雙曲線典型例題12例含標(biāo)準(zhǔn)答案

1、雙曲線典型例題雙曲線典型例題12例典型例題一22例1討論上1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.25k9k分析：由于k9,k25,則k的取值范圍為k9,9k25,k25,分別進(jìn)行討論.解：(1)當(dāng)k9時(shí)，25k0,9k0,所給方程表示橢圓，此時(shí)a解：(1)設(shè)雙曲線方程為-mP、Q兩點(diǎn)在雙曲線上,旦225m16n256259m25k,b29k,c2a2b216,這些橢圓有共同的焦點(diǎn)(一4,0),(4,0).(2)當(dāng)9k25時(shí)，25k0,9k0,所給方程表示雙曲線，此時(shí)，a225k,b29k,c2a2b216,這些雙曲線也有共同的焦點(diǎn)(一4,0),)(4,0).(3)k25,k9,k25時(shí)，所給方

2、程沒(méi)有軌跡.說(shuō)明：將具有共同焦點(diǎn)的一系列圓錐曲線，稱(chēng)為同焦點(diǎn)圓錐曲線系，不妨取一些k值，畫(huà)出具圖形，體會(huì)一下幾何圖形所帶給人們的美感.典型例題二例2根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)過(guò)點(diǎn)P3,Q,5且焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.43(2)c庭,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2),焦點(diǎn)在x軸上.22(3)與雙曲線L1有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)372,21解得1m16n9164雙曲線典型例題22所求雙曲線方程為-y-1169說(shuō)明：采取以上巧設(shè)”可以避免分兩種情況討論，得巧求”的目的.（2）二.焦點(diǎn)在x軸上，cg,22設(shè)所求雙曲線方程為：1（其中06）6二.雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一5,2）,絲上一165或30（舍去）2所求雙曲線方程是土

3、y2-J1后，便有了以上巧妙的設(shè)法.164（2）尋找一種簡(jiǎn)捷的方法，須有牢固的基礎(chǔ)和一定的變通能力，這也是在我們教學(xué)中應(yīng)該注重的一個(gè)重要方面.典型例題三22例3已知雙曲線工1的右焦點(diǎn)分別為FF2,點(diǎn)P在雙曲線上的左1612支上且|PFjPF232,求F1PF2的大小.分析：一般地，求一個(gè)角的大小，通常要解這個(gè)角所在的三角形.15說(shuō)明：以上簡(jiǎn)單易行的方法給我們以明快、簡(jiǎn)捷的感覺(jué).22（3）設(shè)所求雙曲線方程為：-J1016164184二.雙曲線過(guò)點(diǎn)3%22，.二311644或14（舍）22所求雙曲線方程為-X112822說(shuō)明：（1）注意到了與雙曲線L1有公共焦點(diǎn)的雙曲線系方程為164雙曲線典型例題

4、解：.點(diǎn)P在雙曲線的左支上PF1PF2622一“一PF1PF22PF111PF23622PF1PF2100VF1F224c24a2b12100F1PF290說(shuō)明：(1)巧妙地將雙曲線的定義應(yīng)用于解題當(dāng)中，使問(wèn)題得以簡(jiǎn)單化.(2)題目的點(diǎn)P在雙曲線的左支上”這個(gè)條件非常關(guān)鍵，應(yīng)引起我們的重視，若將這一條件改為熏P在雙曲線上”結(jié)論如何改變呢？請(qǐng)讀者試探索.典型例題四2例4已知F1、52是雙曲線y21的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上且滿足4F1PF290,求F1PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及F1PF2中的勾股定理可求F1PF2的面積.2解：:P為雙曲線上y21上的一個(gè)點(diǎn)且F1、F2為焦點(diǎn).4|PF

5、1PF2II2a4,F1F22c2后 F1PF290,222 在RtPF1F2中，PF1PF2F1F220vPF1PF22PF12PF222PF11PF216 .202PF1PF216 PF1PF221.Sfeg|PF1IPF21說(shuō)明：雙曲線定義的應(yīng)用在解題中起了關(guān)鍵性的作用.雙曲線典型例題典型例題五例5已知兩點(diǎn)F15,0、F25,0,求與它們的距離差的絕對(duì)值是6的點(diǎn)的軌跡.分析：?jiǎn)栴}的條件符合雙曲線的定義，可利用雙曲線定義直接求出動(dòng)點(diǎn)軌跡.解：根據(jù)雙曲線定義，可知所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線.,c5,a3.b2c2a25232421622所求方程工匕1為動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.916說(shuō)明：(

6、1)若清楚了軌跡類(lèi)型，則用定義直接求出其軌跡方程可避免用坐標(biāo)法所帶來(lái)的繁瑣運(yùn)算.(2)如遇到動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差的問(wèn)題，一般可采用定義去解.典型例題六1一例6在ABC中，BC2,且sinCsinBsinA,求點(diǎn)A的軌跡.2分析：要求點(diǎn)A的軌跡，需借助其軌跡方程，這就要涉及建立坐標(biāo)系問(wèn)題，如何建系呢？解：以BC所在直線為x軸，線段BC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B1,0,C1,0.1 一設(shè)Ax,y,由sinCsinBsinA及正弦止理可得：2八1八ABAC-BC12:BC2點(diǎn)A在以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線右支上設(shè)雙曲線方程為：22xy，八，八22"1a0,b0ab雙曲線典型例題所

7、求雙曲線方程為4x2支13vABAC101x2點(diǎn)A的軌跡是雙曲線的一支上挖去了頂點(diǎn)的部分典型例題七例7求下列動(dòng)圓圓心M的軌跡方程：(1)與。C:x2雙曲線方程為2x2組1x27(2)v©M與。C1、OC2都外切MC1r1,MC2r2,y22內(nèi)切，且過(guò)點(diǎn)A2,0(2)與。C1:x2y121和。C2:x2y124都外切.(3)與。C1：x32y29外切，且與。C2：x32y21內(nèi)切.分析：這是圓與圓相切的問(wèn)題，解題時(shí)要抓住關(guān)鍵點(diǎn)，即圓心與切點(diǎn)和關(guān)鍵線段，即半徑與圓心距離.如果相切的。C1、OC2的半徑為1、萬(wàn)且1萬(wàn)，則當(dāng)它們外切時(shí)，|0102r1r2；當(dāng)它們內(nèi)切時(shí)，|O1O2r1r2.解

8、題中要注意靈活運(yùn)用雙曲線的定義求出軌跡方程.解：設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r(1) C1與。M內(nèi)切，點(diǎn)A在。C外MCr及，MAr"MAMC72點(diǎn)M的軌跡是以C、A為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且有:2222,c2,bca2雙曲線典型例題MC2MC11點(diǎn)M的軌跡是以C2、Ci為焦點(diǎn)的雙曲線的上支，且有:a1,c1,b2c2a2324所求的雙曲線的方程為：4y24x2(3)v©M與。Ci外切，且與。C2內(nèi)切.MCir3,MC2r1,MCiMC24點(diǎn)M的軌跡是以Ci、C2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，且有:八八222尸a2,c3,bca5所求雙曲線方程為：22xyix245說(shuō)明：(i)誼義法”求動(dòng)點(diǎn)軌跡是

9、解析幾何中解決點(diǎn)軌跡問(wèn)題常用而重要的方法.(2)巧妙地應(yīng)用巡義法”可使運(yùn)算量大大減小，提高了解題的速度與質(zhì)量.(3)通過(guò)以上題目的分析，我們體會(huì)到了，靈活準(zhǔn)確地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題是我們無(wú)休止的追求目標(biāo).典型例題八3例8在周長(zhǎng)為48的直角二角形MPN中，MPN90,tanPMN-,4求以M、N為焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)P的雙曲線方程.分析：首先應(yīng)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系.由于M、N為焦點(diǎn)，所以如圖建立直角坐標(biāo)系，可知雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程.由雙曲線定義可知|PM|PN|2a,MN2c,所以利用條件確定MPN的邊長(zhǎng)是關(guān)鍵.雙曲線典型例題解:3MPN的周長(zhǎng)為48,且tanPMN-,4設(shè)PN3k,PM4k,WJMN5k

10、.由3k4k5k48,得k4.PN12,PM16,MN20.以MN所在直線為x軸，以MN的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，設(shè)所求雙22曲線方程為=三1(a0,b0).a2b2由PMPN4,得2a4,a2,a24.由MN20,得2c20,c10.22由b2c2a296,得所求雙曲線方程為土工1.496說(shuō)明：坐標(biāo)系的選取不同，則又曲線的方程不同，但雙曲線的形狀不會(huì)變.解題中，注意合理選取坐標(biāo)系，這樣能使求曲線的方程更簡(jiǎn)捷.典型例題九22例9P是雙曲線y-1上一點(diǎn)，曰、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且6436PFi17,求|PF2的化分析：利用雙曲線的定義求解.22解：在雙曲線1中，a8,b6,故c10.643

11、6由p是雙曲線上一點(diǎn)，得|pfJ|pf2|16.PF21或PF233.雙曲線典型例題又PF2ca2,得PF233.說(shuō)明：本題容易忽視|PF2|ca這一條件，而得出錯(cuò)誤的結(jié)論|PF21或PF233.典型例題十2222例10若橢圓士1(mn0)和雙曲線七二1(s,t0)有相同的mnst焦點(diǎn)F1和F2,而P是這兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|PF1PF2的值是().122A.msB.-(ms)C.msD.Jm,s分析：橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，P在橢圓上又在雙曲線上，可根據(jù)定義得到PF1和|PF2的關(guān)系式，再變形得結(jié)果.解：因?yàn)镻在橢圓上，所以|PF1|PF2|2而.又P在雙曲線上，所以|PF1|PF2|2V

12、S.兩式平方相減，得4PF1PF24(ms),故PFPF2ms.選(A).說(shuō)明：(1)本題的方法是根據(jù)定義找|PF1與PF2的關(guān)系.(2)注意方程的形式，m,s是a2,n,t是b2.典型例題十一例11若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)到兩個(gè)定點(diǎn)A(1,0)、A(1,0)的距離之差的絕對(duì)值為定值a(a0),討論點(diǎn)P的軌跡.分析：本題的關(guān)鍵在于討論a.因AA2,討論的依據(jù)是以0和2為分界點(diǎn)，應(yīng)討論以下四種情況：a0,a(0,2),a2,a2.解：|aa|2.當(dāng)a0時(shí)，軌跡是線段AAi的垂直平分線，即y軸，方程為x0.雙曲線典型例題22(2)當(dāng)0a2時(shí)，軌跡是以A、A為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為與上¥1.

13、aa144當(dāng)a2時(shí)，軌跡是兩條射線y0(x1)或y0(x1).(4)當(dāng)a2時(shí)無(wú)軌跡.說(shuō)明：(1)本題容易出現(xiàn)的失誤是對(duì)參變量a的取值范圍劃分不準(zhǔn)確，而造成討論不全面.(2)軌跡和軌跡方程是不同的，軌跡是圖形，因此應(yīng)指出所求軌跡是何種曲線.典型例題十二例12如圖，圓x2y24與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B,以A、B為焦點(diǎn)，坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線與圓在y軸左方的交點(diǎn)分別為C、D,當(dāng)梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，求此雙曲線的方程.分析：求雙曲線的方程，即需確定a、b的值，而2c4,又c2a2b2,所以只需確定其中的一個(gè)量.由雙曲線定義|AC|BC2a,又BCA為直角三角形，故只需在梯形ABCD的周長(zhǎng)最大時(shí)，確定|BC的值即可.22解：設(shè)雙曲線的方程為4谷1(a0,b0),C(xo,y°)(x00,y00),abBCt(0t2V2).連結(jié)A