數(shù)模講義之LINDO軟件包介紹課程.doc

1、數(shù)模講義之LINDO軟件包介紹LINDO軟件包首先由Linus Schrage開發(fā),現(xiàn)在,美國的LINDO系統(tǒng)公司(LINDO System Inc.)擁有版權(quán),是一種專門求解數(shù)學(xué)規(guī)劃(優(yōu)化問題)的軟件包它能求解線性規(guī)劃(0,1)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃二次規(guī)劃等優(yōu)化問題,并能同時(shí)給出靈敏度分析影子價(jià)格以及最優(yōu)解的松弛分析,非常方便實(shí)用§1 注意事項(xiàng)（1） 低版本的LINDO要求變量一律用大寫字母表示;（2） 求解一個(gè)問題,送入的程序必須以MIN或MAX開頭,以END 結(jié)束;然后按Ctrl + S(或按工具欄中的執(zhí)行快捷鍵)進(jìn)行求解;（3） 目標(biāo)函數(shù)與約束條件之間要用SUBJECT TO(或ST

2、)分開,其中字母全部大寫;（4） LINDO已假定所有變量非負(fù),若某變量,例如X5有可能取負(fù)值,可在END命令下面一行用FREE X5命令取消X5的非負(fù)限制;LINDO要求將取整數(shù)值的變量放在前面(即下標(biāo)取小值),在END下面一行用命令I(lǐng)NTEGER K,表示前K個(gè)變量是(0,1)變量;在END下面一行用命令GIN H表示前H個(gè)變量是整數(shù)變量;（5） 在LINDO中,“<”等價(jià)于“” ,“>”等價(jià)于“” ;（6） 在LINDO的輸出結(jié)果中有STATUS(狀態(tài)欄),它的表出狀態(tài)有:OPTIMAL(說明軟件包求得的結(jié)果是最優(yōu)解)FEASIBLE(說明軟件包求得的結(jié)果只是可行解)INFE

3、ASIBLE(說明軟件包求得的結(jié)果是不可行解)（7） 在LINDO命令中,約束條件的右邊只能是常數(shù),不能有變量;（8） 變量名不能超過8個(gè)字符;（9） LINDO對目標(biāo)函數(shù)的要求,每項(xiàng)都要有變量,例如,LINDO不認(rèn)識MIN 2000-X+Y,要改為MIN X+Y;（10） LINDO不認(rèn)識400(X+Y)要改為400X+400Y§2 求解線性規(guī)劃問題例 1 求解下列線性規(guī)劃問題:在LINDO中輸入下列命令:MAX 2X+3YSUBJECT TO4X+3Y<103X+5Y<12ENDLINDO輸出下列結(jié)果:STATUS OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND A

4、T STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7.454545 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 1.272727 0.000000 Y 1.636364 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.090909 3) 0.000000 0.545455 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALL

5、OWABLE COEF INCREASE DECREASE X 2.000000 2.000000 0.200000 Y 3.000000 0.333333 1.500000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 10.000000 6.000000 2.800000 3 12.000000 4.666667 4.500000這個(gè)結(jié)果說明:LINDO求解此線性規(guī)劃問題(LP)只用一步迭代就得到最優(yōu)解fmax = 7.454545,x = 1.272727, y = 1.6363

6、64兩個(gè)松弛變量取0值,即,這個(gè)最優(yōu)解使得約束條件都取等號;其對偶問題的最優(yōu)解(影子價(jià)格)DUAL PRICES為Y1=0.090909,Y2=0.545455同時(shí)靈敏度分析告訴我們:在目標(biāo)函數(shù)中,X的系數(shù)是2,允許下降0.2,允許增加2,即,X的系數(shù)在區(qū)間1.8,4中任意變化,最優(yōu)基不變;在目標(biāo)函數(shù)中,Y的系數(shù)是3,允許下降1.5,允許增加0.333333,即,Y的系數(shù)在區(qū)間1.5,3.333333中任意變化,最優(yōu)基不變;約束條件右邊第一個(gè)常數(shù)是10,允許下降2.8,允許增加6,即在區(qū)間7.2,16中任意變化,最優(yōu)基不變;約束條件右邊第二個(gè)常數(shù)是12,允許下降4.5,允許增加4.666667

7、,即在區(qū)間7.5,16.666667中任意變化,最優(yōu)基不變例 2求解下列線性規(guī)劃問題:在LINDO中輸入以下命令:MIN X+YST2X+3Y<9X-4Y<11ENDFREE YLINDO運(yùn)算后輸出以下結(jié)果:STATUS OPTIMAL LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) -2.750000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 0.000000 1.250000 Y -2.750000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 17.25

8、0000 0.000000 3) 0.000000 0.250000 NO. ITERATIONS= 1 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X 1.000000 INFINITY 1.250000 Y 1.000000 INFINITY 1.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE

9、 DECREASE 2 9.000000 INFINITY 17.250000 3 11.000000 INFINITY 23.000000這個(gè)結(jié)果說明:LINDO求解此線性規(guī)劃問題(LP)只用一步迭代就得到最優(yōu)解fmin = -2.75,x = 0, y = -2.75第一個(gè)松弛變量取值17.25,第二個(gè)松弛變量取0值,即,這個(gè)最優(yōu)解使得第二個(gè)約束條件取等號;其對偶問題的最優(yōu)解(影子價(jià)格)DUAL PRICES為Y1=0,Y2=0.25同時(shí)靈敏度分析告訴我們:在目標(biāo)函數(shù)中,X的系數(shù)是1,允許下降1.25,允許增加,即,X的系數(shù)在區(qū)間-0.25,中任意變化,最優(yōu)基不變;在目標(biāo)函數(shù)中,Y的系數(shù)是

10、1,允許下降1,允許增加,即,Y的系數(shù)在區(qū)間0,中任意變化,最優(yōu)基不變;約束條件右邊第一個(gè)常數(shù)是9,允許下降17.25,允許增加,即在區(qū)間-8.25,中任意變化,最優(yōu)基不變;約束條件右邊第二個(gè)常數(shù)是11,允許下降23,允許增加,即在區(qū)間-12,中任意變化,最優(yōu)基不變§3 求解整數(shù)線性規(guī)劃問題例3 求解下列(0,1)線性規(guī)劃問題:在LINDO中輸入下列命令:MAX X11+X12+2X13+5X14+7X15+X21+2X22+3X23+7X24+10X25+X31+3X32+4X33+9X34+10X35+X41+4X42+5X43+10X44+10X45STX11+X12+X13+

11、X14+X15=1X21+X22+X23+X24+X25=1X31+X32+X33+X34+X35=1X41+X42+X43+X44+X45=1X11+X21+X31+X41=1X12+X22+X32+X42=1X13+X23+X33+X43=1X14+X24+X34+X44=1X15+X25+X35+X45=1ENDINT 20LINDO運(yùn)算后輸出下列結(jié)果:STATUS INFEASIBLE(求不出最優(yōu)解)若將問題變?yōu)?×5的問題,就能求出解來在LINDO中輸入下列命令:MAX X11+X12+2X13+5X14+7X15+X21+2X22+3X23+7X24+10X25+X31+

12、3X32+4X33+9X34+10X35+X41+4X42+5X43+10X44+10X45STX11+X12+X13+X14+X15=1X21+X22+X23+X24+X25=1X31+X32+X33+X34+X35=1X41+X42+X43+X44+X45=1X51+X52+X53+X54+X55=1X11+X21+X31+X41+X51=1X12+X22+X32+X42+X52=1X13+X23+X33+X43+X53=1X14+X24+X34+X44+X54=1X15+X25+X35+X45+X55=1ENDINT 25LINDO運(yùn)算后輸出下列結(jié)果:STATUS OPTIMAL LP

13、OPTIMUM FOUND AT STEP 15 OBJECTIVE VALUE = 25.0000000 FIX ALL VARS.( 11) WITH RC > 1.00000 NEW INTEGER SOLUTION OF 25.0000000 AT BRANCH 0 PIVOT 15 BOUND ON OPTIMUM: 25.00000 ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 15 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION. OBJECTIVE

14、 FUNCTION VALUE 1) 25.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 -1.000000 X12 0.000000 -1.000000 X13 1.000000 -2.000000 X14 0.000000 -5.000000 X15 0.000000 -7.000000 X21 0.000000 -1.000000 X22 0.000000 -2.000000 X23 0.000000 -3.000000 X24 0.000000 -7.000000 X25 1.000000 -10.000000 X31 0.000000

15、-1.000000 X32 0.000000 -3.000000 X33 0.000000 -4.000000 X34 1.000000 -9.000000 X35 0.000000 -10.000000 X41 0.000000 -1.000000 X42 1.000000 -4.000000 X43 0.000000 -5.000000 X44 0.000000 -10.000000 X45 0.000000 -10.000000 X51 1.000000 0.000000 X52 0.000000 0.000000 X53 0.000000 0.000000 X54 0.000000 0

16、.000000 X55 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.000000 3) 0.000000 0.000000 4) 0.000000 0.000000 5) 0.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 10) 0.000000 0.000000 11) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 15 BRANCH

17、ES= 0 DETERM.= 1.000E 0這個(gè)結(jié)果說明:LINDO求解此(0,1)整數(shù)線性規(guī)劃問題(LP)只15步迭代得到最優(yōu)解fmax = 25,x13 = x25 = x34 = x42 = x51 =1,其它xij = 0松弛變量都取0值,即,這個(gè)最優(yōu)解使得約束條件都取等號;其對偶問題的最優(yōu)解(影子價(jià)格)DUAL PRICES都為0例 4 兩輛鐵路平板車的裝貨問題(美國大學(xué)生MCM1988-B題)有7種規(guī)格的集裝箱C1C2C3C4C5C6C7要裝到兩輛平板車上去,所有集裝箱的寬和高是相同的,但厚度(t,以厘米計(jì))及重量(w,以千克計(jì))是不同的,見下表:C1C2C3C4C5C6C7t4

18、8.752.061.372.048.752.064.0w200030001000500400020001000件數(shù)8796648每輛平板車有10.2米長的地方可用來裝集裝箱(像面包片那樣),載重為40噸由于當(dāng)?shù)刎涍\(yùn)的限制,對C5C6C7類的集裝箱的總數(shù)有一個(gè)限制:這3類箱子在兩輛車上所占空間(厚度)的總和不能超過302.7厘米問:怎樣裝車可以使得兩輛平板車上剩下的空隙總和最小?一、 必要的假設(shè)和問題的分析（1） 兩個(gè)集裝箱緊挨在一起沒有縫隙;（2） 平板車上剩下的空隙是指:任一種集裝箱都放不下的小空間;（3） 將第 j類集裝箱Cj的厚度記為tj,重量記為wj,總件數(shù)記為nj設(shè)第j類集裝箱在第一

19、個(gè)平板車上裝了xj個(gè),在第二個(gè)平板車上裝了yj個(gè),令T1 = t1*x1+t2*x2+t7*x7;T2 = t1*y1+t2*y2+t7*y7則有下列一般模型:具體到本題,我們得到:在LINDO中輸入以下命令:SUBJECT TOX1+Y1<8X2+Y2<7X3+Y3<9X4+Y4<6X5+Y5<6X6+Y6<4X7+Y7<848.7X1+52X2+61.3X3+72X4+48.7X5+52X6+64X7<102048.7Y1+52Y2+61.3Y3+72Y4+48.7Y5+52Y6+64Y7<10202000X1+3000X2+1000X

20、3+500X4+4000X5+2000X6+1000X7<400002000Y1+3000Y2+1000Y3+500Y4+4000Y5+2000Y6+1000Y7<40000 48.7X5+48.7Y5+52X6+52Y6+64X7+64Y7<302.7ENDGIN 14LINDO運(yùn)行后輸出如下結(jié)果:STATUS INFEASIBLE共迭代3488次,得到的仍然是不可行解(注:LINDO是用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃的)另想辦法求解:Step1 先求max 48.7x5+48.7y5+52x6+52y6+64x7+64y7stx5+y5<6x6+y6<4x7+y7&l

21、t;848.7x5+48.7y5+52x6+52y6+64x7+64y7<302.7endgin 6得到結(jié)果: LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION. OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 302.1000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X5 3.000000 -48.700001 Y5 0.000000 -48.700001 X6 3.000000 -52.000000 Y6 0.000000 -52.000000 X7 0.000000 -64

22、.000000 Y7 0.000000 -64.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 3.000000 0.000000 3) 1.000000 0.000000 4) 8.000000 0.000000 5) 0.599998 0.000000 NO. ITERATIONS= 1753 BRANCHES= 566 DETERM.= 1.000E 0此時(shí)的最優(yōu)解為:x5 = 3 ,x6 = 3,x7 = y5 = y6 = y7 = 0Step2 將這個(gè)結(jié)果代入到原模型中,則:max 48.7x1+52x2+61.3x3+72x4+48.7y1+

23、52y2+61.3y3+72y4st48.7x1+52x2+61.3x3+72x4<717.948.7y1+52y2+61.3y3+72y4<10202000x1+3000x2+1000x3+500x4<300002000y1+3000y2+1000y3+500y4<40000x1+y1<8x2+y2<7x3+y3<9x4+y4<6endgin 8得到最優(yōu)解為:LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION.OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1

24、) 119045.9 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 8.000000 -14712.269531 X2 0.000000 -52.000000 X3 3.000000 -61.299999 X4 2.000000 -72.000000 Y1 0.000000 -48.700001 Y2 7.000000 -52.000000 Y3 6.000000 -61.299999 Y4 4.000000 -72.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.399996 0.000000 3) 0.200005 0.000000

25、 4) 10000.000000 0.000000 5) 11000.000000 0.000000 6) 0.000000 0.000000 7) 0.000000 0.000000 8) 0.000000 0.000000 9) 0.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 77 BRANCHES= 20 DETERM.= 1.000E 0即,X1 = 8,X2 = 0,X3 = 3,X4 = 2,Y1 = 0,Y2 = 7,Y3 = 6,Y4 = 4為最優(yōu)解綜合起來,得到總體最優(yōu)解為:X1 = 8,X2 = 0,X3 = 3,X4 = 2,X5 = 3,X6 = 3

26、,X7 = 0;Y1 = 0,Y2 = 7,Y3 = 6,Y4 = 4,Y5 = 0,Y6 = 0,Y7 = 0此時(shí),第一輛車上的空隙為:1020 -(48.7*8+3*61.3+2*72+3*48.7+3*52)= 0.4厘米;第二輛車上的空隙為:1020 -(52*7+6*61.3+4*72)= 0.2厘米§ 4 求解二次規(guī)劃問題LINDO可以求解二次規(guī)劃(QP)問題例如:由Lagrange乘子法,得,分別對xy求偏導(dǎo),得到兩個(gè)約束條件:在LINDO中輸入下列命令:MIN X+Y+A+B+CST6X-Y-1.2A+B>02Y-X-0.9A+B+C>-0.41.2X+0

27、.9Y>1.1X+Y=1Y<0.7ENDQCP 4注釋:MIN X+Y+A+B+C一句只代表變量的出場順序;QCP 4一句代表前4行不是原問題真正的約束,原問題真正的約束從第5行開始LINDO運(yùn)行后輸出以下結(jié)果:STATUS OPTIMAL QP OPTIMUM FOUND AT STEP 7 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 1.355556 VARIABLE VALUE REDUCED COST X 0.666667 0.000000 Y 0.333333 0.000000 A 10.888889 0.000000 B 9.400000 0.000000

28、C 0.000000 0.366667 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.666667 3) 0.000000 -0.333333 4) 0.000000 -10.888889 5) 0.000000 9.400000 6) 0.366667 0.000000 NO. ITERATIONS= 7這個(gè)結(jié)果說明:LINDO求解此二次規(guī)劃問題(QP)共用7步迭代得到最優(yōu)解 fmin = 1.355556,X = 0.666667,Y = 0.333333第5個(gè)松弛變量取值0.366667,其它松弛變量都取0值,即,這個(gè)最優(yōu)解使得前4個(gè)約束

29、條件都取等號;其對偶問題的最優(yōu)解(影子價(jià)格)DUAL PRICES為Y1 = -0.666667,Y2 = -0.333333,Y3 = -10.888889,Y4 = 9.4,Y5 = 0§5 應(yīng)用示例例 5 (農(nóng)戶生產(chǎn)的優(yōu)化模型)本例內(nèi)容取自生產(chǎn)實(shí)踐,豫東一個(gè)普通農(nóng)戶,該農(nóng)戶所在地區(qū)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件氣候狀況屬于中等下列各變量的假設(shè)均建立在農(nóng)村一般農(nóng)業(yè)生產(chǎn)條件氣候狀況之上假設(shè)(面積單位:畝):X1 = 用于完成上繳國家任務(wù)的小麥一年總種植面積X2 = 用于生產(chǎn)生活的小麥一年總種植面積X3 =用于生產(chǎn)生活的油菜一年總種植面積X4 =用于生產(chǎn)生活的紅薯一年總種植面積X5 =用于完成上繳國

30、家任務(wù)的棉花一年總種植面積X6 =用于生產(chǎn)生活的棉花一年總種植面積X7 =用于完成上繳國家任務(wù)的玉米一年總種植面積X8 =用于生產(chǎn)生活的玉米一年總種植面積X9 =用于生產(chǎn)生活的芝麻一年總種植面積X10 =用于生產(chǎn)生活的花生一年總種植面積X11 =用于生產(chǎn)生活的大豆一年總種植面積X12 =用于生產(chǎn)生活的西瓜一年總種植面積X13 =用于生產(chǎn)生活的番茄一年總種植面積X14 =用于生產(chǎn)生活的白菜一年總種植面積X15 =用于生產(chǎn)生活的辣椒一年總種植面積X16 =用于生產(chǎn)生活的茄子一年總種植面積X17 =用于生產(chǎn)生活的豆角一年總種植面積X18 =用于生產(chǎn)生活的蘿卜一年總種植面積F ( X1,X2,X18

31、) = 該農(nóng)戶一年總的純收入該農(nóng)戶家庭人口6人,無剩余勞動(dòng)力,共有可耕地12畝生產(chǎn)細(xì)節(jié)如下表:播種時(shí)間收獲時(shí)間生長期(天)計(jì)劃種植面積(畝/年)畝產(chǎn)量(斤/畝)家庭上繳任務(wù)(斤/年)每畝投資(元)小麥9月中旬來年4月2401060078075油菜9月中旬來年4月2301.520050紅薯5月中旬9月下旬1353.0200080棉花4月下旬9月下旬1603.0皮棉100皮棉30080玉米5月中旬9月下旬904.070060036芝麻5月中旬9月上旬1000.512020花生5月上旬8月下旬1100.230040大豆5月中旬8月下旬901.015010西瓜5月上旬8月中旬901.03500100番

32、茄4月下旬9月中旬1400.110000120白菜4月下旬9月下旬900.110000120辣椒4月中旬10月上旬1800.1(干)20090茄子4月中旬10月上旬1800.0510000100豆角4月下旬9月下旬1400.056250120蘿卜6月中旬10月上旬1100.91000050國家收購價(jià)(元/斤)市場價(jià)(元/斤)必需口糧數(shù)(斤/年)喂養(yǎng)家畜消耗量(斤/年)果籽出油率(a%/畝)植物油需求量(斤/年)小麥0.320.354380油菜1.0015%30紅薯0.196001500棉花2.9510%12玉米0.220.272600芝麻2.0040%6花生0.90大豆0.90西瓜0.12番茄

33、0.08白菜0.05辣椒5.00茄子0.06豆角0.20蘿卜0.05根據(jù)上表情況,得到:小麥:600X1780,600X24380,4月底收獲后再種其它作物,有 X1 + X2+X3 = 12,利潤 0.35(600X1-780)+ 0.32*780 - 75X1 = 135X1-30; 0.35(600X2-4380)- 75X2 = 135X2-1533;油菜:200X330,利潤 200X3 30 50X3;= 150 X1-30;紅薯:2000 X4600+1500,利潤 0.19(2000X4 2100) 80X4 = 300 X4-399;棉花:100X5300,10%*100X6

34、12,利潤 2.95*100X5-80X5-80X6= 215 X5-80 X6 ;玉米:700X7600,700X82600,利潤 0.27(700X7-600)+0.22*600-36X7 = 153X7 30,0.27(700X8-600)-36X8 = 153X8 702,芝麻:40%*120X96,利潤 2(120X9-6/0.4)- 20X9 = 220 X9-30;花生:利潤 0.90*300X10 - 20X10 = 250X10 ;大豆:利潤 0.90*150X11 - 10X11 = 125X11 ;西瓜:利潤 0.12*3500X12 - 100X12 = 320X12

35、;番茄:利潤 0.08*10000X13 - 120X13 = 680X13 ;白菜:利潤 0.05*10000X14 - 120X14 = 380X14 ;辣椒:利潤 5*200X15 - 90X15 = 910X12 ;茄子:利潤 0.06*10000X16 - 100X16 = 500X12 ;豆角:利潤 0.20*6250X17 - 120X17 = 1130X17 ;蘿卜:利潤 0.05*10000X18 - 50X18 = 450X18 ;得到模型如下:在LINDO中送入以下命令:MAX 135X1+135X2+150X3+300X4+215X5-80X6+153X7+153X8+

36、220X9+250X10+125X11+320X12+680X13+380X14+910X15+500X16+1130X17+450X18ST60X1>7860X2>43820X3>320X4>21X5>3X6<1.27X7>67X8>268X9<1X1+X2+X3=12X4+X5+X6+X7+X8+X9+X10+X11+X12+X13+X14+X15+X16+X17+X18=12END得到結(jié)果: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 8 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 7148.214 VARIABLE

37、 VALUE REDUCED COST X1 1.300000 0.000000 X2 7.300000 0.000000 X3 3.400000 0.000000 X4 1.050000 0.000000 X5 3.000000 0.000000 X6 0.000000 1210.000000 X7 0.857143 0.000000 X8 3.714286 0.000000 X9 0.000000 910.000000 X10 0.000000 880.000000 X11 0.000000 1005.000000 X12 0.000000 810.000000 X13 0.000000

38、450.000000 X14 0.000000 750.000000 X15 0.000000 220.000000 X16 0.000000 630.000000 X17 3.378572 0.000000 X18 0.000000 680.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 -0.250000 3) 0.000000 -0.250000 4) 65.000000 0.000000 5) 0.000000 -41.500000 6) 0.000000 -915.000000 7) 1.200000 0.000000 8) 0.000000 -139.571426 9) 0.000000 -139.571426 10) 1.000000 0.00