實變函數(shù)測試題與參考答案

1、實變函數(shù)試題一，填空題11 .設An=,2,n=1,2川，則hmAn=._nn區(qū)2 .(a,b)(-叼+8)，因為存在兩個集合之間的映射為'1-ncosx#03 .設E是R.二，判斷題.正確的證明，錯誤的舉反例.1.若A,B可測，AuB且A#B,則mA<mB.2.設E為點集，P更E,則P是E的外點.中函數(shù)y='x的圖形上的點所組成的集合，則0,x=0E：,E°=.4 .若集合E=Rn滿足E'uEJUE為集.5 .若舊P)是直線上開集G的一個構(gòu)成區(qū)間，則gP)滿足：,.6 .設E使閉區(qū)間Ia,b】中的全體無理數(shù)集，則mE=.7 .若mEfn(x)/f(x)

2、=0,則說fn(x»在E上.8 .設E仁Rn,x。亡Rn,若，則稱是E的聚點.9 .設fn(x)是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)列，f(x)是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)，若V仃>0,有，則稱fn(x)在E上依測度收斂于f(x).10 .設fn(x)=f(x),xwE,則三fn(x)的子列fnj(x),使得L'1一3.點集E=,121117,111的閉集.4.任意多個閉集的并集是閉集5.若E仁Rn,滿足m*E"'則E為無限集合.三，計算證明題1 .證明：A-(B-C)=(A-B)U(AQC)2 .設M是R3空間中以有理點(即坐標都是有理數(shù))為中心，有理數(shù)為半

3、徑的球的全體，證明M為可數(shù)集.3 .設E=Rn,E-Bi且Bi為可測集，i=1,2|.根據(jù)題意，若有m*(Bi-E»0,(itm)，證明e是可測集.jln(1+x3),4.設P是Cantor集，f(x)=彳2x,xPx10,11-P1求(L)f(x)dx.0I.5.設函數(shù)f(x)在Cantor集P0中點x上取值為x3,而在P0的余集中長為11了的構(gòu)成區(qū)間上取值為3,572111),求10f(x)dx.16.求極限:!m(R)0n0nx2231nxsin3nxdx實變函數(shù)試題解答一填空題1.10,21.12 .(x,y)y=>U<(0,y)|yf03 .閉集.4 .b-a.

4、5 .幾乎處處收斂于f(x)或a.e.收斂于f(x).01,6 .對寸6A0,U(x0,6)有(E-%)=0.7 .fn(x)Tf(x)a.e.于E.二判斷題1. F.例如，A=(0,1),B=10,1,則AuB且A#B,但mA=mB=1.2. F.例如,0更(0,1)，但0不是(0,1)的外點.3. F.由于E'=00E.4.F.例如，在R1中,Fn1,1,I-，1-,n=3,4|是一系列的閉集，但是IIIQ0|JFn=9不是閉集.n3B-E二Bj-E,故*0mmB-EmmB,-E,A_一*_一一一，.令|Tg，得到m(B-E)=0,故B-E可測.從而E=B-(B-E)可測.4,已知

5、mP=0,令G=10,1】-P,則1QO(L)0f(x)dx=(L)沖In1xdx(L)Pxdx(L)f(x)dxG(L)px2dx(L)工x2dxi(R)0f(x)dx5 .將積分區(qū)間10,1】分為兩兩不相交的集合：2，G,G2，其中巳為1Cantor集，G0是P0的余集中一切長為泰的構(gòu)成區(qū)間（共有2n一1個）之并.3由L積分的可數(shù)可加性，并且注意到題中的mF0=0,可得-nx_、31nx-36 .因為623sinnx在10,11上連續(xù)，（R）123s1nnxdx存在且與1nx01nx1 nx.3_（L）10；77Vs1nnxdx的值相等.易知nx由于卡在。1）上非負可測，且廣義積分

6、3;2dx收斂，則1nx_3女在（0,1）上（L）可積，由于nm7n&3sinnx=0,x70,1）,于是根據(jù)勒貝格控制收斂定理，得到lim(R)ni：二(1nx01n2x3.3sinnxdx=lim(L)n二11nxsin3nxdx01n2x3.3.wsinnxdx31nxlim2n1nx100dx二。一、判定下列命題正確與否，簡明理由(對正確者予以證明，對錯誤者舉1處反例)(15分，每小題3分)1,非可數(shù)的無限集為c勢集2 .開集的余集為閉集。3 .若mE=0,則E為可數(shù)集4 .若|f(x)|在E上可測,則f(x)在E上可測5 .若f(x)在E上有界可測，則f(x)在E上可積二、將

7、正確答案填在空格內(nèi)(共8分，每小題2分)1. 可數(shù)集之并是可數(shù)集。2. A.任意多個B.c勢個？C,無窮多個D至多可數(shù)個3. 閉集之并交是閉集。.I4. A.任意多個B.有限個C,無窮多個D至多可數(shù)個5. 可數(shù)個開集之交是6. A開集B閉集CF型集DG型集7. 若|f|在E上可積，則8. A.f在E上可積B.f在E上可測C.f在E上有界D.f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理(共9分，每小題3分)。四、證明下列集合等式(共6分，每小題3分)：lilttlira1 .S-Sj(S-S)n12 .Efra=；Ef>a-:-Iz.五、證明：

8、有限個開集之交是開集。舉例說明無限個開集之交不一定是開!(I/X/一集。(8分)六、證明：設f(x),fl(x)為可積函數(shù)列，f»(x)上9f(x)a.e于E,且L|f»|d上|f|dI,則對任意可測子集euE有？I|fl|d"他J|f|dI(7分)11Kxr、.十“目.二4八七、計算下列各題：(每小題5分，共15分)1,非可數(shù)的無限集為c勢集，（不正確！如：直線上的所有子集全體不可數(shù)，但其勢大于c）o2,開集的余集為閉集。（正確！教材已證的定理）。3 .若mE=0,則E為可數(shù)集（不正確！如contorP口集外測度為0,但是C勢集）。4 .若|f（x）|在E上可測

9、，則f（x）在E上可測（不正確！如義工）=*:其中/為小中不可測集-1旌五-穌）lnv'5 .若f（x）在E上有界可測，則f（x）在E上可積（不正確！如三1xwR】有界可測，但不可積）二、將正確答案填在空格內(nèi)1 .至多可數(shù)個可數(shù)集之并是可數(shù)集。A.任意多個B.c勢個C,無窮多個D至多可數(shù)個2 .有限個閉集之并交是閉集。A.任意多個B.有限個C,無窮多個D至多可數(shù)個7rI3 .可數(shù)個開集之交是G型集A開集B閉集C?F型集D?G型集4 .若|f|在E上可積，則f在E上幾乎處處有限A.f在E上可積B.f在E上可測C.f在E上有界D.f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理

10、、Lebesgue控制收斂定理（見教材，不贅述！）四、證明下列集合等式1.S-際a-應S,-.-.：（S-S）解:=sn（un$：）=Un3nse垣h=f（S-S）rnr12。Ef>a=UEf>a-71I-.f證明：'1'a£左端=>xe£/>=>ze£且/（、）>aW3且對任意抬J（2T）>Q-1招mw八處/>“一=>彳乏右端所以左端U右端，同理左端口右端，？?故左端二右端五、證明：有限個開集之交是開集。舉例說明無限個開集之交不一定是開集。?證吐（分析法證明）設Q（辦=12初為開集要證O0t為

11、開集，只須證明0.*0"事實上衣Q，4>0,xe。仇4)uQ,取品般4時，自然有泥O?故!3.為開集。1'7-A.;；',.無限個開集之交不一定是開集。反例：設Q=,則QQ=(o既不是開3<,XI,'；!,集，又不是閉集。六、證明：設f(x)，位(x)為可積函數(shù)列，fI(x)4gf(x)a.e于E,旦|f|d-i|f|d；,則對任意可測子集ecE有I|fl|d|f|d1證明：因為f»(x)f(x)a.e于E,對任意幺匚3由Fatou引理知lim一|fhdiu粵L|fi|d|而已知L|fj|dIf/|f|d1,則對任意。H由Fatou引理知

12、:一方面1電|f|d1=1|fl|dI<A|f1|dI另一方面,|f|d另一N|f1|d【waJ西|fI|dI一|f|d1=1島fl|dl=L鳥fl|d-L粵|f>|d1：>SI|fl|dI故二|f：|d<I；|f|d,<二|f：|d即1|f|d1=!嗎1|fI|dk七、計算下列各題：limf上.：T''1 .-ghm+J/sin(nx)dI=?,T1/'nx；'；'.7/''.解：因為1+?sin(nx)>0于0,1第3頁？共4頁nx?且|W?|<1則由Lebesgue控制收斂定理知：F'

13、;''ifI"改limI一，hmr-r-械1+/sin(nx)d】="”+同1sin(nx)d1=0J卜x加U沖有埋演上2 .設f(x)=品項列01旌理數(shù)求陽dl=?解:因劃（工）=SinTTX了為0口中有理數(shù)K為CU沖無理數(shù)=sin7rxa.e于0,1f-costf|J=所以J汗OJ/£J/WId=?3_L】3 .設f(x)=7?%-l？n=2,3,？求7_Li解：因為f(x)=一?«CT?n=2,3,，在QI上非負可測，所以由Lebesgue逐塊積分定理知：iIz.f/wf1)=2；_L=2-(。d)=421fn-nq2期2o一、選擇

14、題(共10題，每題3分，共30分)1 .設Q是R中有理數(shù)的全體，則在R中Q的導集Q，是【】(A)Q(B)(C)R(D)R-Q2 .設匕是一列閉集，F(xiàn)=1Fn,則F一定是nN'i!(A)開集(B)閉集(C)gb型集(D)、型集3 .設E是R中有理數(shù)全體，則mE=(A)0(B)1(C)+oo(D)-oo4 .下面哪些集合的并組成整個集合的點(A)內(nèi)點，界點，聚點(B)內(nèi)點，界點，孤立點(C)孤立點，界點，外點(D)孤立點，聚點，外點5 .設p是Cantor集，則口(A)p與Rn對等，且P的測度為0(B)P與R/寸等，且P的測度為1(C)P與Rn不對等，P的測度為0(D)P與Rn不對等，P的

15、測度為16 .設f(x)與g(x)在E上可測,則E【f-g是(A)可測集(B)不可測集(C)空集(D)無法判定7 .設f(x)在可測集E上有定義,fn(x)=minf(x),n,則fn(x)是【】(A)單調(diào)遞增函數(shù)列(B)單調(diào)遞減函數(shù)列(C)可積函數(shù)列(D)連續(xù)函數(shù)列8 .設E是任一可測集，則口(A)E是開集(B)E是閉集(C)E是完備集(D)對任意&A0,存在開集GnE,使m(GE)me9.設f(x)=sin2x,xw0,1HQ,貝ff(x)dx=1+2x,x三0,1Q01(A)1(B)2(C)3(D)410.設憶是E上一列幾乎處處有限的可測函數(shù)，若對任意仃0,有下面條件成立，則tf

16、n(x)欣測度收斂于f(x).口(A)limmElfn(x)-f(x)|-)0(B)limmElfn(x)-f(x)一：h：0(C)limmEfn(x)-f(x)-：-0(D)limmE-fn(x)-f(x)二，。n，n：.二、定理敘述題(共2題，每題5分，共10分)1,魯津定理2.Fatou引理三、判斷改正題(正確的打?qū)μ枺e誤的打錯號并改正，共5題，每題4分，共20分)1.若E與它的真子集對等，則E一定是有限集.2,凡非負可測函數(shù)都是L可積的.3 .設A為R1空間中一非空集，若Rwa,則Awa.【】4 .設E為可測集，則存在G次集F,使得FuE,Hm(EF)=0.【】5 .f(x)在a,b

17、上L可積，貝Uf(x)在b,b】R可積且(L)«bf(x)dx=(R)j：f(x)dx四、證明題(共4題，每題10分，共40分)11 .開集減閉集后的差集為開集，閉集減開集后的差集為閉集.2 .Rn上全體有理數(shù)點集的外測度為零.3 .設函數(shù)列fn在E上依測度收斂f,且fn«ha.e于E,貝UfMha.e于E.Il/;IjIiyffI14 .設f(x)在b苞b十名】上可積，則limjf(x+t)f(x)|dx=0.判斷題(每題2分，共20分)1 .必有比a大的基數(shù)。()2 .無限個閉集的并必是閉集。()3 .若mE=0,則E是至多可列集。()4 .無限集的測度一定不為零。()

18、5 .兩集合的外測度相等，則它們的基數(shù)相等。()6 .若f(x)在E的任意子集上可測，則f(x)在可測集E上可測。()7 .E上可測函數(shù)列的極限函數(shù)在E上不一定可測。()8 .f(x)是E上的可測函數(shù),則f(x)可積。()9 .若f(x)之0且Lf(x)dx=0,則f(x)=0a.e.于E。()10 .若|f(x)|在E上可積，則f(x)在E上也可積。()二、填空題(每題2分，共20分)1.設An=(0,n),n=1,2,，則UAn=,言An=。n1n12 .設A=l,2,3，nuR1,貝UA0=,A'=。3 .設B是開區(qū)間(0,2)中有理點的全體，則mB=。4 .單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點集

19、的基數(shù)是。5 .設E是0,1上的Cantor集，則E=。6 .閉區(qū)間a,b上的有界函數(shù)f(x)Rimann可積的充要條件是。7 .狄利克雷函數(shù)函數(shù)D(x)是可積的，國(x)dx=。小I三、計算題(每題10分，共20分).1,»1-221 .計算lim(R)卜42dx。(提示：使用Lebesgue控制收斂定理)一01nx2 .設f(x)=jx；xP°,其中Po是Cantor集，試計算f(x)dx。x2,xe0,1Po，忖1四、證明題(每題8分，共40分)11 .證明：x|xa0=Ux|xan1n2 .設M是平面上一類圓組成的集合，中任意兩個圓不相交，證明M是是至1多可列集。3

20、 .如果mE=0,則E的任何子集也可測且測度為零。4 .設f(x)在E上可積，且f(x)=g(x).ae于E,證明：g(x)也在E上可積。5 .可測集E上的函數(shù)f(x)為可測函數(shù)充分必要條件是對任何有理數(shù)r,集合Ef(x)<r是可測集。一、單項選擇題(3分X5=15分)1、1、下列各式正確的是()/八一6866(A)limAn=cAk;(B)bmAn=c=Ak；n-nTkmn-ndk=n(C)nAlkC；(D)陽A=nAk；2、設P為Cantor集，則下列各式不成立的是()(A)P=c(B)mP=0(C)P'=P(D)P=P3、下列說法不正確的是()(A)凡外側(cè)度為零的集合都可測

21、(B)可測集的任何子集都可測(C)開集和閉集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可測4、設fn(x)是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列，則下面不成立的是()(A)若fn(X)=if3，則fn(x)Tf(x)(B)SUpfn(X»是可測函數(shù)n(C)i?Cn(x)是可測函數(shù);(D)若fn(x)=f(x)，則f(x)可測5、設f(x)是a,b上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是()(A)f(x)在a,b上有界(B)f(x)在a,b上幾乎處處存在導數(shù)b(C)f'(x)在a,b上L可積(D)faf'(x)dx=f(b)f(a)二.填空題(3分X5=15分)1、(CSAuCSB)c(A-(A-

22、B)=2、設E是b,1】上有理點全體，貝Ue'=,E=,E=.3、設E是Rn中點集，如果對任一點集T都有,則稱E是L可測的4、f(x)可測的條件是它可以表成一列簡單函數(shù)的極限函數(shù).(填“充分”，“必要”，“充要”)5、設f(x)為la,b上的有限函數(shù)，如果對于Ab的一切分劃，使,則稱f(x)為Ia,b】上的有界變差函數(shù)。三、下列命題是否成立？若成立，則證明之；若不成立，則舉反例說明.1、設EUR1,若E是稠密集，則CE是無處稠密集。2、若mE=0,則E一定是可數(shù)集.3、若|f(x)|是可測函數(shù)，則f(x)必是可測函數(shù)。4.設f(x)在可測集E上可積分,若VxwE,f(x)>0,則

23、JEf(x)0四、解答題(8分X2=16分).1、(8分)設f(x)=；x2,x*無理數(shù),則f(x)在0,1上是否R.可積，是否L.可工也有理數(shù)積，若可積，求生積分值。2、(8分)求limr1n(x'n)e，cosxdxn0n五、證明題(6分X4+10=34分).,11、(6分)證明0,1上的全體無理數(shù)作成的集其勢為c.I"Lt!.2、(6分)設f(x)是(一收)上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)a,E=x|f(x)是團集。3、(6分)在b,b上的任一有界變差函數(shù)f(x)都可以表示為兩個增函數(shù)之差。4、(6分)設mE<i,f(x)在E上可積，en=E(|f|>n),

24、貝Ulimn-m.=0.nn5、(10分)設f(x)是E上ae有限的函數(shù)，若對任意6A0,存在閉子集%UE,使f(x)<F上連續(xù)，且m(Eh)<6,證明：f(x)是E上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理)一、判定下列命題正確與否，簡明理由(對正確者予以證明，對錯誤者舉處反例)(15分，每小題3分);I8 .非可數(shù)的無限集為c勢集9 .開集的余集為閉集。10 .若mE=0,則E為可數(shù)集11 .若|f(x)|在E上可測，則f(x)在E上可測12 .若f(x)在E上有界可測，則f(x)在E上可積二、將正確答案填在空格內(nèi)(共8分，每小題2分)13 .可數(shù)集之并是可數(shù)集。14 .A.任意多個B.

25、c勢個？C.無窮多個D至多可數(shù)個15 .閉集之并交是閉集。16 .A.任意多個B.有限個C.無窮多個D至多可數(shù)個17 .可數(shù)個開集之交是A開集B閉集CF型集DG型集18 .若|f|在E上可積，則A.f在E上可積B.f在E上可測C.f在E上有界D.f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理(共9分，每小題3分)。四、證明下列集合等式(共6分，每小題3分)：一liltlliin19 .S-靈今谷上嬴(S-SQni20 .Efa=iEf>a-:五、證明：有限個開集之交是開集。舉例說明無限個開集之交不一定是開1集。(8分)六、證明：設f(x),f&

26、#187;(x)為可積函數(shù)列，fl(x)"二f(x)a.e于E,且f|f，|dIf/|f|d則對任意可測子集euE有？I|fl|d|f|d(7分)七、計算下列各題：(每小題5分，共15分)rf歿21 .二:：sin(nx)d=?1 血肝有理數(shù)”22 .設f(x)=卜曲頌小無理數(shù)求網(wǎng)dd=?23 .設f(x戶2"療>-1?n=2,3,？求口d=?一、判定下列命題正確與否，簡明理由(對正確者予以證明，對錯誤者舉處反例）6,非可數(shù)的無限集為c勢集，（不正確！如：直線上的所有子集全體不可數(shù)，但其勢大于c）o7,開集的余集為閉集。（正確！教材已證的定理）。8 .若mE=0,則E

27、為可數(shù)集（不正確！如contorPU集外測度為0,但是C勢集）。9 .若|f（x）|在E上可測，則f（x）在E上可測（不正確！如加）=,:一其中穌為現(xiàn)不可測集-1六衣一穌）10 .若f（x）在E上有界可測，則f（x）在E上可積（不正確！如一三1xwR】有界可測，但不可積）二、將正確答案填在空格內(nèi)1 .至多可數(shù)個可數(shù)集之并是可數(shù)集。A.任意多個B.c勢個C,無窮多個D至多可數(shù)個2 .有限個閉集之并交是閉集。A.任意多個B.有限個C,無窮多個D至多可數(shù)個3 .可數(shù)個開集之交是G型復A開集B閉集C?F型D?G型集4 .若|f|在E上可積，則f在E上幾乎處處有限A.f在E上可積B.f在E上可測C.f在

28、E上有界D.f在E上幾乎處處有限三、敘述有界變差函數(shù)定義、Fatou引理、Lebesgue控制收斂定理（見教材）。四、證明下列集合等式向如1.S-S=（S-S）解:s-叵s/s-nu工=sn（CiQ町）lim=t（S-S）2。Efa=CEf>a-i:=。6（神3證明:工£左端=>xe£/之曰=>汗w£且/(1)之程n彳曰3且對任意用>口-1右端所以左端U右端，同理左端口右端，?故左舜右端五、證明：有限個開集之交是開集。舉例說明無限個開集之交不一定是開集。?證吐(分析法證明)設。心”12,N)為開集事實上二，.J.二一Q,取旌陽SA時，自然有

29、要證Q0為開集，只須證明工£0。匚na"將汝力并隹XO?故ml開;7K：o川無限個開集之交不一定是開集。反例：設則0°=口口既不是開集，又不是閉集。六、證明：設f(x)，口(x)為可積函數(shù)列,fJ(x)”他開(x)a.e于E,且I|fl|d|f|dh則對任意可測子集ecE有f|fl|d$*t他|f|dl證明：因為f»(x)f(x)a.e于E,對任意幺匚£由Fatou引理知H|f1|dwk，|f1|d而已知f|fl|d”他L|f|d，則對任意®曰由Fatou引理知:一方面1|f|d1=1粵|f!|dJw粵I|fl|dl另一方面,粵|fI

30、|dIw嚷L|fl|di1|f|d=粵|fl|d=L罌|fl|d1-L粵|f»|d整需|fl|dj故；二L|f'：|dI<1|f|dI<11|f1|dI即1|f|d'=|f：|d.七、計算下列各題：j.f”1 .hm+J/sin(nx)d1=?nx；：、；解：因為l+J/?sin(nx)0于0,1且|1+Z?|wi則由Lebesgue控制收斂定理知:EmXT©:1一二：sin(nx)dlim-s1=加小,1+/，sin(nx)d，二02 .設f(x)=7x為01井管理敬上而通的0,1的無理敬求的d1=?解:因劃(工)=、SinTTX彳為0,1中有

31、理數(shù)舅坂J沖無理數(shù)=sin7rx我e于0Jf.,1u2|mm:d工二cos7F|0=所以.二二3.設f(x)=?療"1?n=2,3,？求dd=?解：3_Li因為f(x)=?題7-1?n=2,3，在Q口上非負可測，所以由Lebesgue逐塊積分定理知：一、填空：(共10分)"I-VV1 .如果則稱E是自密集，如果則稱E是開集，如果EFE則稱E是，E=EUE，"Ji"-?*稱為E的.2 .設集合G可表示為一列開集GJ之交集：G=門Gi,則G稱為.i1若集合F可表示為一列閉集FJ之并集：F=UFi,則F稱為.i尹3 .(Fatou引理)設吊是可測集E=Rq上一

32、列非負可測函數(shù)，則.,%4 .設f(x)為a,b上的有限函數(shù)，如果對于a,b的一切分劃T：a=x0<xn=b,使|”為)-f(Xi)|；,成一有界數(shù)集，則稱f(x)為a,b上的，并稱這個數(shù)集的mJ上確界為f(x)在a,b上的,記為.二、選擇填空：(每題4分，共20分)1 .下列命題或表達式正確的是A.bbB.2=2C.對于任意集合A,B,有AB或BUAD.2 .下列命題不正確的是A.若點集A是無界集，則m*A=B.若點集E是有界集，則m*E<C.可數(shù)點集的外測度為零D.康才t集P的測度為零3 .下列表達式正確的是f(x)=max-f(x),0B.f(x)=f(x)f/x)|f(x)

33、|二f(x)-f-(x)D.f(x)n二minf(x),n4 .下列命題不正確的是A.開集、閉集都是可測集B.可測集都是Borel集C.外測度為零的集是可測集D.f二型集，G、.型集都是可測集5 .下列集合基數(shù)為a(可數(shù)集)的是A.康才t集pB.(0,1)C.設AuRn,A=x=(Xi,X2，xn)|為是整數(shù)，i=1,2,，nD.區(qū)間(0,1)中的無理數(shù)全體三、(20分)敘述并證明魯津(Lusin)定理的逆定理四、(20分)設EUR；f(x)是E上a.e有限的可測函數(shù)，證明：存在定義在R，上的一列連續(xù)函數(shù)gn,使得limgn(x)=f(x)a.e于En一戶二1.2007五、(10分)證明lim

34、(R)f-"為由*=0n01nx六、(10分)設f(x)是滿足Lipschitz條件的函數(shù)，且f'(x)之0a.e.于a,b,則f(x)為增函數(shù)七、(10分)設f是a,b上的有界變差函數(shù)，證明f2也是a,b上的有界變差函數(shù)一、填空題：(共10分)00、1、EUE：EUE(或E=E)閉集，閉包2、G型集，F(xiàn)仃型集3、f_Jjmcfn(x)dx41imcJEfn(x)dx4、有界變差函數(shù)，全變差，V(f)a二、選擇填空：(每小題4分，共20分)1、D2A3、D4B5、C三、(20分)定理：設f(x)ae有限于E,若對于任意的60,總有閉集尾二E,使m(E招<6,ILf(x)在F上連續(xù)，則f是E上的可測函數(shù).證對任意的正整數(shù)n,存