常微分方程3,初值問題解的性質(zhì)

1、第三節(jié)初值問題的解的性質(zhì)、初值問題的解是自變量、初值的三元函數(shù)時至今日，我們都是把初值小,yo視作固定不變的，去討論初值問題的解，這個解自然是自變量x的函數(shù)，但還不能完全反映實(shí)際情況.因?yàn)樵趹?yīng)用上，我們將一個實(shí)際問題化為微分方程的初值問題時，初值xo,yo通常是通過做試驗(yàn)進(jìn)行觀察或測量而獲得的，難免不產(chǎn)生誤差而保持它們絕對準(zhǔn)確.由此可知，初值x0,y0一般不是固定不變而是可以變動的.初值,yo的變動，必然導(dǎo)致相應(yīng)初值問題的解的隨之變動.因此，一般地說，初值問題的解該是自變量x,初值,y0的三元函數(shù).例如初值問題dy=y*dxy（x）xo=y。的解是y=y0ex3,它顯然是x,xo,yo的三元函

2、數(shù)，并且關(guān)于x,xo,yo還是連續(xù)、可微的.我們把初值問題（2.1.1）,（2.1.2）的解記為y=P（x,xo,yo）,xI（2.3.1）并且假定它已經(jīng)向左右兩個方向延拓，即假定（2.3.1）是（2.1.1）,（2.1.2）的飽和解，同時，按照函數(shù)的定義，還應(yīng)有V。=僅,%）.二、初值問題的解關(guān)于初值的一些基本性質(zhì)1 .初值問題的解關(guān)于初值的對稱性定理4設(shè)初值問題（2.1.1）,（2.1.2）的解y="x,xo,yo）,xI（2.3.1）是唯一的，則式（2.3.1）中的（x,y）與（%,y0）可以互換其相對位置，即（2.3.1）在其存在范圍I內(nèi)可變換為Vo=（xo，x,y）（2.3

3、.2）證若任取x=x1wI,則由（2.3.1）,有必=9（x1,xo,yo）,于是，由初值問題解的唯一性知，方程（2.1.1）的過點(diǎn)（x1,y）的解與過點(diǎn)（xo,yo）的解應(yīng)是同一個解或同一條積分曲線.因此，方程（2.1.1）的過點(diǎn)（x1，y1）的解可表示為y=(x,Xi,yi)(2.3.3)并且按函數(shù)的定義，有V。二(X0,Xi,yi)(2.3.4)由于x=XiWI是任取的，所以(Xi,yi)是方程(2.1.1)的過點(diǎn)(X0,y。)的積分曲線L上的任一點(diǎn)，從而將(2.3.4)中的(xi,yi)換為L上的任一點(diǎn)(x,y)亦是成立的，即有y。二(X0,x,y)這就證明了初值問題關(guān)于初值的對稱性.

4、2 .初值問題解關(guān)于初值的連續(xù)性初值問題(2.i.i),(2.i.2)的解y=(x,X0,y。)一般是自變量x,初值Xo,y。的三元函數(shù)，并且關(guān)于x,y。還是連續(xù)和可微的.下面我們就從理論上論述這一事實(shí).引理1設(shè)方程(2.1.1)右端的函數(shù)f(x,y)在某區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且在D內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)是L.若y=9(x)和y=W(x)分別是方程(2.1.1)的定義在區(qū)間八和|2上的任意兩個解，區(qū)間a,b=I1r1|2#仙則對以及某wa,b,均有中(X)中(x)W9(x。)中(X。)eLxf(2.3.5)證令？(x)(x)=v(x),xwa,b,則dvW"(x)6)|月f(x苫(x

5、)-f(xW(x)JdxEL|邛(x)中(x)三Lv(x)于是，有e-Lxdv()-Le-Lxv(x)E。，即dv(x)e、。.故對滿足aEx。Wxb的任dxdx意x,有v(x)e-LXvlxje'x。即v(x)Mvlxelx)(2.3.6)而對滿足aWxMx。Wb的任意x,令x=t,并記x。=t。，則方程(2.i.i)變?yōu)閐yn-Mty)(2.3.7)dt且易知(2.3.7)有解y=5(t)和y=(t)再令6(t)=*t)，(t),則由上述推理知，對bwt0wtwa,滿足的任意t,有.(t)<.(t0)eL(t_to)(2.3.8)因0=v，0(to兒必=v(xo)(2.3.9

6、)故將(2.3.9)代入(2.3.8),得v(x)_v(xo)eL(»Xo)=v(xo)eL(Xo),a_x_x0_b(2.3.10)于是，由(2.3.6)和(2.3.1O)即知，對/x及某xoea,b,均有中(x)中(x)wM(xo)中(x°),eLxM定理5設(shè)方程(2.1.1)右端的函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且在G內(nèi)關(guān)于y滿足局部L-條件，L-系數(shù)是L,(xo,yo)wG,若y=9(x,xo,yo)是初值問題(2.1.1)、(2.1.2)的定義于區(qū)間a,b上的解，則對任給的君>0,存在6=6(*a,b)>0,使當(dāng)(Xo-xo)2+(弘-yo)2<

7、52時,方程(2.1.1)的過點(diǎn)(%,治)的解丫=中0區(qū),%)三中(x)至少亦在區(qū)間a,b上有定義，并且對任意xwa,b,有<p(x,Xo,yo)-(x.xo,yo)|<s證首先，若記S=(x,y):y=(x,xo,yo)三邛(x),aEx、xo<b則可以找到一個滿足SUDUG的有界閉集D,使f(x,y)在D內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)是L.事實(shí)上，S是方程(2.1.1)的過點(diǎn)(,%)的一條積分曲線段，它顯然是區(qū)域G內(nèi)的一個有界閉集.于是，由定理5的假定，對每一(又,)S,必可作一個開圓C=i(x,y):(x-x)2(y-y)2二r2,(x,y)G)G使方程(2.1.1)右

8、端的函數(shù)f(x,y)在C內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)是Lr.因此，根據(jù)有限覆蓋定理，可以找到具有上述性質(zhì)的有限個開圓G"(x,y):(x-為)2(y-yi)2二n2,(x,y)G,(xi,yJS.',(i-1；,n)n把它們?nèi)科雌饋怼保碪CiG既在G內(nèi)，又完全覆蓋S,亦即ScGaG且f(x,y)在i1每個內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)是L,(i=1;,n).當(dāng)然，f(x,y)亦在G內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)可取為L=maxL,L2,，Ln,同時，根據(jù)聚點(diǎn)原理可推知，S與G的邊界的距離P>0.于是，對任給O0,若取g.PLn=min1%萬|及L=maxaL,Ln

9、并記C=(x,y):(xx*)2+(y-y*)2<n2,V(x,y)eG,V(x*,y*)eS,則D滿足S二D二G二G且f(x,y)在D內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，L-系數(shù)是L.其次證明，對上述任給的s>0,必找得到正數(shù)(=5(%a,b)<”,使當(dāng)又0,%滿足不等式_2_22(%-%)(Yo-Yo)二,時，方程(2.1.1)的過點(diǎn)阮豆)的解y=9(x,Xo，Y0)三中(x)至少亦在區(qū)間a,b上有定義.事實(shí)上，因方程(2.1.1)的右端函數(shù)f(x,y)在有界閉集D上連續(xù)且在D內(nèi)關(guān)于y滿足L-條件，故由解的延拓定理4知，方程(2.1.1)的過點(diǎn)(Xo，Yo)的積分曲線Y=邛(乂,無刀0

10、)必能延拓到區(qū)域D的邊界上去.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(cW(c)和(dW(d)(c<d),則這時c、d必滿足c_a-b-d如若不然，則有a:c二d:b于是，由引理1則有中(x)(x),W中()川(xo)eLx01,c<x<d.1又由y三中(x)作為x的函數(shù)的連續(xù)性知，對61=%(b),存在為例)。，使當(dāng)2x-x0<62時，有e(x)W(xo)三加.若取m=min(4,G2),則當(dāng)(x-xo)2(Y-Yo)2：:-2時，有中(x)Z(x)«仔(先)川(X°)|eLxR< (I)-5(xo)十四x°)中(X°)|eLx用<

11、 g+y。%£”)< 21eL(bJ)< 21eeL(j2二力即對vxec,d,有fP、(2.3.11)中(x)-中(刈<n=minI®,yj<£特別地，當(dāng)x=c和x=d時，即有中(c)一w(c)<n和怛(d)7(d)<n這說明：點(diǎn)(cW(c)卜(d9(d)均不在有界閉集D的邊界上而在D的內(nèi)部，這與假設(shè)矛盾.故cMaWbMd,從而解y三中(x)至少在區(qū)間a,b上有定義.最后，由(2.3.11)即知，對任給w>0,存在6=min31,62)>0,(其中，61=-ne-L(b),22,22.-而見自)>0,且&qu

12、ot;=min；名,萬|),使當(dāng)(XoXo)十(y。yO)<6時，對Vx=a,b,甲(x,Xo,%)-甲(x,%,yo)<s推論2(初值問題的解對初值的連續(xù)性定理)在定理5的條件下，方程(2.1.1)的過點(diǎn)(Xo,yO)的解y=*%5,y°)作為自變量x,初值Xo,y0的三元函數(shù)在點(diǎn)(x,x°,y°)處連續(xù).證因y=<P(x,Xo,yo)作為自變量x的函數(shù)在區(qū)間a,b上連續(xù).故對任給的EA0,存在61=6(8)a0,使當(dāng)Xxc房時,中(X,Xo,yo)中(x,Xo,yo)<一，xo,xea,b.2又由定理5知，對上述任給的6A0,362=d

13、2(s)>0,使當(dāng)(Xo-Xo)2(yo-yo)2二'2時，有(x,x0,y0)-(x,x0,y0)：二萬，x,x0,x0a,b.若取m=min(61，0)，則當(dāng)(X-x)2+(x0-x0)2+(%)2<52時,就有：(兄兄,工)-(x,x0,y0)m(兄元,/)-;：(x,x0,y0)|-(x,x0,yO)-(x,%,y°)zz<一十一=z22這表明，解y=邛（凡比，丫0）作為自變量x,初值Xo,yo的三元函數(shù)在點(diǎn)（x,刈，y°）處連續(xù).推論3（初值問題的解對初值的連續(xù)性定理）在定理5的條件下，方程（2.1.1）的過點(diǎn)（xo,yo）的解y=cP（

14、x,xo,yo）作為自變量x,初值比，yO的三元函數(shù)在其存在域內(nèi)是連續(xù)的證對任意（x0,y0）wG,由定理1及定理3即知，方程（2.1.1）的過點(diǎn)（x0,y0）的解存在、唯一，經(jīng)延拓可得飽和解，不妨仍記此飽和解為y=邛（x,x0,y0）,其存在區(qū)間為a<x<P（注意這里%P是（x0,y0）的函數(shù)）.令V=(x,x0,y0):xw(o(,P),(x0,y0)wG,則解y=*(x,x0,y0)作為x,x0,y0的三元函數(shù)，其定義域（存在域）為V,且在V上連續(xù).這是因?yàn)閷θ我恻c(diǎn)（x,x0,y0）EV,解y=*（x,x0,y0）作為自變量x的函數(shù)，其最大存在區(qū)間9,B）內(nèi)必含有點(diǎn)x,%.于

15、是，存在區(qū)間（n,P）的閉子區(qū)間a<x<b,使解y=爐(凡。0),a：二x0;二b在區(qū)間a,b上有定義，從而由推論2知：解y=*（x,x0,y0）作為x,x0,y0的三元函數(shù)在點(diǎn)（x,x0,yo）上連續(xù)，由于點(diǎn)（x,x0,y°）在V上任取的，所以解y=®（x,%,y0）作為x,%）。的三元函數(shù)在其存在域V內(nèi)是連續(xù)的.3.含有參數(shù)九的微分方程的初值問題的解對初值和參數(shù)的連續(xù)性含有參數(shù)九的微分方程的初值問題為dy=f（x,y,'）dx(2.3.12)y(x)(2.3.13)在上述初值問題所描述的實(shí)際系統(tǒng)中，參數(shù)九常常表征各種持續(xù)的隨機(jī)干擾因素的影響，而這種影

16、響往往又無法精確地測量出來.若參數(shù)九的微小變動引起對應(yīng)的初值問題的解的巨大變動，則所求得的這種解就不能近似地描述所研究的自然、社會現(xiàn)象，從而也就沒有多大的實(shí)際價值若f(x,y,九)在區(qū)域G、=(x,y,?)(x,y)G,a<z<P上連續(xù)，且在G、內(nèi)一致地兒兒關(guān)于y滿足局部L-條件，即對任意(x,y,九)wG都存在以該點(diǎn)為中心的球CuG使/u/u得對任意(x,yi，九卜(x,y2,wC,都有f(x,yi,九)f(x,y2,Z.)<Lyy2其中，L是與久無關(guān)的正常數(shù)亦稱為L-系數(shù).則由定理1知，對每一九oWa,B,方程(2.3.12)存在過點(diǎn)(%,y°)wG的唯一解，記

17、它為y=9(x,xo,yo,%),并且按照函數(shù)的定義，自然有yo=(xo,xo,yo,>-o).定理6(初值問題的解對初值和參數(shù)的連續(xù)依賴性)設(shè)方程(2.3.12)右端的函數(shù)f(x,y,X)在區(qū)域G-上連續(xù)，且在G.內(nèi)關(guān)于y一致地滿足局部L-條件，L-系數(shù)是L./u/u(xo,yo,%)wG?,若y=?(x,xo,yo,%)是方程(2.3.12)的定義在區(qū)間aMxWb上的過點(diǎn)Au(xo,yo)及欠o亡a,P的解，其中，xoa,by=?(x,兄,九)是方程(2.3.12)的過點(diǎn)(xo,yo)及九wu,P的解，其中，xowa,b,則對任給的s>o,存在6=6(w,a,b)Ao使當(dāng)(*-

18、xo)2+(y°yo)2+(九%)2<s2時，解y=*(x,xo,%,九)至少亦在區(qū)間aExWb上有定義，并且在區(qū)間a<x<b±,有(x,xo,yo,)-：(x,xo,y。,)定理7(初值問題的解對初值和參數(shù)的連續(xù)性)若方程(2.3.12)右端的函數(shù)f(x,y,A)在區(qū)域G；內(nèi)連續(xù)且在G：內(nèi)關(guān)于y一致地滿足局部L-條件，L-系數(shù)L,(xo,yoJ“)wG；,則JUrU方程(2.3.12)的過點(diǎn)(xo,yo)WG&*Wa,Pw慚y=中儀4。，y0,九)作為x,%,%，的函數(shù)，在其存在區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的.4.初值問題的解對初值的可微性定理8若方程(2.1.

19、1)右端的函數(shù)f(x,y)及其對y的偏導(dǎo)數(shù)0f(x,y)均在域G內(nèi)連續(xù)，二y則初值問題(2.1.1)、(2.1.2)的解y=(x,xo,yo)作為x,xo,yo的三元函數(shù)，在其存在域內(nèi)是連續(xù)的、可微的.證事實(shí)上，由f(x,y)對y的偏導(dǎo)數(shù)訐(x,y)在G內(nèi)連續(xù)可推知，f(x,y)在G內(nèi)關(guān)于二y7y滿足L-條件.又因f(x,y)在G內(nèi)連續(xù).故由定理5的推論3知，初值問題(3.1)、(3.2)的解y=5(x,x0,y0)作為x,x0,y0的三元函數(shù)，在其存在域V內(nèi)連續(xù).卜面證明解y=邛(x,%,y(j)作為x,%,y0的三元函數(shù)，在其存在域V內(nèi)可微.由數(shù)學(xué)分析知識知，只需證明y=*(x,x0,y0

20、)對x,x0,y0的偏導(dǎo)數(shù)目更效均在,.x.x0Fy0V內(nèi)連續(xù).先證解y=9(x,x0,y0)對x的偏導(dǎo)數(shù)在V內(nèi)連續(xù).三x1的命題1知，因y=9%刈，丫0)是初值問題(2.1.1)、(2.1.2)的解.故由定理y=(x,x0,y0)是積分方程y=y0:f(,y)dx0的解，從而由解的定義，有x(x,x0,y0)三yO.f(,(,x0,y0)dx0又因f(x,y)在G內(nèi)連續(xù)，中(x,x0,y0)在V內(nèi)連續(xù)，故由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知,f(xW(x,x0,y。)在V內(nèi)連續(xù).于是，由含參變量的積分的可微性知：(x,x°,y°)=fx,(x,x0,y°)(2.3.14)從而c

21、*(x,",九)作為x,x0,y0的三元函數(shù)，在其存在域V內(nèi)連續(xù).x其次證解y=*(x,%,y0)對飛的偏導(dǎo)數(shù)在V內(nèi)連續(xù).x因a(x,y)在G內(nèi)連續(xù)，y=5(x,x0,y0)在V內(nèi)連續(xù).故由復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性知,yfx,(x,x0,y°)在V內(nèi)連續(xù).于是，由含參變量的積分的可微性知f(x,x0,No)況二-fx0,(x0,x0,y0)xx：f(，My。)廠(，x0,y。)(x0,y0)JCx0二.d/評(x,%,%)濟(jì)(xW(x,%,y)/(x,%、)dx(x,x0,y0)x0三f(x0,yo)XTo故抖（x,xo,y。）是初值問題Cxod®(x,x°,y

22、o)更(xW(x,x0,yo)抑(x,x0,yo)=.dxlSx0J6中cx0科(x,x°,yo).一、=_f(%,yo)a0x.的解.解上述初值問題，得：(x,xo,yo)-二-f(xo,yo)e.xoxxo(2.3.15)一一:（x,x0,vo）.顯見一:N,y”作為x,xo,yo的三元函數(shù)，亦在其存在V域內(nèi)連續(xù).xo最后，證明解y=%x,xo,%）對yo的偏導(dǎo)數(shù)丁亦在V內(nèi)連續(xù).二yo由含參變量的積分的可微性知f（x,xo,yo）=1,X開，：（，xo,yo）”（,xo,yo）dMx04“d(抑(x,xo,yo)才(x,中(x,xo,yo)即(x,x0,yo)-dxf(x,xo,

23、yo)：:y。三1x=xg故叫x,xo,y。)是初值問題Nod:敬x,xo,yo);三講(x,.(x,xo,y0).(x,x°,y°)dx、cyo)”cyo.(x,xo,yo)方y(tǒng)o的解.解上述初值問題，得f(x,x0,y()(2.3.16)顯見,中（xx0'y0）作為x,X0,y0的三元函數(shù)，仍在其存在域V內(nèi)連續(xù).-y0這樣，我們就證明了初值問題（2.1.1）、（2.1.2）的解y=Wx,x0,y0）作為x,x0,y0的三元函數(shù)，在其存在域V內(nèi)連續(xù)、可微，且其微分為xf_1_,3d、f_A_3dd=fx,（x,x0,y°）dxf（%,y°）ex°二dx°ex00dy0顯然，反復(fù)利用初值問題的解對自變量、初值的偏微商公式（2.3.14）、（2.3.15）、（2.3.16）及復(fù)合函數(shù)的微商法則，我們還可以得到初值問題的解對初值的高階可微性例1設(shè)初值問題包二sinxydxy(x)x=xc=y0(2.3.17)(2.3.18)的解為y=<p(x,x0,Yo).試求:石中(x,x0,yO)瞪(x,X0,Yo)-,rXX0(,y0)30)"(xo,yo)=(O,0)解因f（x,y）=sinxy及、f（x