鄞物理奧賽培訓(xùn)教材第二版知識框架第1120講

1、第一講功和功率【賽點知識】一、功物體（可看成質(zhì)點）在恒力F的作用下產(chǎn)生了位移，則力F對物體所做的功為：WFscos式中，是力F與位移s之間的夾角，功是標(biāo)量，但有正、負(fù)之分，正功和負(fù)功的物理意義則須從與做功相聯(lián)系的能量轉(zhuǎn)化角度去理解。說明：（1）功是描述力的空間累積效果的物理量，由于位移總是與一個過程相聯(lián)系的，所以功是過程量。（2）功在不同的參照條件中，可以有不同數(shù)值。但一般都取地面作為參照系。而一對作用力與反作用力做功之和卻與參照系的選擇無關(guān)，如一對滑動摩擦力做的總功是fs（式中s是相對位移），一對靜摩擦力做的總功為零。s應(yīng)理解為力的（3）當(dāng)不能把物體當(dāng)作質(zhì)點處理時，物體的位移與力的作用點的位

2、移可能是不相等的，這時公式中的作用點的位移。如在半徑為R的圓柱體上纏繞著一根輕繩，當(dāng)施一恒定的水平力F拉繩子，使圓柱體無滑滾動一周過程中，力F所做的功應(yīng)為F4R，而不是F2R。（4）功的定義式中力應(yīng)為恒力。如F為變力，中學(xué)階段常用如下幾種處理方法：a. 微元法。即把變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功。b. 圖像法。即作出力F與位移變化的圖像，求出圖線與位移軸之間所圍的面積c. 等效法。即用機(jī)械能的增量或Pt等效代換變?yōu)楣?。?）幾個特殊力做的功a. 重力做的功：只與始末位置的高度差有關(guān)，與運動的路徑無關(guān)表達(dá)式：Wmghb. 彈簧彈力做的功據(jù)胡克定律Fkx，作出Fx圖線。1212當(dāng)彈簧從形變X1變化到形變X

3、2時，彈簧彈力所做的功相當(dāng)于圖中陰影部分的“面積”，即W-kx1kx2。22彈簧彈性力的功與路徑無關(guān)，只與彈簧初、末狀態(tài)兩點的形變有關(guān)。c. 萬有引力的功。質(zhì)量分別為m和M的兩個質(zhì)點，m相對M從初始位置a（相距r0），沿任意路徑運動到終止位置b（相距r），質(zhì)點m所受M的萬有引力的功為:MmMmWGG-5r萬有引力做的功與兩質(zhì)點初態(tài)的相對位置r0和終態(tài)的相對位置r有關(guān)，而與運動的路徑無關(guān)二、功率力所做的功與所用時間的比值，稱為該力在這段時間內(nèi)的平均功率，記為PW。若將WFscos代入上式得tPFvcos式中，v若為平均速度，求得的P為平均功率，若v是即時速度，求得的P為即時功率，式中為F與v之間

4、的夾角。第十二講動能定理【賽點知識】1、動能動能是描述質(zhì)點機(jī)械運動狀態(tài)的一個物理量表達(dá)式：Ekmv22特點：動能是標(biāo)量且恒為正值，它的大小跟參照系的選擇有關(guān)。二、動能定理1內(nèi)容：作用在質(zhì)點上合外力所做的功等于質(zhì)點動能的改變量。2.表達(dá)式:3說明：(1) 質(zhì)點動能定理只能在慣性系中運動，其中位移和速度必須是同一慣性系的。(2) 動能和功是完全不同的兩個物理量，動能是描述質(zhì)點機(jī)械運動狀態(tài)的物理量；功是和運動過程相聯(lián)系，是描述力的空間累積效應(yīng)的物理量，但動能和功又是密切聯(lián)系的，體現(xiàn)在動能定理中，做功的本質(zhì)是使物體的動能變化。4.質(zhì)點組動能定理(1) 內(nèi)容：對于質(zhì)點組，外力做功與內(nèi)力做功之和等于質(zhì)點組

5、動能的改變量。(2)表達(dá)式：W外W內(nèi)EK2Ek1第十三講勢能和機(jī)械能守恒定律【賽點知識】一、保守力和非保守力保守力：凡做功只依賴于質(zhì)點組（或物體系）的初態(tài)和終態(tài)的相對位置的力，即與路徑無關(guān)的力，如重力、萬有引力等。非保守力：凡做功與路徑有關(guān)的力，又稱耗散力，如滑動摩擦力等。二、勢能（一）概念在保守力場中，有一種僅由物體系內(nèi)的相對位置決定的能量，稱之為勢能。物體系具有勢能的條件是受保守力作用。（二）物體系的勢能和保守力的關(guān)系勢能的改變量等于保守力做功的負(fù)值：W保Ep。（三）特點（1）勢能是標(biāo)量。（2）勢能是狀態(tài)量，由于勢能的概念只確定了其改變量，為確定某狀態(tài)下物體系的勢能值。必先規(guī)定某一狀態(tài)勢能

6、為零，這狀態(tài)稱之為勢能零點。（3）勢能是物體系共有的。（4）若物體系同時受幾種保守力作用。則同時存在相應(yīng)的幾種勢能。（四）力學(xué)中常見的勢能（1）重力勢能：在物體跟地球組成的系統(tǒng)中，由物體跟地球之間相互作用的重力及相對位置決定的勢能。表達(dá)式：Epmgh。（式中h為與選定的零勢能面位置的高度差）（2）萬有引力勢能a. 產(chǎn)生：兩個質(zhì)點組成的系統(tǒng)中，由兩質(zhì)點相互作用的萬有引力及相對位置決定的勢能b. 勢能零點的規(guī)定：一般規(guī)定兩質(zhì)點相距無限遠(yuǎn)處為勢能零點。亠小MmC.大小：EpG。式中r為兩質(zhì)點間距。r討論：質(zhì)點及均勻球體組成的物體系，其引力勢能為EpG。式中r為質(zhì)點到球心的距離。r質(zhì)點及均勻球殼組成的

7、物體系:a.質(zhì)點在均勻球殼內(nèi)，其引力勢能為:Epb.質(zhì)點在均勻球殼外，其引力勢能為:EpGMm。式中R為球殼半徑。RGMm。式中r為質(zhì)點到球殼球心的距離。r（3）彈性勢能由物體跟彈簧相互作用的彈性力及相對位置決定的勢能。 產(chǎn)生在物體和彈簧組成的系統(tǒng)中，在彈簧彈性限度內(nèi)， 勢能零點的規(guī)定：一般規(guī)定彈簧處于原長的位置為勢能零點。12大?。篍pkx。2三、機(jī)械能夠守恒定律（一）機(jī)械能物體系動能和勢能的總和，其中勢能包括重力勢能和彈性勢能。（二）機(jī)械能守恒定律1內(nèi)容：一個物體系在某一過程中，夕卜力不做功，內(nèi)部非保守內(nèi)力不做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2說明：（1）定律只適用于慣性系，應(yīng)用時必須選同一慣性系。

8、（2）必須注意定律成立的條件： 外力對系統(tǒng)不做功，表明系統(tǒng)與外界沒有沒有能量交換。 非保守力不做功，表明系統(tǒng)內(nèi)部不發(fā)生機(jī)械能與其它形式能的轉(zhuǎn)化。第十四講天體運動【賽點知識】一、開普勒三定律第一定律：行星沿橢圓軌跡繞日運動，太陽在橢圓軌道的一個焦點上。第二定律：行星與太陽的連線（稱矢徑）在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。即:vrsin常數(shù)式中，r為從太陽中心引向行星的矢徑的長度，為行星速度與矢徑r之間的夾角。即:第三定律：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與軌道半長軸的立方成正比。T1a342GM式中，M為太陽質(zhì)量，G為引力恒量。實際上，凡在中心天體的引力作用下，繞中心天體作周期運動的物體。如人造地球衛(wèi)星，都遵循以

9、上三定律，只需把“太陽”改成“中心天體”即可。二、萬有引力定律任何兩質(zhì)點間都存在著相互吸引力，其大小與兩質(zhì)點的質(zhì)量的乘積成正比，與兩質(zhì)點間的距離平方成反比，力的方向沿著兩質(zhì)點的連線。11式中，G為引力恒量，大小G6.6710N.m【kg-2。注意:（1）此式僅適用于兩質(zhì)點之間。（2）假如兩物體不能看做質(zhì)點，要求它們之間的引入，須把兩物體分割成許多小塊，然后再用上式計算，再矢量合成。（3）質(zhì)量分布是球?qū)ΨQ的球體產(chǎn)生的萬有引力，等效于把球體質(zhì)量集中于球心的質(zhì)點所產(chǎn)生的萬有引力。對均勻球面對球外質(zhì)點的引力也等同于把球面的質(zhì)量集中在球心處而成的質(zhì)點與球外質(zhì)點間的引力。對均勻球殼對位于球殼內(nèi)的質(zhì)點的引力

10、等于零。三、天體運動天體運動的軌道一般是圓或橢圓，它做曲線運動的向心力是靠萬有引力提供的，因天體本身的大小與它們之間的距離比較起來很小，因此可以把它們當(dāng)成質(zhì)點來處理。當(dāng)一顆質(zhì)量為m的行星以速度v繞著質(zhì)量為M的恒星做半徑為R的圓周運動時，如以無窮遠(yuǎn)處作為零勢能，則它的動能Ek和勢能EP分別為:Ek丄mv2，E22vm一Rv2gmREk行星的總能量eekep1 MmG-2 R1mv2G更R由上可知，衛(wèi)星飛得越高，其速度越慢，但它的總能量卻越大，在解決實際問題時，常把天體的能量問題與開普勒三定律結(jié)合起來解題。1 Mm_G2 R1 MmG-2 R它是發(fā)射高軌衛(wèi)星較困難的原因之一。第十五講動量定理與動量

11、守恒定律【賽點知識】一、動量和動量定理在牛頓定律建立以前，人們?yōu)榱肆慷任矬w做機(jī)械運動的“運動量”，引入了動量的概念。當(dāng)時在研究碰撞和打擊問題時認(rèn)識到：物體的質(zhì)量和速度越大，其“運動量”就越大。物體的質(zhì)量和速度的乘積遵從一定的規(guī)律，例如在兩物體的碰撞過程中，它們的改變量必然是數(shù)值相等、方向相反。在這些事實基礎(chǔ)上，人們引入mv來量度物體的“運動量”，稱之為動量人們又發(fā)現(xiàn)：要使原來靜止的物體獲得某一速度，可用較大的力作用較短的時間或用較小的力作用較長的時間，只要力F和力的作用時間t的乘積相同，所產(chǎn)生的改變這個物體的速度效果就一樣，在物理學(xué)中把Ft叫做沖量。由牛頓定律，容易得出它們的聯(lián)系。對單個物體：

12、Ftmvtmv0；Ftp即沖量等于動量的增量，這就是動量定理。在應(yīng)用動量定理時要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線上，也可以不在一條直線上。當(dāng)不在一直線上時，可將矢量投影到某方向上，分量式為：Fxtmvtxmv0xFytmvtymv0xFztmvtzmv0x對于多個物體組成的物體系，按照力的施力物體劃分成內(nèi)力和外力。對各個質(zhì)點用動量定理：第1個I1外I1內(nèi)m1v1tm1v10第2個I2外I2內(nèi)m2v2tm2v20第n個1n外1n內(nèi)mnvntmnvn0由牛頓第三定律：I1內(nèi)I2內(nèi)I1n內(nèi)0因此得到：I1外I2外In外(m1v1tm2v2t即I合外I1外I2外1n外P系mnvnt)

13、(m1v10m2v20mnvn0)質(zhì)點系所有外力的沖量等于物體系總動量的增量。二、動量守恒定律動量守恒定律是人們在長期實踐的基礎(chǔ)上建立的，首先在碰撞問題的研究中發(fā)現(xiàn)了它，隨著實踐范圍的擴(kuò)大，逐步認(rèn)識到它具有普遍意義。對于相互作用的系統(tǒng)，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可得出物體的總動量保持不變。即m1v1m2v2mnvnm1v1m2v2mnvn上式就是動量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)用動量守恒定律應(yīng)注意以下幾點：（1）動量是矢量，相互作用的物體組成的系統(tǒng)的總動量是指組成物體系的所有物體的動量的矢量和，而不是代數(shù)和，在具體計算時，經(jīng)常采用正交分解法，寫出動量守恒定律的分量方程，這樣

14、就可以把矢量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。（2）在合外力為零時，盡管系統(tǒng)的總動量保持不變，但組成系統(tǒng)的各個物體的動量卻可能不斷變化。系統(tǒng)內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)物體的動量，卻不能改變系統(tǒng)的總動量。在合外力不為零時，系統(tǒng)的總動量要發(fā)生改變，但垂直于合外力方向上系統(tǒng)的動量應(yīng)保持不變，即合外力的分量在某一方向上為零，則系統(tǒng)在該方向上動量分量守恒。（3）動量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實際問題時，當(dāng)系統(tǒng)受到的合外力不為零，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時，我們?nèi)钥梢园阉?dāng)做合外力為零處理，動量守恒定律成立。如遇到碰撞、爆炸等時間極短的問題時，可忽略外力的沖量，系統(tǒng)動量近似認(rèn)為守恒。（4）動量守恒定律是由牛頓定律推導(dǎo)出的

15、，牛頓定律對于分子、原子等微觀粒子一般不適用，而動量守恒定律卻仍適用。因此，動量守恒定律是一條基本規(guī)律，它比牛頓定律具有更大的普遍性。第十六講碰撞【賽點知識】1、碰撞質(zhì)量和質(zhì)量m2的兩個物塊在直線上發(fā)生對心碰撞，碰撞前后速度分別為v1，v2及v1，v2，碰撞前后速度在一條直線上，由動量守恒定律得到:m1v1m2v2m1v1m2v2根據(jù)兩物塊碰撞過程中的恢復(fù)情況，碰撞又可分為下列幾種：（一）彈性碰撞在碰撞過程中沒有機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，由機(jī)械能守恒定律有:12121m2v2m1v1m2v2222結(jié)合動量守恒定律解得:(m1m2)v12m2v2m1m2對于上述結(jié)果可作如下討論:(1)m1m

16、2時，貝Uv1(2)右m1V2(m2m1)v22m1v1m1m2v2，v2v1，即m1、m2交換速度。m2，且有v20，則v1v1，v22v1，即大物體速度幾乎不變，而小物體以二倍于大物體速度運動。(3)m2，且有v20，則v1v1，v20，則大物體幾乎不動，而小物體原速率反彈。（二）完全非彈性碰撞兩物體相碰后粘合在一起或具有相同的速度，被稱為完全非彈性碰撞，在完全非彈性碰撞中，系統(tǒng)動量守恒，機(jī)械能損失最大。m1v1m2v2(m1m2)Vm1v1m2v2m1m2碰撞過程中損失的機(jī)械能為:E-m1v1212m2v22(m1m2)v22(v1v2)22m1m2（三）一般非彈性碰撞，恢復(fù)系數(shù)一般非彈

17、性碰撞是指碰撞后兩物體分開，速度Viv2，且碰撞過程中有機(jī)械能損失，但比完全非彈性碰撞損失機(jī)械e定義為:能要小。物理學(xué)中用恢復(fù)系數(shù)來表示碰撞性質(zhì)。恢復(fù)系數(shù)v2v1v1v2（1）彈性碰撞，e1；（2）完全非彈性碰撞，v1v2,e0；（3）般非彈性碰撞，0e1。（四）斜碰兩物體碰撞前后不在一條直線上，屬于斜碰，設(shè)兩物體間的恢復(fù)系數(shù)為e，設(shè)碰撞前mt、m2的速度為v1,v2，其法向分量分別為v1n，v2n，碰后速度為vt，v2，法向分量為v1n，v2n，則有v2nv1nev1nv2n若兩物體接觸處光滑，則應(yīng)有m1、m2切向分量不變，v1tv1t，v2tv2t。若兩物體接觸處有切向摩擦，這一摩擦力大小

18、正比于法向正碰力，也是很大的力，它提供的切向沖量便不可忽略。二、質(zhì)心及質(zhì)心的運動（一）質(zhì)心及質(zhì)心位置任何一個質(zhì)點系中都存在著一個稱為質(zhì)心的特殊點，它的運動與內(nèi)力無關(guān)，只取決于外力。當(dāng)需將質(zhì)點組處理成一個質(zhì)點時，它的質(zhì)量就是質(zhì)點組的總質(zhì)量。當(dāng)需要確定質(zhì)心運動時，就沒想把質(zhì)點組所受的全部外力集中作用在質(zhì)心上。設(shè)空間有N個質(zhì)點，其質(zhì)量、位置分別記作mi，ri，質(zhì)點組質(zhì)心記為c,則質(zhì)量、位置：mjimcmi；rcmi在x，y，z直角坐標(biāo)系中，記錄質(zhì)心的坐標(biāo)位置為：XcmiXimi'（二）質(zhì)心的速度、加速度、動量miVi質(zhì)心的速度"質(zhì)、心的j速度：vcmivc質(zhì)心的加速度：acmiai

19、tmimiYimiZiYc；ZcmimiFimc由此可知，當(dāng)質(zhì)點組所受外力為零，質(zhì)心將保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。（三）質(zhì)心的動能與質(zhì)點組的動能以兩個質(zhì)點為例，質(zhì)量m1，m2的兩質(zhì)點相對于靜止參照系速度V1，V2，質(zhì)心c的速度為vc，兩質(zhì)點相對于質(zhì)心的速度是v1，v2，可以證明有1212121212m1v1m2v2mcvc葉m2v222222EkEkcEk即兩個質(zhì)點的總動能等于質(zhì)心的動能與兩個質(zhì)點相對于質(zhì)心的動能之和第十七講角動量與角動量守恒【賽點知識】1、力矩在某慣性系中，質(zhì)點相對于參考點o的位移為r,質(zhì)點所受力為F，設(shè)r于F不共線，它們惟一確定的平面記為在F平面上，通常r于F之間有一個較小

20、的夾角和一個較大的夾角，其中0，規(guī)定為r于F之間的夾角。力F相對于參考點o的力矩是個矢量，它被定義為:大?。篗rFsin方向：按從r到F的右手螺旋法則確定力矩大小M表達(dá)式中的rsin即為參考點o到力F作用線的距離d，即有MFd。常稱d為力。也可將M表達(dá)式中的Fsin用F平面內(nèi)F在垂直于r方向線上的分量F代替，即有：MrFM的方向與平面F垂直。以參考點O為坐標(biāo)原點建立Oxyz坐標(biāo)系，引入x,y，z軸的方向矢量i，j，k，它們均為1個單位，方向沿X，y，Z軸上的分量，那么M可分解為MMxiMyjMzk。Mx，My，Mz分別稱M在X，y，z軸上的分量，有時也將它們稱為F相對于X軸，y軸，Z軸的力矩。

21、可以證明，一個質(zhì)點受若干個力作用時，相對于同一參考點的各分力力矩之和等于合力的力矩。二、角動量將質(zhì)點的質(zhì)量記為m，速度記為v，它的動量便為pmv。設(shè)r和p不共線，它們惟一確定的平面記為p，在p平面上r和p的夾角如圖所示，質(zhì)點相對參考點o的角動量也是一個矢量，它被定義為：大?。篖rpsin方向：按從r到p的右手螺旋法則確定。如圖所示，將p分解為：ppP那么對L有貢獻(xiàn)的只有p分量，即有：Lrp以O(shè)為坐標(biāo)原點建立Oxyz坐標(biāo)系后，L也可相應(yīng)地分解為:LLxiLyjLzkLx，Ly，Lz分別稱L在x，y，z軸上的分量，有時也將它們稱為p相對于x軸，y軸，z軸的角動量需要注意，相對同一參考點O,p平面由

22、r，p兩矢量確定,F平面由共點的r，F(xiàn)兩矢量確定，通常二者并不重合，L和M的方向也?；ギ悺＿@就是質(zhì)點的角動量定理，定理中ML必須相對同一參考點質(zhì)點角動量定理有三個分量式:三、質(zhì)點對參考點的角動量定理動量定律可表述為：FP即質(zhì)點所受的力等于它的動量隨時間的變化率。質(zhì)點所受力矩與它的角動量隨時間的變化率也恰好是相等關(guān)系，即有LzLx，Mt質(zhì)點在運動過程中若M恒為零，則L為守恒量，這就是質(zhì)點角動量守恒定律。在某一慣性系中做勻速直線運動的質(zhì)點，受力必為零，相對這一慣性系中任何參考點的力矩均為零，角動量守恒。變換慣性系，質(zhì)點運動的勻速直線運動不變，因此它在任何慣性系中相對于任何參考點的角動量都守恒；考察

23、行星的運動，略去其他天體施加的引力，以太陽為參考點，太陽引力的力矩恒為零，行星繞太陽運動過程中相對于太陽的角動量守恒。但若改取其他點為參考點，太陽引力力矩不恒為零，角動量便不再守恒。四、質(zhì)點組對參考點的角動量定理首先要取一個參考點o,質(zhì)點組中各質(zhì)點相對o點的角動量一般記為Li，則稱LLii為質(zhì)點組相對o點的角動量。第i質(zhì)點所受力相對o點的力矩記為Mj，引入MMiiLiL因MjL，故必有M-tt如前所述，質(zhì)點組中各質(zhì)點所受力有內(nèi)力和外力之分，因此可將M分解為MM外M內(nèi)式中，M內(nèi)為各質(zhì)點所受內(nèi)力相對o點力矩之和,M外為各質(zhì)點所受外力相對o點的力矩之和。于是便有根據(jù)牛頓第三定律可以證明，任何一對作用

24、力和反作用力相對于同一參考系的力矩之和為零?？紤]到質(zhì)點組中內(nèi)力成對出現(xiàn)，必有M內(nèi)0，即有：M外這就是質(zhì)點組角動量定理。質(zhì)點組角動量定理的三個分量式為:M外,xLxM外,yLyM外,zLzt如果在過程中，質(zhì)點組各質(zhì)點所受外力相對參考點o的力矩之和M外恒為零，那么質(zhì)點組相對該參考點o的角動量L為守恒量。這就是質(zhì)點組的角動量守恒定律。五、討論（1）地面上質(zhì)點組中各個質(zhì)點均受到重力作用，重力的方向由質(zhì)點所在位置處重力角速度g的方向確定，重力的大小也與g的大小有關(guān)。線度遠(yuǎn)小于地球半徑的質(zhì)點組，各質(zhì)點所在位置的重力加速度g可處理為相同的矢量，這種情況下可以證明，各質(zhì)點所受重力相對某一參考點的力矩之和等效為

25、全部重力集中在某一個部位后相對該參考點的力矩，這一點部位即為質(zhì)點組的重心。證明中還可以得到這樣的結(jié)論：此質(zhì)點組的重心恰好位于它的質(zhì)心。（2）剛體繞一個固定的幾何軸線轉(zhuǎn)動，稱為剛體的定軸轉(zhuǎn)動。有些情況中，剛體作定軸轉(zhuǎn)動時沒有實物支持軸，對稱的陀螺在地面上無平移地繞豎直幾何軸轉(zhuǎn)動便是一例。實物支持軸可為轉(zhuǎn)動的剛體提供支持力和摩擦力。剛體作定軸轉(zhuǎn)動時，常將參考點選在幾何軸上，與轉(zhuǎn)動快慢變化直接相關(guān)的便是角動量定理沿幾何轉(zhuǎn)軸的分量式。將幾何軸取為z軸，對應(yīng)的分量式為：M外,zLz常稱M外z為各外力相對轉(zhuǎn)軸力矩之和（3）質(zhì)點所受都是外力，若質(zhì)點所受合外力為零，便稱它處于平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)的特征是加速度為

26、零，此時質(zhì)點或靜止或做勻速直線運動。物體處于平衡狀態(tài)的特征是質(zhì)心的加速度為零和物體相對任何一個參考點的角動量守恒，這就要求:F合外0M外0（相對任何一個參考點）可以證明，在F合外0的前提下，只要各外力相對某一參考點的力矩之和為零，那么外力相對任何參考點的力矩之和也必定為零，據(jù)此，可將物體平衡的條件放寬為：F合外0M外0相對某個參考點）處于平衡態(tài)的物體可以是靜止的，也可以是運動著的，討論得較多的是靜止?fàn)顟B(tài)。第十八講轉(zhuǎn)動定律【賽點知識】一、轉(zhuǎn)動慣量質(zhì)量是平動慣性的量度。在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，描述轉(zhuǎn)動慣性的物理量，稱之為剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量，定義為：Im斤2，式中ri為質(zhì)點i繞定軸轉(zhuǎn)動的半徑。轉(zhuǎn)動慣量

27、可表示為剛體的質(zhì)量m與某個長度k的平方的乘積mk2。k稱為回轉(zhuǎn)半徑。同一剛體，繞不同的軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量是不同的。剛體的轉(zhuǎn)動慣量不但取決于剛體質(zhì)量的大小，而且與其質(zhì)量相對軸的分布有關(guān)。在實際中，常常依此規(guī)律來改變轉(zhuǎn)動慣量以適應(yīng)需要。剛體的轉(zhuǎn)動慣量的值，一般通過實驗的方法進(jìn)行測定。形狀規(guī)則且密度均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量，可根據(jù)定義式計算，限于數(shù)學(xué)工具，下面直接給岀部分常見規(guī)則剛體的轉(zhuǎn)動慣量。（1）質(zhì)量為m、長度為L均勻細(xì)桿，繞過其中點并垂直于桿的垂直固定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為mL2。繞過其端點12的垂直固定軸轉(zhuǎn)動，其轉(zhuǎn)動慣量為1mL2。3（2）質(zhì)量為m、半徑為R的勻質(zhì)圓環(huán)，繞過其圓心并與環(huán)面垂直的固定軸轉(zhuǎn)

28、動，轉(zhuǎn)動慣量為mR2。（3）質(zhì)量為m的中心有孔的勻質(zhì)薄圓盤，外半徑為r2，內(nèi)半徑為R1，繞過盤心并與盤面垂直的固定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動1慣量為一m（R；R2）。中心有孔的勻質(zhì)圓柱體繞其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量與此相同。2女口果中心沒有孔的圓盤或?qū)嵭膱A柱體，貝UR10，用R替代r2，則|mR2。2（4）質(zhì)量為m，半徑為R的勻質(zhì)球體，圍繞其直徑轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量為-mR2。5對轉(zhuǎn)動慣量的計算，有下面兩個定理，一個定則。定理一：平行軸定理對不同的轉(zhuǎn)軸，剛體的轉(zhuǎn)動慣量不同。實驗表明，如果幾個軸相互平行，其中的一個軸過質(zhì)心，剛體對此軸的轉(zhuǎn)動慣2量最小。若用lc表示剛體通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量，對另一個與此平行相距為d的定軸的轉(zhuǎn)

29、動慣量為：Ilcmd。定理二：垂直軸定理對于薄片狀物體，相對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量|z為相對于x軸的轉(zhuǎn)動慣量lx與相對于y軸的轉(zhuǎn)動慣量ly的和，即：1z1x1y。定則：伸展定則如果將一個物體的任何一點，平行地沿著一根軸的方向作任意大小的位移，則此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。我們可以想像，將一個物體，平行于直軸地，往兩端拉開。在物體伸展的同時，保持物體任何一點離直軸的垂直距離不變，則伸展定則闡明此物體對此軸的轉(zhuǎn)動慣量不變。二、轉(zhuǎn)動定律力是產(chǎn)生加速度的原因。在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩是改變剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因，在定軸轉(zhuǎn)動中，剛體的角加速度與外界對軸的合外力矩成正比，與其對軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比，此規(guī)律稱為轉(zhuǎn)動定律

30、，表達(dá)式為：MI，其中角加速度第十九講振動【賽點知識】一、機(jī)械振動物體在某位置附近做往復(fù)運動，叫做機(jī)械振動。該位置稱為振動的平衡位置。（1）產(chǎn)生振動的條件：有回復(fù)力的作用且所受阻力足夠小。（2）回復(fù)力：物體離開平衡位置時所受到的指向平衡位置的力叫回復(fù)力。（3）振動位移：平衡位置指向物體所在位置的有向線段，為方便描述振動引入。二、簡諧運動（一）簡諧運動的定義如果物體所受的回復(fù)力大小總與位移成正比，方向總與位移相反，那么它所作的振動叫做簡諧運動。簡諧運動物體的上述受力特征，可表示為：Fkx。k其動力學(xué)方程為：axm上式中，F(xiàn)為簡諧運動物體所受的回復(fù)力，x為振動物體相對于其平衡位置的位移，k為F與x

31、間的比例系數(shù)（振動物體為彈簧振子時，k為彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)），負(fù)號表示回復(fù)力F的方向與位移x的方向相反，a為振動物體在位移為x時的加速度。（二）簡諧運動和勻速圓周運動簡諧運動是一種變加速運動，直接用數(shù)學(xué)方法求解其運動方程顯得復(fù)雜，若定性畫岀運動圖線會發(fā)現(xiàn)像正弦或余弦曲線。聯(lián)想到數(shù)學(xué)中的單位圓，則可以嘗試與熟悉的勻速圓周運動聯(lián)系。考察一個以角速度沿半徑為R的圓周做勻速運動的質(zhì)點，它的質(zhì)量為m，受到的合外力構(gòu)成向心力，方向指向圓心，大小為：m2R取xOy坐標(biāo)系如圖所示。設(shè)t0時質(zhì)點的角位置為0，任意t時刻角位置t0。質(zhì)點在x方向的分運動為:xRcosRcos(t0)vxvsinRsin(t0)質(zhì)點所受

32、合力在x方向分量為：F心cos2fmRx2xmR即：Fxkxkm2由此可見，勻速圓周運動質(zhì)點在x方向分運動具有兩個特征：位移量x隨時間t在零點附近作往返的余弦變化；質(zhì)點在x方向受力與位移量x的大小成正比，方向相反，或者說是一個線性回復(fù)力，可見該運動是一個簡諧振動。（三）簡諧運動方程由上可知，滿足Fkx的振動物體的位移x隨時間t的變化規(guī)律是一余弦函數(shù)（當(dāng)然也可以表述為正弦函數(shù)），這就是簡諧運動的方程:xAcos(t0)叫此振動的角頻率（也稱圓頻率），它與此振動式中，A為此振動的振幅，即振動物體離開平衡位置最大位移的大小,的周期T、頻率f有如下的關(guān)系:若t0時刻（即起振時刻）振動位移和速度分別為X

33、0和V0，則有:2tan°-Xov0需要注意的是：當(dāng)一0時，0可在I、山象限；當(dāng)Xo時，0可在H、山象限。因此，還需結(jié)合Xo或VoXo的正、負(fù)來輔助確定0所在象限。簡諧運動的周期是由振動系統(tǒng)本身的物理條件來決定，其關(guān)系式為:式中，m為振動物體的質(zhì)量。故此周期又稱為此物體的固有周期（對應(yīng)地也有其固有頻率）個作簡諧運動的系統(tǒng)，若它不與外界交換能量，內(nèi)部又沒有機(jī)械能損失，則稱該系統(tǒng)為諧振子。諧振子的機(jī)械能守恒。諧振子的能量可以用簡諧運動的振幅、頻率和相位表示。12Ekmvk2Ep1kx221m2122kAcos(22A2sin2(to)0）可見諧振子的動能和勢能都隨時間變化，但機(jī)械能:1E

34、EkEpm22a2保持不變。Ek，EP，E與時間的關(guān)系如圖所示。由圖可見，動能和勢能的變化頻率都是振動頻率的兩倍。諧振子的總能量與振幅的平方成正比，與角頻率的平方成正比。這是諧振子的一般特征。諧振子的能量表達(dá)式還為我們提供了求振子頻率的另一種方法，這種方法不涉及振子所受的力，在力不易求得時較為方便。將勢能寫成位移的函數(shù)，則有：或?qū)⒖偰芰繉懗烧穹暮瘮?shù)，則有:（四）彈簧振子勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置,一端固定另一端連接質(zhì)量為m小物體，后者與水平面光滑接觸。取x軸水平地朝著彈簧伸長的方向放置。坐標(biāo)原點設(shè)在彈簧處于自由長度狀態(tài)時小物體所在位置。如圖所示，當(dāng)小物體有位移x時，便受到彈性力:Fxkx

35、該力為線性回復(fù)力，小物體的運動是簡諧運動：xAcos（t0）其中角頻率:振幅A與初相位0可由t0時刻小物體的位置x0及速度v0來確定。（五）單擺如圖所示，有一根長度為I不能伸長的輕線。上端固定，下端與一質(zhì)量為m的小球相連。當(dāng)小球靜止不動時，線與小l的圓弧在B、C之間往復(fù)運動。這球的拉力T與重力平衡，小球位于懸點下方的o點，o點稱為小球的平衡位置。若將小球向右拉開一小段距離，到達(dá)b點位置放手，小球?qū)⒃谥亓g和線的拉力T的作用下向左運動，然后在豎直面內(nèi)沿半徑為個振動系統(tǒng)稱為單擺。若最大擺角為0，小球運動到P處的擺角為，則此時小球速度:2gl(coscoso)重力mg沿切線方向的分力Fimgsin

36、，在F的作用下，小球沿切線方向的加速度為:agsinA0小球在p點時的速度為v，它沿半徑為I的圓弧運動，所以它的向心加速度為:2van2g(coscos0)以小球的平衡位置為原點。下面我們討論小球在水平方向的運動，以水平向右的方向為y軸的正方向，則小球在P點時的加速度沿x軸的分量為:x軸的正方向，向上的方向為axgsincos2g(coscos0)sin當(dāng)擺角00.087弧度時，-23.81031，cos01021，1cos1-21，上式變?yōu)?axgsin由于sin，故有:Iax由此式和簡諧運動的定義相比較，可知小球在lx方向的運動，在擺角1弧度的條件下，是一個簡諧運動。比較上式和公式ax，可

37、以得出這個簡諧運動的角頻率:再由T可得出相應(yīng)的周期，也就是單擺振動的周期公式:同樣可以證明豎直方向分運動在T2Xg1弧度條件下也為簡諧運動，周期為:（六）簡諧運動的合成（1）同方向、同頻率兩振動的合成當(dāng)一個物體同時參與同方向的兩個振動時，它的位移應(yīng)為參與每個振動時的位移的代數(shù)和。當(dāng)兩振動頻率相同時，設(shè)X!A-icos(t1)x2A2cos(t2)則合振動xXiX2Aicos(t1)A2cos(t2)利用旋轉(zhuǎn)矢量，很容易求岀以上的和。既然X1和x2是旋轉(zhuǎn)矢量AA2的投影，而矢量投影的和等于矢量和的投影，于是x就是合矢量AA1A的投影。由于A1與A的角速度相同，合矢量A與A1A也以角速度旋轉(zhuǎn)，即：

38、xAcos（t）如圖所示，由圖不難看出：AAA22AA2cos（21）Asin1A2sin2tanA-icos1Acos2當(dāng)212k（k為整數(shù)）時，AA1A合振動最強(qiáng)，稱為振動相長。當(dāng)21（2k1）時,AA1A2合振動最弱，稱為振動相消。一般情況，A介于A-iA2與AA?之間。A2的相對位置保持不變,（1）同方向、頻率相近的兩振動的合成一一拍若物體同時參與兩個不同頻率的簡諧運動，例如：X1Aicos1tx2Acos2t為簡單起見，我們已設(shè)0，這只要適當(dāng)選取時間零點，總可以做到。如果AA2A，則合振動:xx1x2A（cos1tcos這可以看成振幅為2Acost（隨時間變化）、2角頻率為_J2的振

39、動。當(dāng)1與2比較接近時，212比1小得多，于是合振動可以看成振幅22隨時間緩慢變化的，角頻率為兩振動平均值的簡諧運動。當(dāng)然，由于現(xiàn)在振幅隨時間變化，合振動已不是嚴(yán)格意義上的簡諧運動，只在觀察時間比振幅變化周期短得多的情況下，才近似地為簡諧運動。這樣的振動稱為拍。拍的位移與時間的關(guān)系大體如圖所示。由圖可見，振幅的變化周期T為簡諧運動x2Acost變化周期的一半，即22或拍頻12T2f1f2。（七）阻尼振動和受迫振動由于振動不可避免地要受到摩擦和其他阻力作用，振動系統(tǒng)要克服阻力做功，系統(tǒng)的能量將逐漸減少，振動的振幅也將隨之減小，這種振幅隨時間減小的振動叫阻尼振動。系統(tǒng)在周期性的外力策動下所發(fā)生的振

40、動叫受迫振動。受迫振動的周期等于策動力的周期，它與振子的固有周期無關(guān)。當(dāng)策動力的周期跟振動系統(tǒng)的自由振動周期（在不計阻尼時為其固有周期）相等時，受迫振動的振幅增大，這種現(xiàn)象叫共振。第二十講波動【賽點知識】一、波的形成與傳播機(jī)械振動在彈性介質(zhì)中的傳播就形成機(jī)械波。波傳播的是振動這一運動形式。即前一質(zhì)點發(fā)生了振動，由于質(zhì)點間彈性力的作用，后一質(zhì)點也會“跟著”發(fā)生振動這樣，后一質(zhì)點的振動比前一質(zhì)點的振動總要“落后”一些。波在傳播振動這種運動形式的同時，也將波源的能量傳送岀去。因此，波也是能量傳遞的一種方式。短暫擾動在媒質(zhì)中的傳播形成脈沖波，周期振動在媒質(zhì)中傳播形成周期波，如圖所示。振動方向與傳播方向

41、垂直的波叫橫波，振動方向與傳播方向一致的波稱縱波。為形成波，除必須有波源外，傳播波動的媒質(zhì)各質(zhì)點間，當(dāng)有相對位移時，必須有力的作用。按這種作用力的性質(zhì)不同，可形成不同的波，如彈性波、表面張力波、重力波（水波）等。在固體中，任一擾動不論在擾動方向或與擾動垂直方向上都會對相鄰質(zhì)點產(chǎn)生彈力的作用，故固體中既能傳播彈性縱波，又能傳播彈性橫波。液體和氣體的擾動只在擾動方向?qū)ο噜徺|(zhì)點產(chǎn)生彈力的作用，故液體或氣體中只能傳播彈性縱波，不能傳播彈性橫波。波的傳播中，其波速v，頻率f和波長之間的關(guān)系為vf波長：沿著波的傳播方向，兩個相鄰的“同位相”（位相差為2）質(zhì)元間的距離，叫做波長。波長是對波的空間周期性的描述

42、。波的周期頻率：振動狀態(tài)傳播一個波長的距離所需要的時間稱為波的周期，周期的倒數(shù)為波的頻率，也就是在單位時間內(nèi)在波所傳播的距離中“完整波”的數(shù)目。由此可見，波的周期和頻率等于波源的振動周期和頻率。是對波的時間周期性的描述。波速：波是靠著媒質(zhì)各質(zhì)元之間的相互作用而向前傳播的，因而波的傳播速度由媒質(zhì)的性質(zhì)決定。媒質(zhì)質(zhì)元間相互作用越強(qiáng)，波速越大；媒質(zhì)密度（慣性）越大，波速則越小。在彈性媒質(zhì)中，縱波和橫波的傳播速度分別為：式中，Y,N分別稱為楊氏模量和切變模量，各表示產(chǎn)生單位相變形變（拉伸形變和切形變）所需的外力，是反映媒質(zhì)彈性大小的物理量，亦即反映媒質(zhì)質(zhì)元間相互作用大小的物理量，是媒質(zhì)的密度。，則波速

43、為在柔軟弦中，弦中只有張力存在時，弦上才能傳播橫波，弦上質(zhì)元正是藉張力產(chǎn)生相互作用的，若張力為T，弦的線密度為水面波是大家熟知的波，它的傳播是借重力實現(xiàn)的，而重力與質(zhì)量本身成正比，因而水面波的波速與水的密度無關(guān)可以證明，當(dāng)水較淺（深度h比波長小得多）時，波速為：v淺.gh當(dāng)水較深（深度h比波長大得多）時，波速為:v深水面上還可以傳播一種很細(xì)微的波，它是由這時波速與波長有關(guān)，這種現(xiàn)象稱為色散（這一名詞是從光學(xué)中借用過來的）表面張力作用引起的，稱為表面張力波，其波速為：式中，為表面張力系數(shù),V表面是水的密度，這種波也有色散。（一）簡諧波的方程設(shè)坐標(biāo)原點的簡諧運動為：y（O,t）Acost。對于振幅

44、無衰減的簡諧波，若傳播方向與x方向一致，則其方程為:y(x,t)Acos(tx)Acos(t-)若其傳播方向與x方向一致，則其方程為：2xy（x,t）Acos（tx）Acos（t）v式中，是波沿傳播方向推進(jìn)單位長度距離時引起的相位落后值（二）簡諧波的圖像（如圖所示）波的圖像的物理意義：反映了介質(zhì)各個質(zhì)點在某一時刻的位移情況。（三）波面和波線波在繩或桿、彈簧中只能沿繩、桿和彈簧的方向傳播，但是一般說來在氣體、液體和固體等充滿某一部分空間的介質(zhì)中，波是從波源向所有方向傳播的。為了形象地描述波的傳播方向，可自波源沿各傳播方向畫一些帶箭頭的線，這樣的表示波的傳播方向的線叫做波線。同樣，我們也可以把在某

45、時刻位相相同（這是真正的相同，即位相差為零）的點連起來形成一個曲面或平面，并稱之為波面或波陣面。波傳播中最前面的波面叫做波前，它描述波在該時刻傳播到的位置。在任何時刻波前只有一個，但波面卻有許多個。球面波和平面波的波陣面和波線如圖所示。（每隔一個波長畫一個波陣面）（四）波傳播中的反射、折射和衍射當(dāng)波在傳播過程中遇到兩種媒質(zhì)的交界面時，一部分會返回原媒質(zhì)中，一部分將透入第二種媒質(zhì)繼續(xù)傳播；前者稱為反射波，后者稱為透射波，或稱折射波。當(dāng)入射方向與交界面垂直時，反射波的傳播方向與入射波相反，折射波的傳播方向與入射波相同。當(dāng)入射方向與交界面不垂直時，反射波與折射波均偏離入射波的傳播方向。若入射波的傳播

46、方向與交界面的法線成i角（i稱入射角），反射波的傳播方向與交界面的法線成i角（i稱反射角），折射波的傳播方向與交界面法線成r角（r稱折射角），如圖所示，則有:sinivsinrv式中，v為波在入射媒質(zhì)中的傳播速度，v為波在折射媒質(zhì)中的傳播速度。式稱為波的反射定律，式稱為波的折射定律。弦上的波在線密度不同的兩種弦的連接點也發(fā)生反射與透射。當(dāng)弦上有向上波脈沖經(jīng)自由端發(fā)射時，自由端可看成新的振源，故反射波仍為向上的波脈沖，只是波形左、右顛倒，猶如反射波是入射波的反向延伸，如圖（a）所示。當(dāng)弦上有向上波脈沖經(jīng)固定端反射時，固定端也可看成新的“振源”，又牛頓第三定律，固定端對弦的作用力方向與原脈沖對弦的

47、作用力相反，故反射脈沖向下，即波形不僅左、右顛倒，上、下也顛倒，這時反射波可看成入射波反向延伸的負(fù)值，如圖(b)所示。將周期波看成一系列連續(xù)脈沖，周期波經(jīng)自由端或固定端的反射也可由此得出。當(dāng)波在傳播過程中遇到障礙物時，會偏離原來傳播方向，繞過障礙物邊緣而展衍，這種現(xiàn)象稱為衍射，如圖所示。由于衍射，聲波可繞過門、窗而到達(dá)室外，光可繞過小孔邊緣而到達(dá)幾何陰影區(qū)。障礙物線度(如小孔直徑)越小，波長越長，衍射現(xiàn)象越明顯。(五) 波的疊加和干涉1、波的疊加大量事實證明，若有幾列波同時在介質(zhì)中傳播，不管它們是否相遇，它們都各自以原有的振幅、波長和頻率獨立傳播，彼此互不影響。例如，房間里人們在交談，同時還播

48、放著音樂，但決不會因此而改變說話人的聲音，同樣，欣賞音樂的人也不會由于旁邊有人說話而使音樂旋律發(fā)生變化?；乇鬃杂啥朔瓷鋬越?jīng)固宦磁肘正由于兩列波互相獨立地傳播，因此，在兩波相遇處體元的位移等于各列波單獨傳播時在該處引起的位移的矢量和，這就叫做波的疊加原理2、波的干涉若兩列波同時在介質(zhì)中傳播且相遇，相遇處質(zhì)點的位移等于各分波所引起的位移的矢量和。由于振動方向不同、頻率不同，在相遇處引起的合振動往往是很復(fù)雜的。但如果這兩列波滿足一定條件，則兩波相遇各點的合振動能各自保持恒定振幅而不同位置各點的大小不同的合振幅振動，這種現(xiàn)象稱為波的干涉。能夠形成波的干涉的兩列波必須滿足下列條件：第一兩列波具有相同的振動方向；第二，兩列波頻率相同；第三，兩列波在空間每一點引起的分振動都具有固定的位相差?，F(xiàn)在對產(chǎn)生干涉現(xiàn)象的條件再作些討論。如圖所示，設(shè)兩列平面簡諧波相遇，它們的波方程分別是：y1Acos(1tKxy2A2cos(2tk2x兩波相遇處發(fā)