曲邊梯形的面積教學(xué)案例

1、曲邊梯形的面積教學(xué)案例八中高中數(shù)學(xué)組蘭北平“曲邊梯形的面積”是定積分的內(nèi)容，定積分在高中的教材里曾經(jīng)幾進幾出，原因可能是這部分內(nèi)容實在是太有用同時又存在不小的難度，就像是一種美味好吃卻不易吃，會使人覺得棄之可惜。新課程把其加進來，采用了不同于高等數(shù)學(xué)的處理方式，即不介紹不定積分，而直接通過一個幾何問題和一個物理問題引入定積分的概念。這充分體現(xiàn)新課程返璞歸真，回歸本質(zhì)的理念。不過這樣無論對學(xué)生還是教師，都將是一個不小的挑戰(zhàn)。對于本節(jié)課的設(shè)計，筆者將重心放在如何使新課引入自然以及如何突破難點上。一、對本節(jié)課的認識“曲邊梯形的面積”是“定積分的概念”的第一課時。定積分的思想方法是高等數(shù)學(xué)里的重要思想

2、方法，是微積分的重要組成部分，在求解不規(guī)則圖形的面積，變速運動的路程，變力做功等問題方面有著廣泛的應(yīng)用。而求解曲邊梯形面積的過程與思想恰恰是定積分概念的核心內(nèi)容，所以本節(jié)課在定積分的學(xué)習(xí)中有著至關(guān)重要的地位和作用。本節(jié)課內(nèi)容較為單一，目標也比較明確，就是用“以直代曲，無限逼近”的思想求曲邊梯形的面積。 然而，這種思想方法給學(xué)生帶來的理解上的難度卻不小，因為要真正理解這種方法必須對極限的思想要有比較清晰的認識。不過，新課程似乎為了避免增加學(xué)生的負擔(dān)，而不要求深入介紹極限的概念，其旨在用最易于讓學(xué)生接受的手段，使學(xué)生獲得最有價值的數(shù)學(xué)知識。這節(jié)課亦是如此?；谝陨显颍瑐湔n時認為本節(jié)課有兩大難點：

3、一是如何使學(xué)生獲得“無限分割，以直代曲”的思路；二是對“極限” “無限逼近”的理解，即理解為什么將近似值取極限正好是面積的精確值。二、教學(xué)設(shè)計I 、教學(xué)目標1. 知識與技能：（ 1）了解定積分的實際背景；（ 2）會用分割- 近似代替- 求和 - 取極限的四步曲求曲邊梯形的面積；2. 過程與方法：（ 1）體會以直代曲的數(shù)學(xué)思想方法；（ 2）體會無限逼近的數(shù)學(xué)思想；3. 情感、態(tài)度與價值觀：通過以直代曲求曲邊梯形面積的過程感受數(shù)學(xué)化歸思想化難為易，化不可計算為可以計算的妙處；II 、重點、難點1. 重點：以直代曲的思想方法；求曲邊梯形的四步曲；2. 難點：以直代曲的思想方法；III、教學(xué)教法講授與

4、啟發(fā)相結(jié)合，采用幾何畫板制作課件IV、教學(xué)過程(一)引入問題引入：這是浙江省地圖，怎樣求其面積?意圖：用網(wǎng)格法求面積時邊緣往往是不規(guī)則的圖形，引出曲邊梯形及求曲邊梯形的面積問題(二)新課問題1:我們會求正方形、三角形、平行四邊形、梯形等“直邊圖形”的面積，現(xiàn)實生活中遇到的 大量“曲邊圖形”，如何求“曲邊圖形”的面積？和曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形曲邊梯形：由曲線x=a,x=b(a?b),y=010問題2:我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率精確到小數(shù)點后第六位，他是用的什么方法?意圖：引出割圓術(shù)，無限分割，以直代曲的思想，為求曲邊梯形面積做鋪墊劉徽說：“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于

5、不可割則與圓合體而無所失矣”-8教學(xué)說明：適當介紹一些數(shù)學(xué)史的知識回答問題1:通過將曲邊梯形分割成等寬的多個小曲邊梯形，每個小曲邊梯形的面積用高為左端 點函數(shù)值矩形代替，求和，取極限得到面積例1:如何求直線x=1,y=0與曲線y=xV所圍成的曲邊圖形的面積?黃圖：以一個實際簡單例子來感受體驗“分割一求和一近似一取極限”的方法 教學(xué)說明：1、先用幾何畫板演示當 n無限增大時，矩形的面積和會趨近于曲邊梯形的面積，讓學(xué) 生通過直觀感知認識極限；2、板書分割-近似代替-求和-取極限四步曲的詳細步驟；3、用幾何畫板表格展示當 n逐漸增大時，矩形面積和的值的變化趨勢，驗證計所得結(jié)果，并且發(fā)現(xiàn)面積和會從小于

6、的方向逐漸接近1/3,思考為什么，引出下面探究問題探究：如果認為y=f(x)在每個小區(qū)間上的函數(shù)值近似地等于右端點的函數(shù)值，是否 也能求出S=1/3?為什么？1-0.21.5教學(xué)說明:1、先演示當n越來越大時，陰影部分面積越來越小且接近曲邊梯形的面積;2、結(jié)合表格數(shù)據(jù)說明取區(qū)間右端點函數(shù)值得到的是過剩近似值，是從大于的方向趨近1/3 ;3、進一步說明取區(qū)間中的任何一點來近似也是可以的從而得到求面積的一般表達式n .n 1.1S=lm£ f）Ax=lim£ f仁）=為引出定積分的概念做鋪墊xy n 3練習(xí)：求直線x=0,x=2,y=0與曲線y=x（A2）所圍成的曲邊梯形的面積

7、Sn上2i； 2=8；+ 1Y1+1vin J n 3 < n 人2n Jn- ' ,Sn >意圖：用一個與例題相仿，只是區(qū)間不同的例子進一步體驗“分割一求和一近似一取極限”的方 法.（三）小結(jié)：這節(jié)課我們學(xué)到了什么？1 .求曲邊梯形的面積的方法和步驟是：分割、近似代替、求和、取極限2 .以直代曲，無限逼近的思想V、布置作業(yè)作業(yè)本 B 本 P51, 1、2、3、4、6、7、10三、教學(xué)片斷實錄及反思片斷一：新課的引入師（提出問題）：這是浙江省地圖，怎樣求其面積？生：思考片刻，有的一臉茫然，有的在遲疑，個別竊竊私語:“用割補法:師：“怎么割補？能否說得具體點?生：不敢說或者不

8、知道，不能給出答案 師：有一種近似求不規(guī)則圖形面積的方法一一“網(wǎng)格法”，接著介紹這種方法的具體做法。師：（提出新的問題） 不規(guī)則圖形的邊緣處與正方形網(wǎng)格相交會形成一些有一邊是曲線的小的不規(guī)則圖形，如何精確計算其面積呢？從而引出曲邊圖形及曲邊梯形的概念，引出課題。【反思】對于引入這個環(huán)節(jié)，筆者原本打算采用開門見山的方式直接引入的，但是后來考慮到新課程提倡“強調(diào)發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”，便設(shè)計了這個求地圖面積的問題。數(shù)學(xué)知識的價值以往總會 被人曲解。學(xué)數(shù)學(xué)到底有什么用？很多人都會認為沒有什么用，只是應(yīng)付考試而已。多數(shù)人的腦子 里會把知識的價值僅僅局限在其應(yīng)用價值上，只有能吃，能喝，能用的才叫有用。

9、實際不然，有些 知識的價值是隱形的，比如說數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)中有很多內(nèi)容雖然我們發(fā)掘不了其作為解決實際問題的工 具的作用，但是其在培養(yǎng)人的邏輯、思維品質(zhì)方面的功能卻是存在的，比如幾何證明等。我們把這 稱為是數(shù)學(xué)知識的功能性價值。但是畢竟知識的應(yīng)用價值更易于被人們接受，所以千方百計發(fā)掘數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值是非常有意義的。那么該問題是否太難？筆者曾經(jīng)在小學(xué)的與數(shù)學(xué)有關(guān)的書本上看到過網(wǎng)格分割求不規(guī)則圖形 面積近似值的方法，所以對于高中生來說不會太難?？赡艽嬖诘膯栴}是該問題有點偏。事實證明， 對于不常用到的知識，大部分學(xué)生是記不住的。所以當聽到有的學(xué)生竊竊私語：“用割補法”，筆者竊喜：莫非所謂“割補法”便是“網(wǎng)

10、格法”？因為這兩種方法的原理是相仿的，如果真是這樣那么 下面的引出問題就順暢了。遺憾的是在追問下卻沒有得出下文，這個遺憾給課堂造成了一點不順暢的狀況。課后筆者又有另外一種想法，難道我們必須要讓學(xué)生對所有的知識都經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程嗎？這個 問題布魯納與奧蘇伯爾已經(jīng)各持己見的闡述過自己的觀點。布魯納的“發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)”對知識的掌握 效果是好的，但太費時間，有時會得不償失。而我們普遍接受的是奧蘇伯爾“有意義的接受學(xué)習(xí)” 理論，其優(yōu)點是效率高。所以如果把這個引入問題改成不是問題，而是介紹這種網(wǎng)格法，可能就不 會造成不順暢的結(jié)果了。片斷二：分割求和，以直代曲的思想方法師（提出問題）：我國古代數(shù)學(xué)家祖沖之將圓周率

11、精確到小數(shù)點后第六位，他是用的什么方法？生：一部分學(xué)生回答“將圓切割”.師：對，他采用的方法我彳門稱之為“割圓術(shù)”.我們知道圓周長公式是什么？生：周長=2叮.師：根據(jù)這個公式如何求 n ?生：兀=周長/直徑.師：對了，所以關(guān)鍵的問題在于如何計算圓周長，那么祖沖之是如何利用割圓術(shù)求出圓的周長呢？估計學(xué)生答不上來， 介紹劉徽割圓術(shù)的思想， 并用幾何畫板展示分割越細則內(nèi)接正多邊形周長越接近圓周長的過程。師：求曲邊梯形面積時，是否也可以用“無限分割，以直代曲”的思想方法？生：能。師：具體如何做？生：(不能說出具體做法)師：講授求曲邊梯形的面積的基本思路?！痉此肌勘经h(huán)節(jié)教學(xué)設(shè)計了一個中國古代數(shù)學(xué)史上一個

12、比較經(jīng)典的例子“割圓術(shù)”，主要作用有：(1)引出“無限分割，以直代曲”的思想，為類比得到曲邊梯形面積的求法提供了條件。(2)滲透數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容。 新課程的十大基本理念之一就是“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價值”，為此普通高中數(shù)學(xué)課程標準強調(diào)了數(shù)學(xué)文化的重要作用，要求將其盡可能與高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容“有機結(jié) 合”。數(shù)學(xué)文化的呈現(xiàn)方式應(yīng)該是多種多樣的，可以是集中介紹，比如“數(shù)學(xué)史選講”專題，也可以是合理滲透，特別是后者，如果能將數(shù)學(xué)文化“合情合理”地穿插在日常教學(xué)中，可以取得事半功倍的效果。這里“合情合理”的具體體現(xiàn)為：1.該書學(xué)文化內(nèi)容與常規(guī)內(nèi)容是有關(guān)聯(lián)的；2.該數(shù)學(xué)文化內(nèi)容對常規(guī)內(nèi)容的理解是有幫助的。本環(huán)節(jié)兼具

13、以上兩點，所以是合情合理的。(3)提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，將枯燥的數(shù)學(xué)內(nèi)容變得充實豐滿。對于用割圓術(shù)類比出求曲邊梯形面積的方法的可行性，筆者事先是這樣考慮的：兩者都需要等分，都需要以直邊代替曲邊，所以其原理是基本一致的，唯一不同的是一個求周長，另一個求的是面積。那么這個不同會不會給學(xué)生進行類比帶來困難呢？從結(jié)果來看，可能存在這樣的問題。 實際上這里可以有一個改進的辦法，應(yīng)該在“割圓術(shù)”用正多邊形周長逼近圓周長之后，再介紹同樣可 以用正多邊形面積逼近圓的面積。這樣相似性更強，更易于類比出結(jié)論。片斷三：對矩形面積和的極限值就是曲邊梯形的面積真實值的理解n增大時，矩形面積和的值的變化趨師：步驟一、計算前先用幾何畫板動態(tài)演示當n增大時矩形面積和與曲邊梯形面積逼近情況。步驟二、計算出結(jié)果后再用幾何畫板以表格的形式計算當 勢。【反思】步驟一發(fā)生在計算前主要是先讓學(xué)生從圖形上直觀感知“分割一近似一求和一取極限”的必要性和可行性，從而盡可能消除學(xué)生的顧慮；