2022-2023學(xué)年四川省南充市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

第1頁(yè)2022-2023學(xué)年四川省南充市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠22．（4分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn)O，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，2），則m+n的值為（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣63．（4分）下列說(shuō)法正確的是（）A．“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到綠燈”是隨機(jī)事件 B．?dāng)S一枚圖釘，頂尖朝上和頂尖朝下的可能性相等 C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，6次正面向上，則正面向上的概率為0.6 D．某種彩票的中獎(jiǎng)率是5%，則購(gòu)買此種彩票20張一定有一張中獎(jiǎng)4．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．60° D．65°5．（4分）小張與小李相約去科技館參觀，該館有A，B兩個(gè)入口，有C，D，E，F(xiàn)四個(gè)出口，他們從同一入口B進(jìn)入后分散參觀，結(jié)束后，他們恰好從同一出口走出的概率是（）A． B． C． D．6．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若AD⊥BC，∠B＝40°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°2t4t6t7．（4分）若二次函數(shù)y＝x2+2x+c﹣1圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則常數(shù)c的值為（）A．c＝2 B．c＝1 C．c＝﹣2 D．c＝08．（4分）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某初級(jí)中學(xué)校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．2021年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100min，經(jīng)過(guò)2021年下學(xué)期和2022年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2022年下學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為70min．設(shè)該校平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)這兩學(xué)期每期的下降率為x，則可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝1009．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，以AB為直徑作⊙O．與CD相切于點(diǎn)E，若AD＝10，BC＝4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）B． C．8 D．210．（4分）如圖，過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)E作x軸的垂線，分別與拋物線y＝ax2（a≠0），y＝bx2（b≠0）交于點(diǎn)B，A，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸，交拋物線y＝ax2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，交拋物線y＝bx2于點(diǎn)D，若BD＝2AC，則的值為（） B． C． D．29t10t二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)黃色乒乓球和2個(gè)白色乒乓球，它們除顏色外其余均相同．從袋子中任意摸出一個(gè)球是白色乒乓球的概率為．12．（4分）小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，將它化成（x﹣p）2＝q的形式，則p+q的值為．13．（4分）將拋物線y＝x2+2x﹣1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析為．14．（4分）如圖，在正五邊形ABCDE中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，若AB＝6．則弧EF的長(zhǎng)為．15．（4分）擲實(shí)心球是體育中考項(xiàng)目之一，其目的是考查學(xué)生全身協(xié)調(diào)用力的能力．某次李毅在體育課上練習(xí)擲實(shí)心球，他站在點(diǎn)O處從點(diǎn)A拋出實(shí)心球，球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．若球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面最高3.6m，此時(shí)與李毅的水平距離為4m，則此次投擲的成績(jī)（即水平距離OB長(zhǎng)）為m．16．（4分）如圖，在⊙O中，將劣弧AB沿弦AB折疊得弧AmB，P是弧AmB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弧AmB的切線與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為13，AB＝24，則CD的長(zhǎng)度最大值為．14t15t16t三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（8分）解下列方程：（1）（x﹣2）（x﹣3）＝6；（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．18．（8分）二次函數(shù)y＝mx2+（3m﹣1）x+m2﹣4（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），開口向上．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）此二次函數(shù)有最值（填“大”或“小”）為．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，連接BD．（1）若∠ABC＝38°，求∠BDE的度數(shù)；（2）若AC＝6，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．20．（10分）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，例如16＝5+11．桌面上有4張正面分別標(biāo)有數(shù)字5，6，7，8的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余均相同，現(xiàn)將它們背面向上洗勻．（注：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)且大于1的正整數(shù)叫做素?cái)?shù)．）（1）求隨機(jī)翻開一張卡片，正面數(shù)字是素?cái)?shù)的概率．（2）先隨機(jī)翻開一張卡片記錄上面的數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌?張中隨機(jī)翻開一張記錄上面的數(shù)字，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖，求翻到兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率．21．（10分）已知k為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程為x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2．當(dāng)它們互為倒數(shù)時(shí)，求的值．22．（10分）如圖，AB是半圓O的直徑，AC是弦，在AB上截取AD＝AC，OE⊥CD于E，連接BC．（1）求證：∠DOE＝∠BCD．（2）若∠A＝30°，AB＝6，求CE的長(zhǎng)．23．（10分）抖音直播帶貨的興起，越來(lái)越多的商家都開啟了抖音直播帶貨的模式．某商家在直播間銷售某種商品，每件售價(jià)為90元，每周可賣200件．為了促銷，商家決定降價(jià)銷售，據(jù)市場(chǎng)大數(shù)據(jù)顯示：銷售單價(jià)每降價(jià)1元，每周可多賣20件，商品成本單價(jià)為70元．設(shè)商品銷售單價(jià)為x（元），每周的銷售量為y（件）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，每周銷售該商品獲利最大，最大利潤(rùn)是多少元？（3）若商家在銷售該商品時(shí)每周想要獲得不低于4320元的利潤(rùn)，每周至少要銷售多少件？24．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠BAD的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若D是弧AC的中點(diǎn)，AB＝8．求CE的長(zhǎng)．25．（12分）如圖1，直線y＝kx+b與拋物線y＝ax2﹣x+c交于A（﹣2，0），C（0，2）兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B，頂點(diǎn)為D．（1）求直線及拋物線的解析式．（2）M是第二象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AC于N，當(dāng)MN最大時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．（3）如圖2，將拋物線沿射線AC方向以每秒個(gè)單位的速度平移，平移后拋物線的頂點(diǎn)為D'，設(shè)平移時(shí)間為t秒，當(dāng)△CDD'為等腰三角形時(shí)，求t的值．

2022-2023學(xué)年四川省南充市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分）1．（4分）關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，則m的值是（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．m≠2【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程為（m﹣2）x2﹣x+3＝0，∴m﹣2≠0．∴m≠2．故選：D．2．（4分）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn)O，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，2），則m+n的值為（）A．2 B．﹣2 C．6 D．﹣6【解答】解：∵菱形ABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn)O，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，m），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（n，2），∴＝0，＝0，解得n＝﹣4，m＝﹣2，∴m+n＝﹣2+（﹣4）＝﹣6，故選：D．3．（4分）下列說(shuō)法正確的是（）A．“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到綠燈”是隨機(jī)事件 B．?dāng)S一枚圖釘，頂尖朝上和頂尖朝下的可能性相等 C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，6次正面向上，則正面向上的概率為0.6 D．某種彩票的中獎(jiǎng)率是5%，則購(gòu)買此種彩票20張一定有一張中獎(jiǎng)【解答】解：A．“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到綠燈”是隨機(jī)事件，此選項(xiàng)說(shuō)法正確；B．?dāng)S一枚圖釘，頂尖朝上和頂尖朝下的可能性不相等，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，6次正面向上，則正面向上的概率約為0.5，此選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；D．某種彩票的中獎(jiǎng)率是5%，則購(gòu)買此種彩票20張可能有一張中獎(jiǎng)，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．4．（4分）如圖，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，OA⊥OB，若∠A＝20°，則∠B的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．60° D．65°【解答】解：∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，∴∠C＝∠O＝45°，∵∠B+∠C＝∠O+∠A，∴∠B＝∠O+∠A﹣∠C＝90°+20°﹣45°＝65°．故選：D．5．（4分）小張與小李相約去科技館參觀，該館有A，B兩個(gè)入口，有C，D，E，F(xiàn)四個(gè)出口，他們從同一入口B進(jìn)入后分散參觀，結(jié)束后，他們恰好從同一出口走出的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有16種等可能的結(jié)果，其中他們恰好從同一出口走出的結(jié)果有4種，∴他們恰好從同一出口走出的概率為＝．故選：B．6．（4分）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，若AD⊥BC，∠B＝40°，則∠CAE的度數(shù)為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BAD＝∠CAE，∵AD⊥BC，∴∠AFB＝90°，∵∠B＝40°，∵∠BAF＝90°﹣40°＝50°，∴∠CAE＝50°．故選：C．7．（4分）若二次函數(shù)y＝x2+2x+c﹣1圖象的頂點(diǎn)在x軸上，則常數(shù)c的值為（）A．c＝2 B．c＝1 C．c＝﹣2 D．c＝0【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2x2+2x+c﹣1的圖象頂點(diǎn)在x軸上，∴Δ＝4﹣4（c﹣1）＝0，解得c＝2．故選：A．8．（4分）在“雙減政策”的推動(dòng)下，某初級(jí)中學(xué)校學(xué)生課后作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少．2021年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為100min，經(jīng)過(guò)2021年下學(xué)期和2022年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2022年下學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為70min．設(shè)該校平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)這兩學(xué)期每期的下降率為x，則可列方程為（）A．100（1﹣x2）＝70 B．70（1+x2）＝100 C．100（1﹣x）2＝70 D．70（1+x）2＝100【解答】解：根據(jù)題意得100（1﹣x）2＝70．故選：C．9．（4分）如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，以AB為直徑作⊙O．與CD相切于點(diǎn)E，若AD＝10，BC＝4，則⊙O的半徑長(zhǎng)為（）A． B． C．8 D．2【解答】解：過(guò)C作CH⊥AD于H，∵∠A＝∠B＝90°，∴四邊形AHCB是矩形，∴CH＝AB，∠DHC＝∠AHC＝90°，AH＝BC＝4，∵以AB為直徑作⊙O，∴AD＝DE＝10，BC＝CE＝4，∴DC＝14，DH＝AD﹣AH＝6，∵CH2+DH2＝CD2，∴CH2+62＝142，∴CH＝4，∴AB＝CH＝8，∴⊙O的半徑長(zhǎng)為2，故選：B．10．（4分）如圖，過(guò)x軸正半軸上一點(diǎn)E作x軸的垂線，分別與拋物線y＝ax2（a≠0），y＝bx2（b≠0）交于點(diǎn)B，A，過(guò)點(diǎn)A作AC∥x軸，交拋物線y＝ax2于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，交拋物線y＝bx2于點(diǎn)D，若BD＝2AC，則的值為（）A． B． C． D．2【解答】解：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，bm2），則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，bm2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，am2），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，am2），∴BD＝﹣m，AC＝m﹣，∵BD＝2AC，∴﹣m＝2（m﹣），解得＝，故選：C．二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）在一個(gè)不透明的袋子里裝有4個(gè)黃色乒乓球和2個(gè)白色乒乓球，它們除顏色外其余均相同．從袋子中任意摸出一個(gè)球是白色乒乓球的概率為．【解答】解：由題意得，白球有2個(gè)，總共6個(gè)球，故從中任意摸出一個(gè)，則摸出白色乒乓球的概率＝＝．故答案為：．12．（4分）小明用配方法解一元二次方程x2﹣6x+5＝0，將它化成（x﹣p）2＝q的形式，則p+q的值為7．【解答】解：把方程x2﹣6x+5＝0的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊，得到x2﹣6x＝﹣5，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，得到x2﹣6x+9＝﹣5+9，配方得（x﹣3）2＝4，∴p＝3，q＝4，∴p+q＝3+4＝7，故答案為：7．13．（4分）將拋物線y＝x2+2x﹣1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線的解析為y＝﹣（x+1）2﹣2．【解答】解：y＝x2+2x﹣1＝（x2+2x+1）﹣2＝（x+1）2﹣2，將原拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，得：y＝﹣（x+1）2﹣2，故答案為：y＝﹣（x+1）2﹣2．14．（4分）如圖，在正五邊形ABCDE中，分別以點(diǎn)A，B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，若AB＝6．則弧EF的長(zhǎng)為．【解答】解：如圖，連接AF，BF．在正五邊形中，∠EAB＝108°，∵AF＝AB＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠FAB＝60°，∴∠EAF＝∠EAB﹣∠FAB＝108°﹣60°＝48°，∴弧EF的長(zhǎng)＝＝．故答案為：．15．（4分）擲實(shí)心球是體育中考項(xiàng)目之一，其目的是考查學(xué)生全身協(xié)調(diào)用力的能力．某次李毅在體育課上練習(xí)擲實(shí)心球，他站在點(diǎn)O處從點(diǎn)A拋出實(shí)心球，球的運(yùn)動(dòng)路線可以看作是拋物線的一部分．若球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中離地面最高3.6m，此時(shí)與李毅的水平距離為4m，則此次投擲的成績(jī)（即水平距離OB長(zhǎng)）為10m．【解答】解：由題意可得，該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3.6），∴該拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣4）2+3.6，令y＝0，可得0＝﹣（x﹣4）2+3.6，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去，不符合題意），∴此次投擲的成績(jī)（即水平距離OB長(zhǎng)）為10m，故答案為：10．16．（4分）如圖，在⊙O中，將劣弧AB沿弦AB折疊得弧AmB，P是弧AmB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作弧AmB的切線與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，若⊙O的半徑為13，AB＝24，則CD的長(zhǎng)度最大值為8．【解答】解：當(dāng)弦CD的弦心距最小時(shí)，CD的長(zhǎng)最大，此時(shí)CD于相切的切點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接PO并延長(zhǎng)交AB于H，連接OB，OC，∴PH⊥AB，∴BH＝AB＝12，∴OH＝＝＝5，∴PH＝13﹣5＝8，∴PO＝PH﹣OH＝8﹣5＝3，∵OP⊥CD，∴CD＝2PC，∵PC＝＝＝4，∴CD＝2×4＝8，∴CD的長(zhǎng)最大值是8．故答案為：8．三、解答題（本大題共9小題，共86分）17．（8分）解下列方程：（1）（x﹣2）（x﹣3）＝6；（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．【解答】解：（1）方程化為一般式為x2﹣5x＝0，x（x﹣5）＝0，x＝0或x﹣5＝0，所以x1＝0，x2＝5；（2）（x+2）2﹣2（x+2）＝3．（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，（x+2﹣3）（x+2﹣1）＝0，x+2﹣3＝0或x+2﹣1＝0，所以x1＝1，x2＝﹣1．18．（8分）二次函數(shù)y＝mx2+（3m﹣1）x+m2﹣4（m≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），開口向上．（1）求二次函數(shù)的解析式．（2）此二次函數(shù)有最小值（填“大”或“小”）為﹣4．【解答】解：（1）把A（1，0）代入函數(shù)解析式得：m+3m﹣1+m2﹣4＝0，∴m＝﹣5或1，∵二次函數(shù)的圖象開口向上，∴m＝1，∴函數(shù)解析式為：y＝x2+2x﹣3；（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴此二次函數(shù)有最小值為﹣4；故答案為：小，﹣4．19．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，連接BD．（1）若∠ABC＝38°，求∠BDE的度數(shù)；（2）若AC＝6，BC＝8，求BD的長(zhǎng)．【解答】解：（1）∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，∴∠ADE＝∠ABC＝38°，∠AED＝∠C＝90°，AB＝AD，∴∠DAE＝90°﹣38°＝52°，∵AB＝AD，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠DAB）＝×（180°﹣52°）＝64°，∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝64°﹣38°＝26°；（2）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AB＝＝＝10，∵△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADE，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E落在AB上，∴∠AED＝∠C＝90°，AE＝AC＝6，DE＝BC＝8，∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，在Rt△BDE中，BD＝＝＝4．20．（10分）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，例如16＝5+11．桌面上有4張正面分別標(biāo)有數(shù)字5，6，7，8的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余均相同，現(xiàn)將它們背面向上洗勻．（注：只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)且大于1的正整數(shù)叫做素?cái)?shù)．）（1）求隨機(jī)翻開一張卡片，正面數(shù)字是素?cái)?shù)的概率．（2）先隨機(jī)翻開一張卡片記錄上面的數(shù)字，再?gòu)挠嘞碌?張中隨機(jī)翻開一張記錄上面的數(shù)字，請(qǐng)用列表或畫樹狀圖，求翻到兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率．【解答】解：（1）∵數(shù)字5，6，7，8中有2個(gè)素?cái)?shù)5和7，∴隨機(jī)翻開一張卡片，正面數(shù)字是素?cái)?shù)的概率為＝；（2）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中翻到兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的結(jié)果有4種，∴翻到兩個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率為＝．21．（10分）已知k為實(shí)數(shù)，關(guān)于x的一元二次方程為x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0．（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．（2）設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1，x2．當(dāng)它們互為倒數(shù)時(shí)，求的值．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（2k+3），c＝k2+3k，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2k+3）]2﹣4×1×（k2+3k）＝9＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程為x2﹣（2k+3）x+k2+3k＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴x1+x2＝2k+3，x1x2＝k2+3k，又∵x1，x2互為倒數(shù)，∴x1x2＝k2+3k＝1，∴+＝＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝（2k+3）2﹣2（k2+3k）＝2k2+6k+9＝2（k2+3k）+9＝2×1+9＝11．22．（10分）如圖，AB是半圓O的直徑，AC是弦，在AB上截取AD＝AC，OE⊥CD于E，連接BC．（1）求證：∠DOE＝∠BCD．（2）若∠A＝30°，AB＝6，求CE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD+∠ACD＝90°，∵OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∴∠DOE+∠ODE＝90°，∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ODE，∴∠DOE＝∠BCD；（2）解：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝（180°﹣∠A）＝×（180°﹣30°）＝75°，∵∠BOC＝2∠A＝60°，∴∠OCD＝180°﹣∠DOC﹣∠ODC＝180°﹣60°﹣75°＝45°，∴△COE為等腰直角三角形，∵AB＝6，∴OC＝3，∴CE＝OC＝×3＝．23．（10分）抖音直播帶貨的興起，越來(lái)越多的商家都開啟了抖音直播帶貨的模式．某商家在直播間銷售某種商品，每件售價(jià)為90元，每周可賣200件．為了促銷，商家決定降價(jià)銷售，據(jù)市場(chǎng)大數(shù)據(jù)顯示：銷售單價(jià)每降價(jià)1元，每周可多賣20件，商品成本單價(jià)為70元．設(shè)商品銷售單價(jià)為x（元），每周的銷售量為y（件）．（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)定為多少時(shí)，每周銷售該商品獲利最大，最大利潤(rùn)是多少元？（3）若商家在銷售該商品時(shí)每周想要獲得不低于4320元的利潤(rùn)，每周至少要銷售多少件？【解答】解：（1）由題意可得，y＝200+（90﹣x）×20＝﹣20x+2000，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝﹣20x+2000；（2）設(shè)利潤(rùn)為w元，由題意可得：w＝（x﹣70）（﹣20x+2000）＝﹣20（x﹣85）2+4500，∴當(dāng)x＝85時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w＝4500，答：當(dāng)銷售單價(jià)定為85元時(shí)，每周銷售該商品獲利最大，最大利潤(rùn)是4500元；（3）令w＝4320，則4320＝﹣20（x﹣85）2+4500，解得x1＝82，x2＝88，∵w＝﹣20（x﹣85）2+4500，∴該函數(shù)圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線x＝85，∴商家在銷售該商品時(shí)每周想要獲得不低于4320元的利潤(rùn)，每周至少要銷售﹣20×88+2000＝240（件），答：商家在銷售該商品時(shí)每周想要獲得不低于4320元的利潤(rùn)，每周至少要銷售240件．24．（10分）如圖，在⊙O中，AB是直徑，AD是弦，∠BAD的平分線交⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若D是弧AC的中點(diǎn)，AB＝8．求CE的長(zhǎng)．【解答】（1）證明：連接OC．∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠EAC＝∠BA