復(fù)數(shù)誕生艱難歷程

1、復(fù)數(shù)誕生的復(fù)數(shù)誕生的艱難歷程艱難歷程 數(shù)學(xué)講座數(shù)學(xué)講座 譚 巍一、籠罩著懷疑一、籠罩著懷疑-虛數(shù)的誕生。虛數(shù)的誕生。1.虛數(shù)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然。虛數(shù)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然。 十六世紀(jì)前人們普遍認(rèn)為負(fù)數(shù)不能開平十六世紀(jì)前人們普遍認(rèn)為負(fù)數(shù)不能開平 方。但到十六世紀(jì)初，人們在尋求三次方。但到十六世紀(jì)初，人們在尋求三次方程求根公式時(shí)，再次遇到負(fù)數(shù)開平方方程求根公式時(shí)，再次遇到負(fù)數(shù)開平方的問題。如不承認(rèn)它，代數(shù)就無法發(fā)展的問題。如不承認(rèn)它，代數(shù)就無法發(fā)展了。數(shù)學(xué)本身的需要逼迫人們承認(rèn)負(fù)數(shù)了。數(shù)學(xué)本身的需要逼迫人們承認(rèn)負(fù)數(shù)可以是某數(shù)的平方，但這將意味著否定可以是某數(shù)的平方，但這將意味著否定原來的數(shù)的概

2、念，突破實(shí)數(shù)對數(shù)學(xué)的限原來的數(shù)的概念，突破實(shí)數(shù)對數(shù)學(xué)的限制，因此虛數(shù)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然。制，因此虛數(shù)的誕生是數(shù)學(xué)發(fā)展的必然。(10)40 xx210400 xx515x 2.著名的著名的“卡爾丹方程卡爾丹方程”。 卡爾丹，十六世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家，卡爾丹，十六世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家，1545年在著作中提出這樣的問題：年在著作中提出這樣的問題：“兩數(shù)的和是兩數(shù)的和是10，積為，積為40，求這兩個(gè)，求這兩個(gè)數(shù)。列出方程是數(shù)。列出方程是: x(10-x)=40, 求出根求出根:15 又說：又說：“我不管受到多大的良心的責(zé)我不管受到多大的良心的責(zé)備，但這兩個(gè)數(shù)相乘確實(shí)得到備，但這兩個(gè)數(shù)相乘確實(shí)得到40。他。

3、他第一次提出了負(fù)數(shù)的平方根存在，但第一次提出了負(fù)數(shù)的平方根存在，但又懷疑它的合法性。又懷疑它的合法性。25 二十七年后又一個(gè)意大利人把二十七年后又一個(gè)意大利人把 寫成寫成3i，并利用這一結(jié)果完整地，并利用這一結(jié)果完整地解決了三次方程的求根公式問題。解決了三次方程的求根公式問題。（關(guān)于三次方程的求根公式有一（關(guān)于三次方程的求根公式有一段十分有趣的歷史疑案，同學(xué)們段十分有趣的歷史疑案，同學(xué)們?nèi)缬信d趣今后抽時(shí)間再介紹之。）如有興趣今后抽時(shí)間再介紹之。）9二、三百年之爭二、三百年之爭-虛數(shù)合法嗎？虛數(shù)合法嗎？1. 1.虛數(shù)誕生后象一個(gè)怪胎，受到人們的懷虛數(shù)誕生后象一個(gè)怪胎，受到人們的懷疑和冷遇。如卡爾

4、丹自己也認(rèn)為虛數(shù)捉疑和冷遇。如卡爾丹自己也認(rèn)為虛數(shù)捉摸不定；如到了十七世紀(jì)（摸不定；如到了十七世紀(jì)（16291629年）一年）一荷蘭人吉拉德承認(rèn)虛數(shù)荷蘭人吉拉德承認(rèn)虛數(shù)“有用有用”它一定它一定有自己的一套法則；又如有自己的一套法則；又如16371637年法國數(shù)年法國數(shù)學(xué)家笛卡爾在學(xué)家笛卡爾在幾何學(xué)幾何學(xué)一書中第一次一書中第一次給出了虛數(shù)的名稱和實(shí)數(shù)相對。他說：給出了虛數(shù)的名稱和實(shí)數(shù)相對。他說：“-真的（正的）、假的（負(fù)的）根真的（正的）、假的（負(fù)的）根并不總是實(shí)的，它們有時(shí)是虛的并不總是實(shí)的，它們有時(shí)是虛的”此后此后虛數(shù)的名稱開始流行起來。虛數(shù)的名稱開始流行起來。2. 但是，虛數(shù)的幾何意義發(fā)現(xiàn)

5、之前，虛數(shù)總給但是，虛數(shù)的幾何意義發(fā)現(xiàn)之前，虛數(shù)總給人以虛無縹緲之感，連一些大數(shù)學(xué)家也不例外。人以虛無縹緲之感，連一些大數(shù)學(xué)家也不例外。如牛頓就認(rèn)為復(fù)數(shù)沒有意義。他說：如牛頓就認(rèn)為復(fù)數(shù)沒有意義。他說：“正是方正是方程的根常出現(xiàn)不可能的情況，才不致使不可能程的根常出現(xiàn)不可能的情況，才不致使不可能解的問題顯得象是可解的樣子。解的問題顯得象是可解的樣子?！钡聡鴶?shù)學(xué)家德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲曾把虛數(shù)稱為：萊布尼茲曾把虛數(shù)稱為：“（虛數(shù)）是美妙的（虛數(shù)）是美妙的不可思議的神靈的避難所。不可思議的神靈的避難所?！钡搅耸耸兰o(jì)在到了十八世紀(jì)在17年時(shí)偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉雖然已經(jīng)多次應(yīng)年時(shí)偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉雖然已

6、經(jīng)多次應(yīng)用復(fù)數(shù)，但他認(rèn)為用復(fù)數(shù)，但他認(rèn)為“虛數(shù)是幻想中的數(shù)。虛數(shù)是幻想中的數(shù)。”說：說：“一切形如的數(shù)學(xué)式都是不可能存在的想象中一切形如的數(shù)學(xué)式都是不可能存在的想象中的數(shù)，它們既不是什么都不是，也不比什么都的數(shù)，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。它們純屬虛幻?！比⒌匚坏拇_定三、地位的確定-“-“高斯平面高斯平面”的建立。的建立。 十八世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家高斯證明了代數(shù)十八世紀(jì)末德國數(shù)學(xué)家高斯證明了代數(shù)基本定理（一元基本定理（一元n n次方程有且僅有次方程有且僅有n n個(gè)個(gè)根），高斯的證明依賴對復(fù)數(shù)的承認(rèn)。

7、根），高斯的證明依賴對復(fù)數(shù)的承認(rèn)。 到到18311831年高斯詳細(xì)說明了復(fù)數(shù)的幾何意年高斯詳細(xì)說明了復(fù)數(shù)的幾何意義，即建立復(fù)平面，用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)來義，即建立復(fù)平面，用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，即，并第一次使用了復(fù)數(shù)這表示復(fù)數(shù)，即，并第一次使用了復(fù)數(shù)這個(gè)術(shù)語，并用個(gè)術(shù)語，并用i i來表示虛數(shù)單位，并且來表示虛數(shù)單位，并且建立起復(fù)數(shù)系。建立起復(fù)數(shù)系。 高斯的工作為復(fù)數(shù)爭得了合法地位，高斯的工作為復(fù)數(shù)爭得了合法地位，結(jié)束了近三百年的爭論后人為了紀(jì)念高結(jié)束了近三百年的爭論后人為了紀(jì)念高斯這一不朽功勛，就把斯這一不朽功勛，就把“復(fù)平面復(fù)平面”稱為稱為“高斯平面高斯平面”。 因此十九世紀(jì)后，在復(fù)數(shù)系的基礎(chǔ)因

8、此十九世紀(jì)后，在復(fù)數(shù)系的基礎(chǔ)上一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支上一個(gè)龐大的數(shù)學(xué)分支-復(fù)變函數(shù)論復(fù)變函數(shù)論出現(xiàn)了，它為近代科學(xué)研究提供了一個(gè)出現(xiàn)了，它為近代科學(xué)研究提供了一個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具有力的數(shù)學(xué)工具。四、既抽象又矛盾四、既抽象又矛盾-復(fù)數(shù)的復(fù)雜性。復(fù)數(shù)的復(fù)雜性。 復(fù)數(shù)誕生的艱難歷程給我們的啟復(fù)數(shù)誕生的艱難歷程給我們的啟示：示：1 1 數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾推動了數(shù)學(xué)的發(fā)數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾推動了數(shù)學(xué)的發(fā)展，虛數(shù)本身就是矛盾的產(chǎn)物。展，虛數(shù)本身就是矛盾的產(chǎn)物。2. 2. 虛數(shù)本身的矛盾外現(xiàn)于虛數(shù)與實(shí)虛數(shù)本身的矛盾外現(xiàn)于虛數(shù)與實(shí)數(shù)的矛盾，二者的每一方都是對數(shù)的矛盾，二者的每一方都是對另一方的否定，但復(fù)數(shù)系卻把它另一方的否定，但復(fù)數(shù)系卻把它們統(tǒng)一起來成為一個(gè)和諧的整體。們統(tǒng)一起來成為一個(gè)和諧的整體。3. 3. 復(fù)數(shù)的高度抽象性比較深刻地反復(fù)數(shù)的高度抽象性比較深刻地反映了復(fù)雜現(xiàn)象及其本質(zhì)聯(lián)系，對數(shù)映了復(fù)雜現(xiàn)象及其本質(zhì)聯(lián)系，對數(shù)學(xué)的各個(gè)分支有著深刻的影響。這學(xué)的各個(gè)分支有著深刻的影響。這以后的數(shù)的發(fā)展（如四元數(shù)，八元以后的數(shù)的