數(shù)學中的邏輯與表達

1、第二章數(shù)學中的邏輯與表達邏輯把數(shù)學材料組織成一個科學的系統(tǒng)，使數(shù)學成為刻畫自然規(guī)律和社會規(guī)律的科學語言和有效工具。事實上，任何一部數(shù)學理論都是由一套概念、命題和命題的推理證明所組成，數(shù)學是建立在邏輯基礎上，借助于邏輯的基本形式、推理規(guī)則和推理方法使數(shù)學成為一門獨立的學科。義務教育和普通高中數(shù)學課程標準（實驗稿）都強調中學數(shù)學教材內容的編排和呈現(xiàn)要突出知識的形成（發(fā)生發(fā)展）過程。因此，中學數(shù)學離不開概念、命題、推理和證明。在數(shù)學課程標準（實驗稿）中明確規(guī)定了與邏輯思維、表達的有關培養(yǎng)目標，本章主要論述中學數(shù)學中的邏輯基礎知識、數(shù)學語言、數(shù)學文化等。第一節(jié)邏輯學簡析邏輯學是研究人類思維形式、思維規(guī)

2、律、思維方法的科學。邏輯學的歷史十分悠久，發(fā)展至今已有越來越多的學科分支，一般認為其主要學科包括形式邏輯、數(shù)理邏輯和辯證邏輯，它們分別從不同的角度研究思維問題。形式邏輯是研究思維的形式結構及其內在規(guī)律和基本方法，這是人類思維的初步規(guī)律。數(shù)理邏輯是應用數(shù)學方法研究邏輯問題，從各種演算和基本概念出發(fā)，可推出定理、性質，再由此推出新的定理、性質，使得邏輯的表達精確化、形式化。辯證邏輯是用辯證觀點研究思維的形式結構及其規(guī)律，這是人類高級的思維規(guī)律。形式邏輯的知識對于教育工作者理解數(shù)學教材的結構和內容有重要的意思，因此在此對形式邏輯的知識作初步介紹。形式邏輯的基本內容是思維的形式、思維的規(guī)則和思維的方法

3、。一.思維所謂思維，是人類所特有的一種高級心理活動，是人腦反映客觀事物及其相互關系的一種過程，是認識發(fā)展的一個新階段。例如，某人清晨起來，看見外面屋頂濕了，道路也濕了，樹木的葉子也都濕了（這是人腦對客觀事物的感性認識），他馬上會想到：昨天夜里又下過雨了（這是理性認識的過程）！盡管這個人不是直接知覺到雨，但他知道“雨”和“屋頂?shù)缆返鹊淖儩瘛庇兄蚬P系，所以作出“昨晚下雨”這個論斷，這一思考過程就是思維。也就是說，人們在實踐中得到的感性認識，積累多了，就要用腦子來想一想，整理一下所得的材料（注：喻平等編著數(shù)學教育學導引，廣西師范大學出版社，1998年3月第1版，第46頁）。這里的想一想，就是運用

4、思維，即通過分析、綜合、比較、抽象概括等方法抽象出概念、判斷、進而由一些概念作出推理，再得出新的判斷，這就是人腦對客觀事物的理性認識階段。二.思維形式所謂思維形式就是概念、判斷、推理等形式，思維就是借助于概念、判斷、推理來進行的。對思維形式的研究是形式邏輯的主要內容。例如，研究概念時，是研究反映客觀事物及其本質屬性的思維形式，主要研究它的內涵、外延、同一、屬種等等，使概念繼續(xù)深入，而不研究這些概念的具體內容。又例如，判斷：（1）有些畫家是詩人；（2）有些分段函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，這是內容不同的兩個判斷，它們有如下的共同形式：有些xXX是XXX。要研究各種重要的判斷形式及其性質。再例如，推理：（1）凡

5、金屬都是能熔解的；鐵是金屬，所以鐵是能夠熔解的；（2）凡同邊數(shù)的正多邊形都是相似的，這兩個正多邊形的邊數(shù)是相同，所以，這兩個正多邊形也是相似的，這兩個推理的內容也不相同，但也都具有如下的共同形式：凡M是PS是M,所以，S是P。要研究各種的推理形式及其規(guī)則。三、思維規(guī)律所謂思維規(guī)律是指形式邏輯四條基本規(guī)律（同一律、排中律、矛盾律和充足理由律）及它們之間的關系。1 .同一律同一律的基本內容是：在同一思維過程中，使用的概念和判斷必須保持同一性，亦即確定性。它的公式是：A是A,即A三A。可表示成命題形式AtA,顯然AtA三1。同一律是任何判斷的邏輯基礎，其作用是保證思維的確定性。同一律的具體要求有兩點

6、：一是思維對象應保持同一。在思維過程中，所考察的對象必須確定，要始終如一，不能中途變更。例如，要判定多項式a2-2能否再進行因式分解，就要看在哪個數(shù)集上討論，事先必須確定而且在分解過程中保持不變。二是表示同一事物的概念應保持同一。在思維過程中，要以同一概念表示同一思維對象。不能用不同的概念表示同一事物，也不能把不同的事物混同起來用同一個概念表示。違反同一律要求的常見錯誤是思維混亂，前后不一。在推理、證明等思維過程中，具體表現(xiàn)為偷換概念、偷換論題等錯誤。例如，有人說：“因為數(shù)是可以比較大小的，而虛數(shù)是數(shù)，所以虛數(shù)可以比較大小”。這里兩次使用了“數(shù)”這個概念，前者指的是“實數(shù)”，后者指的是“虛數(shù)”

7、，即用同一概念表達了兩個不同的對象，這樣，在論證過程中，就犯了偷換概念的邏輯錯誤。在不同的思維過程中，對同一概念或判斷允許有不同的認識。例如，“兩條直線不相交則平行”這個命題在平面幾何中為真，在立體幾何中則為假。2 .矛盾律矛盾律的基本內容是：在同一思維過程中，對同一對象的兩個相互矛盾或反對的判斷，其中至少有一個是假的，不可能全是真的，可以兩個都是假的。它的公式是：A不是又，即AaAo顯然，aaA三i。矛盾律是否定判斷的邏輯基礎，它的作用是排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性。矛盾律要求在同一時間內和同一關系下，不能容許有相互矛盾或反對的兩種判斷存在。違反這個要求的邏輯錯誤叫做自相矛盾。例

8、如，對實數(shù)短，“J2是有理數(shù)”和“J2是無理數(shù)”是兩個矛盾的判斷，它們不能同真，其中必有一個是假的。又如，對實數(shù)a,“a是正數(shù)”和“a是負數(shù)”是兩個反對的判斷，這兩個判斷可能都假。因為若a=0,則a既不是正數(shù)也非負數(shù)。矛盾律是同一律的延伸，它是用否定的形式“A不是入”表現(xiàn)同一律以肯定的形式“A是A”所表現(xiàn)的同一種思想。因此，矛盾律是從否定方面肯定同一律。3 .排中律排中律的基本內容是：在同一思維過程中，對同一對象的肯定判斷與否定判斷，這兩個相矛盾的判斷，不能同假，必有一真。它的公式是：或者是A或者是A,即AA。顯然，AvA=1o在同一條件下，某思維對象的肯定判斷A和否定判斷入，概括了該對象的某

9、種屬性的所有情況，不可能存在既不是A又不是A的第三種情況。排中律要求我們必須在A與A之間，作出明確的選擇，或者肯定A,或者肯定A,不能模棱兩可，含糊其詞。例如，平面內不重合的兩直線平行與相交；兩個實數(shù)相等與不相等；實數(shù)a是有理數(shù)或是無理數(shù)；自然數(shù)n是偶數(shù)或是奇數(shù)等等，都必須作出非此即彼的選擇。如判斷實數(shù)a不是有理數(shù)就是肯定它是無理數(shù)。排中律和矛盾律既有聯(lián)系，又有區(qū)別。排中律和矛盾律都不允許有邏輯矛盾，違反了排中律，同時也就違反了矛盾律，所以兩者是互相聯(lián)系的。它們的區(qū)別在于：矛盾律指出兩個互相矛盾或反對的判斷不同真，并沒有排除“同假”的可能；而排中律則進一步要求，兩個互相矛盾的判斷必有一真，完全

10、排除了“同假”的可能。從這個意義上講，排中律是矛盾律的繼續(xù)和發(fā)展。排中律的作用與矛盾律基本相同，都用于排除思維中的自相矛盾，保持思維的不矛盾性。矛盾律用于排除對照性或對比性矛盾，排中律則用于排除對立性或對抗性矛盾。如"a>b”和“avb”是對照性或對比性矛盾，要用矛盾律來處理。根據(jù)矛盾律，“a>b”與“avb”必有一假，也可能兩個都是假的，即不排除第三種情況“a=b”。又如，“a>b”和“awb”是對立性或對抗性矛盾，要用排中律來處理。根據(jù)排中律，“a>b”與“awb”不能都假，非此即彼，必有一真，沒有第三種情況。因此，排中律是反證法的邏輯基礎。當直接證明某一

11、判斷為真有困難時，根據(jù)排中律，只要證明與其相矛盾的判斷為假即可。4 .充足理由律充足理由律的基本內容是：在思維過程中，任何一個真實的判斷必須有充足的理由。它的公式是：因為A真，且A能推出B,所以B真。也可以說，A是B成立的充足理由。充足理由律是進行推理和證明的邏輯基礎。其作用是保持判斷A、B之間的聯(lián)系有充分根據(jù)和有論證性。充足理由律要求在思維過程中，必須有充分的根據(jù)。任何判斷或論證，只有當它具有充分的根據(jù)，也就是具有充足的理由時，才能是正確的、合乎邏輯的，才能具有論證和說服的力量。數(shù)學中，用作判斷與論證的充足理由有原始概念、公理以及由此推演出來的定義、定理、法則與公式等。違反充足理由律要求的邏

12、輯錯誤，常見的有理由虛假、不能推出等。例如，因為/A=/B,所以/A和/B是對頂角。顯然，"/A=ZB”不能成為“/A和/B是對頂角”成立的充足理由，因為相等的兩個角也可能是等腰三角形的兩個底角，或者是相似三角形的對應角等。形式邏輯的四條基本規(guī)律從不同的方面表現(xiàn)著同一思維過程的各個特性，它們之間有著內在的不可分割的聯(lián)系。同一律是從正面，即從肯定方面來鞏固概念和判斷，它要求思維過程必須有規(guī)定性。作為它的反證的矛盾律是從反面，即從否定方面來鞏固判斷，矛盾律要求在思維中不能有矛盾的思想存在。至于排中律，則是從肯定和否定兩方面來鞏固判斷，或肯定，或否定，非此即彼，二者必居其一。作為終結定論的

13、充足理由律，則要求對這個有規(guī)定性的、沒有矛盾的論斷提出證明，指出它之所以正確的充足的理由。形式邏輯的四條基本規(guī)律也是數(shù)學推理和數(shù)學證明必須遵循的基本規(guī)律。在數(shù)學推理證明中，必須要求思考的對象和認識是確定的（同一律），判斷不自相矛盾（矛盾律），不是模棱兩可（排中律），有充分根據(jù)（充足理由律），根據(jù)這些正確的思維規(guī)律才能得到正確的結論。試舉“等腰三角形的兩底角相等”為例。認定等腰三角形的底角必相等（同一律），就不能同時又說兩底角不相等（矛盾律）；若懷疑上述說法，則必須在“兩底角相等”與“兩底角不相等”兩種說法中選擇其一（排中律）；最后，若堅持原來結論一一等腰三角形的兩底角必定相等，那末，就需舉出充

14、分的理由，或引證必要的事實作根據(jù)，來證明結論的正確性（充足理由律）。四、思維方法所謂思維方法，這里是指在形式邏輯中通用的基本的思維方法，主要是歸納法、類比法、分析與綜合、特殊與一般化等等。歸納是通過對某類數(shù)學對象中若干特殊情形的分析得出一般性結論的思維方法。歸納分為不完全歸納和完全歸納兩種類型。類比是根據(jù)兩個數(shù)學對象的一些屬性相同或相似，猜測另一些屬性也可能相同或相似的思維方法。類比分為簡單類比和復雜類比兩類。分析是對數(shù)學對象進行分解、剖析，以達到認識對象的各個部分在整體中的性質、作用的思維方法。綜合則是將研究對象的各個部分有機地結合，以達到認識對象整體性質的思維方法。分析和綜合是彼此相反又緊

15、密聯(lián)系的思維過程。特殊化是把所研究的數(shù)學問題從原來的范圍縮小到一個比較小的范圍或個別情形進行考察研究的思維方法。一般化則是與特殊化相反的思維方法，即將研究對象從原來范圍擴展到更大范圍進行考察和研究。第二節(jié)數(shù)學概念、數(shù)學概念的意義及關系（一）數(shù)學概念數(shù)學概念是反映客觀事物空間形式和數(shù)量關系的本質屬性的思維形式，它反映的是一類具有共同屬性的事物（能區(qū)別于其他事物）的全體。例如，“圓”這一數(shù)學概念，它反映的是這樣一類事物（也稱對象），它是平面內到定點的距離等于定長的點的集合，這是圓的本質屬性，而圓的半徑的大小不是圓的本質屬性。數(shù)學概念的產生和發(fā)展有多種途徑。一方面，人們在實踐的基礎上得到豐富的感性材

16、料，在舍棄了一些次要的、表面的性質，將本質屬性抽象出來，便形成了數(shù)學概念，如自然數(shù)、多邊形、圓、等差數(shù)列等概念。另一方面，由于事物的發(fā)展和數(shù)學自身的矛盾運動，有許多數(shù)學概念，在已有概念基礎上逐級抽象得到的，如無理數(shù)、復數(shù)、群環(huán)、域、算子等等。還有一方面，有的數(shù)學概念是發(fā)展，變化的，而且隨著人們對事物的認識的深化，對數(shù)學概念也發(fā)生變化，如“函數(shù)”這一數(shù)學概念在中學不同階段的課程中有變量函數(shù)與集合函數(shù)兩個不同層次的認識，又如切線的概念在學習圓時從直線和圓的交點個數(shù)來定義的，而在學習二次曲線時切線的定義是用極限理論來描述的。數(shù)學概念是現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的本質屬性在人的思維中的反映，需要用數(shù)學

17、語言表達出來，才能便于研究和交流。數(shù)學概念主要是用詞語和符號來表達，如“直角三角形”這一數(shù)學概念，用詞語表達是“有一個內角是直角的三角形叫做直角三角形”，又如“實數(shù)集”這個數(shù)學概念是“一切實數(shù)組成的集合叫實數(shù)集”，“實數(shù)集”用符號“R”來表示。同一個數(shù)學概念可以用不同語言表達，如“矩形”與“長方形”表示同一個概念。數(shù)學概念的詞語表達一般形式是“（事物的本質屬性）叫做（概念）數(shù)學概念的作用是在于它的基礎性和開拓性。一方面，有些數(shù)學概念的形成，標志著數(shù)學理論體系的誕生，如“點”、“線”、“面”等數(shù)學概念，為歐幾里得幾何學創(chuàng)立奠定了基礎，“集合”概念成為整個數(shù)學的基礎，“群”概念的誕生標志著代數(shù)學由

18、傳統(tǒng)代數(shù)邁向近世代數(shù)。另一方面，數(shù)學概念是數(shù)學思維的基本形式，判斷由概念構成的，而推理和證明又由判斷構成的，可以說數(shù)學概念是數(shù)學的細胞，要掌握數(shù)學理論，首先掌握數(shù)學概念是非常重要的。（二）數(shù)學概念的內涵和外延任何一個數(shù)學概念都有它確定的含義以及所確定的對象范圍，這就是說數(shù)學概念是由它的內涵和外延組成。數(shù)學概念的內涵是指數(shù)學概念所反映對象的本質屬性的總和，是概念在質的方面的反映，說明概念所反映的事物是什么。如“平行四邊形”這個概念的內涵就是平行四邊形的所有對象的本質屬性總和：兩組對邊分別平行，兩組對邊對應相等，一組對邊平行且相等等等；在整數(shù)集合中“偶數(shù)”這個概念的內涵是“能被2整除的整數(shù)。數(shù)學概

19、念的外延是這個概念所反映的全部對象，是概念在量方面的反映，說明概念所反映事物的范圍。如“平行四邊形”這個概念的外延是一切由“平行四邊形”組成的圖形；“復數(shù)”這個概念的外延是實數(shù)和虛數(shù)。在數(shù)學教學中，正確的思維要求概念明確，就是要明確概念的內涵和外延。（三）數(shù)學概念的內涵和外延的關系數(shù)學概念的內涵和外延相互聯(lián)系、互相依賴，給定一個概念，意味著就確定了它的內涵和外延。也就是說，概念的內涵嚴格地確定概念的外延，反之概念的外延也完全確定著概念的內涵。特別地，概念的內涵和外延之間遵循著反變關系，即當概念的外延集合縮小，就會得到概念內涵增多的新概念，反之，當概念的外延集合擴大就會得到概念內涵減小的新概念。

20、例如：外延縮小的變化：四邊形外延二平行四邊形外延二1矩形外延；內涵增大的變化：四邊形內涵匚平行四邊形內涵匚矩形內涵。在數(shù)學概念教學中，根據(jù)概念的內涵和外延的反變關系，我們可以通過增加概念的內涵來縮小概念的外延的辦法實現(xiàn)對新概念的認識。如果“平行四邊形”概念的內涵增加“有一個角是直角”這個屬性，就得到外延縮小的“矩形”概念，這種認識概念的邏輯方法稱為“概念的限制”；反之可以通過減少概念內涵來擴大概念的外延，這種邏輯方法稱為概念的概括。運用概念的限制和概括的邏輯方法可以給新概念下定義，使概念系列化、系統(tǒng)化，便于比較同類概念的異同，更好地掌握概念的本質屬性，也常用對某知識系統(tǒng)進行整理和復習，加深對概

21、念的認識。（四）數(shù)學概念間的關系常常發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念之間是相互聯(lián)系的，運用邏輯方法可以研究概念外延之間的關系，根據(jù)概念的外延集合是否有公共元素，將概念間的關系分為相容關系和不相容關系。為了敘述方便，概念甲、乙、丙的外延集合分別用A、B、C來表示。1、相容關系。如果AABW（）,則稱概念甲與概念乙之間的關系是相客關系。在相客關系中又分為以下三種關系。（1）同一關系。如果A=B,即概念甲會與概念乙的外延完全相同，稱這兩個概念之間的關系為同一關系。如圖3-1所示。例如等邊三角形和正三角形，無理數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)等都是具有同一關系的兩個概念，具有同一關系的兩個概念常常用“就是”或“即”來表示，在推理、證明過

22、程中可以互相代替，使我們多角度理解同一類事物的概念的內涵，進一步明確概念，有利于溝通解題思路。圖3-1（2）交叉關系。如果AABUA且AABB,即兩個概念的外延有且只有一部分相同，稱這兩個概念的關系為交叉關系。如圖3-2所示。例如，矩形和菱形這兩個概念的關系是交叉關系，利用它們的公共屬性概括出新的概念“正方形”（是它們的公共元素）。（3）屬種關系，如果B匚A,即概念乙的外延完全包含在另一概念甲的外延之中，稱這兩個概念的關系為屬種關系。如圖3-3所示。一圖33外延大的概念稱為屬概念或概念甲是概念乙的屬概念。外延小的概念稱為種概念或概念乙是概念甲的種概念，需要注意的是，具有屬種關系的兩個概念之間的

23、，稱謂是相對而言的。例如，增函數(shù)是與函數(shù)具有屬種關系的兩個概念，增函數(shù)是函數(shù)的種概念，函數(shù)是增函數(shù)的屬概念。事實上，具有屬種關系的兩個概念，它們的外延和內涵之間存在“反變關系”.我們可以利用兩個概念的屬種關系給概念下定義（詳細內容見“概念的定義”）。2.不相容關系。如果AnB=4,且B匚C,ACC,則稱這兩個概念之間的關系為不相容關系，這時概念甲和概念乙是屬于同一屬概念丙下的種概念。在不相容關系中，又分為下面兩種關系。（1）對立關系（反對關系）。如果AUBUC,即概念甲和概念乙的外延之和小于它們的屬概念丙的外延，則稱這兩個概念甲和乙之間的關系為對立關系（或反對關系）。如圖3-4所示。例如，相對

24、于屬概念“函數(shù)”而言，其種概念奇函數(shù)與偶函數(shù)之間是反對關”之間的關系是矛盾“發(fā)散數(shù)列”之間就是矛盾關系。在數(shù)學教學中，研究同一知識體系時，弄清概念之間的關系是十分重的。如在同一個等腰三角形中底邊上的中線“和”底邊上的“高”是同一關系，由其中任何一個概念的性質，都可推出另一概念的性質，因此，同一關系是實現(xiàn)這兩個概念的性質之間的相互轉化的理論根據(jù)。綜上所述，數(shù)學概念之間依據(jù)其外延集合之間的關系為/同一先叁相容關系交叉英系【屬種關系數(shù)學概念間的關系不相容關系反時關系矛盾關系二、數(shù)學概念的定義1、給數(shù)學概念下定義的意義數(shù)學概念是思維的基本形式，如何將思維的結果（內涵或外延）進行交流、傳遞，必須運用恰當

25、精練的詞語和符號表述出來，這就是給數(shù)學概念下定義。數(shù)學概念的定義是揭示數(shù)學概念的內涵或外延的邏輯方法，使人們明確數(shù)學概念，即明確它的內涵或外延。在數(shù)學教材中，揭示數(shù)學概念的內涵的定義稱為內涵定義，這樣的定義在教材中占大部分。而揭示數(shù)學概念外延的定義稱為外延定義。2、定義的結構任何的定義都是由三部分組成：被定義項、定義項和聯(lián)項。被定義項是要求給予明確的概念，定義項是用來明確被定義的概念，定義聯(lián)項是用來聯(lián)結被定義項與定義項的詞語。如果用Ds、Dp分別表示被定義項和定義項，那么概念的定義的表達形式主要有：Ds等于Dp、Ds是Dp、Ds就是Dp、Dp叫做Ds、Dp稱為Ds等等，但是，定義的含義都是“D

26、s等價于Dp”,如：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。Dp聯(lián)項Ds交集就是兩個集合公共元素的集合。Ds聯(lián)項Dp3、下定義的方式。下面介紹數(shù)學概念下定義的幾種主要方式。(1)屬加種差的定義。這是數(shù)學教材中最常用的定義方式。這種定義方式可用下面的公種差+鄰近的屬=被定義項Dp聯(lián)項Ds這里：被定義項最鄰近的屬概念(內涵最多的屬概念)稱為鄰近的屬，種差是指被定義項具有而它的屬概念的其他種概念不具有的本質屬性。例如：含有未知數(shù)的等式叫做方程。(種差)(鄰近的囑)聯(lián)項DsDp三邊相等的三角形叫做等邊三角形。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項DsDp(2)發(fā)生式定義。這是屬加種差式定義的一種特殊情形。種差是由被

27、定義項所反映的對象產生或形成過程的特征。例如：平面上定長線段繞一固定端點旋轉一周，另一端點隨之旋轉所形成的業(yè)啞JE。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項DsDp(3)關系性定義。這也是屬加種差定義的一種特殊情形。種差是被定義項所在屬概念中與其他對象之間的關系性質。例如：能被2整除的整婺是偶數(shù)。(種差)(鄰近的屬)聯(lián)項DsDp(4)外延式定義。這是明確被定義項概念所反映對象的全體的定義方式。例如：實數(shù)和虛數(shù)統(tǒng)稱為復數(shù)被定義項外延聯(lián)項Ds還有一種約定式定義。這是屬于外延式定義。如：規(guī)定：a0=1(aw0);Cn°=1等等。(5)遞歸式定義，當被定義項的性質與自然數(shù)有關時，常采用遞歸式定義，進一步明確

28、所表達的意義。例如：哥的定義an=a-aa(nCN+)用遞歸定義為：(i)a1=a；(ii)ak+1=ak,a(kCN)o(6)公理式定義。這是用公理化的形式給出的定義形式，在數(shù)學中也常見。例如：自然數(shù)的皮亞諾公理定義，群的定義(可看作滿足“四條公理”的就是一個群)。(7)不加定義的原始概念。數(shù)學是嚴密的邏輯體系，任何一部數(shù)學理論都必須建立在一些基礎性的概念之上，這些概念是不能直接定義的，但卻是定義其他概念的基礎，我們稱之原始概念。原始概念的本質屬性是通過公理化、合情合理的默認，例如：點、線、面、空間、集合、元素、對應等等都是原始概念，在數(shù)學教材中對它們都作了一定描述和解釋，但都不是定義。值得

29、指出的是，一個概念，從不同角度去揭示它的本質屬性會產生不同的定義，例如，實數(shù)的絕對值這一概念的兩個不同定義分別為aa>00二100=0-a實數(shù)在數(shù)軸上對應的點到原點的距離叫做實數(shù)的絕對值。另外，在嚴密的數(shù)學體系中，一個概念只能有一個定義，如果給分兩個定義，必須證明它們是等價的。但作為中學數(shù)學，由于要考慮學生的認識水平和年齡生理的特點，在某一個系統(tǒng)中，同一個概念可以是兩個不同定義，如在初中教材和高中教材分別給出的函數(shù)的定義，表達形式不一樣，但兩者本質是等價的。4、下定義的規(guī)則為了使數(shù)學概念的定義合理、正確，除了正確理解有關的數(shù)學知識外，還必須遵循以下的幾條規(guī)則，這些規(guī)則也是分析一個定義是否

30、正確的方法。（1）定義必須相稱。要求定義項與被定義項的外延必須相同。例如：定義“無理數(shù)是無限小數(shù)”，定義項的延外延大于被定義項的外延，無理數(shù)的外延被擴大，包括了循環(huán)小數(shù)，犯了定義過寬的邏輯錯誤；定義“有理數(shù)的開不盡的根叫做無理數(shù)”，定義項的外延小于被定義項的外延，無理數(shù)的外延被縮小，排除兀等無理數(shù)，犯了定義過窄的邏輯錯誤。（2）定義不能循環(huán)。要求定義項中不能直接或間接地包含被定義項。例如：定義“互相垂直的兩條直線所成的角叫做直角”，犯了循環(huán)定義的邏輯錯誤，因為，用已經“直角”定義“垂直”，現(xiàn)在又用“垂直”定義“直角”。（3）定義必須簡明。要求下定義的詞語必須簡明準確，也就是說定義中不應列舉非本

31、質屬性或多余的條件。例如：定義“兩組對邊分別平行且相等的四邊形叫做平行四邊形”，是不簡明的，因為“兩組對邊分別平行”與“兩組對邊分別相等”是可以互相推出的。（4）定義一般不用否定形式。例如：定義“不是有理數(shù)的實數(shù)叫做無理數(shù)”，既不揭示無理數(shù)的內涵，也不易確定它的外延，達不到下定義的目的，所以這樣否定形式的定義不恰當?shù)?，也是沒有意義的。當然，有的概念的本質屬性正好應該缺少某個屬性，此時定義這樣的概念可以用否定的形式。例如：定義“在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線”c5、數(shù)學概念的分類（1）分類。分類是根據(jù)一定的標準，把一個外延較大的種概念，分為若干個外延較小的不相容的屬概念。這是明確概念外延

32、的邏輯方法。通過對概念的分類，一方面可以使有關概念的知識系統(tǒng)化、完整化；另一方面對該概念的外延得到更深刻的認識。在數(shù)學教學中，常用分類的方法對有關概念進行系統(tǒng)復習，以便更好把握概念之間的聯(lián)系。邏輯方法的分類必須按一定的標準進行，任何分類包括三部分：月殍角角角三三三邊邊暖等*不春角母一一一<母項（屬概念）、子項（各個種概念）和標準。例如：概念“三角形”可以按邊的大小和角的大小這兩種標準進行分類：子項3形（子項）（標準：邊的大?。┬涡涡谓墙墙?邊腰角毒純，多項？形項角母三£.子項5（子項）（標準：角的大?。?）分類的規(guī)則。正確的分類必須遵守以下幾條規(guī)則：分類要相稱：即要求各子項的

33、外延之和正好等于母項的外延（不漏）而且這些子項的外延集合互不相交（不重）。這樣才能保證分類不遺漏、不重復，這是基本規(guī)則。例如，;平行四邊形簡單四邊形I矩形，這一分類是不相稱的，因為平行四邊形包含了矩形，即平行四邊形與矩形有重復部分，而且遺漏了非平行四邊形。分類必須按同一標準。例如，函數(shù)偶函數(shù)單調函數(shù)I可微函數(shù)這一分類是按多個標準進行，使分類混亂；且分類也不相稱。分類不能越級。即被分類的屬相概念必須是分類的各個種概念的最鄰近的屬概念。例如:整數(shù)次數(shù)，分數(shù)I無理數(shù)這是越級分類，因為無理數(shù)與整數(shù)、分數(shù)不同在同一層次上，越級分類使概念的系統(tǒng)產生混亂，這種分類也不相稱。(3)分類的方法。二分法。就是把被

34、分類的屬概念逐次地分為兩個相互矛盾的種概念，直到不能再分為止，這種分類方法叫做二分法。這種分類方法特點：每一次都是分為兩類，簡單易行，符合分類規(guī)則，便于掌握概念之間的關系，是學習和研究中常用的重要分類方法。例如，單項式I有理式I整式1多項式心才廣至人分式代數(shù)式1、無理式正棱柱菱形!直接柱底面非正多邊形的直棱柱l斜棱柱一般分類方法。有時，為了便于研究問題，需要把概念分為三類或更多的類。例如：負判斷復合歲叫聯(lián)G判斷'選言判斷假言判斷第三節(jié)判斷與數(shù)學命題一、判斷L判斷的意義判斷是對思維對象有所斷定的思維形式。這里所說的“斷定”，就是肯定或否定。例如，“J2不是有理數(shù)”；“1是質數(shù)”；“零既不

35、是正數(shù)，也不是負數(shù)”等都是判斷。判斷有兩個基本特征：第一，有所斷定。無斷定的思維形式則不是判斷。例如，“后是什么數(shù)”；"ABC是直角三角形嗎”等都不是判斷。第二，有真假之分。如果斷定的內容符合思維對象的實際情況，那么這個判斷就是真的，否則就是假的。例如，“«2不是有理數(shù)”這個判斷是真的；而“1是質數(shù)”這個判斷是假的。2.判斷的種類數(shù)學中常用的判斷可按其本身是否還包含有其他判斷分為簡單判斷和復合判斷。簡單判斷。簡單判斷是不包含有其他判斷的判斷。簡單判斷可按所斷定的是對象的性質還是關系分為性質判斷和關系判斷。性質判斷是斷定某事物具有（或不具有）某種性質的判斷。性質判斷由主項、謂

36、項、量項、聯(lián)項四部分組成。主項表示判斷的對象，通常用字母S表示。謂項表示主項具有（或不具有）的性質，通常用字母P表示。量項表示主項的數(shù)量，反映判斷的量的差別，有全稱與特稱之分：全稱量項常用“所有”、“一切”、“每一個”等全稱量詞表述，在判斷的語言表達中可以省略，如“（所有）菱形是平行四邊形”；特稱量項常用“有些”、“至少有一個”、“存在”等存在量詞表述，在判斷的語言表達中決不能省略，如“有些直角三角形不是等腰三角形”。聯(lián)項表示主項與謂項之間的肯定或否定關系，反映判斷的質的差異，通常用“是"、“有”或“不是”、“沒有”等表述。根據(jù)量項的“全稱”或“特稱”的量，以及聯(lián)項的“肯定”或“否定

37、”的質，性質判斷可以分為四種基本形式：全稱肯定判斷，記作Ao其邏輯形式是：“所有S都是P"，簡記為SAP;全稱否定判斷，記作E。其邏輯形式是：“所有S都不是P"，簡記為SEP;特稱肯定判斷，記作I。其邏輯形式是：“有些S是P"，簡記為SIP;特稱否定判斷，記作0。其邏輯形式是：“有些S不是P"，簡記為SOP。此外，還有單稱肯定判斷，如“兀是無理數(shù)”；單稱否定判斷，如“3.1416不是無理數(shù)”。A、E、I、0這四種判斷之間有以下四種真假關系：SAP和SEP不能同真，可以同假。這種關系稱為反對關系。SIP和SOP不能同假，可以同真。這種關系稱為下反對關系。S

38、AP和SOP、SEP和SIP不能同真，也不能同假。這種關系稱為矛盾關系。SAP和SIP、SEP和SOP之間，若全稱判斷為真，則特稱判斷必真；若全稱斷為假，則特稱判斷真假不定；若特稱判斷為假，則全稱判斷必假；若判特稱判斷為真,則全稱判斷真假不定。這種關系稱為等差關系。上述四種關系可用邏輯方陣表示，如圖3-1。利用邏輯方陣，在一定情況下可由一種判斷的真假，判定其他判斷的真假。EPS等差關系矛矛等差關系SIP圖3-6SOP關系判斷是斷定事物與事物之和耍麻闌斷。關系判斷由主項、謂項和量項三部分組成。主項又稱關系項，是指存在某種關系的對象；謂項又稱關系，是指各個對象之間的某種關系；量項表示主項的數(shù)量，與

39、性質判斷一樣,特稱和單稱三種。關系判斷的量項也有全稱、例如，“一切正數(shù)大于零項，“大于”是謂項，“一切間”是一個單稱的關系判斷，與之間”。是一個全稱的關系判斷，其中,是主項“正數(shù)”的量項。又如,“正數(shù)”和“零”是主“點A在點B與點C之其主項是“點A”、“點B”和“點C”，謂項是“復合判斷。復合判斷是包含有至少一個其他判斷的判斷。復合判斷可按組成它的各個簡單判斷的組合形式和性質分為：負判斷。其邏輯形式是“并非p”。例如“并非所有實數(shù)都是有理數(shù)”10聯(lián)言判斷。其邏輯形式是“p且q”。例如“3是質數(shù)且是奇數(shù)”。選言判斷。其邏輯形式是“或者p或者q"。例如“ABC是直角三角形或4ABC是等腰

40、三角形”。假言判斷。其邏輯形式是“如果p,那么q”、“p當且僅當q"。例如“如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等”；“一個整數(shù)是偶數(shù)，當且僅當它能被2整除”。判斷是概念的發(fā)展，是由概念組成的，它有形式與內容兩方面的問題。形式邏輯專門研究判斷的形式，而不管判斷的具體內容。在數(shù)學中既要研究判斷的形式也要研究判斷的內容，把判斷的形式和內容統(tǒng)一起來，成為數(shù)學判斷。數(shù)學判斷的形式取真值，內容也符合實際，才是真實的數(shù)學判斷。如果它的形式與內容中有所不真，都不是真實的數(shù)學判斷。二、數(shù)學命題L數(shù)學命題的意義判斷是用語句表達的，表達判斷的陳述語句稱為命題。表示數(shù)學判斷的陳述語句或符號的組合稱為數(shù)學命題

41、。例如：2和3都是質數(shù)；3>2；（a+b）2=a2+2ab+b2；ABCs'A'B'C'等都是數(shù)學命題。但在數(shù)學中有一類語句的表達是沒有真假可言的。例如，含有變量的“x2=7D“x5”，就是無法判斷真假的句子。只有變量取定值以后，這兩個句子才成為可分真假的判斷，才成為命題。判斷有真假之分，命題也相應地有真假之分。一個數(shù)學命題，非真即假，不能既真又假。在命題邏輯中，通常用字母A、B、C或p、q、r等表示命題，如果p是真命題，就說p的真值等于1,記作p=1;如果p是假命題，就說p的真值等于0,記作p=0。與判斷的分類相對應，命題也有簡單命題和復合命題之分。簡單

42、命題是本身不再包含其他命題的命題，簡單命題又可以分為性質命題和關系命題；復合命題是本身還包含有其他命題的命題，復合命題又可以分成負命題、聯(lián)言命題、選言命題和假言命題。數(shù)學中研究的大部分是復合命題。為此，下面介紹有關命題運算的基本知識。2.命題的基本運算命題的運算，就是通過命題的符號化、形式化，由若干命題構成新的命題。其關鍵是邏輯聯(lián)結詞的運用。因而，命題運算實際上是命題的邏輯聯(lián)結。命題的基本運算有：否定、合取、析取、蘊涵、等價等，與之對應的邏輯聯(lián)結詞分別是：非（）、與（八）、或（V）、若則（T）、當且僅當（修）等。否定。一個命題p,它與邏輯聯(lián)結詞“非”構成新命題“非p”，記作p。p稱為p的否定式

43、或負命題。顯然，p與p的真值恰好相反，其真值表如表3-1所示。例如，“5是無理數(shù)”是一個真命題，它的否定式“（并）非是無理數(shù)”，即“J2不是無理數(shù)”是一個假命題。合取。兩個命題p、q用邏輯聯(lián)結詞“與”聯(lián)結起來得到的新命題“p與q”,記作“pnqpnq稱為p、q的合取式或聯(lián)言命題，p、q稱為合取項或聯(lián)言支。當且僅當p、q都為真時，pAq為真，其他情況都為假，其真值表如表3-2所示。例如，“15是3的倍數(shù)”、“15是5的倍數(shù)”都是真命題，其合取式“15是3與5的倍數(shù)”也是真命題。析取。兩個命題p、q用邏輯聯(lián)結詞“或”聯(lián)結起來得到的新命題“p或q”,記作“p"qpVq稱為p、q的析取式或選

44、言命題，p、q稱為析取項或選言支。只有當p、q至少有一個為真時，pvq才為真，否則為假，其真值表如表3-2所示。例如，假命題“2>2”與真命題“2=2”的析取式“2>2”是一個真命題。蘊涵。把兩個命題p、q用邏輯聯(lián)結詞“若則”聯(lián)結起來得到的新命題“若p則q”，記作“ptq”。ptq稱為p、q的蘊涵式或充分條件假言命11題，p稱為前件或前提，q稱為后件或結論。只有當p為真而q為假時，PTq才為假，其他情況都為真，其真值表如表3-2所示。在邏輯學中，蘊涵式的真值表只考慮前件、后件真假值在形式上的意義，而不管它們在內容上的聯(lián)系。在數(shù)學中，蘊涵式命題“若p則q”不僅要考慮思維形式的真假、前

45、件與后件內容的真假，而且更要考慮前件與后件之間是否有實質性的內在聯(lián)系。只有蘊涵式命題“pTq”既符合邏輯上的要求，又符合前、后件具有實質意義上的內在聯(lián)系，才是數(shù)學的真命題。例如，“若5V6,則J2是無理數(shù)”符合思維形式正確、前件與后件內容都是真的，因而它是邏輯學中的真命題；但由于它的前、后件內容沒有實質意義上的聯(lián)系，不能作為數(shù)學的真命題。當然，在思維形式上不符合邏輯學要求的數(shù)學命題絕對不會是數(shù)學真命題，正因為這樣，在本節(jié)中僅就命題形式詳細討論，還是很有必要的。等價。把兩個命題p、q用邏輯聯(lián)結詞“當且僅當”聯(lián)結起來得到的新命題“p當且僅當q”，記作“p修q”。p修q稱為p、q的等價式或充要蘊涵式

46、或充要假言命題。只有p、q同真或同假時，pHq才為真，否則為假，其真值表如表3-2所示。例如，“2+3=6”、“4X7=30”都是假命題，其等價式“2+3=6當且僅當4X7=30”是一個真命題。pqp八qpuqp-*qpiq000011010110100100111111表3-1表3-23.復合命題的真值復合命題的真值取決于構成它的簡單命題的值，可以利用真值表來計算一個復合命題在各種條件下的真值。為了省略括號，我們約定，邏輯聯(lián)結詞“、八、V、T、H”的結合力依次減弱。例如，可以將（pAq）Tr記作pAqT。反過來，為了改變運算順序，可增加括號。例1求下列復合命題的真值：pq>r-q>

47、;(p>r)解（1）(2)pqpTqprqq0011010111010010000012pqrPAqp/vqtrptrq->(ptr)p八qTr。qT(pTr)0000111100101111010011110110111110001011101011111101000111111111個命題A在任何情況下都為真，則稱為恒真命題，記作A=1;6,個命題A在任何情況下都為假，則稱為恒假命題，記作0。如例1中，為恒假命題，記作P->qAq三0；為恒真命題，記作PAq-*riqT(pTr)三1。如果兩個復合命題AB的真值表完全相同，則稱AB邏輯等價(或稱AB為等價命題)，記作A三B

48、,式子“A三B”稱為等值式,讀作“A等值于B"。如例1(2),PAqT三qT(PTr)o注意，邏輯等價與等價式不一樣，前者是指兩個命題AB之間的關系A三B,后者是由兩個命題A、B構成的新命題AlB,當且僅當AlB是恒真命題時，才有A三B。4.命題運算律把復合命題變?yōu)榈戎得}的過程叫做命題運算。命題運算中常用的定律有：雙重否定律：p三p。哥等律：PP三P；PAP三P。交換律：Pq三qP；P/vq三qP。結合律：(P¥q)"r三pv(qvr)；(PAq)Ar三pA(qAr)o分配律：P”(qr)三(pvq)A(p"r)；PA(qvr)三(pAq)v(pAr)

49、o吸收律：P(pAq)三p；pA(pvq)=po德摩根律：Pq=Pq；pq=Pqo同一律：PO三p；PA1po0-1律：PW三1；P八0三0。(10)否定律：PVP1；P'P三0。(idp'qpq。p、q=(p，q)(q>p)=(pq)(pq)o以上定律，利用真值表都可以證明，這里從略。在命題運算中，還要用到代換原則：命題的任何一部分能用與其真值相同的命題去代換，所得到的新命題與原命題同值。例2證明PT(qTr)三pAqTr證明：P*(q*r)=p>(qr)=p(qr)=(pq)r=pqr13三pAqTro三、數(shù)學命題的四種形式及其關系數(shù)學命題通常都可用蘊涵式“pT

50、q”給出。對于同一素材，一般可以作出四種形式的命題：原命題Ptq；逆命題qtp；否命題ptq；逆否命題qtp。這四種命題之間存在著互逆、互否、互為逆否三種關系。如圖3-2。可以看出：ptq三qTp；qTp三ptq。這就是說，具有互為逆否關系的兩個命題等價。上面的兩個等值式也可以用命題的運算律證明：pTq三pq三qvp三qVp三qTp.qTp=qvp=pvq=pvq=pq。如果一個命題的前提和結論都是簡單命題，則其逆命題、否命題和逆否命題都是容易確定的。如果原命題的前提或結論是復合命題，那么在制作與它相關的三種命題時，必須把前提和結論看成一個整體，利用命題運算律確定其具體內容。例3試作出命題“若

51、a+b是奇數(shù)，則a、b之中的一個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)”的逆命題、否命題和逆否命題。解設p：a是奇數(shù)；p：a是偶數(shù)；q:b是奇數(shù)；q:b是偶數(shù)；r：a+b是奇數(shù)；r：a+b是偶數(shù)。則原命題為r-*(pAq)v(pAq)o逆命題為(p八q)"pAqLro14即“a、b之中的一個是奇數(shù)，另一個是偶數(shù)，則a+b是奇數(shù)”。否命題為r>(pq)(pq)三F>pqpq三rT(pVq)A(pVq)三rTpA(pVq)VqA(pVq)三rT(pAp)V(pAq)V(qAp)V(qAq)三rt0V(pAq)V(qAp)V0=rt(paq)V(pAq)o即“若a+b是偶數(shù)，則a與b都是偶數(shù)或a

52、與b都是奇數(shù)”。逆否命題為(p八q)(pAq)Tr三(p八q)v(pAq)T：。即“若a與b都是偶數(shù)或a與b都是奇數(shù)，則a+b是偶數(shù)”。數(shù)學中大多數(shù)命題的前提或結論含有量詞。命題中的量詞有兩個，一個是表示思維對象的全體的全稱量詞：“對所有的x"，記為Vx；另一個是表示思維對象的部分的、或存在的特稱量詞：“存在x”，記為Hxo對含有量詞的命題作否定，有下述關系成立：X/x(p(x)三三x(p(x)；x(p(x)=x(p(x)。事實上，這兩個等值式的意義是明顯的，合乎情理的。它們分別說明了：對所有對象都不真的p(x),等價于對有些對象p(x)不真；而對有些對象不真的p(x),也等價于對所

53、有對象p(x)不真。2.一一一一例4求命題對任一實數(shù)x,x+1>0”的否命題。22解命題“對任一實數(shù)x,x+1>0”可用符號表不為x=R(x+1>0),其否命題是Vx£R(x2+1>0)三三xWR(x2+1>0)三版乏R(x2+1W0)一2即“存在實數(shù)x,使x+1W0”。顯然，這個命題是假的。第四節(jié)數(shù)學推理與數(shù)學證明一、數(shù)學推理1、推理定義1：從一些已知的命題A1,A2,，An出發(fā)，按一定規(guī)則推得一個新命題B的過程，稱為為推理。記為：A1,A2,AnkBA1,A2,An稱為推理的前提，新命題B稱為推理的結論。例如，等腰三角形的兩底角相等，ABC是等腰三角

54、形，所以ABC是兩底角相等。就是一個推理，前面的兩個判斷為是前提，后一個所得的新判斷為結論。推理A1,A2,An|-B可以通過運算A,一還原成一個命題：A1AA2AAAn一B。定義2:若A1AA2/V/An'B=1即為恒真命題，而不論A1，A2,，An是真還是假，則稱稱推理A1，A2,AnkB為正確推理。2、推理規(guī)則推理規(guī)則就是正確的推理形式，遵守這些形式就能保證合乎邏輯，中學數(shù)學中常用的推理規(guī)則有：15PTppTp(p>q)p>q(p，q)(q>r)>(p>r)(4)(p，q)(q,r)，(p,r)(p，q)p>q(6) (p>q)(q>p)>(pq)(p>q)>(q>p)(8) (p>q)q>p(9) (pq)p>q以上推理規(guī)則的正確性完全可以通過真值表或命題公式的推演證得，正確應用推理規(guī)則是掌握推理的關鍵。2、推理種類推理的種類很多，數(shù)學中常用的推理有歸納推理、類比推理和演繹推理三種。歸納推理歸納推理或稱歸納法，是由特殊到一般的推理，是從個別或特殊的事物所作的判斷擴大為同類一般事物的判斷的思維過程。根據(jù)歸納推理的前提與結論所作判斷的范圍是否相同，歸納