(9) (pq)p>q以上推理規(guī)則的正確性完全可以通過真值表或命題公式的推演證得，正確應(yīng)用推理規(guī)則是掌握推理的關(guān)鍵。2、推理種類推理的種類很多，數(shù)學(xué)中常用的推理有歸納推理、類比推理和演繹推理三種。歸納推理歸納推理或稱歸納法，是由特殊到一般的推理，是從個(gè)別或特殊的事物所作的判斷擴(kuò)大為同類一般事物的判斷的思維過程。根據(jù)歸納推理的前提與結(jié)論所作判斷的范圍是否相同，歸納